MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO

2 LIMITES. Itrodução: Usamos a palavra ite o osso cotidiao para idicar, geericamete, um poto que pode ser evetualmete atigido mas que jamais pode ser ultrapassado. Eemplos: ) Ijetado iiterruptamete ar em um balão de borracha, haverá um mometo em que ele estoura. Isso porque eiste o ite de elasticidade da borracha. ) Um egeheiro ao costruir um elevador, estabelece o ite de carga que este suporta. ) No laçameto de um foguete, os cietistas devem cohecer o ite míimo de combustível ecessário para que a aeroave etre em órbita. ) Como os avaços a tecologia resultam a produção de calculadoras cada vez mais potetes e compactas, o preço das calculadoras atualmete o mercado dimiui. Supoha que meses a partir de agora, o preço de um certo modelo seja de P ( ) uidades moetárias (u. m.). a) Qual será o preço daqui a meses? Resposta: P() $. b) De quato cairá o preço durate o quito mês? Resposta: P() - P() - 6 $. c) Quado o preço será de $ u. m. Resposta: P() > Daqui a 9 meses. d) O que acotecerá com o preço a logo prazo ( )? Resposta: P() $ quado. ) Supõe-se que a população de uma certa comuidade suburbaa, daqui a t aos, será de 6 P( t) milhares de pessoas. t a) Daqui a 9 aos, qual será a população da comuidade? b) De quato a população crescerá durate o 9 ao? c) Ao logo desse tempo, o que acotecerá ao tamaho da população? Resposta: a) P(9) 9/ 9, milhares. b) P(9) P(8) 9/ - 8/ (/) milhares 67 habitates. c) A população aproimar-se-á de mil habitates. Nota: É importate ter em mete que o ite pode ser um poto que uca é atigido, mas do qual pode-se aproimar tato quato se desejar.

3 . Coceito ituitivo de ite: Eemplos: ) Iicialmete, vamos tomar a fução f: R R, defiida por y f() e determiar o valor de f(), quado os valores de, ecotram-se muito próimos de. Atribuido a uma seqüêcia de valores que se aproimam cada vez mais de, sedo todos valores meores que, é possível determiar os valores de f(), coforme ilustra o quadro a seguir: f() -, -,,8 -,,9 -,,99 -,,999 -,,9999 -,, ,, , Percebe-se que coforme os valores de aproimam-se de (dois), os valores de f() aproimam-se de (zero). Por outro lado, atribuido-se a uma seqüêcia de valores que se aproimam cada vez mais de, sedo todos maiores que, é possível determiar os valores de f(), coforme observa-se o seguite quadro: f(),,,,,,,,,,,,,,,, Novamete, os valores de f() aproimam-se de (zero), à medida que os valores de aproimam-se de (dois). Graficamete, temos: Neste caso, escrevemos em liguagem matemática: f ( ) f ( ) f ( ) Lê-se: Limites laterais de f() são iguais ao ite de f(), quado tede para e é igual a.

4 9 ) Tomemos a fução f ( ). Supoha que estejamos iteressados em saber de que valor se aproima f() quado se aproima de. Façamos uma tabela e atribuamos a valores meores que. X f(),,,8,8,9,9,99,99,999,999,9999, Vemos que quato mais se aproima de, mais o valor de f() se aproima de 6. Note que os aproimamos de por valores meores do que. Matematicamete, represetamos esta situação por: - f ( ) 6 Lê-se: ite de f() quado tede a três pela esquerda é igual a 6 (seis). Tomemos agora valores próimos de três, mas maiores que. f(), 6,, 6,, 6,, 6,, 6,, 6, Note que quato mais se aproima de por valores maiores do que, mais f() se aproima de 6. Matematicamete, represetamos esta situação por f ( ) 6 Lê-se: ite de f() quado tede a três pela direita é igual a 6 (seis). Estes ites, são chamados ites laterais. O ite de uma fução eiste se e somete se seus ites laterais eistem e tem o mesmo valor. Simbolicamete: a f ( ) L f ( ) a a f ( ) L Como os ites ateriores são iguais, podemos dizer que: f ( ) 6 pois, f ( ) 6 e f ( ) 6

