Departamento de Matemática. CÁLCULO ii. Ady Cambraia Junior Braz Moura Freitas. Coordenadoria de Educação Aberta e a Distância

Transcrição

1 Departameto de Matemática CÁLCULO ii Ady Cambraia Juior Braz Moura Freitas 7 Coordeadoria de Educação Aberta e a Distâcia

2 Uiversidade Federal de Viçosa Reitora Nilda de Fátima Ferreira Soares Vice-Reitor Demetrius David da Silva

3 3 Diretor Frederico Vieira Passos Campus Uiversitário, , Viçosa/MG Telefoe: (3) Fax: (3) Autor: Ady Cambraia Juior e Braz Moura Freitas Layout: Diogo Rodrigues Diagramação: Lucas Kato Coordeação Editorial e CopyDesk: João Batista Mota Março de 03

4 4 Ficha catalográfica preparada pela Seção de Catalogação e Classificação da Biblioteca Cetral da UFV C77c Cambraia Juior, Ady, [ recurso eletrôico] / Ady Cambraia Juior, Braz Moura Freitas. - Viçosa, MG : Ed. UFV, 03.,8MB : il. color. ; epub. - (Cohecimeto, ISSN ;. 7) Iclui ídice Referêcia: p. 83. Cálculo.. Regra de L Hôpital. 3. Itegrais impróprias. 4. Sequêcias ifiitas. 5. Séries ifiitas. 6. Séries de potêcia. I. Freitas, Braz Moura, II. Título CDD. ed. 55

5 5 Sumário Itrodução 3 Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital 5. Regra de L Hôpital Outras formas idetermiadas A forma idetermiada A forma idetermiada Potêcias Idetermiadas:, 0, Itegrais Impróprias Limite de Itegração Ifiito Imagem de f ifiita, ou seja, itegrado descotíuo Aplicações das Itegrais Impróprias Exercícios Sequêcias 3 3. Sequêcias de úmeros Limite de sequêcias Subsequêcias Uma sequêcia especial: A Sequêcia de Fiboacci Séries Ifiitas Série Geométrica Critério do Termo Geral Séries Telescópicas Outros Teoremas sobre Covergêcia de Séries Séries de Termos Positivos Teste da Itegral Séries Alteradas Covergêcia absoluta, Teste da Razão, Teste da Raiz Séries de Potêcias Propriedades de Séries de Potêcias Séries de Taylor Aplicações das Séries de Potêcias - Série Biomial

6 Itrodução Esta apostila surgiu por meio de uma revisão de outra apostila origialmete escrita para o curso de cálculo, semipresecial, do projeto das NTICs. Essa revisão foi feita visado á fialidade de ateder uma das exigêcias da disciplia cálculo a distâcia. Ela foi dividida em seis capítulos. O primeiro refere-se a uma revisão de formas idetermiadas e itegrais impróprias assutos estes fudametais para o estudo de séries e equações difereciais. Neste capítulo, os pricipais resultados referem-se à Rera de L Hôpital e o estudo de covergêcia de itegrais impróprias. Espera-se que, ao fial do estudo deste capítulo, o aluo seja capaz de usar com desevoltura a Regra de L Hôpital e aalisar corretamete a covergêcia de uma itegral imprópria. No capítulo dois, estudamos as sequêcias uméricas ifiitas, que são, a base para o estudo posterior de séries ifiitas. Neste capítulo, veremos a importate defiição de covergêcia de uma sequêcia e algus teoremas importates relacioados a este assuto, detre eles, destaca-se o teorema da covergêcia moótoa. No capítulo subsequete, iiciamos o estudo de séries uméricas ifiitas. Veremos aqui com mais êfase o estudo das séries uméricas covergetes e estudaremos vários critérios ou testes de covergêcia, sedo que detre os mais importates destacam-se os testes da raiz e da razão. São as séries covergetes, em especial as séries de potêcias covergetes, que têm iteresse pois é por meio delas que é possível estudar importates fuções e suas aplicações detro da matemática e também em outros ramos do cohecimeto. O estudo das séries de potêcias é o assuto que será visto o capítulo quatro, em especial as séries de Maclauri e de Taylor de uma fução f. Em seguida, o capítulo cico, faremos um estudo sucito de equações difereciais ordiárias de a e a ordes. Neste capítulo, daremos mais êfase ao estudo de equações lieares de a e a ordes, em especial as EDO s de a ordem lieares, homogêeas e ãohomogêeas, de coeficietes costates. Veremos também algumas equações ão lieares de a ordem, tais como: equações separáveis, equações homogêeas e de Beroulli. E, para cada uma delas, veremos o método de solução mais usual. Fializaremos o curso com o estudo de uma poderosa técica para resolução de edo s com valores iiciais. Tal técica é cohecida como Trasformada de Laplace, que usa 6 3

7 7 4 o coceito de operador (itegral) liear e seu iverso para resolver EDO s com valores iiciais.

8 Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital Em um primeiro curso de cálculo, quado se estuda a itegral defiida de uma fução f, esta fução está codicioada a duas exigêcias fudametais: o itervalo de itegração [a, b] é fiito. a fução f tem que ser cotíua em [a, b]. Seja f uma fução cujo domíio é um subcojuto ifiito dos úmeros reais. Um questioameto atural é: ) ) É possível esteder o coceito de itegral para situações em que o itervalo de itegração é ifiito ou que a fução seja descotíua o itervalo [a, b]? É possível determiar áreas ou volumes de regiões ão itadas? Visado respoder a estas questões vamos defiir o que é uma itegral imprópria e veremos que a resposta para esses questioametos é positiva em algus casos, e em outros ão. Ao desevolvermos tal teoria veremos que a oção de ite desempeha papel fudametal. Por isso, vamos utilizar o que apredemos ateriormete para estudar casos especiais de ites, que chamaremos de formas idetermiadas, que serão usadas, detre outras situações, o estudo da Itegral Imprópria.. Regra de L Hôpital Em ossos estudos ateriores de ites, desevolvemos diversos artifícios algébricos e trigoométricos para ecotrar o valor do ite, como: / x 0 0 (x + )(x ) x + = = x x 5x +4 x (x 4)(x ) x x 4 = 3. (.) 8 5

9 9 6 Isto,em geral, ocorre quado calculamos o ite de um quociete da forma f(x) g(x) com f(x) = 0 e g(x) = 0. Tal expressão é chamada de forma idetermiada x a x a do tipo 0 em x = a. Se 0 f(x) = 0 e g(x) = 0 a expressão 0 é uma forma x x 0 idetermiada do tipo 0 para x ± Outro tipo de forma idetermiada ocorre 0 quado f(x) = g(x) =± para x a ou x ± que é idicada apeas como. Existem casos ode ocorre a forma idetermiada 0 e a maipulação algébrica usada 0 o exemplo. ão é tão simples de ser aplicada. Um primeiro exemplo ão tão simples ocorre o ite fudametal: sex x 0 x = (x em radiaos). Pode-se provar geometricamete este ite, mas para uma forma 0 0 ou, quado f e g são fuções quaisquer, a determiação de tais ites requer o uso de um teorema cohecido como Regra de L Hôpital. A Regra de L Hôpital foi publicada em 696 (em plea época das grades descobertas do Cálculo) pelo matemático fracês Marquês Guillaume Fraçois Atoie de L Hôpital. No etato, este teorema já era cohecido pelo matemático suíço Joh Beroulli do qual L Hôpital foi aluo. Existem várias demostrações da regra de L Hôpital. A demostração mais usual da regra faz uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, também cohecido por Teorema do Valor Médio Geeralizado, cujo euciado é: Teorema. do Valor Médio de Cauchy Sejam f, g fuções cotíuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Se g(x) 0, para todo x (a, b), etão existe c (a, b) tal que f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a). Demostração: Em primeiro lugar vamos mostrar que g(b) g(a) 0. Supoha, por absurdo, que g(b) g(a) = 0, isto é, g(b) =g(a). Etão como g é cotíua em [a, b] e derivável em (a, b), pelo Teorema de Rolle, existe c (a, b) tal que g (c) = 0, o que cotradiz a hipótese g (x) 0 para todo x (a, b), logo g(a) g(b). Cosidere a fução ( ) f(b) f(a) F (x) =f(x) f(a) (g(x) g(a)). g(b) g(a) Afirmação: A fução F satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle. De fato, F é cotíua em [a, b], pois f e g o são;

10 0 7 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital F é derivável ( em (a, ) b), pois F é difereça de fuções deriváveis e F (x) =f (x) f(b) f(a) g (x) ; g(b) g(a) F (a) =F (b) = 0. Logo, ovamete pelo Teorema de Rolle, existe um c (a, b) tal que F (c) =f (c) g (c) ( ) f(b) f(a) =0, g(b) g(a) isto é, f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a). Com este resultado estabelecido temos codições de euciar e demostrar a Regra de L Hôpital. Teorema. (Regra de L Hôpital) Sejam f e g fuções defiidas em I =[a, b] que cotém c e que são deriváveis em (a, b), exceto possivelmete em c. Se f(x) tem a forma g(x) idetermiada 0 0 em x = c e se g (x) 0para x c, etão desde que x c f (x) g (x) exista. f(x) x c g(x) = f (x) x c g (x) Demostração: Sejam f e g fuções cotíuas o itervalo [a, b] e deriváveis o itervalo aberto (a, b), com c (a, b). Supoha que f(x) g(x) tem a forma idetermiada 0 0 em x = c f (x) f(x) e que = L. Devemos mostrar que = L. Vejamos etão que para x c g (x) x c g(x) x c + isto ocorre (para x c é aálogo). De fato, temos que f e g são cotíuas o itervalo [c, x] e deriváveis em (c, x) eg (t) 0, para todo t (x, c), etão pelo Teorema. existe d (c, x) tal que f (d) g (d) = f(c) f(x) g(c) g(x) = f(x) g(x). Assim, como d (c, x), segue que quado x c + temos que d c +, logo: f(x) x c + g(x) = f (d) d c + g (d) = x c + f (x) g (x) = L.

