ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO

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1 ESTATÍSTICA PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO

2 Medidas de tedêcia cetral Medidas cetrais são valores que resumem um cojuto de dados a um úico valor que, de alguma forma, seja represetativo do cojuto. As mais importates medidas de tedêcia cetral são: a média aritmética, a mediaa e a moda. Também são usados a média aritmética para dados agrupados, a média aritmética poderada, a média geométrica, a média harmôica. Se os dados provêm de uma amostra, a média, a mediaa e as demais medidas de tedêcia cetral são dados estatísticos e, se os dados provêm da população, eles são parâmetros.

3 Média Defiição: A média (valor esperado, ou valor médio) de um cojuto de observações é, simplesmete, a soma dos valores das observações dividida pelo úmero de observações. Média Aritmética (MA) Por exemplo: A idade de 6 pessoas de uma determiada residêcia são: 5, 20, 34, 30, 62, 67 usado os dados de idades de 6 pessoas, se obtém como valor médio ,3 aos. 6 Notação: Se x1, x2,..., x deota uma amostra de observações, etão a média da amostra deota-se por (MA) e é calculado como: MA xi 1 x1 x2... x i

4 Média Media aritmética de valores, é o valor que se obtém, dividido por, a soma desses valores. Exemplo: um casal tem quatro filhos com as idades: 11, 13, 15 e 17 aos. A média aritmética é: x A média das idades é 14 aos. Quado há dados agrupados, o cálculo da média faz-se em relação ao valor cetral das classes.

5 Média Poderada(MP) Seja x uma variável quatitativa que assume valores x1, x2,..., x, com frequêcias absolutas respectivamete iguais a 1, 2,...k A média Aritmética Poderada é defiida como: MP MP x. p i i i p1 p2 p3... p pi i1 50x2 62x2 65x391x x. p x. p x. p... x. p Ex:As otas bimestrais de Adriaa em Matemática foram respectivamete: 50; 62; 65; 91 e seus pesos são respectivamete 2,2,3,3. Qual foi a MP de Adriaa? 69, 2

6 Um feirate possuía 50kg de maçã para veder em uma mahã. Começou a veder frutas por R$ 2,50 o quilo e, com o passar das horas, reduziu o preço em duas ocasiões para ão haver sobras. A tabela seguite iforma a quatidade de maçãs vedidas em cada período, bem como os diferetes preços cobrados pelo feirate. Naquela mahã por quato foi vedido, em média, o quilo da maçã? 32vezes 13vezes 5vezes 2,50 2, ,50 + 2,0...2,0 1,40 1, , 40 MP , , , MP 2,26 reais Ou seja, R$ 2,26 é o preço médio do quilo da maçã vedido.

7 Moda (Mo) Defiição: Defie-se moda de um cojuto de observações de uma amostra como sedo o valor que surge com mais freqüêcia se os dados são discretos, ou, classe modal ao itervalo de classe com maior freqüêcia, se os dados são cotíuos. Exs: - No caso em que {0,0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4,5}, a moda é 0 e, este caso, verifica-se que em sempre a moda é uma medida de tedêcia cetral. - Por outro lado, tem-se que o cojuto {0,1,2,4,5,8} ão tem moda - A moda também pode ser determiada para variáveis qualitativas, como por exemplo: flamego, flamego, flamego, flamego, flamego, vasco, vasco, flumiese, flumiese, flumiese, botafogo, américa. A moda é flamego. - A moda dos valores {0,0,0,1,1,2,2,2,3,4} são duas: 0 e 2. O cojuto é dito bimodal;

8 Moda Moda é o valor mais frequete da variável estatística. Exemplo: A seguite tabela estatística foi costruída com base o úmero de filhos dos 25 casais que costituem a família Sr. Alberto. Número de filhos Frequêcia absoluta Pode cocluir-se que, este caso, a moda é ter 1 filho. Bimodal existem duas modas diferetes. Plurimodal existem mais de duas modas diferetes. Amodal ão se cosegue determiar ehum valor para a moda, pois todos os elemetos se repetem igual úmero de vezes.