5 Limites laterais: São obtidos quado cosidera-se os valores meores que (ite de f(), quado tede a pela esquerda) e quado cosidera-se os valores maiores que (ite de f(), quado tede a pela direita). Ates de formalizarmos o coceito, façamos mais um eemplo: Aalisar a fução f: R R, defiida por y f ( ), quado tede (aproima-se) para. Atribuido valores para, pode-se costruir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico, ressaltado que Dom ( f ) { R / } (Dom domíio, ou seja, valores que são possíveis de serem atribuídos a variável idepedete ). Graficamete, temos: y -,9999,9999 Não eiste,, Observe o gráfico, o que ocorre com as images das seqüêcias cujos valores se aproimam de. As images se aproimam de. Portato, este caso, escrevemos: f ( ) f ( ) f ( ) Perceba que o ite dessa fução para tededo a eiste, embora a fução ão esteja defiida o poto. De forma geérica, escrevemos: f ( ) a De acordo com os eemplos apresetados ateriormete, ota-se que a idéia de ite de uma fução f, quado tede para a, depede somete dos valores de f em valores próimos de a, o valor de f(a) é irrelevate. Nota: f ( ) L a f ( ) L a f ( L ), L R a

6 Eemplos: ) Seja f () - se > se > se < - se < ão eiste ite, pois f() f () ) O gráfico a seguir represeta uma fução f de [ 6, 9] em R. Determie: a) f () Solução: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) Não eiste o ite pedido, pois: f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f () f) f (7) f ( ) e) f ( ) f) f ( 7) Observe que - e 7 são as raízes (ou zeros) da fução f. ) Um gás (vapor d água) é matido à temperatura costate. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atija uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observado a figura a seguir, determie: a) V b) V c) V p p p 6

7 Solução: a) V,8 p b) V, p c) Não eiste o ite pedido, pois: V V Outros eemplos p p ) ( ) -, pois o domíio de f() é todos os Reais ( )( ) ) ( ), pois D(f ) R {} 8 ( ) 6), pois D(f ) R {, } 6 ( )( ) 9 ( 9)( ) ( 9)( ) 7) ( ) ( )( ) 9 ( 9) ( ) ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 9) 6 6 ( ) ( ) ( ) Propriedades Operatórias dos Limites A seguir itroduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos ites sem utilizar a pesquisa do úmero δ que aparece a defiição de ite. (P) Se f ( ) L a e f ( ) L a, etão L L. (Teorema da Uicidade do ite) (P) Sejam a e c úmeros reais quaisquer, etão c c isto é o ite de uma costate é a própria costate. a (P) Se a, b, m são úmeros reais, etão: ( m b) ma b Eemplo: ( ). 7 a (P) Se f ( ) L e g( ) M, a a etão: a) [ f ( ) g( )] L M a 7

8 b) [ f ( ) g( )] L M a f ( ) L c) desde que M a g( ) M d) [ f ( ) ] a L ( p/ iteiro positivo ) e) f ( ) L, desde que L > p/ par a f) l[ f ( ) ] l. L, desde que L > a g) cos [ f() ] a h) se [ f() ] a f ) i) e e a ( L cos ( L) se ( L) Eemplo: Determie o seguite ite: ( ) P P. Vemos este eemplo que o valor de f ( ) f ( a) a Isto a verdade ocorre para todos os poliômios. Euciado etão, formalmete, temos: Teorema I: Se f é uma fução poliomial, etão: f ( ) f ( a). Eemplos: a ) Calcule ( ), se ) Calcule f ( ) sedo., se > Solução: Se f ( ) 6. Por outro lado, > f ( ). Portato, ão eiste o ite. < Além deste, temos aida outros teoremas que os forecem resultados úteis para o cálculo de ites. Teorema II: Se f é uma fução racioal, e a pertece ao domíio, etão: q( ) q( a) a 8