11 8 Ou seja, Aalogamete, prova-se que Portato, f(x) x c + g(x) = L. f(x) x c g(x) = L. f(x) x c g(x) = f (x) x c g (x). Este resultado também é válido quado x ±,x c + ou x c. A regra de L Hôpital também é válida para a seguda forma idetermiada,, o etato, sua demostração é bem mais complexa e ão a faremos. É importate ressaltar que a Regra de L Hôpital é usada somete quado ocorrem formas idetermiadas: 0 0 e. Existem outras formas idetermiadas, que veremos posteriormete, e, quado ocorrerem, serão covertidas para um dos dois casos citados. Outra observação importate é que a regra de L Hôpital as derivadas de f e g são tomadas separadamete, isto é, temos um quociete etre as derivadas de f e g, ou seja, f (x) e ão a derivada do quociete de g (x) f e g. Exemplo.3 Podemos aplicar a Regra de L Hôpital os seguites casos: sex. x 0 x. x 0 3. x + x e x x l x x x + 8 x 0 0 x cos x = x 0 = 0 =0 0 0 = x 0 e = x =. x = x + x = x + = x + x =+ x 8 x l 8 = x + 8 x (l 8) =0

12 9 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital Exercícios.4. Resolva as seguites questões que evolvem a forma básica do uso da Regra de L Hôpital: i) x 0 sex x tgx x ii) x x 5x +6 x x 7 iii) x + se x tg ( ) x iv) v) x 0 x x e x sex l(e x ) vi) x l x x 0 + e 3x vii) x + x. Calcule um valor de c que faça com que a fução f(x) = seja cotíua em x =0. { 9x 3se3x 5x 3 se, x 0 c se, x =0 3. Sejam f(x) = { { x + se, x 0 x + se, x 0 0 se, x =0 e g(x) = 0 se, x =0. Mostre que f (x) x 0 g (x) f(x) =, mas x 0 g(x) =. Por que isso ão cotradiz a Regra de L Hôpital? 4. Ache os valores para a e b tais que x 0 se3x + ax + bx 3 x 3 =0.. Outras formas idetermiadas Existem outras formas idetermiadas, a saber: 0,,, 0, 0 0. As formas, 0, 0 0 são chamadas de potêcias idetermiadas e têm origem em ites de uma fução composta h(x) =f(x) g(x). O procedimeto usado para resolver tais idetermiações é trasformá-las em outra do tipo 0 0 ou e a partir daí usar a forma de L Hôpital correspodete. Aalisemos etão como proceder em cada caso... A forma idetermiada 0 Supoha que x c f(x) = e que x c g(x) = 0, etão f(x)g(x), ( 0). (.) x c

13 3 f(x) resp. e o ite (.) tora- g(x) Neste caso, podemos cosiderar f(x)g(x) como g(x) f(x) se: x c g(x) f(x) = 0 0 resp. x c 0 f(x) g(x) =. (.3) Assim, o ite (.3) se equadra a primeira forma idetermiada e podemos aplicar a Regra de L Hôpital. O procedimeto para x c é também usado para x ±. Se cosiderarmos f g como f, podemos proceder de forma aáloga ao caso aterior, g o etato, iremos obter um ite com a seguda forma idetermiada,. Os exemplos a seguir caracterizam bem este procedimeto. Exemplo.5 i) x x se x ii) se 0 = x x x 0 ( ) l x x l x = x 0 + x 0 + = x x = cos x x x x 0 + x x 3.. A forma idetermiada 0 0 = x cos x =cos0= = x 0 + x =0 Quado f(x) = e g(x) = dizemos que a difereça f(x) g(x) está x a x a associada à idetermiação em a. Podemos trasformar esta idetermiação a forma idetermiada 0 efetuado o míimo múltiplo comum, caso as fuções sejam 0 racioais, ou escrevedo: [ f(x) f(x) g(x) =f(x)g(x) f(x)g(x) g(x) ] [ = f(x)g(x) f(x)g(x) g(x) ]. f(x) Exemplo.6 x 0 e x x = x e x + x 0 x(e x ) = x 0 e x e x + xe x = x 0 e x e x + xe x =

14 4 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital..3 Potêcias Idetermiadas:, 0, 0 0 Seja h uma fução defiida por: h(x) =f(x) g(x), ode f e g são duas fuções, sedo f(x) > 0, para todo x o domíio de f. As expressões, 0 e 0 0 também são formas idetermiadas. Em qualquer um desses casos, para resolver estas idetermiações, procederemos da seguite forma: f(x) g(x) = e l(f(x)g(x)) = e g(x) l(f(x)). Como a fução e x é cotíua para todo x real, temos x a f(x)g(x) = e L, sedo L = x a [g(x) l(f(x))]. Observe que x a [g(x) l(f(x))] está associado à forma idetermiada 0. Exemplo.7 Mostre que i) ( + x) x = e ii) (tgx)cos x x 0 + Solução: x π i) Seja f(x) =(+x) x e observe que como x 0 +, etão x + > 0= f(x) > 0, x>0. Aplicado o logaritmo, obtemos: l f(x) = x l ( + x), que é uma forma idetermiada do tipo 0. Usado L Hôpital e calculado o ite do logaritmo acima, obtemos: l f(x) = x 0 + l ( + x) = x 0 + x x 0 + +x =. Daí, utilizado a cotiuidade da fução l x, segue que: [ ] l f(x) = l f(x) = f(x) =e x 0 + x 0 + x 0 + ii) Seja f(x) = (tgx) cos x. Como x π π, etão x< = tg(x) > 0. Aplicado o logaritmo obtemos que: l f(x) = cos x l (tgx). A expressão cos x l (tgx) é uma

15 5 forma idetermiada do tipo 0. Daí, usado a Regra de L Hôpital, temos: Exercícios.8 x π sex (a) x 0 x (e) x 0 +( + x)/x (f) l f(x) = [cos x l (tgx)] = x π (sec x) = x π = x π. Calcule os ites: (b) x 0 cos x e x x x + x/( x) tgx sec x tgx = cos x (sex) =0= x π (c) x 0 + x l x (g) x 0 +(sex)x l (tgx) x π sec x = sec x (tgx) = f(x) =e0 = x π (d) x 0 (ex + x) /x (h) x xtg x. Dê exemplos de duas fuções deriváveis f(x) e g(x) com f(x) = g(x) = x x que satisfaçam as seguites codições: f(x) (a) x g(x) =4 f(x) (b) x g(x) = f(x) (c) x g(x) =0 { 9x 3se(3x) 3. Calcule um valor de c que faça com que a fução f(x) =, x 0 5x 3 c, x =0 seja cotíua em x =0. { { x +, x 0 x +, x 0 4. Sejam f(x) = 0, x =0 e g(x) = f (x). Mostre que 0, x =0 x 0 g (x) = f(x), mas =. Por que isso ão cotradiz a Regra de L Hôpital? x 0 g(x) 5. Numa progressão geométrica, se a for o primeiro termo, r for a razão comum a dois termos sucessivos e S for a soma dos primeiros termos, etão se r, S = a(r ). Ache o S. Se r =o resultado será cosistete com a soma r x dos primeiros termos? ( ) x x + 6. Se =9, ache. x x { ( e 7. Se f(x) = 4x ) se x < 0, ache k de forma que f seja cotíua em x =0. k se x 0

