3 Incerteza nas medições experimentais 7. 5 Estimativa das incertezas aleatórias Propagação de incertezas 13

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1 Coteúdo 1 Medir A craveira e o palmer 3.1 Craveira Palmer Icerteza as medições experimetais 7 4 Algarismos sigificativos 9 5 Estimativa das icertezas aleatórias 11 6 Propagação de icertezas 13 7 Apresetação de dados e resultados 15 8 Método dos míimos quadrados Relação Y = AX + B Relação Y = AX Observações

2 Física Experimetal I - 007/008 Professor resposável: Coceição Martis Departameto de Física da FCUL 13 de Fevereiro de Medir Medir é comparar uma gradeza com outra da mesma espécie que se toma como uidade. Esta comparação pode ser feita directamete, por exemplo medido um comprimeto com uma régua, ou idirectamete, como a determiação da massa volúmica de uma substâcia a partir das medições directas da massa e das dimesões lieares de um corpo de forma regular costituído por uma amostra dessa substâcia. O resultado de uma medição é um valor umérico seguido de uma uidade. Uma medida experimetal exige a preseça de um istrumeto de medida, que se defie como um aparelho que trasforma um sial de etrada X (gradeza a medir) um sial de saída Y (valor umérico com uidade respectiva). A operação de medida itroduz uma iteracção etre o istrumeto de medida e o feómeo caracterizado pela gradeza que se mede. Em muitos casos esta iteracção pode alterar sigificativamete o resultado da gradeza a medir pelo que é ecessário quatificar essa ifluêcia e escolher o aparelho adequado. Por exemplo, ão é correcto medir a temperatura de 1 cm 3 de água itroduzido um termómetro de mercúrio com cerca de 1 cm 3 devolumequeseecotraa uma temperatura diferete. Um istrumeto de medida é caracterizado por: Itervalo de fucioameto gama de valores para os quais o aparelho temumfucioametocorrecto(valoresparaosquaisoaparelhoãoé daificado e a curva de calibração é válida). Resolução ou poder resolvete do aparelho - meor δx que o aparelho pode medir. Em geral, a medição de uma determiada quatidade apeas produz, como resultado, uma estimativa, isto é, um valor mais ou meos aproximado do verdadeiro valor dessa gradeza. Chama-se erro de uma medição à difereça etre o valor obtido a medição e o verdadeiro valor da gradeza ou o valor aceite (tabelado)paraagradeza. Oerroabsolutoéomódulododesvioetreovalor

3 medido x exp e o valor verdadeiro x v da gradeza: x exp x v. É mais sigificativo idicar o valor do erro relativo xexp xv x v 100% do que o seu valor absoluto. A exactidão 1 ou rigor de uma medição é tato maior quato meor o afastameto etre o valor medido e o valor real. A craveira e o palmer.1 Craveira A craveira é um istrumeto que serve para medir directamete, comprimetos, diâmetro de fios, diâmetros itero e extero de tubos, profudidade, etc. Também é cohecida como paquímetro e utiliza um óio. O óio é um dispositivo, cuja iveção é atribuída a Pedro Nues, que os permite efectuar a leitura das fracções de uidade, ou seja, das fracções da meor divisão de uma escala pricipal. O óio é costituído por uma escala pricipal e por uma pequea escala, que se pode fazer deslizar ao logo da escala pricipal, e que está dividida em certo úmero de partes iguais. Na figura 1 (a) e (b) estão represetados dois óios mm Escala pricipal mm 0 10 Escala auxiliar (a) (b) Figura 1: (a) a 10 divisões da escala auxiliar correspodem 9 divisões da escala pricipal (= 9mm); (b) a 0 divisões da escala auxiliar correspodem 39 divisões da escala pricipal (= 39mm). Qual é o valor da meor divisão apreciável com cada um dos óios represetados a figura 1 (a) e (b)? Para estarmos em codições de respoder a esta questão, vamos estudar em primeiro lugar o caso mais simples do óio represetado a figura 1 (a). A 10 divisões da escala auxiliar correspodem 9 divisões da escala pricipal, isto é, 9 mm. Etão, o valor da meor divisão da escala auxiliar é 9 10 mm, um pouco meos de 1 mm. A difereça etre a meor divisão da escala pricipal, 1 mm, 9 e a meor divisão da escala auxiliar, 10 mm, é 1 mm 9 10 mm = 1 10 mm Esta difereça desiga-se por atureza do óio N. 1 Accuracy em iglês. 3

