INTRODUÇÃO A TEORIA DE ERROS

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1 Profa. Msc. Tereziha Saes de Lima Istituto Tecológico de Aeroáutica ITA Cetro Técico Aeroespacial CTA Praça Marechal Eduardo Gomes, 50. Vila das Acácias, São José dos campos SP. INTRODUÇÃO A TEORIA DE ERROS Resumo. Quado procuramos obter resultados através de observações experimetais, devemos ter sempre à mete que ossas observações serão sempre limitadas, o setido de que jamais retratam com perfeição absoluta a atureza observada. Dessa forma, quado relatamos o resultado da medição de uma gradeza, é de suma importâcia sabermos quatificar a qualidade do resultado, ou seja, precisamos iformar quão boa foi a ossa medição. Para eteder como isso deve ser feito, itroduziremos algus coceitos fudametais (Stempiiak, 997), e depois abordaremos os ites mais relevates da Teoria de Erros (Vuolo, 995). Palavras chaves: Desvios, Erros, Algarismos Sigificativos, Propagação de icertezas, Gráficos.. Defiições e coceitos importates As defiições aqui apresetadas foram extraídas do Guia da Icerteza de Medição, 003. Medição: Cojuto de operações que têm por objetivo determiar o valor de uma gradeza. Mesurado: Gradeza específica submetida à medição. A especificação de um mesurado pode requerer a iformação de outras gradezas, como temperatura, pressão, etc... Resultado de uma medição: Valor atribuído ao mesurado, obtido por medição. Uma expressão completa do resultado iclui iformações sobre a icerteza da medição. Valor verdadeiro: Valor cosistete com a defiição de uma dada gradeza específica. É o valor que seria obtido por uma medição perfeita. Erro: Resultado de uma medição meos o valor verdadeiro. Desvio padrão experimetal: Resultado que caracteriza a variabilidade dos resultados de uma série de medições, ou melhor, caracteriza a dispersão (em toro da média) dos resultados de uma série de medições. Icerteza de medição: Parâmetro, associado ao resultado da medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser razoavelmete atribuídos a um mesurado. Repetitividade: Grau de cocordâcia etre resultados de medições sucessivas de um mesmo mesurado, efetuadas sob as mesmas codições de mediçã. Valor médio verdadeiro: É o valor médio que seria obtido de um úmero ifiito de observações feitas em codições de repetitividade. Erro estatístico ou aleatório: É o resultado de uma medição meos a média que resultaria de um úmero ifiito de medições de um mesmo mesurado, efetuadas sob codições de repetitividade. Erro sistemático: Média que resultaria de um úmero ifiito de medições de um mesmo mesurado, meos o valor verdadeiro do mesurado. Icerteza padrão: Icerteza do resultado de uma medição expressa com um desvio padrão.

