DERIVADAS DE FUNÇÕES11

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1 DERIVADAS DE FUNÇÕES11 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 11.1 O cálculo diferecial 11. Difereças 11.3 Taxa de variação média 11.4 Taxa de variação istatâea e potual 11.5 Primeiros exemplos Fução poliomial geral de grau Fução poliomial geral de grau Fução poliomial de grau Vazão 11.6 Iterpretação geométrica da derivada 11.7 Derivadas de ordem superior Liceciatura em Ciêcias USP/ Uivesp

2 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo O cálculo diferecial De modo geral, gradezas físicas variam (por se costituírem em variáveis depedetes) ao sabor da variação de outras das quais elas depedem (as variáveis idepedetes). O Cálculo ifiitesimal é uma área da Matemática voltada para lidar com aspectos relativos a variações de gradezas decorretes de variações dimiutas de outras. A base do Cálculo ifiitesimal é costituída a partir de cosiderações sobre variações muito pequeas (variações ifiitesimais, portato) das variáveis idepedetes. Tais variações acarretam variações das gradezas (variações das fuções) que delas depedem. A oção de ifiitésimo ou variação ifiitesimal de uma gradeza foi itroduzida por Arquimedes cerca de 50 aos ates da era cristã. O Cálculo diferecial se baseia o quociete das variações para defiir a derivada de uma fução. Esse quociete recebe o ome de taxa de variação média da fução um determiado itervalo. No cálculo itegral, cosideram-se somas as quais cada parcela é um produto do valor de uma fução pela variação ifiitesimal da variável idepedete. Tato o Cálculo diferecial quato o Cálculo itegral, o coceito de limite é empregado como uma forma de assegurar que as variações ifiitesimais das duas gradezas sejam irrisoriamete pequeas, tão pequeas quato possam ser. É esse setido que tomamos o limite em que a variação da variável idepedete tede a zero. A defiição de derivada a partir do coceito de limite foi itroduzida por Cauchy, e permite um tratameto formal e rigoroso desse coceito. Tais desdobrametos acabam covergido para a aálise matemática. Tedo em vista que uma das primeiras aplicações do Cálculo é a de ecotrar a reta tagete a uma curva, que é o gráfico de uma fução, passado por um determiado poto (e essa é a iterpretação geométrica da derivada de uma fução), a origem do cálculo diferecial remota aos tempos dos geômetras gregos. Algus coceitos básicos do Cálculo são cohecidos e estudados há mais de dois milêios. Esse é o caso do problema da tagete a uma curva, o qual foi aalisado primeiramete por geômetras gregos, com destaque para Euclides. A versão modera do Cálculo se iiciou quado Isaac Newto ( ) procurou um ovo método matemático para aalisar as cosequêcias das suas leis da diâmica. Deu a ele o ome de cálculo dos fluxos (ou flúxos). No etato, as primeiras publicações essa fase do desevolvimeto iicial são devidas a Gottfried Leibiz ( ). Fudametos de Matemática I

3 48 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 A otação atualmete utilizada o Cálculo possui muitas características que foram itroduzidas por Leibiz. O Cálculo é fudametal para expressar e eteder as leis físicas. Mas ele também é útil em todas as áreas do cohecimeto. Como veremos, a taxa de variação de uma gradeza f com respeito a x, salvo raras exceções, depede da variável x. Essa ova fução, obtida da fução dita primitiva (a fução f ), é deomiada fução derivada de f, e ela será represetada pela fução g(x). Utilizado a otação de Leibiz, escrevemos essa ova fução como: df ( x) df gx ( ) = ou gx ( ) = ( x) 11.1 O Cálculo provê um método para a determiação da taxa de variação de uma fução. Ele é baseado o coceito de difereças da variável depedete e da variável idepedete (daí o ome) e de cosiderações a respeito do limite do quociete das mesmas. 11. Difereças Podemos visualizar o comportameto de uma fução costruido o seu gráfico. Para tato, como explicado o texto sobre Limites, colocamos os valores assumidos pela variável idepedete, x, o eixo horizotal (o eixo das abscissas) equato aotamos os valores da variável depedete o eixo vertical (o eixo das ordeadas). Uma vez que os gráficos forecem importates iformações sobre as fuções, suas derivadas e itegrais, sua utilização é ampla o Cálculo. Cosideremos dois potos P 1 e P sobre um gráfico. Tais potos têm coordeadas dadas por: ( x, y ) = ( x, f( x )) e ( x, y ) = ( x, f( x )) 11. Cosiderado os potos acima, podemos itroduzir duas difereças. A primeira delas é a difereça das abscissas, difereça essa que escrevemos sob a forma: x= x x Derivadas de fuções