4 Vamos agora olhar para o óio da figura 1 (b). A 0 divisões da escala auxiliar correspodem 39 mm. A meor divisão da escala auxiliar vale 39 0 mm, um valor próximo de mm, coforme se pode ver a figura. A atureza do óio da figura 1 (b) é mm 39 0 mm = 1 0 mm De um modo geral, a escala auxiliar é escolhida de modo que a das suas subdivisões correspodem (k 1) divisões da escala pricipal cohecida, figura ; k é um iteiro, que toma os valores 1 ou. No óio represetado a figura 1(a) k =1,oóiodafigura 1(b), k =. Sedo D o valor da meor divisão da escala pricipal e d o valor da meor divisãodaescalaauxiliar,aatureza do óio é a difereça etre kd e d, N = kd d (1) Notemos que kd éadivisãodaescalapricipalquemaisseaproximadameor divisãodaescalaauxiliar. O valor da meor divisão da escala auxiliar d éobtidade d =(k 1)D () (k-1)d mm d Figura : A divisões da escala auxiliar correspodem (k 1) divisões da escala pricipal. No óio represetado esta figura a 0 divisões da escala auxiliar correspodem 39 = 0 1 divisões da escala pricipal, vem k =. O sigificado desta relação está explicitada a figura. Vem, d = Substituido (3) em (1) vem: (k 1) D = kd D N = kd = D µ kd D (3) (4) 4

5 A atureza de um óio pode assim, ser facilmete obtida, dividido o valor da meor divisão da escala pricipal pelo úmero de divisões da escala auxiliar. A atureza de um óio represetado a figura 1(a) é, como vimos, 0.1 mm e do óio represetado a figura 1(b) 0.05 mm, respectivamete, 1mm/10 e 1mm/0, sedo 10 e 0 o úmero de divisões da escala auxiliar em cada um dos casos. Vamos agora ver como fazer a medição de um objecto de comprimeto L colocado etre as esperas fixa e móvel de uma craveira (fig. 3). Figura 3: Medição de um objecto de comprimeto L. Oobjecto A da figura deslocou ozerodaescalaauxiliarde10divisõesdaescalapricipal(l 0 =10mm) e a coicidêcia etre o traço da escala auxiliar e da escala pricipal faz-se agora a divisão i =13. Como a atureza deste óio é N =0.05 mm, ocomprimetodocorpo AéL = L 0 +in = = mm.da figura também cocluímos que x + id = kid dode x = id/ = in. Em geral, o objecto vai deslocar o zero da escala auxiliar de um úmero iteiro de divisões da escala pricipal, a que correspode um valor L 0,mais uma quatidade x, meor que uma divisão da escala pricipal, que pretedemos avaliar com o óio. L = L 0 + x Se o zero da escala auxiliar coicidir exactamete com o traço correspodete a L 0 etão x =0e o comprimeto do objecto será L = L 0 Como já dissemos (expressão 1) a atureza do óio N medeodesvioetrea divisãodaescalapricipal(kd) eameordivisãodaescalaauxiliar(d). Se o objecto tiver um comprimeto superior a L 0 a coicidêcia etre o traço da escala auxiliar e o traço da escala pricipal vai estar deslocado de i divisões a que correspode o valor in = x e o comprimeto do corpo A é L = L 0 + in 5

6 Figura 4: Na prática, os óios vêm graduados de forma a idicar directamete o produto i.n, represetado pela seta a figura, L=10.65 mm. Também podemos ecotrar este resultado guiado-os pela figura 3. Partimos de, x + id = kid e substuido d (eq. 3), vem: x = i D = in Na figura 3 apreseta-se a medição de um objecto de comprimeto L obtido do seguite modo: (a) Determia-se a atureza N do óio; (b) Desloca-se o óio de modo a ecaixar o objecto de comprimeto L que se pretede medir; (c) Lê-se o úmero L 0 da escala pricipal correspodete ao traço da régua que precede imediatamete o traço zero do óio; (d) Lê-se o úmero correspodete ao traço da escala auxiliar que coicide com um dos traços da escala pricipal; (e) O valor do comprimeto L é dado por: L = L 0 + in (5) Na prática, os óios vêm graduados de forma a idicar directamete o produto in como se idica a figura 4.. Palmer O micrómetro (ou palmer) é um istrumeto de precisão que costa basicamete de um parafuso micrométrico capazdesemoveraologodopróprioeixo. É utilizado para medir espessuras de lâmias e diâmetros de fios ou tubos. 6