16 6 3 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital.3 Itegrais Impróprias No curso de cálculo I trabalhamos com itegrais ode o domíio de itegração era fiito e a fução era cotíua o itervalo. Além disso, a imagem do itegrado era fiita. Estederemos agora o coceito de itegral defiida para os casos ode o itervalo de itegração é ifiito e também para os casos ode a fução f tem descotiuidades ifiitas este itervalo. Uma das aplicações mais simples das itegrais impróprias pode ser vista, por exemplo, para ecotrar o comprimeto de uma circuferêcia. Iicialmete cosidere a circuferêcia cetrada em zero e com raio r>0, isto é, y + x = r. O semicírculo superior é dado por y = r x, r x r. Quado calculamos a itegral de zero a r obtemos a medida de um quarto do comprimeto da circuferêcia. Seja C o comprimeto total da circuferêcia. Etão: r C =4 +( dy r ( ) x r dx dx ) dx =4 + dx =4 r r x r x. 0 0 Observe que temos uma descotiuidade com imagem ifiita essa itegral o caso em que r = x. Para resolver este impasse devemos recorrer aos recursos de ite. Logo: b dx [ ( x )] b C =4 r =4 r arcsi = b r 0 r x b r r 0 [ =4 r arcsi b r ( ) ] b arcsi 0 =4 r(arcsi arcsi 0) r =4 r( π 0) = 4 r π. Daí, o comprimeto da circuferêcia é: C =4r π =πr. Itegrais ode o domíio de itegração é ifiito ou com imagem de f ifiita são, como o exemplo, chamadas de itegrais impróprias Limite de Itegração Ifiito Primeiramete, para motivar a defiição de ite de itegração ifiito, cosidere o problema de calcular a área da superfície situada abaixo do gráfico da fução y = x, acima do eixo das abscissas e à direita da reta x = (perceba que esta região se estede ifiitamete à medida que os valores de x crescem). Normalmete, a ituição os leva a imagiar erroeamete que essa área é ifiita. Desta forma, vamos um primeiro mometo, calcular a área hachurada da figura a seguir, isto é, a área dada pela itegral [ dx x = ] = [ ( x )] =

17 7 4 Aalogamete, se quisermos calcular a área até a reta x = 3, obteremos: 3 [ dx x = ] 3 = [ 3 ( x )] = 3. Se quisermos calcular a área até a reta x = 4, obteremos: 4 [ dx x = ] 4 = [ 4 ( x )] = 3 4. Prosseguido desta forma, percebemos que se itarmos essa área pela reta x = t, e aumetarmos cada vez mais o valor de t, isto é, fazedo t, a área da região se aproxima cada vez mais de. a) Seja f seja cotíua em [a, + ), ode a IR. Defiimos: se o ite existir. a f(x)dx = t + t a f(x)dx, b) Seja f cotíua em (,a]. Defiimos: a f(x)dx = t a t f(x)dx, se o ite existir. Dizemos que as itegrais covergem se os ites existirem, caso cotrário diremos que as itegrais divergem. c) Seja f cotíua em (, ) ea um úmero real qualquer. Defiimos: + f(x)dx = a f(x)dx + + a f(x)dx.

18 8 5 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital A itegral + f(x)dx será covergete se as duas itegrais do lado direito da igualdade também o forem. No caso de uma delas ser divergete, etão + f(x)dx também irá divergir. Pode-se mostrar que a escolha do úmero a o item c é arbitrária. Por questão de simplicidade, em geral, escolhemos a=0. Exemplo.9 Determie se são ou ão covergetes as itegrais abaixo: x dx l x x dx e x dx Solução: + x dx = t t + x dx = + l x t x dx = l x t + x dx = [ = t ] t + x l x t + x dx [ = t + t l t +0 ] x t ( t l t t ) + = t + 0 e x dx = 0 e x dx = t t ( ) t = ( t ) t + x + = t + = t + t = t (ex ) 0 t = t (e0 e t )=.3. Imagem de f ifiita, ou seja, itegrado descotíuo Se f for uma fução cotíua em um itervalo fechado [a,b], etão b a f(x)dx existe. Se a fução f tem uma descotiuidade com imagem ifiita em algum poto do itervalo [a, b], temos três casos a cosiderar:

19 9 6. f é cotíua em [a,b) e f(x) =±. Neste caso, defiimos: x b b a t f(x)dx = f(x)dx, t b a Se o ite existir dizemos que a itegral coverge, caso cotrário ela diverge.. f é cotíua em (a,b] e f(x) =±. Neste caso, defiimos: x a + b a b f(x)dx = f(x)dx. t a + t Se o ite existir dizemos que a itegral coverge, caso cotrário ela diverge. 3. f é cotíua em [a, c) (c, b], f(x) =± e x c defiimos: b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x) =±. Neste caso, x c + ( t ) ( b ) f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. t c a t c + t b c b a Dizemos que a itegral b a f(x)dx coverge se cada uma das itegrais, c a f(x)dx e f(x)dx, for covergete. Por outro lado, se uma das itegrais diverge, etão a itegral f(x)dx diverge. Em muitos casos ão queremos (ou ão podemos) saber qual é o valor de uma itegral imprópria, mas apeas saber se tal itegral imprópria é covergete ou divergete. Para isso existem diversos critérios que os permitem avaliar a covergêcia da itegral. Detre os mais utilizados destacamos: Teorema.0 (Teste da Comparação) Sejam f, e g duas fuções itegráveis em [a, t], para todo t>a, tais que, para todo x a, 0 f(x) g(x). Etão: (a) Se 0 g(x)dx é covergete, etão 0 f(x)dx também é covergete. (b) Se 0 f(x)dx é divergete, etão 0 g(x)dx também é divergete. Este resultado é bastate ituitivo ao observarmos a figura:

20 0 7 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital Exemplo. Estude a covergêcia da itegral 4 se (x) (x ) dx. Solução: Note que esta itegral é costituída por um quociete, sedo o umerador uma fução itada e o deomiador uma fução poliomial. Por isso, vamos usar o Teste da Comparação para aalisar se ela coverge ou ão. Quado usamos esse teste, a dificuldade pricipal é ecotrar a fução ideal para que seja feita a comparação. A fução g, este caso, pode ser escolhida como sedo g(x) = (x ). Agora observe que: A fução seo satisfaz a desigualdade: 0 se x para todo x R, em particular, para todo x 4. g(x) = (x ) > 0, x 4 4 t dx = (x ) t 4 dx = (x ) t (x ) t 4 ( ) = + t t 4 = 0+ = Sedo assim, as hipóteses do Teorema da Comparação são satisfeitas para todo x 4 se (x) e podemos garatir que dx coverge, uma vez que a itegral 4 (x ) 4 (x ) dx coverge. Com uma pequea extesão do Teorema da Comparação, coseguimos obter mais um critério de covergêcia (ou divergêcia) de itegrais impróprias. Teorema. Seja f :[a, ) R uma fução cotíua. Se etão a f(x)dx também coverge. a f(x) dx coverge,

21 6 8 Vejamos como aplicar o critério do teorema. com o seguite exemplo: Exemplo.3 Mostre que a π e x sexdx coverge. Solução: Para usarmos o Teorema da Comparação, temos que verificar se o itegrado satisfaz as hipóteses do teorema. Costatamos que a fução f(x) =e x sex ão é positiva x. No etato, 0 sex, cosequetemete 0 e x sex = e x sex e x. Como e x dx coverge, o Teste da Comparação os garate que e x sex dx π também coverge. Aplicado agora o teorema. cocluímos que e x sexdx também π coverge. O critério apresetado a seguir é particularmete apropriado para aalisar a covergêcia de itegrais impróprias cujo itegrado é um quociete de poliômios. Teorema.4 Sejam f e g duas fuções cotíuas em [a, ), tais que f(x) 0 e g(x) > 0, com f(x) x g(x) = L, sedo L (0, ). Etão as itegrais impróprias f(x)dx e g(x)dx comportam-se a a da mesma maeira, isto é, ou ambas covergem ou ambas divergem. π Exemplo.5 Estude a covergêcia da itegral x defiida por g(x) = x 3 +3x +. 5 x dx. Seja g a fução x 3 +3x + Solução: Observe que: g(x) = x x 3 +3x + = x x 3 (+ 3x + x ) = 3 x (+ 3x + x ), x 5 3 Para x suficietemete grade o comportameto da fução g é semelhate ao da fução f defiida por f(x) =,x 5. x b 5 x dx = x dx = x dx = dx = 5 b 5 b x b b + 5 = 5 A itegral dx é covergete; vejamos se ela satisfaz as hipóteses do teorema 5 x x.4. Como g(x) = x 3 +3x + e f(x) =. Observe que para x 5, f(x) > 0e x 5