2 Nível de cofiaça: Idica a probabilidade que um resultado estar correto. Exatidão: Grau de cocordâcia etre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro do mesurado. Precisão: Idica o grau de cocordâcia etre os diversos resultados experimetais obtidos em codições de repetitividade. É comum ocorrer certa cofusão etre os coceitos de precisão e exatidão. Vamos, pois, torálos mais claros através de um exemplo: Em uma competição de tiro ao alvo, um competidor coseguiu que todos os seus tiros ficassem distribuídos de maeira dispersa em toro do alvo cetral. Um segudo atirador, teve uma outra habilidade: coseguiu cocetrar todos os seus tiros em uma certa região localizada ao lado do alvo cetral. Apesar de seus tiros ficarem todos cocetrados, ão coseguiu atigir o alvo cetral. Já um terceiro competidor teve a destreza ecessária para coseguir cocetrar todos os tiros exatamete em cima do alvo. Nesse exemplo, o primeiro atirador efetuou disparos poucos precisos, pois seus tiros ficaram todos dispersos em toro do alvo cetral. O segudo atirador coseguiu atirar de maeira bastate precisa, pois seus tiros ficaram bem cocetrados. Em cotrapartida, por ão ter coseguido acertar o alvo, os disparos do segudo atirador ão foram exatos. Já o terceiro competidor coseguiu cocetrar duas habilidades: tiros exatos e precisos. Os tiros foram exatos porque atigiram o alvo e foram precisos porque todos ficaram bem cocetrados (houve pouca dispersão).. Tipos de Erros. Existem dois tipos de erros que podem ocorrer em uma medição. Cosidere que, em um certo experimeto, teham sido efetuadas medições. Certamete os resultados ão serão idêticos. Podemos idetificar, o experimeto realizado, algumas fotes de erro... Erro estatístico É o erro que resulta de uma flutuação o resultado da medição.é o erro que resulta de uma variação aleatória o resultado da medição que, por algum motivo, ão podem ou ão são cotrolados. Uma correte de ar, por exemplo, pode gerar um erro. Exemplo: quado medimos a massa através de uma balaça, algumas corretes de ar ou mesmo vibrações podem itroduzir este tipo de erro... Erro sistemático O erro sistemático presete os resultados é sempre o mesmo quado a medição é repetida. Assim, o efeito de um erro sistemático ão pode ser avaliado simplesmete repetido medições, sedo, pois, bem mais difícil de ser estimado. Os erros sistemáticos podem ser classificados em: (a) Erro sistemático istrumetal: está relacioado com a calibração do istrumeto. (b) Erro sistemático ambietal: é um erro devido a efeitos do ambiete sobre o experimeto. Os fatores que podem gerar esse tipo de erro são: temperatura, pressão, umidade, aceleração da gravidade, campo magético da Terra, luz, etre outros. (c) Erro sistemático observacioal: é o erro sistemático devido a falhas de procedimeto ou devido à imperícia do observador. Um observador que ão lê adequadamete o poteiro de um medidor pode itroduzir este tipo de erro o experimeto.

3 3. Algarismos sigificativos As medições de uma certa gradeza uca exprimem com certeza o valor verdadeiro desta gradeza: por mais preciso que teha sido o processo de medição, existe sempre uma icerteza itríseca associada a este processo. Covém, etão, saber quão certo é o resultado obtido e como se deve expressá-lo de maeira correta. Para tato, uma das preocupações fudametais a que deve se ater o observador é em expressar sua resposta com a quatidade correta de algarismos. Figura : Medição do comprimeto de uma Barra Metálica (exemplo ilustrativo). Por exemplo, (Fig.) cosidere alguém que, muido de uma régua milimetrada, mede o comprimeto de uma barra e observa que este deve estar etre 7mm e 8mm. Sabe-se que o comprimeto certamete é 7,x mm, mas õ se tem certeza. Pode-se especular qual deve ser o valor de x, mas ão se pode saber, apeas utilizado a régua, qual deve ser o valor exato de x. Alguém poderia dizer que seria 7,5mm, equato que outra pessoa poderia dizer que seria 7,8mm. Em resumo, esta medição efetuada tem-se certeza em dois algarismos ( e 7), e o terceiro algarismo (x) é duvidoso. Os algarismos dos quais se tem certeza são chamados de algarismos exatos, e o algarismo do qual ão se tem certeza é dito algarismo duvidoso. Os algarismos exatos mais o duvidoso compõem os algarismos sigificativos de uma gradeza. Note que, o exemplo, o resultado 7,5mm teria três algarismos sigificativos (os algarismos, 7 e 5), sedo dois exatos (os algarismos e 7) e um duvidoso (o algarismo 5). Voltado ao exemplo da medição do comprimeto da barra, ote que ão faria setido algum alguém apresetar como resposta de sua medição o valor 7,75mm. Isso porque ão se tem certeza quato ao primeiro úmero que aparece depois da vírgula (o algarismo 7 já é duvidoso), ão sedo, pois, coerete apresetar mais um algarismo depois daquele que já é duvidoso. 3.. Operações com algarismos sigificativos Como já foi dito, quado efetuamos medições, uca temos certeza se o valor aferido correspode, de fato, ao valor verdadeiro daquilo que medimos. Logo, existe um limite a quatidade de algarismos sigificativos em ossas respostas, já que sempre existe um algarismo duvidoso. Nos processos de medições, podemos avaliar a quatidade de algarismos sigificativos de ossas respostas através: da sesibilidade e precisão do istrumeto com o qual fazemos a medição; da perícia do observador; da icerteza associada à gradeza que medimos. No exemplo aterior da escala milimetrada, vimos que ão é coveiete expressarmos a resposta de uma medição como sedo 7,75mm, ou seja, ou damos a resposta como 7,7mm ou como 7,8mm (a regra de arredodameto será apresetada depois). Mas se esta medição fosse realizada com outro equipameto, como um paquímetro digital (INMETRO,995), ão é absurda a resposta 7,75mm. Isso porque este tipo de aparelho permite tal precisão. Normalmete, quado