7 O parafuso micrométrico serve para medir com exactidão fracções da meor divisão de uma escala rectilíea. Quado se dá ao tambor do parafuso, represetado a cizeto a figura 5, uma rotação completa, há um deslocameto o setido logitudial, medido a escala pricipal, igual ao passo do parafuso p. A atureza do parafuso é dada por: N = p/ (6) sedo oúmerodedivisõesdotambor. Figura 5: Represetação esquemática das escalas de um parafuso micrométrico. Uma escala pricipal graduada em mm e, além desta, uma outra também graduada em mm, mas deslocada de forma a permitir leituras de 0.5 mm. Perpedicularmete a estas observamos a escala do tambor, a cizeto a figura, que permite fazer leituras de umapequeafracçãodomm,coformeopassodoparafusoeasdivisõesdotambor. Estudo do aparelho 1. Verificar qual o valor de cada uma das divisões da escala pricipal.. Cotar o úmero de divisões em que está dividido o tambor. 3. Determiar o passo do parafuso (p); para isso, dá-se uma rotação completa ao parafuso, verificado-se a escala pricipal, qual o deslocameto logitudial da espera móvel. 4. Calcular a atureza do palmer (chama-se atureza do palmer, N ao meor comprimeto passível de ser medido pelo istrumeto); Para efectuar uma leitura, verificar iicialmete qual a divisão da escala pricipaldeixadaadescobertopelotamboremaispróximadoseubordoe, aida, qual a divisão deste (i) quefica em coicidêcia com a liha de referêcia. A leitura será dada pela expressão: L = L 0 + in = L 0 + i(p/) (7) 3 Icerteza as medições experimetais Qualquer medida que efectuamos tem alguma icerteza associada. Um resultado é absolutamete iútil se ão soubermos qual o seu grau de icerteza. Naturalmete, tetamos que as icertezas sejam tão pequeas quato possível, mas, em qualquer caso, é ecessário saber o valor dessas icertezas. 7

8 A icerteza a leitura de medições que usam escalas aalógicas de variação cotíua é, como regra, metade do valor correspodete à meor divisão apreciável (fig.6). A leitura o istrumeto de medida deverá ser feita com a maior precisão possível, isto sigifica estimar até uma fracção da meor divisão da escala do istrumeto. Se a meor divisão for suficietemete grade para permitir subdivisões metais com seguraça, a icerteza a leitura poderá ser cosiderada como metade dessa subdivisão. Estes critérios depedem do observador e terão de ser, por ele defiidos, com todo o cuidado. Tomado como exemplo os corpos represetados a figura 6 poderia estimar para medidas dos corpos A, B e C, respectivamete,.8, 4. e 4.5 uidades da escala, aida que, por seguraça, cotiuasse a cosiderar como icerteza a leitura 0.5 uidade da escala. Figura 6: Supodo que ão se faz uma estimativa, cosideramos para o objecto represetado pela seta A o valor 3 e para o objecto B o valor 4, por serem as divisões que estão, em cada um dos casos, mais próximas. No 1 o caso estou a fazer uma aproximação por excesso, o o caso por defeito. A maior icerteza que teho uma leitura com esta escala é de metade de uma divisão e que acotece a situação represetada pelo objecto C com uma dimesão que se situa sesivelmete a meio das divisões 4 e 5, ao fazer uma aproximação para 4 ou para 5. A icerteza a leitura em medições com istrumetos digitais é igual a uma uidade do último dígito represetado, o algarismo meos sigificativo usado. As icertezas associadas à leitura uma escala ou mostrador digital de um aparelho de medida são frequetemete desigadas por erros de leitura. A icerteza de uma medição isolada é, ormalmete, dada pelo erro de leitura, relacioado com a resolução do istrumeto de medida, a que serão adicioados evetuais erros de calibração do aparelho. Em medições repetidas haverá sempre alguma dispersão de valores aida que, em algus casos, seja muito pequea. A icerteza de uma medição devida à dispersão de valores é ormalmete maior que o valor que represeta o erro de leitura. São as icertezas aleatórias ou acidetais que se cometem aleatoriamete os dois setidos e resultam do facto de a resolução dos aparelhos de medida ser fiita ou da atureza estatística do próprio processo (por exemplo o úmero de úcleos que decaem uma desitegração radioactiva). O valor destas icertezas pode ser reduzido fazedo um tratameto estatístico de um úmero 8

