DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO PONTUAL INTRODUÇÃO ROTEIRO POPULAÇÃO E AMOSTRA. Estatística Aplicada à Engenharia

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1 ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO PONTUAL 1. Itrodução. Teorema Cetral do Limite 3. Coceitos de estimação potual 4. Métodos de estimação potual 5. Referêcias Estatística Aplicada à Egeharia 1 Estatística Aplicada à Egeharia POPULAÇÃO E AMOSTRA População: Cojuto de elemetos que apresetam pelo meos uma característica em comum INTRODUÇÃO População Alvo: População de iteresse da pesquisa Amostra: Qualquer subcojuto ão vazio da população Estatística Aplicada à Egeharia 4 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 1

2 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM População CARACTERÍSTICAS DA POPULAÇÃO Procedimeto a ser adotado a seleção dos elemetos da amostra INFERÊNCIA ESTATÍSTICA O objetivo cetral é obter uma amostra represetativa Amostra que represeta toda a população da melhor maeira possível EXTRAÇÃO DE AMOSTRAS ALEATÓRIAS Amostra ESTATÍSTICA DESCRITIVA PROBABILIDADE CARACTERÍSTICAS DA AMOSTRA A represetatividade depede de: Metodologia adotada para seleção da amostra Tamaho da amostra Estatística Aplicada à Egeharia 5 Estatística Aplicada à Egeharia 6 PROBLEMA FUNDAMENTAL DA ESTATÍSTICA PLANEJANDO UM EXPERIMENTO Idetificar seu objetivo A partir da observação de amostras, COMO podemos tirar CONCLUSÕES sobre a POPULAÇÃO? Coletar dados amostrais Usar procedimeto aleatório para evitar vício Aalisar dados e tirar coclusões Estatística Aplicada à Egeharia 7 Estatística Aplicada à Egeharia 8 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF

3 ERRO AMOSTRAL ERRO NÃO AMOSTRAL Difereça etre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacioal são resultates de flutuações amostrais aleatórias. Icorreção a coleta, registro ou aálise de dados amostrais Exemplos Coleta tedeciosa de amostra Utilização de istrumeto descalibrado Registro icorreto de dados amostrais Estatística Aplicada à Egeharia 9 Estatística Aplicada à Egeharia 10 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS Defiição: Procedimetos para geeralizar características de uma população a partir da iformação cotida a amostra. Baseia-se a Teoria de Probabilidades Estimação Potual Estimação Itervalar Itervalos de Cofiaça Áreas: Estimação de parâmetros Testes de hipóteses. Estatística Aplicada à Egeharia 11 Estatística Aplicada à Egeharia 1 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 3

4 TESTE DE HIPÓTESES CONCEITOS FUNDAMENTAIS Hipótese: Afirmação (alegação) sobre característica populacioal Teste de Hipóteses: Procedimeto padrão para se testar uma afirmativa sobre característica populacioal Amostra aleatória: As variáveis aleatórias X 1, X,..., X são uma amostra aleatória de tamaho, se: Forem idepedetes Cada X i tiver mesma distribuição de probabilidades Estatística Aplicada à Egeharia 13 Estatística Aplicada à Egeharia 14 CONCEITOS Parâmetro: Quatidades de iteresse da população Em geral, descohecidas Média de uma população (µ) Desvio-padrão de uma população (σ) Represetadas por letras gregas Notação para estimador qualquer: θ CONCEITOS Estatística: Qualquer fução da amostra Estimador: Qualquer fução da amostra que ão depeda de parâmetros descohecidos Exemplo : Algus estimadores da amostra aleatória X 1, X,..., X : X (1) = mí(x 1, X,..., X ) X () = máx(x 1, X,..., X ) X i ( X ) i= X = 1 i X i= 1 S = 1 Estatística Aplicada à Egeharia 15 Estatística Aplicada à Egeharia 16 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 4

5 CONCEITOS Distribuição amostral: Distribuição de probabilidades de um estimador CONCEITOS Espaço paramétrico (Θ) Cojuto de possíveis valores que o parâmetroθpode assumir Exemplo: Distribuição amostral da média Parâmetros da distribuição amostral da média E ( X ) = µ X Var( X ) σ X = Exemplo: Seja a amostra aleatória X 1, X,..., X de X ~ N(µ, σ ) Se σ = 1, etão θ = µ é o parâmetro descohecido e Θ = {µ, < µ < } Se µ = 0, etão θ = σ é o parâmetro descohecido e Θ = {σ, σ > 0} Estatística Aplicada à Egeharia 17 Estatística Aplicada à Egeharia 18 Estimador de θ Qualquer estatística que assuma valores em Θ. Notação: θˆ CONCEITOS Exemplo: Algus estimadores para a média µ de uma população Média da amostra Mediaa da amostra X 1 CONCEITOS Estimativa de parâmetro populacioal: é um valor específico, ou um itervalo de valores, usado para estimar parâmetro populacioal Estimativa potual: é um úico valor umérico de uma estatística θ Estatística Aplicada à Egeharia 19 Estatística Aplicada à Egeharia 0 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 5