9 Eemplos: ) Calcule 6 7 Solução: ) Calcular Solução: Eemplos: ) ( 8)... )... ) (a b c)... ap bp c, ( a,b, c R) ) p.... Limites Idetermiados Em algus casos ão é possível calcular o valor do ite por simples substituição. Ao adotar tal procedimeto os deparamos com resultados do tipo,, -,.,,, Eemplo: ) Calcular o ite abaio: Solução: Seja f() - e g() -. Etão: f() - - e g() - Assim, ao substituirmos direto teríamos uma idetermiação do tipo, logo esse procedimeto ão pode ser utilizado. No caso de idetermiações do tipo ou há vários métodos que podem ser aplicados de acordo com as fuções evolvidas. Futuramete, utilizado-se de derivadas apresetaremos um método prático para resolver esses casos, método este cohecido como regra de L Hospital. 9

10 . Limites o Ifiito. Itrodução: Cosideremos a fução f defiida por f ( ) e aalisemos, mediate uma tabela, o seu comportameto quado os valores de crescem iitadamete através de valores positivos. f ()...,,,,, Pela tabela costatamos que quado cresce iitadamete através de valores positivos, os valores da fução se aproimam cada vez mais de (zero). Simbolicamete, represetamos tal fato por: f ( ), que se lê: ite de f de, quado tede a mais ifiito, é igual a zero. Observação: Quado uma variável idepedete está crescedo iitadamete através de valores positivos, escrevemos:. Devemos efatizar que ão é um úmero real. O símbolo idica, portato, o comportameto da variável idepedete. Cosideremos agora, para a mesma fução, uma tabela ode os valores da variável decrescem iitadamete através de valores egativos f () , -, -, -, -, Observado a tabela aterior verificamos que à medida em que os valores de decrescem iitadamete através de valores egativos, os valores da fução se aproimam cada vez mais de (zero). Usado o simbolismo para idicar os valores de que estão decrescedo iitadamete, represetamos simbolicamete o fato acima por um f ( ), que se lê: ite de f de, quado tede a meos ifiito, é igual a zero. Pelo gráfico da fução f ( ) cujo esboço é idicado pela figura ao lado, otamos que quado cresce iitadamete através de valores positivos ( ), os valores da fução f () aproimam-se cada vez mais de (zero). E, portato, simbolicamete podemos escrever f ( ) ou. Aalogamete, observado o comportameto da fução através do seu gráfico (figura idicada acima), costatamos que quado decresce iitadamete através de valores egativos ( ), os valores da fução f () aproimam-se cada vez mais de (zero). Simbolicamete, escrevemos: f ( ) ou.

11 Eemplos: ) Observe o gráfico da fução f ( ) apresetado a Figura a seguir: Observado o gráfico e as tabelas, vemos que esta fução tede para o valor, quado tede para o ifiito. Isto é, y quado ±. Deotamos por ± ) A fução f ( ) tede para quado ± como podemos observar a Figura a seguir. Assim, podemos escrever: ±. Propriedades dos Limites o Ifiito... Limite de uma fução poliomial Cosideremos a fução poliomial P ( ) 6 7, podemos escrevê-la a seguite forma: Portato, Ora, é claro que: ± 6 7 P ( ) P( ) ( ) ± ± 6 7

12 Temos, etão: Assim, temos dois casos: 6 7 ± P( ) ± ( ± ) P( ) ( ) e P( ) ( ) Geeralizado, sedo P( ) a a... a a a, podemos sempre escrever: P( ) a ± ±... Limite de uma fução racioal P( ) Dada a fução racioal f ( ), ode P e Q são fuções poliomiais em com: Q( ) P( ) a a m m a... a a e Q( ) bm bm... b b b Sedo a e b. Tem-se etão que: m f ( ) ± P( ) a P( ) ± ± a a ± m m Q( ) Q( ) b m ± bm b ± m ± ± m Depededo do valor de e m, três casos podem ser cosiderados: o ) > m f ( ) ± ± o ) < m f ( ) o ) ± a m f ( ) ± b m Eemplos: 8 ) ) ) ± 8 ± 7 ± 7

