Exercício: Mediu-se os ângulos internos de um quadrilátero e obteve-se 361,4. Qual é o erro de que está afetada esta medida?

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1 1. Tratameto estatísticos dos dados 1.1. TEORIA DE ERROS O ato de medir é, em essêcia, um ato de comparar, e essa comparação evolve erros de diversas origes (dos istrumetos, do operador, do processo de medida etc.). Pretede-se aqui estudar esses erros e suas coseqüêcias, de modo a expressar os resultados de dados experimetais em termos que sejam compreesíveis a outras pessoas. Quado se pretede medir o valor de uma gradeza, pode-se realizar apeas uma ou várias medidas repetidas, depededo das codições experimetais particulares ou aida da postura adotada frete ao experimeto. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor a represetação da gradeza e aida um limite de erro detro do qual deve estar compreedido o valor real. 1 - ERROS & DESVIOS Algumas gradezas possuem seus valores reais cohecidos e outras ão. Quado cohecemos o valor real de uma gradeza e experimetalmete ecotramos um resultado diferete, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. ERRO é a difereça etre um valor obtido ao se medir uma gradeza e o valor real ou correto da mesma. Matematicamete: Erro = valor medido valor real Exercício: Mediu-se os âgulos iteros de um quadrilátero e obteve-se 361,4. Qual é o erro de que está afetada esta medida? Etretato, o valor real ou exato da maioria das gradezas físicas em sempre é cohecido. Quado afirmamos que o valor da carga do elétro é 1, x -19 C, este é, a verdade, o valor mais provável desta gradeza, determiado através de experimetos com icerteza de 0,30 partes por milhão. este caso, ao efetuarmos uma medida desta gradeza e compararmos com este valor, falamos em desvios e ão erros. DESVIO é a difereça etre um valor obtido ao se medir uma gradeza e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. a prática se trabalha a maioria das vezes com desvios e ão erros DESVIO MÉDIO VALOR MÉDIO Quado um mesmo operador efetua uma série de medidas de uma gradeza, utilizado um mesmo istrumeto, as medidas obtidas terão valores que poderão ão coicidir a maioria das vezes, isso devido aos erros experimetais ieretes a qualquer processo de medida. A teoria demostra que o valor que mais se aproxima do valor real da gradeza é a média aritmética dos valores ( a ), deomiado valor médio.

2 Supoha que um experimetador realize vezes a medida do comprimeto L de uma barra. Essas medidas foram realizadas com uma régua cuja meor divisão era 1 cm, de modo que os milímetros foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da meor divisão da escala do istrumeto). Em qualquer das medidas efetuadas ecotraram-se, como comprimeto da barra, 5 cm completos mais uma fração avaliada da meor divisão, de modo que as flutuações, este caso, residem as diferetes avaliações da meor divisão. A tabela ao lado mostra os valores obtidos as dez medidas realizadas. Tabela 1.1 L (cm) L = (L L ) (cm) = 5,7 5, 5,5 5,6 5,5 5,7 5, 5,7 5,9 5, L = 57 cm 0,0 + 0,1 0,2 0,1 0,2 0,0 + 0,1 0,0 + 0,2 + 0,1 L = 1,0 cm Calculado-se a média aritmética das medidas efetuadas tem-se L = L = 5,7 +5, +5,5+5,6 +5,5+5,7 +5, +5,7 +5,9 +5, que é o valor mais provável para o comprimeto da barra. = 57 = 5,7 cm O valor médio é mais preciso e exato quato maior for o úmero de medidas. Defie-se o desvio de uma medida do cojuto pela difereça etre o valor medido (L ) e o valor médio ( L ). L = (L L ) O desvio de cada medida, o caso do exemplo, está idicado a tabela. Desse cojuto deve-se extrair a icerteza que afeta o valor adotado ( valor médio ). Cosiderase, para esse fim, a média aritmética dos valores absolutos dos desvios deomiada desvio médio ( L ) : L L = (0,0 + 0,1+ 0,2 + 0,1+ 0,2 + 0,0 + 0,1+ 0,0 + 0,2 + 0,1) cm = 1,0 cm = 0,1 cm Esse desvio sigifica que o erro que se comete ao adotar o valor médio (L = 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em outras palavras, o valor real deve estar etre 5,6 e 5, cm. Dessa maeira, o comprimeto da barra pode ser expresso como: L = (L L) ou seja L ( 5, 7 01, ) cm DESVIO AVALIADO OU ICERTEZA Se o experimetador realiza apeas uma medida da gradeza, o valor medido evidetemete será o valor adotado, já que ão se tem um cojuto de dados para ser aalisado, como o caso aterior. Aqui, também, o valor adotado represeta a gradeza detro de certo grau de cofiaça. ão existe uma regra defiida para determiar a icerteza de uma úica medida, pois esta depede de vários fatores como: o istrumeto utilizado, as codições em que a medida se realiza, o método utilizado a medida, a habilidade do experimetador, a própria