4 vamos expressar o valor de uma gradeza, a quatidade de algarismos sigificativos de ossa resposta ficará sujeita à icerteza existete em tal gradeza. Isso será discutido adiate. 3.. Cotagem dos Algarismos Sigificativos. No caso do osso exemplo do comprimeto da barra, é fácil ver que: 7,5mm (medição com a escala) é um úmero que tem 3 algarismos sigificativos; 7,75mm (medição feita com o paquímetro digital) é um úmero que tem 4 algarismos sigifcativos (ote que agora os úmeros, 7 e 7 compõem os algarismos exatos, equato que o algarismo 5 é duvidoso). Imagie, porém, que tivéssemos que saber quatos algarismos sigificativos tem o úmero 0,009. Quado é ecessário cotar os algarismos sigificativos, ou mesmo expressar um resultado, o mais coveiete é expressar em otação cietífica, pois fica imediato o recohecimeto da quatidade de algarismos sigificativos. Assim: 0,009 =, 9 x 0-3 com a otação acima, recohecemos que o úmero possui 3 algarismos sigificativos. A seguir, algus exemplos para elucidar esse coceito: 0 =,0 x 0 3 (quatro algarismos sigificativos) 0,0 =, x 0 - (dois algarismos sigificativos),3 x 0 - (dois algarismos sigificativos) 30 =,30 x 0 (três algarismos sigificativos) 0, =, x 0 - (dois algarismos sigificativos) Note que as quatidades de algarismos sigificativos de 0, e 0,0 ão são as mesmas, assim como as de 8,5 e 8,50, 00 e 00, Operações matemáticas com algarismos sigificativos Recorredo ao exemplo da barra, imagie que queiramos determiar a razão de seu comprimeto por sua espessura. O comprimeto, medido com uma escala milimetrada, foi registrado como 7,5mm. Para a espessura, medida posteriormete com a mesma escala, foi ecotrado o valor de,0mm. Se fizermos os cálculos com uma calculadora, obtemos um valor para a razão igual a R =, Nesse caso, pode surgir a perguta: com quatos algarismos sigificativos devemos expressar a ossa resposta para R? Para respoder a essa perguta, devemos cotar os algarismos sigificativos dos operados e depois aplicar a seguite regra: o caso de adição e subtração: em geral, a resposta ão deve ter mais casas decimais que a parcela mais pobre em casas decimais. No caso de adição e subtração o bom seso acaba sedo a arma mais eficaz para expressar a resposta com a quatidade correta de algarismos sigificativos. o caso da multiplicação e divisão e em geral das outras operações: a quatidade de algarismos sigificativos da resposta é igual à quatidade de sigificativos do operado que tiver a meor quatidade de algarismos sigificativos. Exemplos:,6 +, ,004. Fazedo os cálculos, obtém-se: 503,994. Porém, aplicado o bom seso, otamos que a primeira parcela (,6) os leva a coclusão de que o primeiro dígito depois da vírgula é duvidoso. Logo, a resposta fial, o primeiro dígito após a vírgula já sedo duvidoso,