22 9 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital g(x) > 0. f(x) x g(x) = x 0 x x 3 +3x + x x 3 = x x 3 +3x + = > 0. Com as hipóteses do teorema.4 satisfeitas, e como a itegral podemos cocluir que 5 x dx coverge. x 3 +3x + 5 f(x)dx coverge,.3.3 Aplicações das Itegrais Impróprias O cálculo desempeha um papel importate em diversas áreas das Ciêcias Exatas, Agrárias, Ecoomia e outras. Em particular, as Itegrais Impróprias têm suas aplicações. Vejamos a seguir algumas dessas aplicações. Exemplo.6 Aplicação a Ecoomia Supoha que exista um fluxo cotíuo de receita para o qual o juro é acumulado cotiuamete à taxa de 00i por ceto e f(t) reais é a receita por ao, em qualquer tempo de t aos. Se a receita cotiuar idefiidamete, o valor aual, V em reais, de toda receita futura é dado pela seguite itegral imprópria: V = 0 f(t)e it dt. Exemplo.7 Aplicação a Teoria da Probabilidade Uma fução desidade de probabilidade é uma fução f cujo domíio é o cojuto R dos úmeros reais e que satisfaz às codições:. f(x) 0, para todo x R. f(x)dx = Vamos cosiderar aqui a fução desidade expoecial defiida por { ke kx se, x 0 f(x) = 0 se, x<0 ode k>0. Para verificar se essa fução qualifica-se como uma fução desidade de probabilidade, vejamos se ela satisfaz as duas propriedades acima referidas.. Se x<0, f(x) =0; se x 0, f(x) =ke kx e como k>0 etão, ke kx > 0.

23 3 0. f(x)dx = = 0 0 f(x)dx + 0dx + = 0 + b [ 0 0 b 0 f(x)dx ke kx dx = b [ e kx ] b 0 = b ( e kb +)= ] e kx ( kdx) Se f for a fução de desidade de probabilidade de ocorrêcia de determiado eveto, etão a probabilidade de que o eveto irá ocorrer o itervalo fechado [a, b] é deotada por P ([a, b]) e defiida por: P ([a, b]) = b a f(x)dx. Por exemplo, para determiado tipo de bateria elétrica, a fução desidade de probabilidade de que x horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida ao acaso é dada por { f(x) = 60 e x 60 se, x 0 0 se, x<0 A probabilidade de que o tempo de vida de uma bateria escolhida ao acaso seja pelo meos 50 horas é: b P ([50, )) = b e x 60 dx [ ] = e x b 60 b 50 = ( e b 60 + e ) b = 0+e 0,833 =0, 435. A fim de compreeder melhor o coteúdo apresetado, sugerimos que faça os seguites exercícios..4 Exercícios. Decida se a itegral é covergete ou divergete: (a) 5 x dx (b) 0 ( x) dx

24 4 Capítulo. Itegrais Impróprias e a Regra de L Hôpital (c) (d) (e) (f) (g) x x dx xe x dx x +3 dx sexdx x l xdx (h) (i) (j) (k) (l) cos x + se x dx x 4x +3 t dt cos t t dt x + x 3 dx. Calcule, se existir, a área das regiões apresetadas a seguir, itadas pelas curvas y e pelos itervalos idicados: (a) y =,de0 x< (x ) (b) y =,de0 x<3 3 x (c) y = x,de0<x (d) y = sec x,de0 x< π x (e) y =, de <x 0 4 x (f) y =, de x 7 (x + ) /3 (g) y = (h) y = (i) y = (j) y =,de0 x<4 (x 3) x,de x<4 x 5x +4 x x,de0 x 4 cos x,de0 x<π (k) y = x 4/3, de x 3. Calcule as seguites itegrais: (a) (b) (c) (d) e x dx, xe x dx +x dx e t set dt 4. Para quais valores de p a itegral o seu valor? (e) (f) (g) (h) + 0 x dx x 5 dx xe x dx 4+x dx dx coverge? Quado ela coverge, qual é xp

25 3 Capítulo 3 Sequêcias 3. Sequêcias de úmeros Em osso cotidiao estamos habituados a cosiderar diversos acotecimetos que ocorrem uma determiada ordem, que pode ser croológica, ou de tamaho, detre outras. Em matemática, uma sequêcia relacioa úmeros que seguem determiada ordem, e que esta ordem é defiida a partir de uma lei (fução). Veremos que cada sequêcia tem propriedades particulares e a partir do cohecimeto dessas propriedades podemos eteder melhor o comportameto (tedêcia) de cada sequêcia. Defiição 3. Uma sequêcia de úmeros é uma correspodêcia, ou fução f, que a cada úmero atural associa um úico úmero real a. f : N R a a a. Por essa defiição acima, uma sequêcia é uma fução f defiida o cojuto dos úmeros aturais N = {,, 3, }, e cujas images são úmeros reais. Esta fução é, algumas vezes, chamada fução posição, por os forecer o elemeto da posição da sequêcia (a ), ou seja, f() =a. Notação: Deotamos as sequêcias por (a ) N,(a ), ou simplesmete, a,a,,a. Observação 3. (i) Chamamos a de termo geral da sequêcia.. (ii) Quado existir o último elemeto a sequêcia, dizemos que ela é fiita. cotrário, dizemos que a sequêcia é ifiita. Caso (iii) Neste curso vamos trabalhar com sequêcias ifiitas. 3 5

26 6 4 Exemplo 3.3 a) Seja (a ) uma sequêcia cujos termos são:,, 3,,,.Etão: a =, a =, a 3 = 3,, a =. Uma maeira de represetar esta sequêcia é escrevê-la com: ( ) (a )= N. b) A sequêcia,,, 3,,, pode ser represetada por: 4 {, se é ímpar; b = +, se é p a r. Exercícios 3.4 Determie o termo geral de cada sequêcia abaixo: i), 3, 3 4, 4 5,... ii), 4, 8, 6,... iii), 3, 5, 7,... iv), 3, 4 9, 8 7,... v), 7,, 7,... vi) 0,, 0,,... Defiição 3.5 Dizemos que as sequêcias (a ) e (b ) são iguais quado a i = b i, para todo i N. Note que as sequêcias ( ) e,,, 3,, 4,, defiidas acima, possuem os mesmos elemetos, mas são distitas pois, por exemplo, a 3 = 3 e b 3 =. Geometricamete, visualizamos uma sequêcia de duas maeiras: como úmeros ou potos sobre uma reta, ou como uma fução formada por potos isolados o plao cartesiao.

27 7 5 Capítulo 3. Sequêcias 3.. Limite de sequêcias Seja (a ) uma sequêcia tal que a =,. Observe que os termos da sequêcia estão cada vez mais próximos de 0, embora uca assumirão este valor, ou seja, podemos obter termos da sequêcia tão próximos de zero quato quisermos, bastado para isso cosiderar suficietemete grade. Isto os motiva a dar a seguite defiição: Defiição 3.6 Cosidere a sequêcia (a ) e seja a um úmero real. Defiimos: (i) a = a se ɛ>0, 0 N; > 0 a a < ɛ. Neste caso, dizemos que existe o ite de a e que a = a. (ii) a =+ se (iii) a = se ɛ>0, 0 N; > 0 a > ɛ. ɛ>0, 0 N; > 0 a < ɛ. Observe que a defiição de ite de uma sequêcia é muito parecida com a defiição de ite de fuções reais, com x tededo a ifiito, vista o Cálculo I. Teorema 3.7 Seja f : [, ) R uma fução real que está defiida para todo iteiro positivo x. Se f(x) =L, etão a sequêcia a = f(),, é covergete e x f() =L. Demostração: Como f(x) =L, etão, para cada úmero positivo ɛ, existe um x + úmero real δ>0tal que f(x) L <ɛ, para todo x δ. Seja 0 um úmero iteiro maior que δ. Etão: > 0, a L = f() L <ɛ f() =L + Exemplo 3.8 Sejam (a ) e (b ) sequêcias defiidas por a =. Calcule o ite destas sequêcias: 6 + e b = l, Solução:

28 Seja f(x) = x 6x + os iteiros positivos. Note que x é defiida para todo real x e coicide com a sequêcia dada x 6x + =. O Teorema 3.7 os garate que = 3. Observe que este exemplo podemos usar a regra de L Hôpital, pois o ite dado é uma forma idetermiada do tipo. l.. A fução g(x) = l x x é defiida para todo real x e coicide com a sequêcia l dada os iteiros positivos. Portato, pelo Teorema 3.7, segue que l x igual a x x se esse último existir. Usado a regra de L Hôpital, temos: l x x x l Cocluímos etão que: = 0. = x x = 0 =0. será Exercício 3.9 Mostre que: i) + + = ii) (+( ) + ) = Defiição 3.0 Dizemos que uma sequêcia (a ) é covergete se existe o ite de a com tededo a ifiito. Caso cotrário, dizemos que ela é divergete. O Teorema 3.7 os assegura que as propriedades de ite de fuções também são válidas para ite de sequêcias. Teorema 3. Sejam (a ) e (b ) duas sequêcias. Se a = L e b = M, etão: (i) (c a )=c L; (ii) (a + b )=L + M;