9 elevado de medidas. A precisão de uma medida é tato maior quato meor for a dispersão δy os valores de saída Y para o mesmo sial de etrada X. Os resutados da medição de uma gradeza podem também estar afectados de erros sistemáticos queorigiamresultadossempreomesmosetido(ousempre por excesso, ou sempre por defeito). Uma má calibração do aparelho de medida, umdefeitoaposiçãodozeroouumaleiturafeitadeformaaorigiarerrosde paralaxe por os raios visuais ão estarem perpediculares à escala origiam erros sistemáticos que são muito diferetes das icertezas aleatórias. Os erros sistemáticos podem, se detectada a sua origem, ser compesados pela aplicação de um factor de correcção, pela alteração de procedimetos ou, se for caso disso, pela substituição do aparelho de medida. Uma deficiete correcção dos erros sistemáticos leva à perda de rigor ou exactidãodamedidadequefalámosa secção. O resultado de uma medida experimetal ão é apeas um valor umérico seguido de uma uidade, mas um itervalo de valores x exp ± x, ode x represeta uma estimativa razoável da icerteza da medição. Espera-se que o valor exacto da gradeza esteja cotido o itervalo cosiderado. Chamamos a ateção para a aplicação das palavras erro e icerteza. A palavra erro é mais correctamete aplicada aodesvioetreoresultadodeuma medição e o verdadeiro valor (ou ao valor aceite) de uma gradeza. A palavra icerteza é mais adequada para a dispersão de valores obtidos como resultado de medidas sucessivas. Cotudo, a aplicação usual destes termos ão respeita esta ideia, e temos de tomar ateção ao cotexto em que aqueles termos são aplicados. 4 Algarismos sigificativos Algarismos sigificativos são os dígitos cohecidos uma medição. O uso correcto dos algarismos sigificativos assegura a represetação correcta da icerteza uma medição. O dígito mais à direita será o úico dígito afectado pela icerteza experimetal. A cotagem é feita da esquerda para a direita, começado o primeiro algarismo ão ulo e termiado o primeiro algarismo afectado pela icerteza. O zero à direita do poto decimal cota como algarismo sigificativo ao cotrário do que acotece com os zeros à esquerda. Os úmeros seguites têm 3 algarismos sigificativos: Os zeros dão frequetemete origem a cofusões. Se pretedemos escrever o úmero 310 o mais adequado é usar otação cietífica e escrevemos seozeroãotemsigificado físico, e temos 3 algarismos sigificativos, ou se a precisão do resultado iclui aquele dígito, e temos 4 algarismos sigificativos. Quado o resultado de uma medição é correctamete represetado em otação cietífica todos os dígitos são sigificativos. Precisio em iglês. 9

10 Os registos feitos a sequêcia de uma medição devem idicar todos os dígitos que a resolução do aparelho de medida permite. Assim, um croómetro com décimas de segudo, se o itervalo de tempo medido foi exactamete 6 segudos, deverá ser registado 6.0 s. As quatidades defiidas têm um úmero ifiito de algarismos sigificativos. Na expressão do perímetro da circuferêcia, P =πr, o algarismo é exacto tem, portato, um úmero ifiito de algarismos sigificativos e π pode sempre ser represetado com um úmero de algarismos superior ao das medições efectuadas, é assim que o devemos usar, com uma precisão superior à das medições que realizamos, para que ão cotribua para a icerteza o resultado. É, portato, icorrecto usar π =3.14 se a medição de R tiver 3 ou mais algarismos sigificativos. As operações efectuadas com os resultados das medidas devem coduzir a resultados em que só último dígito apresetado está afectado de icerteza experimetal. Numa multiplicação ou uma divisão, como vemos o exemplo, pelo facto de cada uma das medições ter o último dígito afectado de icerteza (algarismo sublihado) o resultado da operação apreseta um cojuto de algarismos afectados de icerteza; o exemplo, 5 dos 6 algarismos do resultado estão afectados pela icerteza experimetal. O resultado a apresetar só deverá ter um algarismo afectado de icerteza experimetal, ou seja, este caso, algarismos sigificativos Como regra, o resultado de um produto ou divisão terá tatos algarismos sigificativos quatos o do factor com meor úmero de algarismos sigificativos. Como pretedemos apresetar aquele resultado, , com algarismos sigificativos e o algarismo a seguir a 16. é 6 arredodamos o resultado para cima e idicamos o resultado 17. A adição ou subtracção de úmeros com diferete úmero de decimais deve mater o úmero de decimais da parcela com meor úmero de decimais O resultado desta operação deverá ser idicada como 8.3, estado o algarismo 3 afectado da icerteza experimetal. De otar que estas são as regras a seguir para uma apresetação de resultados; em cálculos itermédios, cuja apresetação ão seja passível de trasmitir iformação sobre a precisão da medição ão requerem, do poto de vista de 10