5 ão faz setido expressar as demais casas decimais. Devemos arredodar a resposta, etão, para: 504,0 (as regras de arredodameto serão dadas posteriormete, Vuolo, 995).,506 x 50,5. Fazedo os cálculos: 76,053. Utilizado a regra, verificamos que a resposta deve ter somete 3 algarismos sigificativos, ou seja, a resposta é: 76,. Note que se tivéssemos arredodado os operados ates de multiplicarmos, obteríamos uma outra resposta. Portato, ão devemos arredodar os operados ates de efetuarmos a operação. 50 x se(5 ). Fazedo os cálculos: 64, Utilizado, porém, a regra proposta, cocluímos que o resultado é 6,5x0. Voltado ao osso exemplo sobre o cálculo da razão etre o comprimeto da barra e a espessura, observado a regra aterior, obtemos R =,9. OBS: essas regras forecem uma maeira bastate prática de obter uma resposta com a quatidade correta de algarismos sigificativos. Etretato, o processo mais criterioso para trabalhar corretamete com os algarismos sigificativos evolve a teoria de propagação de icertezas Critérios para arredodameto Quado aparecer a ecessidade de efetuar algum arredodameto, podemos apelar ormalmete ao bom seso, arredodado sempre para o úmero mais próximo. Assim, quado precisamos arredodar 64,70476 para um úmero com somete dois algarismos sigificativos, podemos os pergutar: arredodar para 64 ou para 65? Todavia, se observarmos o úmero 64,70476, costatamos que ele está mais próximo de 65 do que de 64. Logo a resposta do arredodameto é 65. Nos casos gerais, podemos estabelecer a seguite regra: quado for ecessário arredodar um úmero ::::W;ZY Xabcd:::, sedo abcd os algarismos que devem ser retirados ( cortados ): se abcd estiver etre 0000 e 4999, etão arredodamos para baixo; se abcd estiver etre e 9999, etão arredodamos para cima; se abcd for , arredodamos de modo que o algarismo X, após o arredodameto, seja par. A seguir, damos algus exemplos em que os úmeros foram arredodados para obter uma resposta fial com três sigificativos: 7,365 7,4; 0,0039 0,00;,645,64;,693,69 4. Cálculo de erros 4.. Valor médio do mesurado Dado um cojuto de medições cujos resultados foram: resultados é dado por:,,...,,o valor médio dos = = i= i O valor médio verdadeiro de um cojuto de medições é o valor médio que seria obtido quado fossem feitas ifiitas observações. Em fis práticos, é impossível levatar ifiitas medições de um mesurado. Logo, para um úmero fiito, o valor médio os forece a melhor estimativa do valor médio verdadeiro, sedo esta estimativa tão melhor quato maior for o úmero de observações. Em geral, o valor médio é o que melhor represeta a gradeza medida.

6 4.. Desvios Para o osso iteresse, podemos tratar de dois tipos de desvios: Desvio padrão experimetal e Desvio padrão do valor médio Desvio padrão experimetal Para um cojuto de medições, o desvio padrão experimetal é um parâmetro que caracteriza quão dispersos estão os valores obtidos. Isso sigifica que se os resultados forem bastate próximos us dos outros, etão o desvio padrão será pequeo, e se os resultados forem dispersos, o desvio padrão será grade. O desvio padrão experimetal pode ser calculado através de: = ( i= i ) 4... Desvio padrão do valor médio Como já vimos, para cohecer o valor médio verdadeiro, seria ecessário efetuar ifiitas medições. Como, a prática, isso ão é possível, etão sabemos que a média é apeas uma estimativa do valor médio verdadeiro. Nesse cotexto, o desvio padrão do valor médio é um parâmetro que iforma quão bem a média das observações é uma estimativa do valor médio verdadeiro. Qualitativamete, valores pequeos de desvio padrão do valor médio estão associados a boas estimativas do valor médio verdadeiro; ao cotrário, elevados valores represetam que a média ão é uma boa estimativa do valor médio verdadeiro. O desvio padrão do valor médio é calculado através de: m = ( i ) = ( ) i = 5. Icerteza 5.. Itervalos de cofiaça Se efetuássemos ifiitas medições de uma certa gradeza, ão obteríamos o mesmo resultado em todas elas. Existe sempre uma dispersão dos valores que ocorre devido a erros aleatórios, e que, portato, foge ao osso cotrole. Nesse caso, sedo o valor médio ecotrado, costata-se, que aproximadamete 68,7% dos resultados ecotrados estaria o itervalo ±. Costata-se também que 50% dos resultados se ecotrariam o itervalo ± 0,674. Desse modo, se multiplicamos o desvio padrão experimetal por um certo valor k, o itervalo ± k irá coter uma certa porcetagem dos resultados obtidos. Essa porcetagem é chamada de ível de cofiaça, equato que o itervalo a ela associado é deomiado itervalo de cofiaça. Para o caso de ifiitas medições, a Tab. os forece quais são os itervalos de cofiaça associados a um determiado ível de cofiaça.