13 ) Calcule Solução: Para calcularmos este ite, escrevemos ( >, umerador e o deomiador, sob o sial do radical, por. pois ) e etão dividimos o ) Calcule Solução: Multiplicado, umerador e deomiador, por, temos: ( ) ( ) ( ) Procededo de modo aálogo ao eemplo aterior, vem: ( ) 6. Limites Laterais Vimos que para determiar o ite de uma fução quado tede para a, devemos verificar o comportameto da fução para valores de muito próimos de a, maiores ou meores que a. O valor do qual f se aproima quado o valor de se aproima de a por valores meores do que a é deomiado ite à esquerda de f. Aalogamete, o valor do qual f se aproima quado tede para a através de valores maiores que a é o ite à direita de f. Estes ites, são chamados ites laterais. Limite à esquerda: f ( ), teremos < a logo a h, ode h > é muito pequeo. a Limite à direita: f (), teremos > a logo a h, ode h > é muito pequeo. a Quado temos o gráfico de uma fução ou temos esta fução defiida por várias seteças fica simples calcular os ites laterais.

14 Eemplos: ) Seja a fução defiida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: a) f ( ) b) f ( ) Solução: Observado o gráfico, podemos cocluir que: f ( ) e f ( ) Logo ão eiste o ite desta fução quado tede a. ) Seja a fução: ( a) ( b) (c) f ( ) f ( ) f ( ) Solução: Quado Quado, para < f ( ), para 9 -, para > sigifica > logo Calcule: 9 assim f ( ) sigifica < logo ( ) Como os ites laterais são iguais, cocluímos que f ( ). f assim Quado a fução ão está defiida por várias seteças, ou ão temos o gráfico da fução, teremos que usar um artifício que chamaremos de icremeto (h) para ecotrar os ites laterais. Isto é: Simplificado: Para calcular os ites laterais, basta fazer uma substituição: Quado f ( ) a Quado f ( ) a fazemos a h fazemos a h Ode h é positivo e muito pequeo. ) Calcule por mudaça de variáveis os ites laterais à esquerda e à direita respectivamete, das fuções abaio, os potos idicados: a) y em b) y c) y em em

15 7. Fuções cotíuas ou cotiuidade de fuções (Teto adaptado de: Devail Atoio Fracisco & Elaie Cristia Ferruzzi) 7. Itrodução: Sejam f e g fuções de gráficos: Observe que f e g se comportam de maeira diferete o poto p. Equato a fução g apreseta um salto a outra ão. Ao calcular o ite da fução f, observamos que o valor deste ite, quado tede para p é igual ao valor da fução quado é igual a p, isto é: f ( ) p f ( p) Por eemplo, se f ( ) e p, temos que: f ( ) ( p ) f () f ( p) As fuções que se comportam desta forma em um poto qualquer de seu domíio são ditas cotíuas esse poto. 7.. Defiição: Dizemos que uma fução f é cotíua em um poto p se forem verificados as três codições abaio: (i) f ( p) (ii) f ( ), isto é : f ( ) f ( ) p (iii) f ( ) f(p) p p p Observação: quado pelo meos uma das três codições ão forem verificadas dizemos que f é descotíua em p. Eemplos: ) Verifique se a fução f ( ) é cotíua em. Solução: Aalisaremos uma a uma as três codições: f ( ) f ( ) ( ) p f ( ) f () Portato, como f ( ) f () a fução é cotíua em.

16 ) Verifique se a fução f ( ) é cotíua em. Solução: Primeiramete, lembramos que:, se <, se A seguir, aalisaremos uma a uma as três codições: f ( ). Para verificar a eistêcia do ite, devemos calcular os ites laterais: f ( ) e f ( ) Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ). f ( ) f (). Portato, como f ( ) f () a fução é cotíua em., se < ) Verifique se a fução f ( ), se é cotíua em., se > Solução: Aalisaremos uma a uma as três codições: f ( ). Para verificar a eistêcia do ite, devemos calcular os ites laterais: f ( ) ( ) 9 8 e f ( ) ( ) Como f ( ) f ( ) ão eiste f ( ) e portato a fução dada ão é cotíua em., se ) Verifique se a fução f ( ) é cotíua em., se > Solução: Aalisaremos uma a uma as três codições: f ( ). Para verificar a eistêcia do ite, devemos calcular os ites laterais: f ( ) () e f ( ) ( ) 6 Como f ( ) f ( ) ão eiste f ( ) e portato a fução dada é descotíua em. Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos costatar que o mesmo tem um salto em. 6