4 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 49 A seguda difereça relevate é a difereça etre os valores assumidos pela fução, quado calculada para cada um dos dois valores de x, isto é, a difereça das ordeadas. Assim, quado uma gradeza (variável depedete) é fução de uma outra, aqui desigada por x (variável idepedete), etão uma variação desta última gradeza a partir de um valor iicial x 1, desigada por x, acarreta uma variação da variável depedete. Tal difereça é represetada por f. Por defiição, temos que: f = f( x + x) f( x ) O gráfico da Figura 11.1 ilustra essas difereças: Figura 11.1: Uma variação Δx da variável idepedete acarreta uma variação Δf da variável depedete Taxa de variação média Ao quociete etre a variação da variável depedete e a variação da variável idepedete, isto é, o comprimeto do tamaho do itervalo associado a ela, f = f( x1+ x) f( x1) x x 11.5 damos o ome de razão média das variações ou taxa de variação média da fução cosiderada, o itervalo dado. Tal taxa depede da variação Δx cosiderada, bem como do particular poto Fudametos de Matemática I

5 50 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 iicial x 1. Assim, a taxa de variação média de uma fução, um itervalo [x 1, x 1 + x] cotido em seu domíio, é o quociete defiido acima. A taxa de variação média tem um sigificado geométrico muito simples. De fato, como podemos ver a Figura 11.1, ela ada mais é do que o coeficiete agular da reta que passa pelos potos (x 1, f (x 1 )) e (x 1 + x, f (x 1 + x)). Uma vez que, por hipótese, esses dois potos pertecem ao gráfico da fução, essa reta é a reta secate ao gráfico por esses potos. Figura 11.: Diferetes valores do comprimeto do itervalo levam a diferetes taxas de variação média Taxa de variação istatâea e potual É fácil determiar a taxa de variação média de uma dada fução, uma vez que ela evolve apeas o cálculo da fução para dois valores distitos da variável idepedete x, ou seja, ela é defiida, e portato determiada, para um comprimeto Δx do itervalo. Podemos sempre reduzir o comprimeto do itervalo, cosiderado valores da variável idepedete cada vez mais próximos, ou seja, valores cada vez meores de Δx. Em particular, podemos pesar em valores muito pequeos (a despeito de ão termos aida uma clareza sobre o que isso sigifica). A tais valores dimiutos damos o ome de valores ifiitesimais. Comprimetos de itervalos ifiitesimais são deotados por. O osso iteresse é determiar a taxa de variação istatâea (quado a variável idepedete for o tempo), ou a taxa de variação potual (os demais casos), de uma fução f. Tal taxa é deomiada simplesmete taxa de variação de f o poto x 0. Ela é defiida como aquela que é obtida a partir de itervalos da variável x cada vez meores. Mais precisamete, estamos iteressados em obter o valor da taxa que resulta quado cosideramos o limite em que o comprimeto Δx do itervalo tede a zero. Esse limite defie a taxa de variação de f o poto x Derivadas de fuções

6 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 51 Figura 11.3: Coforme x se aproxima de zero, o poto (x 0 + x, f (x 0 + x)) se aproxima do poto (x 0, f (x 0 )), e a reta cotiua secate ao gráfico, sedo determiada por dois potos cada vez mais próximos. Na posição limite, quado x 0, temos a reta tagete ao gráfico da fução o poto (x 0, f (x 0 )). Para calcular a taxa de variação potual de f o poto x 0 pertecete ao domíio da fução, cosideramos tato os acréscimos positivos ( x > 0) quato os egativos ( x < 0), de tal modo que o itervalo aberto ]x 0, x 0 + x[, se x > 0, ou ]x 0 + x, x 0 [, se x < 0, esteja iteiramete cotido o domíio da fução. Assim, fica subetedido que, ao calcularmos o limite quado x 0, estamos fazedo x se aproximar de 0 tato por valores positivos como egativos. Se o limite assim defiido existe e é fiito, ele defie a derivada da fução em um poto do domíio de f. Escrevemos, assim, que a derivada é a fução resultate desse processo limite, ou seja: df x f x x f x ( ) lim ( + ) = ( ) x 0 x 11.6 Chamamos a ateção para o fato de que ambas as difereças do quociete tedem a zero quado x 0. O resultado do quociete, o etato, tede a um valor bem defiido quado existe a derivada da fução o poto. Figura 11.4: A derivada de uma fução um determiado poto de seu domíio é o coeficiete agular da reta tagete ao gráfico da fução que passa por esse poto. Fudametos de Matemática I