7 Tabela : Itervalos de cofiaça para um úmero de medições muito grade Níveis de cofiaça Itervalos de cofiaça 50% ± 0,674 68,7% ±,000 80% ±,8 90% ±,645 95% ±,960 95,45% ±,000 99% ±,576 99,73% ± 3,000 Tabela : Itervalos de cofiaça para um úmero de medições pequeo Nível de cofiaça Número de observações 50% 90% 95% I ±,00 ± 6,3 ±,7 3 N ± 0,8 ±,9 ± 4,30 4 T ± 0,77 ±,35 ± 3,8 5 E ± 0,74 ±,3 ±,78 6 R ± 0,73 ±,0 ±,54 7 V ± 0,7 ±,94 ±,45 8 A ± 0,7 ±,90 ±,37 9 L ± 0,7 ±,86 ±,3 0 O ± 0,70 ±,83 ±,6 6 S ± 0,69 ±,75 ±,3 Note que a Tab. mostra os itervalos de cofiaça para o caso em que foram levatados um úmero ifiito de medições. Na prática, porém, uca coseguimos atigir tal situação, sempre fazemos um úmero fiito de medições. Nesse caso, para um dado ível de cofiaça, o itervalo de cofiaça associado ao mesmo depede do úmero de observações. Essa depedêcia está mostrada a Tab..

8 5.. Icerteza padrão fial Até agora, aida ão iformamos como deve ser relatado o valor de uma gradeza submetida a medições. Já sabemos, a pricípio, a gradeza pode ser represetada, de modo satisfatório, pelo seu valor médio. Porém, quado efetuamos um cojuto de medições devemos ser capazes de iformar com qual qualidade a média pode ser uma estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre iformar uma icerteza associada à média ecotrada. Poderíamos pesar, um primeiro ível, que a icerteza possa ser estimada pelo desvio padrão da média. Porém, devemos atetar que o cálculo do desvio padrão da média leva em cota somete as cotribuições dos erros aleatórios, e ão cosidera os erros sistemáticos. Existe, pois, uma icerteza residual que aida ão foi cosiderada. Essa icerteza residual ( r ), o caso de istrumetos de medição, costuma vir idicada pelo fabricate. Quado ão é idicada, podemos adotar, pelo bom seso, que se trata da metade da meor divisão da escala. Assim, o resultado de um cojuto de medições é = ± em que f é a icerteza padrão fial e pode ser calculada por: f ( ) ( ) = + m r f 6. Propagação de icertezas Imagie que queiramos fazer a soma de duas gradezas x e, para obter uma gradeza z. Sabemos que para expressar corretamete o resultado de ossa operação devemos relatar um valor médio e uma icerteza associada a este valor. De maeira geral, um resultado z deve ser expresso como: z = z ± Se z é uma fução de outras variáveis, etão: z = No caso da soma, por exemplo, z = x +, etão: z f ( x, ) z = x + Já o cálculo de z é mais complicado. O processo rigoroso para o cálculo das icertezas evolve uma equação com derivadas parciais. Apresetamos, a seguir os resultados mais práticos para as aplicações mais comus:. Soma e Subtração: z = x + ou z = x. Multiplicação e Divisão: z = x ou z = x / z ( ) ( ) = + x z z = x x + ]