17 ) A fução f ( ) ão é cotíua o poto, pois a fução dada ão é defiida o poto especificado. Graficamete, temos: 6) A fução g ( )., se g ( ) também ão é cotíua o poto, pois:, se Limites laterais: ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) Como g( ) g( ) g( ) e g( ). g( ) g() Portato, como ão foi satisfeita a terceira codição, a fução dada ão é cotíua o poto especificado, como cofirma o gráfico a seguir: 7

18 , se < 7) Verificar os possíveis potos de descotiuidade da fução f ( ), se. 9, se > Solução: Da defiição de f, os prováveis potos de descotiuidade são e. Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as codições de cotiuidade para o poto, assim: f (). Limites laterais: f ( ) ( ) Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ). f ( ) f () e f ( ) ( ) Logo, como f ( ) f () a fução é cotíua em. Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as codições de cotiuidade para o poto, assim: f () 6 9. Limites laterais: e f ( ) f ( ) ( ) 6 9 ( 9) Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ). f ( ) f () Logo, como f ( ) f () a fução é cotíua em. Portato, uma vez que os potos de provável descotiuidade, verificamos que a fução f é cotiua, cocluímos que f é cotíua para todo real, e vemos que seu gráfico ão tem qualquer tipo de salto ou iterrupção. 8

19 8. Limites de Fuções Trigoométricas (Teto adaptado de: Devail Atoio Fracisco & Elaie Cristia Ferruzzi) se Teorema: Limite Trigoométrico Fudametal: Uma demostração: No círculo trigoométrico (o raio é a uidade), seja π com < <. Na figura a seguir: AM ˆ, se PM e tg AT. Â M um arco de radiaos, Lembre-se: A Base Altura A Setor ( Raio) Arco Observe que o triâgulo oam está cotido o setor circular oam, o qual por sua vez está cotido o triâgulo oat. Assim, podemos afirmar que: área oam < área setor oam < área oat isto é: oa PM < ( oa) < oa AT Mas, oa Logo: PM < < AT ou, se < < tg Dividido termo a termo por se, temos: se se < se < tg < < se se cos Tomado os iversos e ivertedo a desigualdade, ficamos com: se se > > cos cos < < Sabemos que, quado, cos. se Etão, para tededo a zero, permaece etre E, portato: se cos e (c.q.d) 9

20 A seguir, costruímos um quadro para cofirmar o que acabamos de demostrar: (em radiaos) se f ( ) ±,,6 ±,,8 ±,,988 ±,,99 ±,,998 ±,, f() se Assim, quado (em radiaos), temos que: f(), ou seja,. Eemplos: ) Calcule. se Solução: se se se tg ) Calcule. Solução: se tg cos se se se cos cos se se u ). u u Nota: u, u ) sek se u *, k R. k u u Nota: u k, u cos se se se ). cos 6) Calcule. Solução: cos ( cos ) ( cos ) ( cos ) se ( cos ) ( cos ) ( cos se se cos se se 7) Calcule. se se Solução: se cos se se cos )

21 9. Limites de Fuções Epoeciais O Número e. (Teto adaptado de: Devail Atoio Fracisco & Elaie Cristia Ferruzzi) No estudo dos logaritmos (esio médio ou atigo segudo grau) já os referimos ao úmero e. Esse úmero é a base do sistema de logaritmos aturais ou eperiaos. O úmero e pode ser obtido por meio de uma sucessão otável (sucessão de Euler), cujo termo geral é: a Tomado algus valores aturais, para eemplificar, temos: a a, a, a, 88 a, a, a., a., a a.. e, ou seja:., , e assim por diate. Notamos que aumetado o valor de, ifiitamete, a tede ao valor aproimado de,788..., ou aida: Limite Epoecial Fudametal Teorema: e, e, Lembre-se: O úmero e é irracioal.