6 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (TCL) Seja X 1, X,..., X uma amostra aleatória de tamaho de uma população (fiita ou ifiita), com média µ e variâcia fiita σ. Etão quado. Z = X µ σ / ~ N(0,1) Estatística Aplicada à Egeharia TEOREMA CENTRAL DO LIMITE EXEMPLO SIMULAÇÃO Cometários: A aproximação ormal para a média amostral depede do tamaho da amostra Com população cotíua, uimodal e simétrica, a maioria dos casos, o TCL trabalha bem para pequeas amostras ( = 4, 5). População expoecial com média 1: λ = 1 Geração de valores dessa população Amostra de tamaho 1 ( = 1) Em muitos casos de iteresse prático, a aproximação ormal será satisfatória para 30 Se < 30, o TCL fucioará se a distribuição da população ão for muito diferete da ormal Estatística Aplicada à Egeharia 3 Estatística Aplicada à Egeharia 4 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 6

7 Amostra =1 Amostra = > mea(amostra); sd(amostra) [1] [1] > mea(media_); sd(media_) [1] [1] Estatística Aplicada à Egeharia 5 Estatística Aplicada à Egeharia 6 Amostras de tamahos, 4, 10 e 0 EXEMPLO SIMULAÇÃO 4 _10 _ media dp População com desidade em U: f(x) = 1 (x 0,5) Geração de valores dessa população Amostra de tamaho 1 ( = 1) Estatística Aplicada à Egeharia 7 Estatística Aplicada à Egeharia 8 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 7

8 Amostra =1 Amostra = > mea(amostra); sd(amostra) [1] [1] > mea(media_); sd(media_) [1] [1] Estatística Aplicada à Egeharia 9 Estatística Aplicada à Egeharia 30 Amostras de tamahos, 4, 10 e 0 COMPARAÇÃO DE POPULAÇÕES media Dp Cosidere duas populações: População 1: média µ 1 e variâcia σ 1 População : média µ e variâcia σ Amostras aleatórias das duas populações? Amostra da população 1 de tamaho 1 : X 1 Amostra da população de tamaho : X Estatística Aplicada à Egeharia 31 Estatística Aplicada à Egeharia 3 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 8

9 COMPARAÇÃO DE POPULAÇÕES Caso 1: As duas populações são ormais idepedetes Distribuição amostral da difereça X 1 X ~ N(µ dif,σ dif ) Média da difereça de médias amostrais: COMPARAÇÃO DE POPULAÇÕES Caso : populações ão ormais com tamahos amostrais maiores que 30 Pode-se usar o TCL para aproximar a distribuição amostral da difereça: ( ) = E ( X 1 ) E ( X ) = µ 1 µ µ dif = E X 1 X Variâcia da difereça de médias amostrais: ( ) = Var( X 1 ) +Var( X ) = σ 1 σ dif = Var X 1 X 1 + σ Estatística Aplicada à Egeharia 33 Estatística Aplicada à Egeharia 34 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL APROXIMADA DE DIFERENÇA DE MÉDIAS AMOSTRAIS Supoha: Duas populações idepedetes, com médias µ 1 e µ e variâcias σ 1 e σ Amostras aleatórias idepedetes de tamahos 1 e dessas populações ( ) ( µ 1 µ ) Z = X 1 X σ 1 se as codições do TCL se aplicarem. 1 + σ ~ N(0,1) EXEMPLO VIDA DE MOTOR A vida efetiva de um compoete usado o motor de uma turbia de um avião a jato é uma variável aleatória com média 5000 horas e desvio-padrão 40 horas. Supoha ormalidade e idepedêcia ode ecessário. O fabricate do motor itroduz uma melhoria o processo de fabricação desse compoete, que aumeta a vida média para 5050 horas e dimiui o desvio-padrão para 30 horas. Uma amostra aleatória de 16 compoetes é selecioada do processo atigo e outra de 5 elemetos é selecioada. Qual a probabilidade de que a difereça das média amostrais seja o míimo de 5 horas? Estatística Aplicada à Egeharia 35 Estatística Aplicada à Egeharia 36 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 9

10 PROPRIEDADES DE UM ESTIMADOR Alguma propriedades importates: Vício ESTIMAÇÃO PONTUAL Cosistêcia Eficiêcia CONCEITOS Estatística Aplicada à Egeharia 38 Vício de um estimador: Vicio θ ˆ VÍCIO ( ) = E ( θ ˆ θ) = E ( θ ˆ ) θ; Um estimador θˆ é ão viciado (ão viesado, ão tedecioso) para um parâmetro θ se E ( θ ˆ ) =θ; A esperaça de um estimador está relacioada com sua exatidão VÍCIO Exemplos: A média amostral é ão viciada para estimar a média populacioal: E X = µ ( ) X X 1 (primeiro item coletado da amostra) é ão viciado para estimar a média populacioal: E ( X 1) = µ X Estatística Aplicada à Egeharia 39 Estatística Aplicada à Egeharia 40 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 10