29 9 7 Capítulo 3. Sequêcias (iii) (a b )=L M; a (iv) = L, desde que b M b 0e b 0,. Demostração: (i) Seja ɛ>0. Como (a ) é uma sequêcia covergete, existe 0 N tal que quado > 0 tem-se a L < ɛ/( c + ). Assim, para o mesmo 0, temos: c a c L = c a L < ɛ. (ii) Dado ɛ>0, devido a covergêcia das sequêcias (a )e(b ) existem, N tais que, se >, etão a L < ɛ/ e, se >, etão b M < ɛ/. Seja 0 = max{, }. Logo, se > 0 teremos: (iii) Seja ɛ>0. Temos (a + b ) (L + M) a L + b M < ɛ. a b L M = a b a M +a M L M a b M + M a L. Como (a ) coverge, existe N tal que a L <, para >. Logo, a < L + e, da covergêcia das sequêcias (a )e(b ), existem, 3 N tais que: se > e quado >. a L < ɛ/( L + ), b M < ɛ/( M + ), Tome 0 = max{,, 3 }. Se > 0, etão: a b L M < ɛ. (iv) Seja ɛ>0. a L b M = a M b L b M a b M b M + a L. M Da covergêcia de (a ), existem, N tal que a L <, ou seja, a < L +, para > e, além disso, a L < M ɛ ; M>0, para >. Da covergêcia de (b ) existem 3, 4 N tais que b M <, ou seja, b < M, quado > 3 e, se > 4 temos b M < (M M)ɛ ( L + ). Seja 0 = max{ i }, para i =,, 3, 4. Assim, se > 0 teremos: a L b M < ɛ. Exercício 3. Em cada item, determie se a sequêcia coverge ou diverge.

30 30 8 i) ii) ( ) + N ( ) ( ) + + N iii) ( ( ) + ) N iv) (8 ) N Teorema 3.3 (Teorema do Cofroto para Sequêcias) Sejam as sequêcias (a ), (b ) e (c ), tais que a c b,. Se: etão: a = b = L, c = L. Demostração: Como a = b = L, dado ɛ>0existem úmeros aturais e tais que : (a) > tem se : a L <ɛ e (b) > tem se : b L <ɛ Seja 0 um úmero atural tal que 0 = max{, }. Como a c b, segue que: L ɛ<a c b <L+ ɛ, ou seja, > 0, temos que: c L <ɛ, logo c = L Exemplo 3.4 Mostre que a sequêcia (a ) tal que a =!,, coverge e ecotre seu ite. Solução: Nesta sequêcia temos: a + = a + a = ( + )! ( + ) =!( + ) + ( + ) ( + ) =! ( + ) = a ( + ) <, ( + )

31 3 9 Capítulo 3. Sequêcias Observe que: 0 <a ( ). Por outro lado, cada uma das sequêcias (0) N e N tem ite zero quado( tede ) a ifiito. Portato, pelo Teorema do Cofroto para! Sequêcia, a sequêcia também coverge para zero. N Proposição 3.5 (Critério da Comparação para Sequêcias Divergetes) Sejam (a ) e (b ) duas sequêcias. Se a = e se b >a, a partir de um certo 0, etão =. Demostração: Por defiição, a = se, e somete se, dado ɛ>0, existe um atural tal que se >, temos a >ɛ. Tome 0 >. Como b >a, para todo > 0 teremos b >a > ɛ, ou seja, b =. Defiição 3.6 Dizemos que uma sequêcia (a ) é : (a) crescete se a a +, para todo N, (b) decrescete se a a +, para todo N. Observação 3.7 (i) Sequêcias crescetes (ou decrescetes) são chamadas sequêcias moótoas. (ii) No caso de a <a + (ou a >a + ) dizemos que a sequêcia (a ) é estritamete crescete (ou estritamete decrescete). Exemplo 3.8 i) A sequêcia (a ) tal que a = é estritamete crescete, pois: a = <a + = +,. ii) A sequêcia (a ) tal que a =! a > 0,. a + = +! é estritamete decrescete, pois: ( ) =!( + ), ou seja a + = a a + = + a +,.Logo a + <a,. Observe que a = a =.

32 3 30 iii) A sequêcia (a ) tal que a = l( + ) + De fato,cosidere a fução f tal que f(x) = que f (x) = é moótoa. l(x + ), x é r e a l e x. Temos x + l(x + ) (x + ) < 0 e como a derivada é egativa x, temos que a fução é decrescete, ou seja, a sequêcia é moótoa. Defiição 3.9 Uma sequêcia (a ) é dita: (a) itada superiormete se existe uma costate real M tal que a M, para todo N, (b) itada iferiormete se existe uma costate real N tal que a N, para todo N, (c) itada quado ela for itada superiormete e iferiormete. Exemplo 3.0 i) A sequêcia (a ) tal que a = é estritamete decrescete, pois: a + = + < a =,. Como a = > a, e também a = > 0,, logo: 0 <a,ou seja, a sequêcia é moótoa e itada. ii) A sequêcia (a ) tal que a = é estritamete crescete.observe que a é itada iferiormete por, mas ão é itada superiormete. Axioma 3. (Axioma do completameto) Todo subcojuto ão vazio e itado de úmeros reais possui supremo e ífimo. Teorema 3. (Teorema da covergêcia moótoa.) Toda sequêcia moótoa itada é covergete. Demostração: Seja (a ) N uma sequêcia moótoa. Sem perda de geeralidade, supoha que ela seja crescete. Como (a ) N é itada, pela observação acima, temos que é itada superiormete, ou seja, existe um úmero real M tal que a M, para todo N. O úmero M é a meor das cotas superiores. Assim, dado ɛ>0, existirá um ídice N que, a partir do qual a >M ɛ. Como (a ) N é crescete, sabemos que a <a +, para todo atural. Etão, se >N, segue que M ɛ<a N <a <M<M+ ɛ. ɛ. Daqui, cocluímos que, dado ɛ>0, existe N N tal que, se N, etão a M < Portato, a = M e a sequêcia é covergete.

33 33 3 Capítulo 3. Sequêcias Exemplo 3.3 Seja (a ) uma sequêcia tal que a =!. Mostre que esta sequêcia é covergete. Solução: observe que a > 0, a + a = ( ) = + ( + )! ( + ) ( + )! = ( + ) = ( + ) < = a + < a,, = (a ) é estritamete decrescete. Logo a =>a, ou seja, é uma cota superior para a. Como a > 0, e, assim, 0 <a,. Daí, a sequêcia (a ) é moótoa e itada, e portato, pelo Teorema da Covergêcia Moótoa, ela é covergete. Teorema 3.4 Toda sequêcia covergete é itada. Demostração: Como a sequêcia (a ) N é covergete, dado ɛ =, existe um atural 0 tal que se > 0, etão a a <, ou seja, a < a +. Seja K = max{ a 0, a,, a 0, + a }. Etão a <K, para todo atural e a sequêcia é itada. Observação 3.5 No Teorema da Covergêcia Moótoa, as duas hipóteses (ser itada e moótoa) são idispesáveis. Se cosideramos apeas sequêcias itadas, elas podem covergir ou ão. Como exemplo, a sequêcia (( ) ), itada iferiormete por e superiormete por, mas que ão coverge. Justificaremos sua divergêcia ao tratarmos de subsequêcias a próxima seção. Exemplo 3.6 Estude a covergêcia da sequêcia (a ) dada por a =!. Solução: Observe que: a > 0,. a + = + ( + )! =! ( + ) =!,, ou seja, (a ) é decrescete. ( + ) = a + = a + a = + <

34 34 3 Logo, 0 <a, e assim a sequêcia é moótoa e itada. Portato, pelo teorema da Covergêcia Moótoa etão (a ) coverge. Exercício 3.7 Seja a = a) Exprima a + em fução de a ; b) Mostre que (a ) é estritamete decrescete. c) Mostre que (a ) é covergete ( ). Resolva os ites abaixo: 4 6 Teorema 3.8 Se a =0e (b ) é uma sequêcia itada, etão a b =0 (mesmo que ão exista b ). Demostração: Existe c>0tal que b <cpara todo N. Dado ɛ>0, como a = 0, podemos ecotrar 0 N tal que > 0 a < ɛ c. Logo, > 0 a b = a b < ɛ c c = ɛ. Isto mostra que x b 0 Exemplo 3.9 Mostre que se(x) Solução: Note que: =0. A fução se(x) é itada, pois se(x), x R. =0. Daí, pelo teorema 3.8 temos que 3.. Subsequêcias [ ] se(x) =0 Dada uma sequêcia (a ) tal que a = podemos obter a partir dela outras sequêcias. Como motivação para este estudo, vamos costruir a partir da sequêcia (a ) as seguites sequêcias:, 3, 5,,, formado pelos termos de ídices ímpares de a., 4, 6,,, formado pelos termos de ídices pares de a. 3, 4, 5,,+,. obtida acrescetado-se duas uidades a cada termo da sequêcia iicial. As sequêcias obtidas da iicial, retirado um úmero fiito ou ifiito de termos e reumerado-os, são chamadas de subsequêcias. Formalmete, temos a seguite:

35 35 33 Capítulo 3. Sequêcias 33 Capítulo 3. Sequêcias Defiição 3.30 Seja (a ) uma sequêcia. Dizemos que (b ) é uma subsequêcia de (a ) se existirem úmeros aturais t,t,,t, tais que e b = a t. t <t < <t < Proposição 3.3 Sejam (a ) N uma sequêcia e (b ) N uma subsequêcia de (a ). Se a = L, etão b = L. Demostração: Como (b ) é uma subsequêcia de (a ) podemos escrever ode b = a t t <t < <t < (t i atural). Sedo a = L, dado ɛ>0, existe um atural 0 tal que se > 0 temos que a L <ɛ. Mas, para todo atural existe t pertecete N tal que t >. Daí, t >> 0 teremos a t L <ɛ, ou seja,. a t = L Observação 3.3 Da Proposição 3.3 podemos cocluir que: Se duas subsequêcias de uma sequêcia covergem para valores distitos, etão a sequêcia é divergete. Exemplo 3.33 A sequêcia (a )=(( ) + ) é divergete. De fato, se tomarmos as subsequêcias: (a )={,,, } dos ídices pares (a )={0, 0, 0, } dos ídices ímpares percebemos que elas covergem para valores diferetes. Portato, pela Proposição 3.3, a sequêcia {( ) + } é divergete, pois tem pelo meos duas subsequêcias, (a ) e (a ), que covergem para valores distitos. Em outras palavras, a proposição os diz que se uma sequêcia (a ) coverge para L, etão todas as suas subsequêcias também irão covergir para L. Exemplo 3.34 Cosidere a sequêcia (a ) = {,,,, 4,, 8,,...}. Note que (b ) = {,,,,,...} e (c ) = {,, 4, 8,...} são ambas subsequêcias de (a ). Observe que (b ) é uma sequêcia costate, que obviamete coverge para, ao passo que (c ) coverge para zero. Assim, a sequêcia (a ) é divergete.

36 36 34 Observação 3.35 Da Proposição 3.3 também podemos cocluir que: Se a sequêcia (a ) tem pelo meos uma subsequêcia divergete, etão (a ) também é divergete. Exemplo 3.36 Cosidere a sequêcia (a ) = {, 5,, 5, 3, 5, 4, 5, 5, 5, 6, 5,...} e sejam (b )={,, 3, 4, 5, 6,...} e (c )={5, 5, 5, 5, 5,...} duas subsequêcias de (a ). Observe que (c ) coverge para 5, mas (b ) é divergete, pois ão é itada. Daí (a ) é divergete. Observação 3.37 Uma outra cosequêcia importate da proposição3.3 é que: Seja (a ) uma sequêcia e sejam (b ) e (b +) as subsequêcias de (a ) de ídices par e ímpar, respectivamete. Se a = L = a +, etão a = L. Exemplo 3.38 Cosidere a sequêcia (a ) = {,,,,,...}. Note que a + = {,,,...} e a 3 5 = {,,,...} são duas subsequêcias de (a 4 6 ) de ídices ímpar e par, respectivamete, e que ambas covergem para zero. Etão, a sequêcia (a ) também coverge para zero. 3. Uma sequêcia especial: A Sequêcia de Fiboacci Leoardo Pisa, também cohecido como Leoardo Pisao ou aida Leoardo Bigollo, foi um matemático italiao, tido como o primeiro grade matemático da Idade Média. Ele ficou cohecido pelo seu pseudôimo Fiboacci. Fiboacci escreveu vários livros, mas o que o cosagrou a Matemática e áreas afis foi o livro Liber Abaci, o qual aparece o famoso problema dos coelhos, cujo euciado é : Quatos casais de coelhos podem ser produzidos a partir de um úico casal durate um ao se: cada casal, a cada mês der origem a um ovo casal que este se tora fértil a partir do segudo mês e ão ocorrerem mortes? Nas codições propostas, costata-se que um casal asce o primeiro mês, totalizado assim casais. Durate o segudo mês, o primeiro casal produz um ovo casal. Um mês depois, o casal origial e o que asceu imediatamete após o seu acasalameto produzem ovos casais, totalizado 3 casais adultos e casais filhotes, de modo que obteremos a seguite sequêcia de casais,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33,... Esta sequêcia, obtida a partir o problema dos coelhos proposta por Fiboacci ficou cohecida por Sequêcia de Fiboacci.

37 37 35 Capítulo 3. Sequêcias A sequêcia de Fiboacci tem iúmeras aplicações tato a Matemática quato em outras áreas do cohecimeto. Por exemplo, ela é usada a aálise de mercados fiaceiros, a ciêcia da computação e a teoria dos jogos. Na Biologia ela aparece a disposição dos galhos das árvores ou das folhas em uma haste, o arrajo do coe da alcachofra, do abacaxi, ou o deserolar da samambaia. Aalisado a sequêcia dos coelhos podemos os pergutar: (i) Existe uma fórmula para descrever os termos da sequêcia de Fiboacci? (ii) É possível ecotrar uma fórmula simples para a soma dos primeiros termos da sequêcia de Fiboacci? Se observamos atetamete a sequêcia, percebemos que, a partir do terceiro termo, todos os demais são obtidos pela soma dos dois termos atecedetes. Deste modo, podemos defiir a Sequêcia de Fiboacci recursivamete, por: 0, se =0 a =, se = a + a, se >. A sequêcia de Fiboacci é a primeira sequêcia recursiva cohecida a literatura matemática. (Uma sequêcia é chamada recursiva quado um termo qualquer dessa sequêcia é uma fução de um ou mais termos precedetes a sequêcia ). Para calcularmos a soma dos primeiros termos desta sequêcia, uma fórmula é: a + a + a a = a +. Podemos aida ecotrar a sequêcia de Fiboacci em cálculos de M.D.C, o Triâgulo de Pascal, os coeficietes do Biômio de Newto e em resultados como o Teorema de Lucas eafórmula de Biet. No etato, detre tatas aplicações o que vamos fazer é mostrar que é possível extrair da sequêcia de Fiboacci uma subsequêcia que coverge para o úmero de ouro. Cosidere a sequêcia (r ) obtida pela razão etre os termos cosecutivos da sequêcia de Fiboacci, ou seja, ( r = a ) { + = a,, 3, 5 } 3,. Detre as características desta sequêcia, destacamos que a sequêcia dos itervalos fechados: [r,r ], [r 3,r 4 ], [r 5,r 6 ], [r 7,r 8 ],... é ecaixate, isto é, cada um está iteiramete cotido o aterior: [r,r ] [r 3,r 4 ] [r 5,r 6 ] [r 7,r 8 ]... Além disso, o ite do comprimeto de cada um desses itervalos tede a zero quado tede ao ifiito. Nos Cursos de Itrodução à Aálise Real, estuda-se O Pricípio dos Itervalos Ecaixates que os assegura: Se I,I,I 3,... é uma sequêcia de itervalos fechados e itados tais que I I I, e se o comprimeto de cada I,, tede a

38 38 36 zero quado tede a ifiito, etão existe um, e somete um úmero real que pertece a todos os itervalos da sequêcia, ou seja, existe o ite. Vamos mostrar que o ite desta sequêcia é o úmero de ouro. Cosidere a sequêcia de Fiboacci dada pela fórmula recursiva a + = a + + a. Dividido ambos os membros desta igualdade por (a + ) obtemos: r + =+ r. Se r L quado +, etão, r + = L pois (r + ) é uma subsequêcia de (r ). Assim, L =+ L L L =0. Resolvedo a equação do segudo grau, ecotramos L = + 5 e L = 5. Mas a sequêcia (r ) é de termos positivos, logo ão pode covergir para L < 0. Portato: r = L = + 5, que é chamado úmero de ouro ou razão áurea. O úmero de ouro é ecotrado, por exemplo, as proporções de certas medidas do corpo humao. Exercícios Verifique se as sequêcias abaixo são divergetes ou covergetes, caso sejam covergetes, para ode covergem? Lembrado que N = {,, 3, } ( ) ( ) (a) (g) + N N ) (b) ( + cos(π)) N (( (c) + ) ) (h) (( ) N ( ) N (d) ( +3 3 ) (i) N ( ) N 3 ( ) e (j) (e) ( N (f) ( e (k) ) N se( ) ) N

