Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição

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1 TLF /11 Capítulo VI Histogramas e curvas de distribuição 6.1. Distribuições e histogramas Distribuição limite Sigificado da distribuição limite: frequêcia esperada e probabilidade de um resultado Valor médio e desvio padrão de uma distribuição limite 66 Departameto de Física da FCTUC 59

2 TLF /11 Histogramas e curvas de distribuição 6.1. Distribuições e Histogramas. Uma aálise estatística séria requer, em geral, um úmero apreciável de dados. Quado esse úmero é sigificativo, um modo vatajoso de os apresetar cosiste a costrução de um histograma (ou gráfico de barras). Vejamos um eemplo. uma dada eperiêcia, tedo reduzido a um ível desprezável os erros sistemáticos, medimos um comprimeto várias vezes e obtemos os resultados que se apresetam a tabela 6.1. Tabela 6.1 i resultados de = medidas do comprimeto i (cm) Estes mesmos resultados podem ser orgaizados de acordo com o úmero de vezes que cada resultado acotece, torado a avaliação dos dados mais imediata (Tabela 6.): Tabela 6. resultados do comprimeto ; º de vezes que se obteve o resultado (cm) Tedo em cota esta ova forma de orgaizar os resultados, o seu valor médio pode ser reescrito utilizado os e : i i = =. (6.1) A ova fórmula da média é desigada por média pesada, visto que cada valor é pesado pelo º de vezes que acotece, : ( 4 3) + ( 5 ) + (.6 3) =. ote que = ode é o úmero total de medidas. O º de vezes,, que um dado resultado foi obtido pode ser apresetado como uma fracção do º total de medidas. Este ovo parâmetro é desigado por frequêcia de e defie-se, portato, como: F =, (6.) Departameto de Física da FCTUC 6

3 TLF /11 Em termos de F, a média pode agora reescrever-se como: = F, (6.3) sedo, portato, a soma de todos os diferetes valores, cada um pesado pela sua frequêcia F. O resultado = e a defiição F = implicam que F = 1. (6.4) A codição acima é uma codição de ormalização e a série dos F diz-se ormalizada. A tabela 6.3 completa a tabela 6. com os ovos dados. Tabela 6.3 resultados do comprimeto ; º de vezes que se obteve o resultado ; F frequêcia de cada (cm) = F F As frequêcias F especificam a distribuição de resultados, uma vez que descrevem a forma como as medidas estão distribuídas pelos diferetes valores possíveis. Uma distribuição de resultados pode ser apresetada graficamete um histograma ou gráfico de barras. A figura 6.1 mostra o histograma correspodete aos resultados das medidas do comprimeto (Tabela 6.3).,3 =,5, F,15,,5, (cm) Figura 6.1 Histograma da distribuição de frequêcias do comprimeto. Departameto de Física da FCTUC 61

4 TLF /11 o histograma da figura 6.1, como os valores são iteiros discretos, as frequêcias são represetadas pela altura das lihas em cada poto da abcissa. a verdade, este gráfico seria idêtico (a meos de um factor de escala) ao gráfico que se obteria se a ordeada fossem itroduzidos directamete os valores dos e ão dos F. Cotudo, este caso o gráfico ão estaria ormalizado, o que seria uma desvatagem, como veremos mais tarde. Muitas medidas de gradezas físicas apresetam um itervalo cotíuo de valores (e ão discreto, como o eemplo aterior). Supohamos que se realizam 5 medidas de tempo com um croómetro, a fim de se determiar o tempo de queda de um corpo. Os valores obtidos estão etre.91 s e 1.6 s. Com resultados deste tipo, o melhor procedimeto é dividir o itervalo total de valores obtidos um º coveiete de pequeos itervalos iguais. Para tal procede-se da seguite forma geral (que ilustraremos com o eemplo da medida dos tempos): i) Detecta-se o meor valor (de tempo) medido: (.91 s) ii) Detecta-se o maior valor (de tempo) medido: (1.6 s) iii) Calcula-se a difereça etre os dois valores ateriores: ( =.15s) iv) Divide-se esse itervalo total um º coveiete de itervalos iguais: (tomado 5 itervalos iguais, cada itervalo terá uma largura de.3 s). v) Calculam-se os valores etremos desses itervalos (repare os etremos abertos e fechados): (Δ 1 = [.91,.94[ s Δ = [.94,.97[ s Δ 3 = [.97,1.[ s Δ 4 = [1.,1.3[ s Δ 5 = [1.3,1.6] s.) vi) Cota-se o úmero de valores medidos (do tempo) que caiem em cada um dos itervalos escolhidos: (Tabela 6.4). vii) Fialmete represetam-se os resultados através de um histograma ou gráfico de barras: (Figura 6.). Tabela 6.4 Δ itervalos de valores, com largura.3 s; º de vezes que se obteve um tempo detro do itervalo Δ ; F frequêcia de cada Δ = F Δ (s) [.91,.94[ [.94,.97[ [.97,1.[ [1.,1.3[ [1.3,1.6] F f (s -1 ) este tipo de histograma, a frequêcia de cada itervalo Δ cotiua a ser dada pela razão, mas correspode à área de cada colua, ou seja, F = = f Δ. (6.5) Departameto de Física da FCTUC 6