22 Dois ites podem ser obtidos como coseqüêcia do ite epoecial fudametal. Primeira Coseqüêcia: ( ) e De fato, fazedo u u, e observado que quado u, ficamos com: u ( ) e u u que é o próprio ite epoecial fudametal. e Seguda Coseqüêcia: Fazedo e u e u l( u ), e é evidete que quado, u. Daí, e u u l(u ) u u u l( u ) l( u ) u Eemplos: u l( u) u l u ( u) u le * ) Calcule ( ), R. k Solução: Podemos escrever: k k k k ( k) ( k) ( k) Fazedo k u, resulta que se u portato, ficamos com: k l ) Calcule. Solução: Façamos u u. Quado u, logo: u k ( k) ( u) e u l l( u ) l( u ) l( ) u u u u u u k u l u ( u ) u l e.

23 . Assítotas Horizotais e Verticais. Itrodução (Teto adaptado de: Elaie Cristia Ferruzzi & Devail Atoio Fracisco) Em aplicações práticas, ecotramos com muita freqüêcia gráficos que se aproimam de uma reta a medida que cresce ( ) ou decresce ( ). Veja as Figuras a seguir: Essas retas são chamadas assítotas. Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma fução se cohecermos as assítotas horizotais e verticais do gráfico, caso elas eistam.. Assítota Vertical Dizemos que a reta a é uma assítota vertical do gráfico de f, se pelo meos uma das afirmações seguites for verdadeira: ( i) f ( ) ( ii) f ( ) ( iii) f ( ) ( iv) f ( ) a. Assítota Horizotal a a a Dizemos que a reta y b e/ou yc é uma assítota horizotal do gráfico de f, se pelo meos uma das afirmações seguites for verdadeira: ( i) f ( ) b ( ii) f ( ) c Eemplos: a) Seja a fução f ( ). Ecotre a equação das assítotas horizotais e verticais, se elas eistirem. Solução: Primeiramete devemos observar o domíio da fução. Verificamos, facilmete que D( f ) R {}. Sedo assim, vamos calcular:. ( ) Para calcular o ite da fução quado tede a devemos calcular os ites laterais, assim: Para calcular (, fazemos h, com h, assim temos: ) ( ) h ( h ) h ( h) h h

24 Por outro lado, para calcular (, fazemos h, com h, assim temos: ) ( ) h ( h ) h h h h Desta forma, temos: f ( ) e f ( ) Logo, é uma Assítota Vertical da fução dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv). Agora, vamos determiar a assítota horizotal, se esta eistir. Para determiar a assítota horizotal, basta fazer: f ( ) e f ( ) Logo, y é a assítota horizotal. Obs: é possível que os ites acima teham resultados distitos, esse caso, teremos duas assítotas horizotais. O gráfico da fução em estudo está apresetado a figura a seguir: b) Cosidere a fução f ( ). Ecotre a equação das assítotas horizotais e/ou ( ) verticais, se elas eistirem. Solução: Primeiramete devemos observar o domíio da fução. Verificamos facilmete que D ( f ) R {}. Sedo assim, vamos calcular ) (. Para calcular o ite da fução quado tede a (dois) devemos calcular os ites laterais, assim:

25 Para calcular ), fazemos h, com h, vamos a: ( ( ) ( ) ( ) h h h h h h h h h Agora para calcular ) (, fazemos h, com h, vamos a: ( ) ( ) h h h h h h h Assim, temos: f ( ) e f ( ) Logo é uma Assítota Vertical da fução dada. Agora vamos ecotrar a assítota horizotal, se esta eistir: Para ecotrar a assítota horizotal, basta calcular ± ( ), ou seja: ± ( ) ± ± Logo, y é a assítota horizotal. O gráfico da fução em estudo está apresetado a figura a seguir: A lista de eercícios referete aos tópicos abordados esse material ecotra-se dispoibilizada em Referêcia: O presete material, o qual ão se ecotra a sua versão fial e que passará por uma revisão mais requitada, é uma adaptação da apostila elaborada pelo prof. Msc. José Doizetti de Lima. Agosto/