9 Mediaa(Me) A mediaa é uma medida de localização do cetro da distribuição dos dados, defiida do seguite modo: Defiição: Ordeados os elemetos da amostra, do meor para o maior, a mediaa de observações é o valor (pertecete ou ão à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elemetos da amostra são meores ou iguais à mediaa e os outros 50% são maiores ou iguais à mediaa. Para a sua determiação utiliza-se a seguite regra, depois que a amostra de elemetos é ordeada: Se é ímpar, a mediaa é o elemeto médio. Se é par, a mediaa é a semi-soma dos dois elemetos médios (cetrais).

10 1ª Situação 2ª Situação Notas orgaizadas em ordem crescete Número de faltas durate um periodo de 15 dias. 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7 Mediaa Como é ímpar 50% dos valores são maiores ou iguais a mediaa e 50% dos valores são meores ou iguais a mediaa. Como é par, a mediaa será 7,3 7, 4 7,35 2 Observação: A mediaa é resistete, isto é, ão sofre com as alterações modificações efetuadas com as trocas os valores extremos da amostra. A moda é uma medida especialmete útil para reduzir a iformação de um cojuto de dados qualitativos apresetados sob a forma de omes ou categorias, para os quais ão se pode calcular a média e por vezes a mediaa.

11 Vamos calcular a média e a mediaa de um dos exemplos ateriores e fazer algumas observações: MA 267,9 40 6,7 Me 7,35

12 Mediaa Mediaa é o valor cetral da variável estatística, de tal modo que exista igual úmero de observações iferiores e superiores a esse valor. Exemplo 1: Um casal tem cico filhos, com as idades: 3, 5, 8,10, Mediaa x 8 (. ímpar de observações) Exemplo 2: Outro casal tem seis filhos, com as idades: 1, 3, 5, 8,10, (. par de observações) , 5 Mediaa

13 Medido Variações: Cosidere 2 (dois) cojutos de dados que têm a mesma média, a mesma mediaa e a mesma moda. Naturalmete, eles diferem a variabilidade. Os valores do primeiro cojuto de dados estão mais cocetrados ao redor de 60, como a seguir: Lista 1: 55, 56, 57, 58, 59, 60, 60, 60, 61, 62, 63 64, 65 Média = mediaa = moda = 60 Lista 2: 35, 40, 45, 50, 55, 60, 60, 60, 65, 70, 75, 80, 85 Média = mediaa = moda = 60 X X XXXXXXXXXXX X X X X X X X X X X X X

14 Medidas de dispersão Um aspecto importate o estudo descritivo de um cojuto de dados é o da determiação da variabilidade ou dispersão desses dados relativamete à medida de localização do cetro da amostra. Supodo ser a média a medida de localização mais importate, será relativamete a ela que se defie a pricipal medida de dispersão: a variâcia, que será defiida a seguir. Variâcia V Defiição: Defie-se a variâcia(v) como sedo a medida que se obtém somado os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamete à sua média, e dividido pelo úmero de observações da amostra. Assim, se as observações de uma variável X são x1, x2,..., x, a variâcia é 2 ( xi MA) i1 ( x1 MA) ( x2 MA)... ( x MA)

15 ode x1 x2... x M A é a média aritmética das observações Observação: A variâcia de uma amostra é mais comumete defiida como acima, mas substituido o deomiador por -1 (isto é feito para que ela seja um estimador ão eviesado da verdadeira variâcia da população). Para amostras grades, ambas as expressões dão praticamete o mesmo resultado.

16 Desvio-padrão Defiição: Uma vez que a variâcia evolve a soma de quadrados, a uidade em que se exprime ão é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas uidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variâcia e obtemos o desvio padrão. Assim, o desvio padrão de uma variável X cujos valores são x1, x2,..., x, é dada por DP V ( x MA) ( x MA)... ( x MA) O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores ão egativos e quato maior for seu valor maior será a dispersão dos dados da amostra. Exemplo:

17 Prof: RANILDO LOPES

18 FIM