5 TLF /11 f é a gradeza que surge a ordeada do gráfico e vê-se a partir da equação 6.5 que correspode a f =. Δ = f (s -1 ) 8 6 4,91,94,97 1, 1,3 1,6 Δ κ (s) Figura 6. Histograma da distribuição de frequêcias do tempo de queda de um corpo. Uma ota fial sobre a costrução de histogramas: Se os itervalos são demasiado largos, muitas medidas caem o mesmo itervalo e o histograma acaba por ser um cojuto de rectâgulos sem iteresse. Se os itervalos são demasiado estreitos, vários deles coterão apeas um úico resultado e o histograma resultate será costituído por um cojuto umeroso de rectâgulos estreitos quase todos com a mesma altura. A largura do itervalo deve ser, portato, escolhida de forma a que várias leituras caiam detro de cada itervalo. 6.. Distribuições Limite Em muitas eperiêcias, à medida que o º de medidas da gradeza em causa aumeta, a distribuição das medidas pelos diferetes valores possíveis começa a tomar uma forma simples e defiida. Com a ajuda da figura 6.3 podemos ver o que acotece ao histograma da eperiêcia da medida do tempo quado aumetamos o úmero total de medidas de 5 para 5 e depois para 5. À medida que aumeta, é possível dimiuir a largura dos itervalos Δ e, como se pode verificar, a difereça etre as alturas das coluas vai-se torado meos abrupta e mais regular. A partir do histograma c) podemos atecipar que, se o úmero de medidas cotiuasse a crescer, o padrão do histograma se aproimaria cada vez mais da curva cotíua e simétrica sobreposta. Este comportameto traduz uma importate propriedade de muitas gradezas físicas: à medida que o º de medidas aumeta, a distribuição de frequêcias aproima-se de uma curva cotíua bem defiida. A curva evolvete que seria obtida para um º ifiito de medidas é cohecida por Distribuição Limite. Trata-se, obviamete, de uma costrução teórica, uma vez que uca pode ser verdadeiramete testada eperimetalmete. Só um º ifiito de medidas e itervalos de medida ifiitesimais poderiam gerar a distribuição limite. Cotudo, temos boas razões para crer que a medida eperimetal de muitas gradezas físicas está Departameto de Física da FCTUC 63

6 TLF /11 associada a uma distribuição limite, da qual o histograma se aproima tato mais quato mais medidas forem realizadas = 5 1 = 5 f K (s -1 ) f K (s -1 ) 6 6 4,91,94,97 1, 1,3 1,6 Δ Κ (s) 4,91,95,99 1,3 1,7 Δ Κ (s) a) b) = 5 8 f K (s -1 ) 6 4,91,94,97 1, 1,3 1,6 Δ Κ (s) c) Figura 6.3 Variação da distribuição de frequêcias do tempo de queda de um corpo com o aumeto do º de medidas: a) = 5; b) = 5; c) = Sigificado da distribuição limite: frequêcia esperada e probabilidade de um resultado Desigemos por f() a fução que represeta a distribuição limite associada à gradeza. O sigificado dessa fução será compreedido com a ajuda da figura 6.4. Figura 6.4 Distribuição limite da gradeza : (a) itervalo de largura d; (b) itervalo de largura [a, b]. Como vimos ateriormete, um histograma a área de cada colua é dada pelo produto f Δ e essa área correspode à frequêcia das medidas que caem o itervalo Δ. Com a fução cotíua f(), vamos cosiderar um itervalo ifiitesimal de largura d, ou seja compreedido etre e +d. A frequêcia das medidas que caem esse itervalo Departameto de Física da FCTUC 64

