Prática I GRANDEZAS FÍSICAS E TEORIA DOS ERROS

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1 Prática I GRANDEZAS FÍSICAS E TEORIA DOS ERROS INTRODUÇÃO O desevolvimeto do homem deve-se ao fato de que ele procurou observar os acotecimetos ao seu redor. Ao ver os resultados dos diversos evetos, ele procurou estudá-los para descobrir as causas pelas quais estes acotecem. MEDIÇÕES Foi a fase do estudo que surgiu o problema da avaliação, ou seja, da medição da itesidade de uma série de fatos e gradezas, que faziam parte do feômeo em questão. Para medir, foi ecessário ao homem recorrer a um critério comparativo, a um critério de relatividade. Desta forma, as medidas uca serão absolutas, e sim relativas. As medidas são etão avaliadas em relação a uma medida fudametal, arbitrariamete escolhida e que geralmete é chamada de UNIDADE. Qualquer gradeza escalar G, ao ser medida, terá como resultado um produto de: um úmero M, que represeta o resultado da comparação, e outro fator u que represeta a uidade adotada. Em outras palavras, uma gradeza escalar é o produto de um úmero por uma uidade, ou seja: G = M. u (1) É importate observar que, embora a gradeza permaeça ialterada a quatidade de uidades em uma medida varia com a uidade adotada. No caso ode a gradeza é o comprimeto de um objeto, pode-se dizer que o comprimeto é sempre o mesmo, o que os permite cocluir que: G = M 1 u 1 = M 2 u 2 = M 3 u 3 = ode u 1, u 2, u 3,... são diferetes uidades e portato M 1, M 2, M 3, serão úmeros diferetes. VALOR MEDIDO Toda gradeza física possui um valor que chamamos de VALOR VERDADEIRO. Quado fazemos uma medida, estamos usado istrumetos e procedimetos que itroduzem erros a medida e impossibilitam a obteção do valor verdadeiro. O que medimos etão é um VALOR MAIS PROVÁVEL, o qual está provido de uma INCERTEZA, devido a uma série de fatores que veremos mais adiate. Assim, pode-se dizer que a gradeza G será dada por: G = (A ± A). u (2) ode: A ± A = M é a medida; A é o valor mais provável e A é o úmero que represeta a icerteza, comumete chamado de DESVIO. NATUREZA DO OBJETO E A MEDIDA Uma medida só tem setido os limites de precisão detro dos quais a gradeza a ser medida é defiida. O comprimeto de um bloco de madeira com extremidades rugosas só pode ser defiido com aproximação de cerca de um milímetro. O comprimeto de uma boa régua metálica, cujas extremidades são de catos e faces polidas, pode, ao cotrário, ser defiido com uma aproximação que atige o micro. 1

2 INSTRUMENTOS DE MEDIDA Os istrumetos (ou dispositivos) de medida, quato aos usos, se caracterizam pelas qualidades do PODER RESOLUTIVO ou RESOLUÇÃO, FIDELIDADE e PRECISÃO. A RESOLUÇÃO de um istrumeto é maior quato meores forem as variações da gradeza a ser medida e que podem ser idicadas pelo istrumeto. Na reiteração de medidas da mesma gradeza, repetidas sempre com o mesmo istrumeto, quato mais os resultados se apresetem cocordates (pouco dispersos), mais FIEL é o istrumeto. Um istrumeto é mais PRECISO ou JUSTO quato mais próximos do valor verdadeiro forem os resultados forecidos por ele. Esta última defiição pode parecer coter uma icosistêcia, uma vez que a obteção do valor verdadeiro é justamete o objetivo da medida. Deve-se eteder aqui a expressão valor verdadeiro como sedo um valor previamete cohecido. Isto porque, ou foi obtido utilizado outro método de medida através de trabalho prévio, ou se está procededo a uma comparação com um padrão. MÉTODO DE MEDIDA Em cada caso cocreto, a escolha do método de medida é de capital importâcia. Nessa escolha deve ser levada em cota a sesibilidade dos dispositivos de medidas, tedo-se presete os limites de precisão em que a gradeza em questão está defiida. Assim, a espessura de uma lâmia de vidro plaa de boa qualidade poderá ser medida de forma mais eficiete através de um método que utiliza a iterferêcia lumiosa do que diretamete com um paquímetro. HABILIDADE DO OPERADOR Evidetemete, é grade a ifluêcia da habilidade do operador a qualidade da medida. Mesmo quado a medida se resume a efetuar apeas uma leitura de escala, há precauções a serem tomadas como, por exemplo, para evitar o ERRO DE PARALAXE que sigifica o deslocameto aparete de um objeto, quado se muda o poto de observação. Para miimizar este tipo de erro, quado se observa um ídice que ão está situado exatamete o plao de graduação (tais como termômetros e istrumetos de escala com poteiros), deve-se etão observar a direção vertical (ormal) à escala. No caso de uma escala crescete da esquerda para a direita, se a observação é oblíqua, com o observador à direita em relação ao poteiro, sua leitura dará um valor maior que o esperado. Se o observador estiver à esquerda, a leitura será errada, pois o valor será meor que o aferido pelo istrumeto. ERROS Devemos reiterar ossa ateção para o fato de que ão existem e em poderiam existir istrumetos que os permitissem medir sem erro algum uma gradeza física. Nessas codições, com as restrições que cada caso exige, ecessitamos do coceito de valor verdadeiro de uma gradeza, ao meos, como hipótese de trabalho. O que importa é destacar que média de uma gradeza física difere sempre de algo do valor verdadeiro da mesma. Dar simplesmete um úmero como medida de uma gradeza, sem aquilatar o erro de que está afetado, seja aproximadamete ou em termos de probabilidade, ão sigifica muito. Uma medida tem setido, somete quado se pode determiar de uma forma ou de outra o erro de uma medição. 2