3 avaliação do último algarismo (fração avaliada da meor divisão da escala do istrumeto) etc... Cotudo, é costume tomar a icerteza de uma medida como sedo a metade da meor divisão da escala do istrumeto utilizado, deomiado-a desvio avaliado ou icerteza. Covém salietar que a avaliação da icerteza da medida depede, sobretudo, do bom seso do experimetador DESVIO RELATIVO O desvio relativo é igual ao quociete etre a icerteza e o valor adotado e é, frequetemete expresso em termos percetuais. a) Caso uma medida úica: desvio avaliado Desvio relativo = valor medido b) Caso uma série de medidas: desvio médio Desvio relativo = valor médio O desvio relativo percetual é obtido, multiplicado-se o desvio relativo por 0%. O desvio relativo os dá, de uma certa forma, uma iformação a mais acerca da qualidade do processo de medida e os permite decidir, etre duas medidas, qual a melhor. Isto é, quato meor o desvio relativo, maior a precisão da medida. 2 - ALGARISMOS SIGIFICATIVOS Quado se realiza uma medida, como foi feito em cada uma das dez medidas do comprimeto da barra em exemplo aterior, verifica-se que em cada medida tem-se um úmero completo de uidades (o caso 5 cm) acrescido de uma fração avaliada dessa uidade. Medido-se com uma régua cetimetrada, tem setido avaliar décimos (isto é, milímetros), mas é discutível avaliar frações meores. Geralmete, em medições, é possível fazer estimativas com aproximação até décimos da meor divisão da escala do istrumeto. Assim, a medida do comprimeto da barra, o dígito 5 é iseto de dúvida, ou seja, a dúvida ou icerteza da medida reside a avaliação do dígito correspodete à fração avaliada da meor divisão da escala. Deomiam-se algarismos sigificativos de uma medida os algarismos exatos acrescidos de um úico algarismo duvidoso. Algarismos sigificativos = Algarismos exatos + um úico algarismo duvidoso Portato, as dez medidas efetuadas a determiação do comprimeto da barra, temse dois algarismos sigificativos: Apresetado-se o resultado de uma medida através do valor médio, é preciso escrevê-lo com um úmero correto de algarismos sigificativos. De maeira geral, para se cosiderar o úmero de algarismos sigificativos do valor médio, é coveiete, em primeiro lugar, cosiderar o desvio médio com apeas um algarismo sigificativo; este

4 irá etão precisar com quatos algarismos sigificativos deverá ser escrito o valor médio da gradeza. Exemplo :Foram efetuadas medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela ao lado. Com esse cojuto de medidas, obtém-se o valor médio e o desvio médio. Valor Médio: D = Desvio Médio: D D = 55,00 x D 97, 7 = = 125 mm -2 mm = 0,0675 mm 0,07 mm O valor da gradeza é D = (125 0,0675). o etato, observa-se que a icerteza o valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a seguda casa decimal desse valor. Assim, os outros algarismos posteriores perdem o sigificado e ão são sigificativos, já que etre os algarismos sigificativos é admitida a preseça de um úico algarismo duvidoso. o etato, esses algarismos presetes tato o valor médio quato o desvio médio devem ser cosiderados para efeito de cálculo, devedo ser desprezados a apresetação fial. Escreve-se o resultado fial da seguite maeira: D = (1 0,07) mm ormalmete, ao serem feitas aproximações, como o caso acima, é costume, quado o primeiro algarismo desprezado for maior ou igual a cico, acrescetar uma uidade ao último algarismo matido. Exemplo :Supoha-se que um processo de medidas e cálculos teha origiado para a resistividade por uma uidade de área de material o valor médio de 32,765 /m com um desvio médio de 0,0241 /m. Tem-se etão: ( 32, 7650,0241) / m A D (mm) D ( 2 mm) ( 32, 770,02 ) / m A Deve-se otar que o valor médio pode apresetar um úmero de algarismos sigificativos maior que as medidas idividuais. Esse resultado, aparetemete sem setido, é explicável já que está se tratado estatisticamete um cojuto de dados, e as medidas idividuais deixam de ter importâcia, prevalecedo o cojuto como um todo, ou seja, o valor médio. Exemplo: O resultado de uma experiêcia foreceu o valor médio e o desvio médio iguais a: m = (13,425 0,0342) g m = (13,43 0,03) g = (1,343 0,003) x g m = (736,6 12,) g m = (74 1) x g = (7,4 0,01) x 3 g Ao se trabalhar com algarismos sigificativos, ão se deve esquecer de que os zeros à esquerda ão são sigificativos, mas os da direita o são. Portato, são sigificativos todos os úmeros isetos de dúvida, a partir do primeiro ão ulo, e também o primeiro algarismo duvidoso e mais ehum = 12,3 12,1 12,1 12,4 D = 97,7mm +,75-11,25-11,25 + 1,75 D = (55,00-2 )mm 3 - OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGIFICATIVOS REGRAS ADOTADAS a) a adição e subtração - faz-se a operação ormalmete e o fial reduz-se o resultado, usado critério de arredodameto, para o úmero de casas decimais da gradeza meos precisa. Exemplos:

5 Adição - ( ,91 + 1,97 + 0, ,20) = ,01 = Subtração - (12.441,2 7.56,32) = 4.54, = 4.54,9 b) a multiplicação e divisão - o resultado deverá ter igual úmero de algarismos (ou um algarismo a mais) que a gradeza com meor quatidade de algarismos sigificativos que participa da operação. Exemplos: Multiplicação - (12,46 x 39,3) = = 496,2 Divisão - (03,407 / 13,1) = 61,32 = 61,33 c) a poteciação e radiciação o resultado deverá ter o mesmo úmero de algarismos sigificativos da base (poteciação) ou do radicado (radiciação): Poteciação - (1,52 x 3 ) 2 = 2,31 x 6 Radiciação - (0,75 x 4 ) 1/2 = 0,7 x Precisão e Exatidão Precisão e exatidão são dois termos comumete utilizados a aálise dos resultados de uma medida, mas também são cofudidos facilmete apesar de possuírem setidos muito diferetes. Figura 1 Difereça etre precisão e exatidão. A exatidão é difícil de ser determiada, pois o valor verdadeiro é geralmete descohecido, por se tratar do objetivo da aálise. Etão um valor aceito é ormalmete utilizado, assim ela é expressa em termos de erro absoluto e erro relativo. A exatidão e precisão de uma medida também ser ilustrados coforme a Figura 2.

6 Figura 2 Exatidão e precisão de uma medida CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Erros grosseiros: são aqueles proveietes de falhas grosseiras do operador, como: 1. Egao a leitura de medidas o operador lê o lugar de Troca de uidades. A maeira de elimiar este tipo de erro é sedo cuidadoso ao realizar as medidas. Erros sistemáticos: este tipo de erro deva-se a falhas os métodos empregados ou dos istrumetos de medida, como: 1. Um istrumeto mal calibrado ou usado a uma temperatura diferete daquela em que foi feita a sua calibração. Por exemplo: um relógio descalibrado que sempre adiata ou sempre atrasa. 2. O tempo de resposta de um operador que sempre se adiata ou se atrasa as observações. 3. O operador que sempre superestima ou sempre subestima os valores das medidas. Por sua atureza estes erros têm amplitudes costates, e afetam os resultados um mesmo setido, ou para mais, ou para meos. Erros acidetais ou aleatórios: Como vimos, por mais perfeito que seja o operador ou o processo de medição de uma gradeza, uca deixaremos de cotar com os fatores acidetais que afetam uma ou mais medidas. Os pricipais fatores que implicam o aparecimeto dos erros acidetais ou ao acaso são: 1. Defeitos ão sistemáticos de leitura (imperícia do operador). 2. Variação da capacidade de avaliação, com o úmero de medidas efetuadas (casaço). 3. Variação da capacidade de avaliação ou da perícia, o caso da observação de uma mesma gradeza por vários observadores. 4. Codições próprias dos aparelhos de medidas (certos aparelhos dão erros de paralaxe que variam com o tamaho da gradeza). 5. Reflexos variáveis do operador (por exemplo o caso de apertar um croômetro). 6. Dificuldades a obteção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, aplicação de um aparelho a uma peça em diferetes posições). 7. Iteresse do operador em obter medidas em situações diferetes para obteção de um valor mais represetativo de uma gradeza.. Outros fatores ão itecioais, tais que ão possam ser cosiderados como falta grave de operação. Os erros acidetais ou aleatórios podem ser miimizados pela perícia do operador, mas jamais elimiados por completo. Aos erros acidetais ou aleatórios são aplicados a teoria dos erros.

7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TEORIA DOS ERROS 1) Determiar o desvio avaliado os seguites casos: a) régua milimetrada: b) régua com escala graduada em cetímetros: c) balaça com precisão de 0,1 g: d) croômetro com precisão de 0,2 s: e) amperímetro com escala graduada em 0, 2, 4, 6,, ampères ( A ): f) diamômetro com escala graduada de 5 em 5 ewtos ( ): g) voltímetro com fudo de escala de volts dividida em 20 partes: 2) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamete, em termos de algarismos sigificativos. (a) (b) (c) (d) (e) m 32,75 g 72,19 cm 4,19 g m 2372 h m 0,25 g 2,3 cm 0,0219 g 276 m 2 h (a) (b) (c) (d) (e) 3) uma experiêcia, a medida do comprimeto de uma barra, repetida 5 vezes ( = 5), foreceu a tabela: L (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27 a) Ecotrar o valor L L? médio: L L b) Ecotrar o desvio L? médio: c) Escrever o resultado fial em termos de algarismos sigificativos: L ( L L)? 4) Efetuar as seguites operações: a) (231,03 ± 0,02) (12, ± 0,5) = b) [(2,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m 3 ] =