9 3. Fórmula geral: z = x a b z x a b z x = Exemplo de um experimeto Cosideraremos, aqui, os resultados de um experimeto feito com o objetivo de determiar o valor da gravidade local de São José dos Campos. Os dados referetes a este experimeto ecotram-se dispoíveis em Neste exemplo, faremos algumas modifições dos resultados, com fialidades didáticas. O método de medição de g se baseia o modelo do pêdulo simples, que tem período aproximado por: T L = π, g em que L é o comprimeto do pêdulo. Neste experimeto, foram feitas cico medições do comprimeto L do pêdulo e cico medições do período do mesmo. Através dessas observações, obteremos o valor da gravidade. Cosideremos que os resultados das medições do comprimeto L estejam idicadas a Tab. 3. Tabela 3: Resultados de 5 medições do comprimeto L do pêdulo Determiação (i) Resultado obtido (m) 3,04 3,05 3 3,04 4 3,04 5 3,03 Assim, o valor médio obtido foi de L = ( 3,04 + 3,05 + 3,04+ 3,04 + 3,03) / 5 = 3,04m. O desvio padrão do valor médio vale: 0 m,l = (0,0) + ( 0,0) Se quisermos um ível de cofiaça de 90%, vemos, pela Tab. que o resultado aterior deve ser multiplicado por,3. Assim, para um ível de cofiaça de 90%: m, L = 0, 0067m. Iremos os preocupar com os arredodametos a expressão da resposta com a quatidade correta de sigificativos apeas o fial. Falta, agora, cosiderar a cotribuição da icerteza residual. Essa icerteza foi estimada em 0,05m. Logo a icerteza padrão fial em L é: = ( 0,0067 ) + ( 0,05 ) 0,05m. L = A icerteza é ormalmete escrita com um ou dois sigificativos (existe uma regra, que foi omitida este texto; maiores detalhes, cosultar Vuolo, 995), ou seja, L = (3,04 ± 0,05)m com 90% de cofiaça.

10 Agora, iremos relatar os resultados para o período do pêdulo. As 5 medições efetuadas costam a Tab. 4. Tabela 4: Resultados de 5 medições do período T do pêdulo. Determiação (i) Resultado obtido (s) 3,5 3,50 3 3,5 4 3,5 5 3,5 Procedemos da mesma maeira como feito para L. Assim, obtemos os seguites resultados: T = 3,5s com desvio padrão da média, para um ível de cofiaça de 90% dado por m, T = 0, 0067 s. A icerteza residual foi estimada em 0,0s, de modo que: T = (3,5 ± 0,0)s Agora, iremos calcular o valor da gravidade através dos resultados obtidos ateriormete para o comprimeto do pêdulo e o período do mesmo. Vemos que: g = 4π L T Assim o valor médio de g é: 4π L g = T Calculamos o erro em g através da Fórmula geral z = x a b apresetada ateriormete: g g = L L T + T Portato o resultado é: g = (9,7 ±,)m/s 7. Bibliografia ABNT, 003, Guia para a Expressão da Icerteza da Medição, 3 a Edição Brasileira. INMETRO: Rio de Jaeiro. INMETRO (995), Vocabulário Iteracioal de Termos fudametais e Gerais de Metrologia. Rio de Jaeiro. Site da iteret: http: // Vuolo, J.H. (995), Fudametos da Teoria de Erros. a edição. Edgard Blücher: São Paulo.

11 8. Sobre a Autora 8.. Formação Acadêmica Mestre em Ciêcias, área de Física de Plasmas, Istituto Tecológico de Aeroáutica ( ITA - CTA) cocluído em maio de 987. Título: Difusão Ambipolar em Plasmas Orietador: Dr. Ricardo Magus Osório Galvão Bacharel em Física, Uiversidade Federal Flumiese. Cocluído em Atividade Profissioal Professora de Física e Coordeadora do Laboratório de Física do o ao de Egeharia do Istituto Tecológico de Aeroáutica (ITA - CTA), São José dos Campos - SP. Coordeadora da Escola Avaçada de Física. do ITA Coordeação do Laboratório de Física do o ao de Egeharia do ITA Resposável por Oficias o projeto AEB - Escola 8.3. Área de Atuação Em Pesquisa Atuação a área de Esio através da Escola Avaçada de Física. Um curso voltado para aluos do terceiro ao do esio médio que participam de Olimpíadas, com o ituito de preparação para as seguites olimpíadas de Física: Iteracioal, Ibero-Americaa, Brasileira, Estaduais e Regioais. Cofecção de Experimetos para as Oficias do Projeto AEB-Escola, para aluos do Esio Fudametal e médio, com o ituito de despertar o iteresse dos mesmos para a área Espacial. Desevolvimeto de Laser C0 TEA Iteração Laser-Plasmas Simulação e Extração de íos em plasmas Simulação de um Laser de elétros livres - FEL Estudo de Descargas em Plasmas