CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição;

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1 CÁLCULO I Prof Edilso Neri Júior Prof Adré Almeida Aula o 9: A Itegral de Riema Objetivos da Aula Deir a itegral de Riema; Exibir o cálculo de algumas itegrais utilizado a deição; Apresetar fuções que são deidas por itegrais, em particular a fução f(x) = l x O Problema da Área O Problema da Área foi apresetado a aula itrodutória do curso de cálculo, mas se faz ecessário relembrarmos de algumas ideias importates vistas esse tema Problema Como calcular a área da região limitada pela fução y =, o eixo x e as retas x = 0 e x = 5? A região cuja área queremos calcular é a seguite: Figura : Como podemos otar, a região é um retâgulo de base 5 e altura Logo, sua área é dada por Área = Base Altura = 5 = 0 uidades de área Problema Como calcular a área da região limitada pela fução y = x, o eixo x e as retas x = 0 e x =? A região cuja área queremos calcular é vista a gura abaixo:

2 Cálculo I Aula o 9 Figura : Como é fácil ver, a região é um triâgulo de base e altura, logo, sua área é calculada por: Área = Base Altura = = uidades de área Quado as regiões são as guras plaas cujas fórmulas de área são cohecidas, ca fácil determiar a suas medidas de área Cotudo, o próximo problema os esia um modo de determiar a área de regiões mais gerais, através da ferrameta matemática chamada INTEGRAL Problema Como medir a área A delimitada pelo gráco da fução f(x) = x, o eixo x e as retas x = 0 e x =? A região cuja área queremos calcular é a seguite: Figura : Vamos adotar a seguite estratégia para resolver este problema: Vamos dividir o itervalo [0, ] em subitervalos, cujo comprimeto será: Teremos, etão, os seguites subitervalos: x = 0 = [ 0, ] [,, ] [,, ] [ ] e, Vamos costruir quatro retâgulos de base x e altura igual a ao valor de f(x) as extremidades à esquerda dos subitervalos Calculamos a soma das quatro áreas destes retâgulos, coforme gura a seguir Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida

3 Cálculo I Aula o 9 Figura : Veja que: A = (0) = = 0, 875 Na gura vemos que a área é maior que 0,875: A > 0, 785 () Podemos repetir esse procedimeto com um úmero maior de retâgulos A gura 5 mostra o que acotece quado sob a região A costruímos oito retâgulos com a mesma largura Figura 5: Calculado a soma da área desses retâgulos, temos que A > 0, 775 Podemos obter estimativas melhores aumetado o úmero de retâgulos A tabela mostra os resultados de cálculos semelhates ao aterior, utilizado o Geogebra para calcular as áreas A 0 0, , , , , ,85 Tabela : Observe que, ao ivés de utilizarmos os retâgulos como a gura, poderíamos utilizar retâgulos maiores, como a gura 6: Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida

4 Cálculo I Aula o 9 Figura 6: Neste caso, os retâgulos possuem altura igual ao valor da fução as extremidades à direita dos subitervalos A soma da área é aproximadamete: A= = = 0, 6875 Na gura 6 vemos que a área é meor que 0,6875: A < 0, 6875 () Podemos repetir esse procedimeto com um úmero maior de retâgulos A gura 7 mostra o que acotece quado sob a região A costruímos oito retâgulos com a mesma largura Figura 7: A tabela mostra os resultados de cálculos semelhates ao aterior, utilizado o Geogebra para calcular as áreas A 0 0, , , , , ,85 Tabela : Dos valores da tabela, é razoável cojecturar que a área A, à medida que aumetamos, aproxima-se de A formalização desse processo é a costrução da itegral de Riema Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida

5 Cálculo I Aula o 9 Itegral de Riema Cosideremos uma fução ão egativa y = f(x) deida em um itervalo [a, b] Chamamos de uma partição do itervalo [a, b] ao cojuto de potos x 0, x,, x [a, b] tais que a gura abaixo ilustra essa deição a := x 0 < x < x < < x < x := b Figura 8: Agora, ote que os potos da partição dividem o itervalo [a, b] em subitervalos fechados como mostra a gura abaixo: I = [x 0, x ], I = [x, x ],, I = [x, x ], I = [x, x ] Figura 9: com os seus respectivos comprimetos x, x,, x dados por: x = x x 0, x = x x,, x i = x i x i,, x = x x Dessa forma, escolheremos em cada subitervalo um poto λ I, λ I,, λ I Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida 5

6 Cálculo I Aula o 9 e traçamos o valor de f(λ i ), para cada i =,,, assim como a gura seguite Figura 0: Dessa forma, costruiremos retâgulos cujas bases são o comprimeto x i de cada subitervalo e a altura é o valor de f(λ ), para todo i =,,,, como ilustrado abaixo: Figura : A soma da área desses retâgulos é dada por S = f(λ ) x + f(λ ) x + + f(λ ) x = f(λ i ) x i i= A soma S é chamada Soma de Riema, para cada, e é apeas uma aproximação para a área da região que queremos Logo, fazedo +, estaremos subdividido o itervalo [a, b] cada vez mais e como mostrado ateriormete coseguimos uma aproximação melhor para a área da região desejada Logo, a área A que queremos calcular é dada por A = lim A = + lim + f(λ i ) x i () i= Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida 6

7 Cálculo I Aula o 9 O úmero A é o limite das somas de Riema e é chamado itegral de Riema da fução f sobre o itervalo [a, b] Em ossos cálculos, esse limite será represetado pelo símbolo: A = b a f(x) dx = lim + f(λ i ) x i Se o limite à direita existir para todo x [a, b], e idepedete da escolha de λ,, λ, dizemos que a fução f é itegrável em [a, b] Essa deição os propõe um problema: o de saber quado o limite das somas de Riema existe Como essa é uma questão delicada e foge do objetivo de um curso de cálculo, euciaremos e utilizaremos o seguite resultado: Teorema Toda fução cotíua em um itervalo fechado [a, b] é itegrável este itervalo Nos seguites exemplos, ode buscamos apeas exemplicar, com algus cálculos, a itegral de fuções cotíuas em um itervalo [a, b] utilizado a deição, admitiremos que os comprimetos dos subitervalos são xos, ou seja, x = x = = x = x = b a e escolheremos o poto λ i como sedo o extremo esquerdo da partição Desse modo, podemos sitetizar o procedimeto para calcular a itegral de uma fução cotíua f, ão egativa, em um itervalo [a, b], da seguite forma: () Dividi-se o itervalo [a, b] em subitervalos I i,i =,,, todos de comprimeto igual a x = b a Sejam a = x 0 < x < x < < x < x = b, os potos que dividem o itervalo () Em cada um destes subitervalos escolhemos um poto λ i como sedo o extremo esquerdo de cada subitervalo I i () Formamos etão retâgulos com base x e altura f(λ i ), i =,,,, () Calculamos a soma S das áreas dos retâgulos: i= S = f(λ ) x + f(λ ) x + + f(λ ) x = f(λ i ) x i= (5) Calculamos o limite lim + S Ates de fazermos os exemplos, vamos listar algumas propriedades que evolvem somatórios: Proposição Sejam c, x,, x, y,, y R Etão, valem as seguites propriedades: (i) (ii) cx i = c i= i= x i (x i + y i ) = x i + i= i= i= y i Demostração (a) De fato, ote que cx i = cx + cx + + cx + cx i= = c (x + x + + x + x ) ( = c i= x i ) Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida 7