39 39 37 Capítulo 3. Sequêcias ( ) (l) + + (m) ( ) N N ( cos ). Mostre que a sequêcia é covergete, sedo. ( ) 3+( ) 3. Use o Teorema do Cofroto para mostrar que a sequêcia é covergete. 4. Resolva os ites abaixo: se(/x) (a) x arctg(/x) log( + e x ) (b) x +x (c) l(x) l( x) x (d) x x x 4 x + 5. Determie o valor de c tal que x ( ) x x + c =4. x c 6. Dê um cotraexemplo para justificar que a proposição é falsa: a) Toda sequêcia itada é covergete; b) Toda sequêcia divergete é ão itada; c) Toda sequêcia alterada é divergete; d) Se uma sequêcia (a ) diverge, etão a sequêcia ( a ) também diverge. 7. A proposição a seguir é verdadeira ou falsa: se uma sequêcia coverge para um ite L, etão toda subsequêcia sua também coverge para L. 8. Costrua uma sequêcia que teha uma subsequêcia covergido para 4 e outra covergido para Dê um exemplo de uma sequêcia que seja itada e covergete, porém que ão seja moótoa. 0. Dada a sequêcia (a ), ode a > 0 para todo e a + < ka com 0 <k<. Prove que (a ) é covergete.. Prove que se a sequêcia (a ) for covergete e a = L, etão a sequêcia a também será covergete e a = L

40 4 Capítulo 4 Séries Ifiitas Neste capítulo estudaremos as somas de um úmero ifiito de termos. Para etedermos como é feita esta soma cosidere a sequêcia (a ) N. Vamos costruir uma ova sequêcia formada por somas parciais da seguite maeira: s = a s = a + a = s + a s 3 = a + a + a 3 = s + a 3. s = a + a + + a + a = s + a A sequêcia (s ) N obtida de (a ) N é chamada de série ifiita associada à sequêcia (a ) N e é represetada por ou, simplesmete por a + a + + a + k= Os úmeros a k são os termos da série e os úmeros s,s, são as somas parciais da série ifiita de ordem,,. Assim, por exemplo, s 0 represeta a soma parcial de ordem 0 da série. Defiição 4. Se existe s = s, dizemos que a série ifiita a k é covergete + k= e tem soma s. Caso cotrário, dizemos que a série é divergete. a k. Vejamos algus exemplos. Exemplo 4. Estude a covergêcia das séries abaixo, o caso de ser covergete, calcule sua soma: 40 39

41 40.. k= k= k = = Solução:. Observe que a soma parcial de ordem desta série é dada por:. Note que s =++ + = ( + ) e como s =+, etão a série diverge. + s = 3 s = = 5 s 3 = = 3 7 s 4 = = 4 9 Em geral ão é simples obter uma fórmula de recorrêcia para soma parcial de ordem de uma série. Neste exemplo, usaremos frações parciais para decompor a a forma: a = 4 = a + b + Calculado as costates a e b, obtêm-se: a = e b = E, assim: S = [( ) ( ) 5 ( ) ( )] = + = + 4

42 4 4 Capítulo 4. Séries Ifiitas Logo, s = + sua soma é. ( ) + + =. E portato, a série dada é covergete e 4. Série Geométrica Detre as séries ifiitas importates destaca-se a Série Geométrica, caracterizada pelo fato de que cada termo dela é obtido multiplicado-se o termo precedete por alguma costate fixa ão ula. Assim, se o termo iicial da série é a e cada termo é obtido multiplicado-se o termo precedete por r, que é chamado de razão da série, etão a série tem a forma: k= São exemplos de séries geométricas, ar k = a + ar + ar + ar ( ) ( 9 + ) 3 +x + x + x x k + Pode ocorrer que o termo geral de uma série geométrica ão esteja represetado exatamete a forma + ar k. Neste caso, o leitor deve fazer as maipulações ecessárias a k= fim de escrever a série a forma coveiete, como o exemplo a seguir. Exemplo 4.3 A série, + 3 k 5 k é uma série geométrica, pois: k= a =3 k 5 k = 9k =9 5k ( ) k 9, 5 que caracteriza uma série geométrica de razão r = 9 5 e a =9.

43 43 4 Teorema 4.4 Uma série geométrica k= ar k = a + ar + ar + ar 3 + coverge se r < e diverge se r. Se a série covergir, etão a soma da série é: k= ar k = a r. Demostração: Trataremos primeiro do caso r =. Se r =, etão a série é: a + a + a + a + Logo, a -ésima soma parcial é: s =( + )a e s = ( + )a = ± + + (coforme a seja positivo ou egativo). Isso prova a divergêcia. Se r =, a série é: a a + a a + Logo, a sequêcia das somas parciais é: a, 0, a, 0, e a série diverge, pois ão existe s. Agora cosideremos o caso ode r. A -ésima soma parcial da série é s = a + ar + ar + + ar (4.) Multiplicado ambos os lados de 4. por r, obtém-se subtraido 4. de 4., obtém-se: rs = ar + ar + + ar + ar + (4.) s rs = a ar + ou ( r)s = a ar +. Como r etão, podemos escrever s a forma: s = a ar+ r = a r ar+ r. (4.3) Se r <, r + = 0.Assim, (s ) coverge. A partir de 4.3, obtemos: Se r >, etão s = + a r. + r + =+, portato série diverge.

44 44 43 Capítulo 4. Séries Ifiitas Exemplo 4.5 Uma bola cai de uma altura de 30m. Cada vez que ela bate o chão ela sobe verticalmete, percorredo uma distâcia igual a da altura precedete. 3 Ache distâcia total (a vertical) que a bola percorrerá até o repouso. a Solução: A distâcia total que a bola percorrerá é obtida pela soma das distâcias, a vertical, de cada vez que a bola ricocheteia o chão, lembrado que para cada vez que a bola sobe, ela desce a mesma altura até bater o chão, para ricochetear ovamete. Etão a distâcia total é dada pela soma ifiita: D t = ( ) = ( ) = ( ) ( ) ) ( ) ( 3 ( ( )) Observe que a série da última igualdade é uma série geométrica com razão r tal que r = <. Pelo teorema 4.4 esta série coverge e sua soma é: 3 S = s = 60 = Portato, a distâcia vertical total que a bola percorrerá é 30m + 80m = 0m. Uma aplicação iteressate da série geométrica ocorre a determiação da geratriz de uma dízima periódica. Exemplo 4.6 Expressar a dízima periódica 5, como razão de dois iteiros. Solução: Observe que uma dízima periódica pode ser escrita como uma série geométrica ifiita e, a partir do cohecimeto desta série, podemos obter sua soma que irá represetar a geratriz da dízima. A dízima 5, pode ser escrita como: 5, = Assim, = = é a geratriz procurada. s =/( 0,0) ({}}{ + ( ) ) 00 ( ) = , =

45 Critério do Termo Geral Para uma série qualquer em sempre é fácil (ou mesmo possível) obter uma fórmula para a soma parcial s de uma série em fução de. Por este motivo vamos euciar algus teoremas que vão os permitir determiar se uma série é covergete ou divergete. O primeiro desses teoremas é chamado de Critério do Termo Geral. Teorema 4.7 Se + a é uma série ifiita covergete, etão Demostração: Por hipótese, a série + s. Além disso, sabemos que s = s + a a = s s. Aplicado o ite, segue que: a =0. + a é covergete. Etão + s = a = (s s )=s s = s = + Observação 4.8 O teorema 4. é cohecido como critério do termo geral. A recíproca do teorema ão é válida. Um cotraexemplo para esta afirmação é a série + chamada de série harmôica. Veremos posteriormete que esta série diverge, embora: a = + + =0. Podemos e, a maioria das vezes, é o que fazemos, utilizar o teorema 4. a sua versão cotrapositiva para idetificar séries divergetes, ou seja, se a 0, ou se + a, etão a série é divergete. + Exemplo 4.9 Verifique se as séries + e ( ) + são séries covergetes. + Solução: No primeiro caso, basta verificarmos que = 0, portato a série + diverge. No segudo caso podemos cosiderar a sequêcia {( ) +} = {, 0,, 0,, 0, } e observar que ela tem duas subsequêcias covergido para valores diferetes, ou seja, ão existe a. + Daí, (a ) diverge e, cosequetemete, a série diverge, pelo critério do termo geral a sua versão cotrapositiva.