11 algarismos sigificativos, cuidados a sua apresetação. Um determiado resultado que vai etrar em cálculos posteriores deve mesmo mater mais um ou dois algarismos do que os estritamete sigificativos. 5 Estimativa das icertezas aleatórias Quado fazemos uma medição isolada o resultado vem afectado da icerteza associada à resolução do aparelho de medida. Na repetição das medições observase uma dispersão de valores que desigámos por icertezas aleatórias. Qualquer que seja a experiêcia, limitamo-os a fazer um úmero fiito de medições. Os ossos valores represetam uma amostra do cojuto ifiito de possíveis resultados da medição de uma gradeza. Embora ão possamos determiar exactamete a quatidade x queremos descrever a distribuição costituída por todos os resultados possíveis das medições. Em geral, os resultados distribuem-se simetricamete em toro do valor mais provável, podedo cosiderar-se o valor médio como a melhor estimativa do valor de x. x = (8) Admitido que podemos desprezar ou corrigir evetuais erros sistemáticos, esperamos que os resultados das medições, em média, se distribuam em toro do valor correcto. Outra característica habitual do cojuto de resultados obtidos é a sua distribuição em toro da média segudo uma curva gaussiaa ode os valores mais afastados da média são pouco prováveis. A largura da distribuição das medidas experimetais pode ser parametrizada pelo desvio padrão da amostra, v u (x i x) t σ x = (9) ( 1) σ x é um desvio quadrático médio - raiz quadrado da soma do quadrado dos desvios das medidas x i relativamete ao valor médio x, divididopeloúmerode medições meos uma. Ao dividimos por ( 1) eãopor estamos a corrigir o facto de a ossa amostra ão ser ifiita. Numa distribuição gaussiaa ou ormal (fig. 7) esperamos que 68% dos valores experimetais se ecotrem o itervalo [x σ x ; x + σ x ] e 95% o itervalo [x σ x ; x +σ x ]. Se se realizarem cojutos de medidas, as médias respectivas também se distribuem segudo uma gaussiaa, cuja largura, parametrizada pelo respectivo desvio padrão da média, é v σ x = σ u (x i x) x t = (10) ( 1) x i 11

12 Figura 7: Distribuição de probabilidade dos resutados da medição de uma gradeza em toro de um valor médio m que pode ser cosiderado a icerteza da média de um cojuto úico de medidas. Se as medições x 1,x,... da gradeza x foremobtidascomprecisõesdiferetes o que acotece, por exemplo, se forem usadas técicas diferetes, se for alterado o istrumeto de medida ou o observador, o valor médio de x deve ser calculado de forma a ter em cota essas difereças de precisão; quato maior for a precisão e, portato, meor for a icerteza associada à medição, maior será a sua cotribuição, isto é, o peso desta medição o cálculo da média. A média pesada ou poderada 3 édefiida por: x = P x i σ i P 1 σ i (11) Existem algus critérios que permitem rejeitar um valor isolado que se afaste muito do restate cojuto de valores. Estes critérios baseiam-se as distribuições estatísticas esperadas. Por exemplo, para a distribuição gaussiaa, a (x i x) 3 σ À média pesada associa-se o desvio padrão da média pesada σ x = i. A icerteza defiida por σ j = 1 1 σ i ( 1) 1 σ i reflecte a cosistêcia itera das observações, devedo, as icertezas defiidasporestasduasrelaçõestervalorespróximos. 1