3 Classificação dos Erros 1. Erros Grosseiros. São aqueles proveietes de falhas do experimetador, podedo ser elimiados por medidas mais cuidadosas. Por exemplo: egao a leitura de um compoete a leitura de um istrumeto qualquer. 2. Erros Sistemáticos. São aqueles que resultam de causas costates que alteram de modo uiforme os resultados das medidas. Geralmete podem ser corrigidos, através das equações ou tabelas que se colocam o istrumeto para saber de quato é o erro. Se tais erros se devem ao aparelho de medida, são ditos istrumetais. Exemplo: uma trea de aço que se ecolheu. Ao ivés de um comprimeto de um metro, possui apeas 98 cm. Isso irá acarretar um erro sistemático a medida de um outro comprimeto. Se os erros sistemáticos se devem à falhas do experimetador, eles são ditos pessoais. Os erros pessoais são devidos à maeira peculiar de lidar com o istrumeto, difereça de avaliações de frações de divisão, etc. 3. Erros Acidetais ou Fortuitos. São aqueles que resultam de causas idetermiadas, que alteram de forma variável os resultados das medidas. Não podem ser elimiados e decorrem de variações de pressão atmosférica, tremores, poeiras, oscilações da temperatura, uidade, etc. DEFINIÇÕES Daremos agora algumas defiições que são de grade importâcia: 1. Valor Médio ou Valor Mais Provável. O valor médio ( x) ou valor mais provável de uma série de medidas é a média aritmética dessas medidas. Logo: x x1 + x2 + x x = (3) ode x 1, x 2, x 3,..., x são os valores ecotrados as medidas. x represeta a melhor estimativa que podemos efetuar de gradeza que estamos avaliado. 2. Desvios Desvio Absoluto ( x i ) da i-ésima medida, é a difereça etre o valor x i obtido essa medição e o valor médio x das diversas medidas efetuadas. Portato: x i = x i - x (4) Desvio Relativo D r (x) de uma medida é a razão etre o módulo do desvio absoluto pelo valor médio. x D r (x) = (5) x Se o desvio relativo for expresso em porcetagem será chamado Desvio Percetual. Represetado o desvio percetual de medida x por D p (x) teremos: ( 100. x ) % D p (x) = (6) x 3

4 Desvio Médio ( x) de uma série de medidas é a média aritmética dos módulos dos desvios absolutos. x x1 + x2 + x x = (7) Tomemos como exemplo a tabela de valores abaixo. Calcule o valor médio e o desvio médio das medidas x i 100,2 100,4 100,3 100,2 100,5 100,3 100,1 100,4 100,2 100,3 Solução: Para calcularmos o desvio médio devemos calcular primeiramete o desvio absoluto de cada medida, que podem ser vistos a tabela abaixo: x i x i x i ,2 100,4 100,3 100,2 100,5 100,3 100,1 100,4 100,2 100,3-0,09-0,09 0,21-0,19-0,09 0,09 0,09 0,21 0,19 0,09 Σxi=100,29 Σ x i = 0,92 Portato: 1002,9 0,92 x = = 100,29 x = = 0, Logo o valor médio x = 100,29 e desvio médio x = 0,09 OBS.: A razão para o desvio médio se idicado como x = 0,09 será exposta mais adiate. Desvio avaliado do istrumeto cosiste em admitir, como regra geral, que o erro itroduzido pelo istrumeto a leitura é, o míimo, metade do meor itervalo de escala deste valor. No etato, a regra de se usar metade da meor divisão do istrumeto como o desvio da medida ão é absoluta, ão podedo ser aplicada idistitamete a todos os casos. Para as escalas providas de ôio (explicação adiate) é coveiete tomar como desvio avaliado a precisão do ôio. Sempre que se fizer uma só medida de uma gradeza, deve-se acrescetar à medida o desvio avaliado do istrumeto utilizado. PRECISÃO DE MEDIDAS 1. Algarismos Sigificativos Uma medida será tato mais exata, quato mais próximo o valor ecotrado estiver do valor real. A precisão está relacioada com os erros acidetais e a exatidão está ligada, sobretudo aos erros sistemáticos. Se tivermos um processo de medida sem erros sistemáticos, etão os dois coceitos se idetificariam isto é, a medida exata seria também a mais precisa. Porém, ao medirmos uma gradeza com um istrumeto de medida qualquer, o valor dessa medida os será dado pelos algarismos efetivamete gravados a escala do 4

