Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

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1 Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ao 08 - a Fase Proposta de resolução Cadero... Como P µ σ < X < µ + σ 0,94, logo como P X < µ σ P X > µ + σ, temos que: P X < µ σ 0,94 E assim, vem que: P X > µ σ P X < µ σ 0,94 Resposta: Opção C 0,977 0,94 0,94 µ µ σ µ + σ 0,94.. Como a soma dos âgulos iteros de um triâgulo é 80, vem que: AĈB 80 A ˆBC BÂC E assim, calculado o valor de AB recorredo à Lei dos seos, e arredodado o resultado às cetésimas, temos que: se A ˆBC AC se AĈB AB se 8 se 4 AB se 4 AB se 8 AB,9 Resposta: Opção C. Cosiderado a eperiêcia aleatória que cosiste em escolher, ao acaso, um atleta do clube, e os acotecimetos: B: O atleta praticar basquetebol F : O atleta praticar futebol Temos que P B ; P F e P B F 4 Assim, orgaizado os dados uma tabela obtemos: P F P F P B F P F P B F P B F P B P B F P B F P F P B F Desta forma, como P B F > 0, temos que, eiste pelo meos, um atleta do clube que pratica as duas modalidades desportivas. B B F F Págia de 9

2 ... Como eistem vogais, eistem hipóteses para o primeiro dígito do código. Para os restates dígitos do código eistem 9 algarismos dispoíveis, e como os algarismos devem ser todos diferetes, para as restates dígitos eistem 9 A escolhas diferetes. Assim, as codições do euciado eistem 9 A 0 úmeros. Resposta: Opção D.. Como eistem 4 caracteres diferetes e os códigos possíveis são costituídos por 4 caracteres, evetualmete repetidos, etão o úmero de códigos diferetes que é possível formar, ou seja o úmero de casos possíveis, é 4 A Para que um código seja costituído por quatro algarismos diferetes cujo produto seja um úmero ímpar, deve ser costituído só por algarismos ímpares, pelo que eistem algarismos,,, 7 e 9, que podem ser colocados em 4 posições, cuja ordem é relevate e sem repetição. Isto é, eistem A 4 casos favoráveis. Assim, recorredo à Regra de Laplace, calculado a probabilidade de selecioar um código as codições do euciado e arredodado o resultado às milésimas, temos: p A 4 4 A , Como o poto P tem abcissa P, e ordeada y P, substituido estas coordeadas a equação da superfície esférica, calculamos a cota z P : P +y P +z P z P z P + 0 z P + 0 z P + ± 9 z P ± z P 4 z P Como a cota do poto P é egativa, as coordeadas do poto P são,, 4 Como o plao é perpedicular à reta r, vetor diretor da reta v 4,, é um vetor ormal do plao, e assim a equação do plao é da forma: 4 + y z + d 0 E como o poto P pertece ao plao, podemos determiar o valor do parâmetro d, substituido as coordeadas, a equação aterior: v d d 0 + d 0 d E assim, uma equação do plao que passa o poto P e é perpedicular à reta r, é: 4 + y z 0 Págia de 9

3 4.. Como a superfície esférica tem de equação + y + z y + z 0 As coordeadas do cetro são C,,, pelo que as coordeadas do poto A são,, Assim temos que, como O é a origem do referecial OA,, e OC,,, pelo que: OA OC E assim, recorredo à fórmula do produto escalar vem: cos OAˆ OC OA. OC OA OC,,.,, Logo, a amplitude do âgulo AOC, em graus, arredodado às uidades, é: AÔC cos 48. No primeiro istate cosiderado a amplitude do âgulo ASM é α, e a distâcia de Mercúrio ao Sol é dα 0,0 cos α Relativamete ao segudo istate cosiderado, a amplitude do âgulo ASM é três vezes maior, ou seja, α, e a distâcia respetiva é dα 0,0 cos α Aida relativamete ao segudo istate cosiderado, como a distâcia do plaeta Mercúrio ao Sol dimiuiu %, é igual a 97% da distâcia aterior, ou seja: dα 0,97 dα 0,0 cosα 0,97 0,0 cos α 0,0 cos α 0,97 0,0 cosα Visualizado a calculadora gráfica o gráfico da 0,0 cos fução f, e a reta horizotal de equação y 0,97, para 0 < < 0 porque 0,0 cos α está compreedido etre 0 e 0 graus, reproduzido a figura ao lado, e usado a fução da calculadora para determiar valores aproimados das coordeadas do poto de iterseção de dois gráficos, obtemos o valor aproimado às uidades da abcissa do poto de iterseção, ou seja: 0,0 cos α 0,0 cosα 0,97 y 0,97 f α Págia de 9

4 . Como a abcissa do poto de ifleão é o zero da seguda derivada da fução, começamos por determiar a epressão da seguda derivada: f f tg tg cos cos Represetado] a calculadora gráfica o gráfico da fução f, para valores de 0, π [, reproduzido a figura ao lado e usado a fução da calculadora para determiar valores aproimados dos zeros de uma fução determiamos o valor aproimado às cetésimas do zero da fução f y 0 f 0,9 π Assim, temos que a abcissa do poto de ifleão do gráfico da fução f, aproimado às cetésimas, é 0,9 Resposta: Opção D 7. Como o terceiro termo da progressão aritmética é 4, desigado a razão por r, temos que: u 4 u + r 4 u + r 4 u 4 r u u + r u + r a soma dos primeiros termos é: S u + u u + u + r Como a soma dos doze primeiros termos é 74, temos que: 4 r + 4 r + r 8 + 7r Assim, vem que: S r r 74 7r 9 8 r 7 r u 4 4 u u + r + E assim, resolvedo a equação u 7, vem: u Como a solução da equação é um úmero atural, etão 7 é o termo de ordem 99 da sucessão u, ou seja, u Como a circuferêcia tem raio, e o poto C pertece ao semieio real egativo, desigado por w o úmero compleo cujo afio é o poto C, temos que w Como z e w são ambos raízes de ídice do mesmo úmero compleo, temos que: Resposta: Opção A z w Págia 4 de 9