46 46 45 Capítulo 4. Séries Ifiitas 4.3 Séries Telescópicas Defiição 4.0 Defiimos uma soma telescópica de ordem com uma soma da seguite forma: Reescrevedo a soma, temos: (a a )+(a 3 a )+(a 4 a 3 )+...+(a a ). (a a )+(a 3 a )+(a 4 a 3 )+...+(a a )=a a. Naturalmete qualquer sequêcia de termos b pode ser escrita como uma soma telescópica. b = b +(b b )+(b 3 b )+...+(b b ). Uma série cuja a sequêcia das somas parciais tem o comportameto de uma soma telescópica é chamada de série telescópica. Exemplo 4. Mostre que + ( + ) =. Solução: Note que, este caso, ão é simples ecotrar uma fórmula de recorrêcia para a soma parcial de ordem da série. Um procedimeto que permite obter de forma simples uma expressão para s é decompor o termo geral da série usado frações parciais. Usado tal procedimeto, podemos escrever: ( + ) = a + b, obtedo-se a =eb =. + ( Daí temos: ( + ) = ). + Desta forma: ( s = a +a +a 3 + +a = ) = +. ( + Como ) ( + ) ( ) ( ) + S =, a série ifiita coverge e sua soma é, ou seja, + ( + ) =. 4.4 Outros Teoremas sobre Covergêcia de Séries Para uma aálise mais abragete sobre covergêcia e divergêcia de uma série esta seção vamos apresetar outros importates teoremas. Teorema 4. Sejam + a e + b duas séries que diferem por uma quatidade fiita de termos. Etão, ou ambas covergem ou ambas divergem.

47 47 46 Demostração: Cosidere as séries e a = a + a + + a + b + b + b = b + b + + b +, ode a série + a difere da série + b pelos primeiros termos. Supoha que + a seja covergete e seja s sua soma. Etão para qualquer ɛ>0 existe 0 tal que se > 0 temos s s <ɛ. Ora, mas isso sigifica que a série + também coverge e que sua soma vale s. Com um argumeto aálogo mostra-se a divergêcia. b Observação 4.3 Uma cosequêcia deste teorema é que o ídice pode começar em qualquer k fiito, k. Exemplo 4.4 Determie se a série + Solução: Observe que: esta série difere da série coverge ou diverge. + 0 = pelos seus dez primeiros termos. Como diverge, pois + 0 diverge. se trata da série harmôica, etão pelo teorema 4., a série + Teorema 4.5 Se + a e + b são séries covergetes tal que + a = S e + b = R, etão (i) + (a + b )=S + R; (ii) + (a b )=S R; (iii) + (c (a )) = c S, c R.

48 48 47 Capítulo 4. Séries Ifiitas Demostração: Por hipótese, as séries + a e + b covergem. Assim, dado ɛ>0, existem, N tais que se > e >, tem-se a S < ɛ e b R < ɛ. Cosidere 0 = max {, }. Daí, e isso prova os ites (i) e(ii). (a + b ) (S + R) a S + b R <ɛ Da covergêcia da série + a podemos afirmar que existe 0 N tal que se > 0 temos a S < ɛ c +. Logo, c a c S = c a S < ( c + ) a S < ɛ. ( Exemplo 4.6 Mostre que a série + Solução: Observe que a série + ( 5 ) ( ) ) coverge para 3. pode ser escrita como 5 + ( ). E l a é 3 uma série geométrica de razão 3 multiplicada pela costate 5. Como r = <, logo 3 a série coverge para: 5 3 = 5. ( ) De modo aálogo, a série + também é uma série geométrica, a qual a razão 3 r = 3 < coverge para 3. Pelo teorema 4.5, a série dada coverge para: 5 +3=. Teorema 4.7 Se a série + a coverge e + b diverge, etão: + (a +b ) e + c (b ) são divergetes, a meos que c seja 0.

49 49 48 Demostração: (a) Como + a coverge seja R sua soma. Supoha por cotradição, que a série + (a + b ) coverge para S, ou seja, + (a + b )=S. Assim, b = o que é uma cotradição, pois + b diverge. [(a + b ) a ]=S R, (b) Supoha, por absurdo, que + c b seja covergete, c 0. Logo, (c s ) + existe. Seja (c s )=M. Como s = c s, passado ao ite com +, temos + c que: s = + c M o que os leva a cocluir que + b é covergete, o que é uma cotradição. Exemplo 4.8 Mostre que a série é divergete. ( ) 5 + Solução: Note que a série geométrica + 5, de razão coverge, pois r <. No 5 etato, a série + diverge pelo critério do termo geral, pois =+. Etão pelo + ( ) teorema 4.7 segue que a série diverge. Observações 4.9 Cosidere as séries + e +, ambas divergetes. A primeira diverge pelo critério do termo geral e a seguda, por ser a série harmôica. Note que a soma diverge, pelo critério do termo geral. ( + )

50 50 49 Capítulo 4. Séries Ifiitas Observe que cada uma das séries + coverge, por se tratar da série ula. e é divergete. A série + De acordo com os ites acima, se + a e + b são duas séries que divergem, etão temos que aalisar com cuidado a série + (a + b ), pois essa pode ser covergete ou divergete Séries de Termos Positivos Com o objetivo de os prepararmos para provar o Teste da Comparação, euciaremos o seguite resultado auxiliar. Lema 4.0 Seja + a uma série de termos positivos, ou seja, a 0. Etão: (i) ou existe s R tal que (ii) ou s = s = s Demostração: Cosidere a sequêcia das somas parciais (s). Como a série é de termos positivos, temos as seguites relações: s = a ; s = a + a s;. s + = a + a + + a + a + = s + a +. Logo, s + s = a + 0 e temos s + s, para todo N. Portato, a sequêcia (s ) é crescete. Se (s ) for itada, pelo teorema da covergêcia moótoa, ela coverge e temos (i). Caso (s ) seja iitada, etão ela diverge, o que prova (ii). Teorema 4. Seja + a uma série de termos positivos. A série + a é covergete se, e somete se, sua sequêcia das somas parciais tiver um itate superior.

51 50 Demostração: Supoha que a série + a seja covergete. Etão existe o ite das somas parciais, ou seja, existe s = S. Daí, dado ɛ>0 arbitrário, existe 0 > 0 tal + que s S <ɛsempre que > 0. Assim, ɛ + S<s <S+ ɛ e a sequêcia das somas parciais é itada, logo tem um itate superior. Para provarmos a recíproca, devemos provar que se a sequêcia das somas parciais (s ) tem um itate superior, etão a série + a coverge. Supohamos, por cotradição, que a série ão seja covergete, ou seja, s =+. Etão a sequêcia das somas + parciais ão tem um itate superior, o que é uma cotradição. Teorema 4. (Teste da Comparação) Sejam + a e + b duas séries de termos positivos. (i) Se a b, para todo N e + b coverge, etão + a também coverge. (ii) Se a b, para todo N e + b diverge, etão + a também diverge. Demostração: (i) Sejam e S = a 0 + a + + a T = b 0 + b + + b. Por hipótese, a b, para todo N, etão S T. Como (T ) N é crescete e b coverge, existe M>0 tal que T M. Daí, 0 S T M. Note que (S ) N é uma sequêcia moótoa crescete e itada. S e, por defiição, a coverge. + (ii) Aálogo. Logo, existe Exemplo 4.3 Mostre que a série +! é covergete. 5

52 5 5 Capítulo 4. Séries Ifiitas Solução: Observe que! = 3 ( ) =. Assim,! e, como + coverge, por ser uma série geométrica a qual o módulo da razão é meor que, pelo teorema 4., etão a série +! coverge. O próximo resultado, embora euciado como teorema, trata-se de uma cosequêcia imediata do teste da comparação. Teorema 4.4 (Teste da comparação por ite) Sejam + a e + b séries de termos positivos e b 0, 0. (i) Se (ii) Se (iii) Se + a b = c>0, etão ou ambas as séries covergem ou ambas divergem. a =0e b coverge, etão + a coverge. + b a =+ e b diverge, etão + a diverge. + b Demostração: Segue imediatamete do teste da comparação. Exemplo 4.5 Determie se as séries abaixo covergem ou divergem: i) + ii) + l ; Solução: i) Cosidere a série + e, como a série +. Como + l = l =+ + diverge segue, do teorema 4.4, que l diverge.

53 53 5 ii) Cosidere a série Como: = + = = +3 e, como a série coverge segue, do teorema 4.4, que coverge. 4.5 Teste da Itegral Teorema 4.6 (Teste da Itegral) Seja f uma fução real cotíua, decrescete e com valores positivos para todo x e seja f() =a para todo iteiro. Etão: a série ifiita + a será covergete se a itegral imprópria f(x)dx for covergete. + a série ifiita + a será divergete se a itegrau imprópria f(x)dx for divergete. + Demostração: Daremos uma demostração geométrica desse resultado.

54 54 53 Capítulo 4. Séries Ifiitas Note que e também Daí, + f() + f() + + f() f() + + f(x)dx f(x)dx f() + f() + + f(). f(x)dx a + a + + a a + f(x)dx F a ç a +. Se + + f(x)dx s a + f(x)dx. f(x)dx coverge, etão (s ) também coverge, pelo teste da comparação e, portato, + a coverge, o que prova a codição ecessária.