5 aparelho e, quado possível, por mais um algarismo avaliado a critério do operador, das frações ão gravadas. Supohamos que uma pessoa ão muito experiete teha realizado uma série de medidas de comprimeto e obtido o seguite resultado: Comprimeto médio = 925,47 mm Desvio médio = 3 mm Os algarismos 9 e 2 do valor médio, são exatos, mas o 5 é duvidoso, uma vez que o desvio médio absoluto é 3mm. O 4 e o 7 ão têm sigificado algum, o valor médio acima. Os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso são chamados ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS da medida. No valor médio acima, os algarismos 9, 2 e 5 são sigificativos. Como o próprio ome idica, eles possuem um sigificado, forecem uma iformação importate a respeito do valor da gradeza cosiderada. Depededo das uidades utilizadas as gradezas físicas podem ser expressas com zeros à direita ou à esquerda dos algarismos sigificativos sem serem cosiderados como tal. Por exemplo, uma medida de comprimeto de L=25,3m possui três algarismos sigificativos assim como quado trasformada para outras uidades como quilômetros (L=0,0253km) ou milímetros (L=25300mm). Zeros à direita podem ser de fato algarismos sigificativos resultates de uma medida e ão de uma trasformação de uidades. Para evitar cofusões é idicado o uso de potêcias de 10 (otação cietifica) ficado etão melhores expressos como L=25, km e L=25, mm os exemplos acima, ode fica evidete a quatidade de algarismos sigificativos. Via de regra, quado expressos os zeros à direita são cosiderados algarismos sigificativos. Observações. O desvio médio é utilizado como idicativo de icerteza, portato somete um algarismo sigificativo é usado. Os desvios médios são obtidos geralmete por cálculo. Podem-se usar dois algarismos sigificativos para efeito de aproximação. Com respeito às aproximações a serem realizadas o laboratório tem-se as seguites regras: 1. Quado o segudo algarismo sigificativo do desvio médio é meor que 5, a aproximação é feita abadoado-se este algarismo. Ex.: x = 0,042 x = 0, Quado o segudo algarismo sigificativo do desvio médio é maior ou igual a que 5, a aproximação é feita somado-se ao segudo algarismo sigificativo o úmero de uidades faltate para dez. Ex. x = 0,0037 x = 0, Operações com Gradezas Físicas. Muitas gradezas físicas ão podem ser medidas diretamete, mas são obtidas por meio de operações com outras medidas. A seguir é apresetada uma lista de operações com sua respectiva propagação de erros. Adição: V ± V = (x ± x) + (y ± y) = (x + y) ± ( x + y) Subtração: V ± V= (x ± x) (y ± y) = (x y) ± ( x + y) Multiplicação: V ± V = (x ± x). (y ± y) = (x. y) ± (x. y + y. x) Multiplicação por uma costate: V ± V = c. (x ± x) = (c. x) ± (c. x) Potêcia: V ± V = (x ± x) = (x ) ± (. x -1. x) Divisão: V ± V = (x ± x) / (y ± y) = (x/y) ± (1/y 2.(x. y+y. x)) Expoecial: V ± V = c (x ± x) = (c x ) ± (c x. l(c). x) 5