8 Cálculo I Aula o 9 (b) Observe que (x i + y i ) = (x + y ) + (x + y ) + + (x + y ) + (x + y ) i= = (x + x + + x + x ) + (y + y + + y + y ) ( ( = i= x i ) + i= y i ) Nos próximos exemplos também utilizaremos algumas fórmulas que serão apeas apresetadas, pois suas demostrações fogem do objetivo do osso curso Elas são i = i= i = i= i = i= ( + ) () ( + )( + ) (5) 6 [ ] ( + ) (6) Vejamos algus exemplos de cálculo de itegral pela deição 7 Exemplo Calcule c dx, em que c R Solução: Primeiramete, calculamos a soma de Riema da fução o itervalo descrito, que é dada por ( ) 7 f(λ i ) = i= ( ) c = c i= i= Agora ote que Etão, i= = } + + {{ + + } = vezes ( ) 7 f(λ i ) i= = c = c Portato, 7 c dx = lim c = c + Exemplo Calcule Solução: x dx Primeiramete, dividiremos o itervalo [, ] em subitervalos de comprimetos iguais, ou seja, x = Logo, temos que x 0 =, x = + x, x = + x,, x = + ( ) x x = Logo, como λ i = x i, i =,,, temos que λ =, λ = +,, λ = + ( ) Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida 8

9 Cálculo I Aula o 9 Logo, as somas de Riema são dadas por f(λ i ) x = λ i i= i= = λ i i= ( ) Logo, Pela fórmula (), temos que Logo, temos que = ( ) = ( ( ) ) = + ( ( ) ) = + ( ( )) = ( + ) = ( ) = + = i= = ( ) f(λ i ) x = + ( ( )) = + ( ) ( ) = + Calculado o limite da soma de Riema, temos que Exemplo Calcule Solução: ( ) lim x dx = lim + + = + lim + lim + ( ) = + = Utilizado o procedimeto prático, dividimos o itervalo [0, ] em subitervalos de comprimeto Note que essa partição é dada por: x = 0 x 0 = 0, = x = 0 + x = x, x = 0 + x = x x i = i x x = ( ) x x = Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida 9

10 Cálculo I Aula o 9 Como λ i = x i, temos que λ = 0 λ = x λ = x λ i = (i ) x λ = ( ) x Desse modo, as somas de Riema são dadas por S = f(λ i ) x i= = x f(λ i ) i= = x ( 0 + ( x) + ( x) + ( x) + + ( ) ( x) ) = ( x) ( ( ) ) Agora, ote que pela fórmula (5), temos que ( ) + = ( + )( + ) 6 = Logo, ( ) = = + 6 = + 6 Desse modo, temos que Logo, S = ( x) + 6 = + 6 lim S + = lim = lim ( + ) + 6 = 6 = Fuções dadas por Itegral - O Logaritmo Natural Nessa seção, buscamos trabalhar a ideia de fuções que são dadas por uma itegral, em particular, a fução logarítmica que apresetada o iício do curso Deição A fução logaritmo atural é a fução deida por x l x = t dt x > 0 Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida 0

11 Cálculo I Aula o 9 A existêcia dessa fução depede do fato de a itegral de uma fução cotíua sempre existir Se x >, etão l x pode ser iterpretada geometricamete como a área sobre a hipérbole y = t = x Observe: de t = a t Figura : Exemplo (a) Comparado áreas, mostre que < l < (b) Use a regra do poto médio com = 0 para estimar o valor de l de a Na gura, vemos t que esta área é maior que a área do retâgulo BCDE e meor que a área do trapézio ABCD Solução: (a) Podemos iterpretar l como a área sobre a curva y = Figura : Assim, temos: + < l < < l < (b) A regra do poto médio determia uma aproximação para o cálculo de uma itegral Ela estabelece que os valores de λi o processo descrito a seção aterior são os potos médios dos subitervalos Ii Se t usarmos a Regra do Poto Médio com f (t) =, com = 0 e t = 0,, obtemos Z dt (0, )[f (, 05) + f (, 5) + + f (, 95)] t = (0, ) , 69, 05, 5, 95 l = Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida

12 Cálculo I Aula o 9 Resumo Faça um resumo dos pricipais resultados vistos esta aula Aprofudado o coteúdo Leia mais sobre o coteúdo desta aula a seção 5 do livro texto Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da seção 5 do livro texto Prof Edilso Neri Prof Adré Almeida