7 TLF /11 ifiitesimal é igual à área f()d sombreada a figura 6.4-a). Ou seja, f ( ) d dá-os a fracção de medidas (frequêcia) que cai o itervalo [, +d]. Etão, geeralizado, a frequêcia das medidas que caem etre dois valores a e b da gradeza é dada pela área do gráfico defiida pela fução f() e compreedida etre = a e = b (área sombreada da figura 6.4-b)). Ora essa área correspode ao itegral de f() etre a e b, como sabemos. Temos assim o importate resultado: b f ( ) d = frequêcia esperada das medidas que caem etre = a e = b. a Usamos o termos frequêcia esperada para lembrar que se trata da frequêcia que esperaríamos obter se realizássemos um º ifiito de medidas! Por outro lado, f ( ) d é também uma forma de avaliar a probabilidade de uma qualquer medida dar um valor que perteça ao itervalo etre e +d. Etão, b f ( ) d a correspode à probabilidade de uma qualquer medida dar um resultado que caia o itervalo etre = a e = b. Podemos assim cocluir que, se fosse cohecida a distribuição limite f() associada à medida de uma certa quatidade, etão também seria cohecida a probabilidade de se obter um qualquer resultado um qualquer itervalo a b. Como a probabilidade total de se obter um valor qualquer etre e + deve ser 1, a distribuição limite f() tem que satisfazer a codição de ormalização: + f ( ) d =1, (6.6) ou seja, f() 1 diz-se ormalizada. 5 Boa precisão f() (s -1 ) 15 5 Baia precisão,91,96 1,1 1,6 1,11 1,16 Figura 6.5 Duas distribuições limite ormalizadas, correspodetes a duas eperiêcias diferetes da medida da mesma gradeza física, permitem comparar a precisão com que foram realizadas as medições os dois casos. t (s) f ( ) d =1 1 Em + valores medidos uma dada eperiêcia (e ão porque se obterão valores desde + até )., os limites ± são usados por descohecermos o itervalo real em que se situarão os Departameto de Física da FCTUC 65

8 TLF /11 A vatagem das distribuições limite serem ormalizadas é que podemos comparar resultados da mesma gradeza física realizadas, por eemplo, com sistemas eperimetais diferetes. A figura 6.5 mostra duas fuções limite resultates de medidas da mesma gradeza. Ambas apresetam o mesmo valor médio, = 1, 6s. Cotudo, o facto de ambas cobrirem a mesma área (porque as duas fuções estão ormalizadas) permite-os cocluir que uma das eperiêcias foi eecutada com razoável precisão (os valores obtidos estarão perto do melhor valor), dado origem a uma curva mais estreita e alta, equato que as medidas da outra eperiêcia foram realizadas com baia precisão. este caso, como a respectiva distribuição limite é larga e achatada, isso sigifica que os valores ecotrados apresetam elevada dispersão Valor médio e desvio padrão de uma distribuição limite Uma vez que a distribuição limite f() das medidas de uma certa quatidade descreve como é que os resultados estariam distribuídos depois de um º ifiito de medidas, etão, se f() fosse cohecida à partida, poderíamos determiar o valor médio que ecotraríamos ao fim de muitas medidas. Vimos que a média de qualquer º de medidas de uma mesma quatidade pode ser avaliada por: = F ode F é a frequêcia de. a distribuição limite f() podemos dividir todo o itervalo de valores em pequeos itervalos d, que vão de a +d. A frequêcia de valores em cada itervalo pode escrever-se como ( ) d F = f. (6.7) o limite, quado todos os itervalos tederem para o itervalo ifiitesimal d, obtemos, etão: + ( ) = f d, (6.8) que correspode ao valor esperado para a média da gradeza se se realizasse um º ifiito de medidas. Quato à variâcia (e, portato, ao desvio padrão), partido da defiição para um º total de medidas, 1 = ( i ), 1 i= 1 substituido os diferetes i por e atededo a que o limite de um º ifiito de medidas perde sigificado a difereça etre e -1, vem, seguido cosiderações semelhates às utilizadas para obter a equação 6.8: = ( ) = F ( ) = ( ) f ( ) d = + ( ) f ( )d, (6.9) que correspode ao valor esperado para a variâcia ) se se realizasse um º ifiito de medidas. (e, a partir dele, para o desvio padrão Departameto de Física da FCTUC 66