7 5 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 Tedo em vista 11.6, podemos, de modo equivalete, escrever: df x f x f x ( ) lim ( ) ( ) 0 0 = x x0 x x pois x 0 equivale a x x 0, sedo x = x 0 + x. Se a fução f (x) admite a derivada em um poto, dizemos que ela é derivável esse poto. Se, por outro lado, a fução f (x) admite a derivada em todos os potos de um itervalo, dizemos que a fução é derivável esse itervalo. Observamos que estamos sempre os referido a um itervalo aberto. Isso se impõe uma vez que, uma extremidade de um itervalo fechado, ão temos como calcular o limite, o qual pressupõe que o acréscimo x teda a zero pelos dois lados: tato pela esquerda quato pela direita. Pode-se obter, a partir da fução derivada, o icremeto da fução quado o icremeto a variável x for ifiitesimal. De 11.7, resulta que: df = gx ( ) 11.8 ode g(x), de 11.1, é a fução derivada da fução f (x) Primeiros exemplos Fução poliomial geral de grau 1 Escrevemos a fução poliomial de primeiro grau mais geral possível sob a forma: f( x)= ax 1 + a ode a 1 e a 0 são dois parâmetros costates que caracterizam a variável depedete. A partir de 11.9, temos f( x+ x) = a x+ a x+ a Derivadas de fuções

8 e, portato, sua taxa de variação média é costate: f x = Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 a Tomado agora o limite da expressão acima, limite defiido em 11.6, coclui-se que: df = a Assim, a fução derivada é, esse caso, uma fução costate. A derivada da fução costate, por outro lado, é obtida de 11.9, adotado-se o valor de a 1 = 0. Como se pode verificar facilmete, a fução costate tem derivada ula Fução poliomial geral de grau Escrevemos a fução poliomial de segudo grau a forma mais geral possível: f( x)= ax + ax+ a ode a 0, a 1 e a são coeficietes que caracterizam a depedêcia da variável depedete. De temos: f( x+ x) = a ( x+ x) + a ( x+ x) + a Cosequetemete, de 11.5, verificamos que, para um valor do comprimeto do itervalo Δx arbitrário, obtemos o seguite valor para o quociete etre as variações: f = a x x + ax + a Resulta daí que a derivada de fução quadrática é dada por: df = ax+ a Fudametos de Matemática I

9 54 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Fução poliomial de grau Cosideremos agora o caso de um poliômio de grau da forma P ( x)= ax Para determiar a sua derivada, fazemos uso do Teorema Biomial de Newto, obtedo: P ( x+ x) = a ( x+ x) = a ( x + x 1 x+ + ( x)) Assim, utilizado a expressão e a defiição de derivada, obtemos: dp ( x ) = a. x Para um poliômio mais geral do que aquele da equação 11.17: 1 P( x)= ax + a x ax+ a podemos verificar que sua derivada é dada como uma soma das derivadas de cada um dos termos. Resulta assim, de 11.19, que a sua derivada será dada pela expressão: dp( x) 1 = a x + ( 1) a x... + a Mais adiate, veremos que é sempre verdade que a derivada da soma de duas fuções deriváveis um poto é igual à soma de suas derivadas. A demostração baseia-se o seguite fato: uma vez que as fuções são deriváveis, os dois limites existem e são fiitos e o limite da soma, como vimos o texto aterior em que tratamos sobre Limites, esse caso, é igual à soma dos limites. 11 Derivadas de fuções

10 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Vazão Numa piscia de profudidade costate, com área da superfície igual a A e a água ela cotida atigido uma altura h, o volume de água da piscia depede apeas de h. Nesse caso, a variável é a altura. Temos assim, para o volume de água cotida a piscia: V( h)= Ah 11. Quer seja por causa da evaporação da água, ou devido a defeitos de fabricação ou à abertura de um ralo para esvaziameto, o fato é que a altura da água é fução do tempo. Assim, a variável mais importate, esse caso, é o tempo. Escrevemos o volume como fução do tempo sob a forma: V() t = Ah() t 11.3 Esse exemplo ilustra o fato de que, muitas vezes, uma fução pode ser represetada como fução de outra fução. No caso de abrirmos o ralo da piscia, a taxa com que ela se esvazia tem o ome de vazão e é defiida como: dv dt () t = A dh () t dt 11.4 Também veremos adiate que é sempre verdade que a derivada do produto de uma costate por uma fução derivável é igual ao produto dessa costate pela derivada da fução. Tal fato se baseia, evidetemete, o cálculo de um limite e de suas propriedades Iterpretação geométrica da derivada Cosideremos o gráfico de uma fução arbitrária f (x). Admitamos que ele teha a forma daquele apresetado a Figura Cosideremos dois potos sobre essa curva. O primeiro deles é um poto P 1 associado a um valor arbitrário x, isto é P 1 = (x, f (x)). O segudo poto, P, é associado ao valor x + Δx, isto é, P = (x + x, f (x + x)). Fudametos de Matemática I