13 probabilidade de que uma medição caia fora do itervalo defiido por 3 desvios padrões é igual a 0.33% (P (x / [x 3σ x ; x +3σ x ]) = 0.33%) pelo que, pode cosiderar-se como critério, ão coservar valores que, um cojuto de medidas ( >10), se afastem mais do que 3σ x do valor médio x, calculado x e σ x com os restates 1 valores. Quado o úmero de valores é pequeo 4 ão se podem rejeitar valores. Se o úmero de medições for pequeo ( <10) ão faz setido calcular o desvio padrão e a icerteza é tomada igual ao módulo do maior desvio detectado, desigado habitualmete por limite superior do erro. x = max { x i x } (1) Dispodo de um cojuto de medições de uma gradeza podemos costruir com elas um histograma para os apercebermos do modo como se distribuem os valores. Para isso dividimos o itervalo ode se situam os resultados das medições em sub-itervalos a que chamamos classes e cotamos o úmero de acotecimetos, frequêcia, em cada uma das classes. O gráfico do úmero de acotecimetos em cada classe costitui o histograma. A escolha do itervalo das classes poderá ter de ser feita por tetativas; itervalos correspodetes a σ/ ou σ/3 coduzem, se o úmero de medições for elevado, ormalmete, ao aparecimeto evidete de certas regularidades estatísticas. Os itervalos de amplitude h sãodaforma]x 0 + j h/,x 0 + j + h/] sedo j =0, ±1, ±, e ode h é um valor aproximado de σ/ ou σ/3 e x 0 próximo de x. 6 Propagação de icertezas Supohamos que o cálculo do resultado R evolve várias gradezas idepedetes x, y, z, medidas experimetalmete, e com icertezas associadas: x, y, z, : x ± x, y ± y, z ± z, AgradezaR é uma fução destas variáveis, R = f(x, y, z, ). Para obter a icerteza associada a R para pequeas variações de x, y, z,, utilizamos a diferecial total dr = f x dx + f y f dy + dz + z Agora substituímos as pequeas variações dr,dx,dy,dz, pelas icertezas R, x, y, z,. Além disso, como as variáveis x, y, z, são completamete idepedetes, para termos a certeza de que obtemos a gama completa de valores de R origiados por estas icertezas, tomamos os valores absolutos das derivadas de modo que as parcelas se adicioam sempre. Obtemos R = f x x + f y y + f z z + (13) 4 Não existe um critério geral acerca do úmero míimo de observações a partir do qual se pode usar a aálise estatística dos dados. Vamos cosiderar que cerca de 10 observações costituem um limite aceitável para fazermos aquele tratameto. 13

14 ode tomamos x, y, z, positivos. A utilização correcta dos algarismos sigificativos coduz a um valor fial de R com 1 ou, o máximo, algarismos sigificativos. Esta expressão para o cálculo da icerteza R é aplicada quado a determiação de R = f(x,y,z,...) é obtida a partir de um úmero pequeo de medições (que aqui cosiderámos ser iferior a 10) de cada uma das gradezas x,y,z,...; os valores de x, y, z, que etram o cálculo de (13) são, portato, os valoresdolimitesuperiordoerro,que,ocasodeumaúicamediçãodecada uma das gradezas x,y,z,... se reduz ao erro de leitura a medição daquelas gradezas. Se a medição repetida das gradezas x,y,z,... permite um tratameto estatístico que coduza aos valores dos desvios padrão σ x,σ y,σ z,... a icerteza em R = f(x, y, z,...) édadapelodesviopadrãoder defiido por: σ R = s µ f x µ µ f f σ x + σ y y + σ z z +... (14) Vamos mostrar que assim é, exemplificado para uma fução de variáveis, f(x, y). Foram feitas medições das gradezas x e y x 1,x,..., x y 1,y,...,y tedo obtido x±σ x e y±σ y. A icerteza em R = f(x, y) será dada pela gradeza, desvio padrão, raiz quadrada da soma do quadrado dos desvios dividida por ( 1), v v P u (f(x, y) f(x t i,y i )) P u (df t i ) σ R = = (15) 1 1 Vamos fazer este cálculo. Partimos da expressão da diferecial total aplicada a cada uma das medições, ³ ode f x e expressão aterior e obtemos df i = f x dx i + f y dy i ³ f y sãocalculadosopoto(x, y). Tomamos o quadrado da (df i ) = µ f dx i + x µ f dyi + f f y x y dx idy i Substituido em (15) vem: v P u t σ R = ³ f x dx i + ³ f y dy i + f f x y dx idy i 1 (16) 14