5 Cadero 9. y 9.. Represetado a região admissível, de acordo com as restrições apresetadas, reproduzida a figura ao lado, e retas com o declive igual à reta defiida pela fução objetivo: 0 L + y y + L y + L Podemos verificar que o máimo é obtido o vértice de coordeadas 0,0. Assim, substituido as coordeadas deste poto a fução objetivo, temos: y + 0 L Resposta: Opção B Como a F F, ou seja a distâcia etre os focos é c, etão a distâcia dos focos ao cetro da elipse é: c F F Como a soma das distâcias aos focos de qualquer poto da elipse é igual ao comprimeto do eio maior a, temos que: a P F + P F a 0 a 0 a 0 Assim podemos calcular o comprimeto do semi-eio meor b, sabedo que a b c : a b c 0 b 00 b 00 b 4 b Assim, temos que a equação da elipse cetrada a origem e com os focos sobre o eio O é dada por: Resposta: Opção B a + y b ou seja, as codições do euciado, 00 + y 4 Págia de 9

6 0. Simplificado a epressão de z, como i i 4 + i i, temos que: w i + + i i 4 i 4 i + i i i i + i + i 4 i + i + + i i 4 + i + i + 4 Assim, vem que z + i, pelo que: + i 4 4i + + i i i 4 + 8i i i 4 + i i i i + i i 4i i i + i i i z + i i Escrevedo z a forma trigoométrica ρeiθ temos: ρ z + + tg θ ; como se θ < 0 e cos θ < 0, θ é um âgulo do o quadrate, logo θ π + π 4 π 4 Assim z e i π 4. Como a tagete é perpedicular ao raio, a reta r é perpedicular à reta OA, ou seja, declive da reta r é o simétrico do declive da reta OA y Calculado o declive da reta OA, temos: m OA y A y O A O 0 0 A Assim, o declive da reta r, é: 0 m r m OA Logo a equação da reta r é da forma y + b pelo que, substituido as coordeadas do poto A a equação da reta, podemos calcular o valor de b, ou seja, da ordeada a origem: Resposta: Opção B + b 4 + b + 4 b b... Para averiguar a eistêcia de potos que perteçam simultaeamete aos plaos α, β e γ, ou seja, que perteçam à iterseção dos três plaos, resolvemos o sistema seguite: y y y y y z z y z y z y + y z 0 y + y y 0 y + y 0y Como a equação 0y é impossível, o sistema é impossível, ou seja, ão eistem potos que perteçam aos três plaos, ou seja, a iterseção dos três plaos é o cojuto vazio. Resposta: Opção D Págia de 9

7 .. Calculado o valor do limite, vem que: lim lim + lim lim + + e e Resposta: Opção D e e 4 e 4 e. Resolvedo a iequação, como log 8, temos que: log + log 8 log + + log 8 log + 8 log Mas como a epressão log + log 8 só está defiida se: + > 0 8 > 0 > 8 > > < 8 E como , podemos estudar o sial de 7, para os valores de defiidos, recorredo a uma tabela: d d. 7.d d. 7.d d. Pelo que o cojuto dos úmeros reais que são soluções da iequação é: ],0[ ]7,8[ Recorredo à defiição de derivada um poto, temos que: e + f f f0 + e e 0 e e 0 e 0 0 e e e e Idetermiação e + e lim 0 }{{ 0 } + lim 0 Lim. Notável Págia 7 de 9

8 4.. Para averiguar a eistêcia de assítotas horizotais vamos calcular o limite da fução quado e quado : lim f + e + lim e + e Como lim + f Como lim f, a reta de equação y é assítota horizotal do gráfico de f lim l + l + l + lim l l lim l + + }{{} Lim. Notável 0 0 lim f, a reta de equação y 0 também é assítota horizotal do gráfico de f Cosiderado a fução h, podemos observar que: E assim, vem que: Resposta: Opção C h + h h f h f h f l Págia 8 de 9

9 . Como o declive da reta tagete ao gráfico de g em cada poto é dado pela fução derivada, começamos por determiar a epressão de g : g se + se se + se cos + se se cos + se se + se se cos + cos se + se cos cos + se cos cos + se Como o máimo de uma fução correspode a um zero da fução derivada, vamos determiar a epressão da fução derivada da fução g, ou seja g, para determiar o declive máimo: g g cos + se cos + se se + cos se + cos Calculado os zeros da derivada, o domíio da fução [0,π], vem: se + cos 0 cos se cos se π cos cos se cos π π + kπ π + kπ, k Z + π + kπ π + + kπ, k Z π + kπ π + kπ, k Z π + kπ π + kπ, k Z Como se pretede idetificar os valores de [0,π], atribuido valores iteiros a k para idetificar as soluções o itervalo defiido, temos: π / [0,π] k 0 π π k π + π π + 4π π π + π π + 4π π π / [0,π] k π + 4π π + 8π 9π π π π + 4π / [0,π] e 4π π / [0,π] Assim, as soluções da equação g 0, que pertecem ao domíio da fução, são π e π, pelo que Estudado a variação do sial da derivada de g, e relacioado com a mootoia do declive, vem: 0 π π π g g mi Má mi Má Assim temos que os valores máimos do declive são: π g cos π + se π π + se + g π cos π + se π + 0 π π Como g > gπ etão g é o máimo absoluto e o valor máimo do declive das retas tagetes ao gráfigo de g, ou seja, o declive da reta r é: m r g π Págia 9 de 9