6 Aida com relação às operações matemáticas devemos cosiderar o úmero de algarismos sigificativos dos resultados das operações, de acordo com as seguites regras: Soma e Subtração: O resultado deve apresetar a mesma precisão da parcela de meor precisão. As parcelas devem ser aproximadas para esta precisão previamete à operação. Por exemplo, para somarmos os úmeros S = 253, , ,2 devemos aproximar todas as parcelas para uma casa decimal pois 5,2 é a parcela de meor precisão. Temos etão S = 253,6 + 0,1 + 5,2 = 258,9. Multiplicação e Divisão: O resultado deve ser aproximado para o mesmo úmero de algarismos sigificativos do fator de meor úmero de algarismos sigificativos. Assim, quado fizermos a multiplicação P = 3, ,9 temos como resultado P=22, resultado da aproximação de 21,67704 para o úmero de algarismos sigificativos do fator 6,9, ou seja, dois. Logaritmos: O resultado deve ter o úmero de casas decimais igual ao úmero de algarismos sigificativos do logaritmado. Assim, Log(3)=0,5 e Log(3,0)=0,47. Faça pesquisas a Iteret usado como palavras de busca: teoria de erros, erros e medidas e algarismos sigificativos e ecotrará diversas págias para complemetar seus cohecimetos sobre estes tópicos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. SPIEGEL, M.R. Estatística, Editora McGrawHill do Brasil LTDA, DORIA FILHO, U. Itrodução à Bioestatística, Negócio Editora, SILVA, E.M. & SILVA, E.M. Matemática e Estatística Aplicada, Editora Atlas S.A., AXT, R. & GUIMARÃES, V.H. Física Experimetal I e III. Porto Alegre, Editora da Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, 1981, 91p. 5. HENNIES, C.E. et alli. Problemas Experimetais em Física. Campias, Editora da UNICAMP, 1986, v. 1, 221p. 6. MAIA, L.P.M. Itrodução à Física. Rio de Jaeiro. Nacioalista, 1961, 143p. 7. MARTINS, N. et. alli. Física para a Uiversidade: aálise dimesioal. São Paulo, Editora Pedagógica e Uiversitária, 1979, v.1, 133p. 8. MORENO, M.O. Iiciação à Aálise de Dados Experimetais. Belo Horizote, Uiversidade Federal de Mias Gerais, 1986, 97p. 9. NUSSENZVEIG, H.M. Curso de Física Básica: Mecâica, vol. 1, São Paulo, Edgard Blücher Ltda, REGO, G.B. e Cuha, W.A. Mecâica, vol. 1, São José dos Campos, Istituto Tecológico de Aeroáutica, SQUIRES, G.L. Practical Physics. Cambridge, Cambridge Uiversity Press, TIMONER, A.; MAJORANA, F.S. e HAZOFF, W. Maual de Laboratório de Física: Mecâica, Calor e Acústica, São Paulo, Edgard Blücher Ltda., Maual de Laboratório de Física Experimetal I, Faculdade de Física, Uiversidade Federal de Uberlâdia. 6

7 EXERCÍCIOS 2) Calcular a área de uma placa em forma de trapézio, sabedo-se que as medidas obtidas foram: B (base maior)= 12,06 cm, com desvio= 0,03 cm; b (base meor)= 4,53 cm, com desvio= 0,06 cm;h (altura) = 5,72, com desvio de 0,08 cm. ( B + b) A =. h 2 3) Numa série de 10 medidas do comprimeto de uma mesa foram obtidos os seguites valores em cetímetros: 100,2; 100,4; 100,3; 100,2; 100,5; 100,3; 100,1; 100,5; 100,2; 100,3. Calcule o valor médio do comprimeto, seu desvio médio e o escreva sob a forma correta. 4) Na tabela a seguir ecotram-se registradas as medidas de comprimeto, largura e espessura de uma folha de papel. Calcule o valor médio, o desvio médio e escreva-os sob a forma correta (valores em cm). largura: 20,2 20,1 20,3 20,4 20,1 20,2 20,3 20,3 20,3 20,2 comprimeto: 30,5 30,4 30,6 30,4 30,5 30,6 30,4 30,5 30,3 30,3 espessura: 0,31 0,043 0,31 0,32 0,31 Após calcular os valores médios acima, use-os para calcular a área da face da folha e a escreva corretamete. Calcule o volume da folha a partir da área calculada ateriormete. Escreva o volume sob a forma correta. Calcule ovamete o volume diretamete, isto é, multiplicado (largura, comprimeto e espessura) e a escreva corretamete. Compare os dois volumes obtidos. 5) Na determiação do volume de um cilidro metálico, obtiveram-se os seguites valores para o diâmetro e para sua altura (valores em mm): diâmetro: 30,65 30,67 30,40 30,70 30,68 30,45 30,50 30,60 30,65 30,72 altura: 92,4 92,5 92,4 92,5 92,5 92,4 92,6 92,3 92,4 92,5 a) Calcule o valor médio do volume; b) Calcule o desvio médio do volume; c) Escreva o volume sob a forma correta. 6) Mediu-se um paralelepípedo metálico com uma escala graduada em milímetros e ecotraram-se os seguites valores: Comprimeto 202,54 Largura 113,32 Espessura 23,41 a) Escreva os valores acima sob a forma correta; b) Calcule o volume e o escreva sob a forma correta. 7) A massa de um bloco de forma cúbica de aresta aproximadamete igual a 2cm, é (30,133 ± 0,4)g. Com que precisão deve ser determiada a aresta do cubo para que a desidade da substâcia, possa ser calculada com desvio percetual iferior a 3%? 7