15 O somatório em (16) pode ser simplificado admitido que, para um grade úmero de medições, a soma dos termos cruzados é ula, pois é de esperar que, sedo os desvios dx i e dy i us positivos e outros egativos, os produtos dx i dy i sejam, também eles, us positivos e outros egativos e o somatório P f f x y dx idy i se aule, dode v P ³ ³ u f t x dx i + f y dy i σ R = (17) 1 De acordo com (9) a expressão aterior toma a forma s µ f µ f σ R = σ x x + σ y y (18) como queríamos mostrar. A expressão (14) é também a expressão da icerteza a usar quado as gradezas x, y têm uma atureza itríseca que é estatística. 7 Apresetação de dados e resultados Oresultadofial da medição de uma gradeza R, obtida directa ou idirectamete, e da icerteza associada é apresetado a forma R ± R. R e R devem, para facilitar a comparação, estar a mesma uidade e, quado em otação cietífica, com os mesmos expoetes da potêcia de 10. Qualquer das seguites formas para represetar o resultado 5.3 cm, de uma medição feita com uma régua, está correcta: (5.3 ± 0.05) cm (53. ± 0.5) mm (.53 ± 0.005) 10 1 m. Sempre que possível os dados devem aparecer sob a forma de tabelas. As regras da sua apresetação são sempre regras de bom seso. Devem permitir idetificar claramete as gradezas medidas e a precisão com que foram tomadas as medidas, sem coter iformação repetida. Para quê criar uma colua em que todos os valores são iguais? Esses dados podem fazer parte do iformativo da tabela sob a forma de cabeçalho ou ota abaixo da tabela. Para quê repetir em todas as leituras a uidade em que foram feitas as medições? Essa iformação deve estar aocimodacoluajutametecomo símbolo da gradeza medida. A mesma tabela pode coter gradezas medidas directamete e outras idirectamete a partir daquelas. Utilize uma folha de cálculo para estabelecer estas relações e costruir a tabela. A represetação gráfica dos valores obtidos é, em muitas situações, uma ferrameta de trabalho idispesável, quer porque os pode permitir cohecer 15

16 o tipo de relação etre duas gradezas: liear, quadrática, expoecial,..., quer porque, admitido cohecida a relação etre aquelas duas gradezas, os permite cohecer outras gradezas físicas evolvidas. Um gráfico é também um meio poderoso para, de uma forma rápida, trasmitirmos a iformação mais relevate de um determiado processo. Destas premissas advêm os cuidados que devemos pôr o seu traçado. Em cada um dos eixos deve aparecer claramete a gradeza e a uidade em que está expressa, além de uma escala de leitura fácil (ote-se que é só uma escala, ão pretede dar iformação sobre os algarismos sigificativos das medições, essa iformação costa da tabela). Um outro aspecto muito importate: os potos experimetais são um elemeto fudametal do gráfico, portato, eles ão podem ficar ecobertos por qualquer liha, mesmo o traçado correspodete a uma fução fisicamete sigificativa ajustada aos potos experimetais, deve ser feito em traço fio de forma a respeitar a visualização dos potos experimetais. 8 Método dos míimos quadrados Frequetemete, a relação etre duas gradezas é liear ou pode ser tratada de forma a ser traduzida por uma relação liear. Vamos restrigir-os às situações que possam ser descritas por relações lieares. O movimeto de um corpo laçado de cima de uma torre com velocidade horizotal v 0x é descrito pelas equações, x = x 0 + v 0x t y = y 0 + gt / ode a direcção do eixo dos yy foi escolhida como a direcção da aceleração da gravidade e (x 0,y 0 ) são as coordeadas do poto de ode é feito o laçameto. A primeira equação exprime uma relação liear etre o espaço percorrido x x 0 eoitervalodetempot ecessário para o percorrer; o traçado do gráfico, posição x em fução de t é traduzido por uma recta cujo declive é v 0x ea ordeada a origem x 0.Na a equação o espaço percorrido y y 0 é uma fução quadrática do tempo t mas a relação de y com t é uma recta cujo declive é g/ e a ordeada a origem y 0. Um modo de obter os parâmetros da recta Y = AX + B que melhor descreve a relação etre os potos experimetais (,Y i ) é represetar em papel milimétrico os valores da gradeza Y em fução dos valores de X e traçar a recta que melhor parece miimizar as distâcias aos potos experimetais (,Y i ). Nesta situação, os desvios médios à recta dos potos experimetais situados acima e abaixo dessa recta, deverão ser aproximadamete iguais. O declive A da recta é obtido com base em dois potos (X1,Y1) e (X,Y) da recta, A = Y Y 1 X X1 (19) 16