11 56 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 Podemos fazer passar por esses dois potos P 1 e P uma - e apeas uma - reta deomiada secate ao gráfico de f. O âgulo de icliação da reta secate em relação ao eixo x é o âgulo θ s. Como se pode ver a Figura 11.3, a taxa de variação média da fução o itervalo [x, x + x] pode ser iterpretada geometricamete como a tagete trigoométrica do âgulo de icliação da secate, isto é, o coeficiete agular da mesma: f x = tgθ ( x ) s 11.5 A reta que tagecia a curva um determiado poto é a reta tagete a ela por esse poto. A icliação da reta tagete pode ser obtida fazedo o limite da icliação da secate quado cosideramos itervalos de comprimeto Δx cada vez meor. Pode-se otar que, à medida que o comprimeto Δx tede a zero, a reta secate tede à reta tagete e, assim, o coeficiete agular da reta secate tede, o limite quado Δx 0, ao coeficiete agular da reta tagete. Portato, a derivada da fução f (x) o poto x pode ser iterpretada geometricamete como o coeficiete agular da reta tagete à curva o poto (x, f (x)): df ( x ) = tgθ x t ( ) 11.6 ode θ t é o âgulo de icliação da reta tagete. Observe que, de acordo com o lado direito da igualdade acima, é de se esperar que a icliação da tagete à curva depeda de x, o que, de fato, ormalmete ocorre Derivadas de ordem superior A derivada de uma fução como defiida ateriormete, é a derivada de primeira ordem. Segudo 11.1, idicamos essa primeira derivada por: df x gx ( ) ( ) df = = ( x ) 11 Derivadas de fuções

12 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 57 Ao repetirmos o processo de derivação sucessivas vezes, obtemos as derivadas de ordem superior. Por exemplo, podemos defiir a fução derivada da fução derivada, ou seja, defiimos a fução derivada de seguda ordem a partir do processo limite: d f ( ) gx x g x dg x ( x) lim ( + ) = ( ) = x 0 x 11.7 ode g(x) é a derivada de primeira ordem da fução f (x). Aalogamete, derivado uma fução vezes, obtemos a derivada de ordem da mesma. Utilizamos a otação: d f 1 d d f ( x) = ( x) Exemplos Exemplo 1: Se a fução quadrática for uma fução do tempo f = f (t) dada pela expressão: f ()= t 5t + 10t+ a fução derivada primeira é a fução afim dada por: df () t = 10 t + 10 dt Exemplo : Lembrado que, se de 11.19, P (x) = a x, dp x a x 1 ( ) =.., para o poliômio dado por P( x)= 10x Fudametos de Matemática I

13 58 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 temos como fução derivada a fução P 5 (x), cuja expressão é: P( x)= 10 6x = 60x Exemplo 3: Cosiderado o caso de um poliômio da forma: temos as derivadas de cada um dos termos: P( x)= 5x x + 10x 3x + x e, portato, 5 d( 5x ) = 55 4 x = 4 5x 4 d( x ) = 3 4x = 3 8x 3 d( 10x ) = 10 3x = 3 0 x d ( 3x ) = 3 x = 6x d( x) = d ( 8) = 0 dp5 ( x) = 4 3 5x 8x + 30x 6x Exemplo 4: No caso de uma fução poliomial de grau, podemos escrever para a sua derivada seguda: d d ax bx c ax b a ( + + )= ( + )= Da expressão acima resulta que a derivada seguda de um poliômio de segudo grau é uma costate. No caso do poliômio 11.9, a derivada seguda é igual a 10, ou seja, d dt d ( 5t + 10t+ )= ( 10t + 10)= 10 dt Derivadas de fuções

14 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 Exemplo 5: Para um poliômio da forma dada pela expressão 11.17, P (x) = a x, podemos escrever para a sua derivada seguda: 59 d P x a d x d x ( ) = = a 1 1 ( ) = = a ( 1) ax Podemos escrever a derivada terceira do poliômio 11.17, a partir de 11.38, 3 dp x a ( ) = ( 1) = ( 1)( ) ax Assim, para o poliômio P 6 (x) dado pela expressão 11.31, podemos escrever a seguite sucessão de derivadas: P( x) = 10x 6 dp6 ( x) 5 = 60x d P6 ( x) 4 = 300x 3 dp6( x) = 100x Exemplo 6: Para um poliômio da forma dada pela expressão 11.0, 1 P( x)= ax + a x ax+ a a derivada seguda é obtida a partir da derivada primeira dada pela expressão 11.1, isto é, dp( x) Assim, a derivada seguda de um poliômio geral de grau é dada por: = a x + ( 1) a x... + a 1 1 d P ( x) d 1 ax a x ax a = + ( 1) ( ) 3 = 1 ax 1 a x a ( ) + ( )( ) Fudametos de Matemática I

15 60 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 1 Cosideremos o caso do poliômio dado pela expressão Sua derivada seguda é dada pela derivada da derivada do poliômio. Assim, a partir de 11.41, obtemos: d P5 ( x) d x 8x 30x 6x 100x 4x 60x 6 = ( + + )= Derivadas de fuções