17 A ordeada a origem B éovalordey ode a recta cruza o eixo dos yy (valor de Y para X =0). Matematicamete, o método para ecotrar os parâmetros A e B da recta que melhor se ajusta aos potos experimetais (,Y i ),opressupostodeque etre as gradezas X e Y se pode estabelecer uma relação liear, é o método dos míimos quadrados. 8.1 Relação Y = AX + B Vamos apresetar as bases do método dos míimos quadrados usadooajuste de uma recta Y = AX + B aos potos experimetais (Xi,Y i) para determiar os parâmetros A e B. Dado um cojuto de potos experimetais (,Y i ) pretedemos cohecer os parâmetros A e B da recta Y = AX + B que melhor se ajusta aos potos experimetais, o mesmo é dizer, tal que a difereça etre os valores Yi 0 determiados, para cada, a partir da recta ajustada e os valores experimetais Y i, D i = Y i Yi 0 = Y i (A + B) seja a meor possível. Isto é feito miimizado a soma do quadrado das difereças, Di = X (Y i Y 0 i ) = relativamete a A e B, Vem Y i + A X i + B +AB Y i B A Y i (0) P Di =0 (1) A P Di =0 () B A Xi + B B + A Prosseguido o desevolvimeto 5 obtemos 5 em adeda Y i =0 (3) Y i =0 (4) P P Y i P Y i A = P P X P i Y i P Y i B = (5) (6) 17

18 µ P ode = X P i. A forma de determiar a precisão de um ajuste dos dados experimetais à fução respectiva mede-se pelo coeficiete de correlação liear, r. Esteédefiido por: P P Y i P Y i r = v " µ u t P P # (7) Yi Y i Se houver um ajuste perfeito, ou seja, se todos os potos coicidirem sobre a recta, etão r =1; se os dados estiverem dispersos, etão r afasta-se de 1 e tede para 0. Certamete que as medições experimetais das gradezas X, Y que coduziram aos potos experimetais ( Y i ) estão afectadas de icertezas. Para ão dificultar o etedimeto das ideias fudametais do método dos míimos quadrados liear optámos por ão icluir, esta apresetação, as icertezas os potos experimetais. Do poto de vista de valores obtidos o cálculo dos parâmetros A e B, isto é idêtico a cosiderar que a icerteza é a mesma para todos os potos. As icertezas que afectam os parâmetros A e B pode provir das icertezas associadas à medição das gradezas X, Y 6 e das icerteza proveiete dos desvios etre a recta ajustada e os potos experimetais, estas são dadas por: s δ Y σ A = (8) v u P ode δ Y = (Y i A B). 8. Relação Y = AX σ B = t δ Y Xi (9) ParaocasodearectaaajustarserdotipoY = AX o mesmo tipo de raciocíio coduz a: P Y i A = P (30) Xi 6 Se todas as medições Y i tiverem a mesma icerteza σ e a icerteza as medições da gradeza X poder ser desprezada vem: σ A = σ/ Xi e σ B = σ/. 18

19 e a icerteza o parâmetro A é dada por v σ A = u t P (Y i A ) 1 Xi (31) 8.3 Observações O método dos míimos quadrados permite obter os parâmetros da recta que melhor se ajusta aos potos experimetais. Se o úmero de potos experimetais fôr pequeo podemos aida usá-lo para ecotrar a recta que melhor se ajusta aos potos experimetais. Cotudo, as expressões que apresetámos para o cálculo das icertezas os parâmetros é baseado um tratameto estatístico dos dados e, os valores, deste modo obtidos, terão sempre de ser tomados como uma estimativa muito optimista da icerteza que afecta os parâmetros. 19

20 Adeda Obteção das expressões (5) e (6) dos parâmetros A e B que miimizam P Di ode D i = Y i Yi 0 = Y i (A + B) Di = = = = (Y i (A + B)) ³ Yi +(A + B) Y i (A + B) Y i + A X i + B +AB Y i B A Y i Yi + A Xi + B +AB A Y i B Y i (3) P Codições de miimização de Di : P Di =A Xi +B Y i =0 (33) A P Di =B +A Y i =0 (34) B Desta última relação vem: B = que, substituido em (33) coduz a Y i A (35) Ã A Xi +! X X Y i A Y i =0 Ã A Xi 1! X = Y i 1 X Y i 0

21 dode X Y i 1 Y i A = Ã! Xi X 1 ou X X Y i Y i A = Ã! (36) Xi X Substituido a expressão de A em (35) vem X B = 1 X i Y i 1 Y i Ã! Xi X Y i B = = Xi Xi Ã! X Y i 1 Y i X Y i Ã! Xi X X Y i à X! X Y i + 1 Ã! Xi X X Y i 1