11 A variâcia amostral S = 1 1 VÍCIO ( X i X) é ão viciada para estimar a variâcia populacioal (σ )? Em outras palavras, verifique se i=1 E(S ) = σ. VARIÂNCIA DE ESTIMADOR θˆ 1 e θ ˆ estimadores ão viciados para θ Variâcias diferetes ( ) < Var( θ ˆ ) Var ˆ θ 1 É mais provável que θ 1 produza uma estimativa mais próxima de θ. Estatística Aplicada à Egeharia 41 Estatística Aplicada à Egeharia 4 ESTIMADOR DE VARIÂNCIA MÍNIMA ERRO-PADRÃO Se cosiderarmos todos os estimadores ão tedeciosos para θ, aquele com a meor variâcia será chamado de estimador ão tedecioso de variâcia míima; é o seu desvio- O erro-padrão de um estimador padrão σ ˆ θ = Var θ ˆ ( ); θˆ Esse estimador é o mais provável, detre todos os ão viciados, para produzir uma estimativa que seja mais próxima do valor verdadeiro. O erro-padrão do estimador está relacioado com sua precisão; Estatística Aplicada à Egeharia 43 Estatística Aplicada à Egeharia 44 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 11

12 ERRO-PADRÃO Se o erro-padrão evolver parâmetros descohecidos que possam ser estimados, etão a substituição daqueles valores produz um erro-padrão estimado O erro-padrão da média amostral será σ X = σ ; Se ão cohecermos σ, substituímos pelo desviopadrão amostral. O erro-padrão estimado da média amostral será σˆ X = S ; ERRO-PADRÃO Quado o estimador seguir uma distribuição ormal, podemos estar cofiates que o valor verdadeiro do parâmetro estará etre dois erros-padrão da estimativa Esse resultado é muito útil para grades valores de Nos casos em que o estimador é ão viciado e ão ormalmete distribuído Estimativa do parâmetro desviará do valor verdadeiro em mais de 4 erros-padrão o máximo 6% das vezes Estatística Aplicada à Egeharia 45 Estatística Aplicada à Egeharia 46 PRECISÃO VS. EXATIDÃO CONSISTÊNCIA Quadro comparativo: Defiição: Um estimador θˆ é cosistete se, à medida em que o tamaho amostral aumeta, seu valor esperado coverge para o parâmetro de iteresse e sua variâcia coverge para zero. O estimador é cosistete se lim E θ ˆ ( ) =θ e lim Var θ ˆ ( ) = 0; Cosistêcia é uma propriedade assitótica (grades amostras); Estatística Aplicada à Egeharia 47 Estatística Aplicada à Egeharia 48 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 1

13 CONSISTÊNCIA Exemplos: A média amostral é cosistete para estimar a média populacioal; O primeiro item coletado da amostra ão é cosistete para estimar a média populacioal. ERRO QUADRÁTICO MÉDIO O erro quadrático médio de um estimador θˆ parâmetro θ é defiido como EQM θ ˆ θ θ EQM Vício e erro-padrão EQM ( ) = E ( ˆ ) ; ( θ ˆ ) = Var( θ ˆ ) + Vicio ( θ ˆ ) ; para o O EQM é um critério importate para comparar dois estimadores; Estatística Aplicada à Egeharia 49 Estatística Aplicada à Egeharia 50 ERRO QUADRÁTICO MÉDIO Estimadores tedeciosos podem ser preferíveis a estimadores ão viciados se tiverem um meor EQM; Estimativa baseada em θ 1 estaria provavelmete mais próxima do valor verdadeiro do que a baseada em θ ; ERRO QUADRÁTICO MÉDIO Estimador ótimo para θ: Tem EQM meor ou igual ao EQM de qualquer outro estimador, para todos os valores de θ o espaço paramétrico; Estimadores ótimos raramete existem; Estatística Aplicada à Egeharia 51 Estatística Aplicada à Egeharia 5 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 13

14 ERRO QUADRÁTICO MÉDIO No caso em que θˆ é um estimador ão viciado para um parâmetro θ, etão EQM ( θ ˆ ) = Var θ ˆ ( ). EFICIÊNCIA Dados dois estimadores θˆ 1 e θ ˆ, ão viciados para um parâmetro θ, dizemos que θ1 ˆ é mais eficiete que ˆ se θ Var ˆ θ 1 ( ) < Var ˆ ( θ ). Estatística Aplicada à Egeharia 53 Estatística Aplicada à Egeharia 54 EFICIÊNCIA Exemplo: No caso de amostra proveiete de distribuição Normal. Média amostral e mediaa amostral são ão viciadas para estimar a média populacioal: E X ( ) = µ e E ( X! ) = µ; Média amostral e mediaa amostral são cosistetes para estimar a média verdadeira: σ Var ( X) = σ e Var (!X ) = π A média amostral é mais eficiete que a mediaa amostral para estimar a média populacioal Var ( X) σ Var ( X! ) = = 0, 64 <1; π σ π ; Estatística Aplicada à Egeharia 55 REFERÊNCIAS Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 14

15 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Motgomery, D. C. (LTC) Estatística Aplicada e Probabilidade para Egeheiros Piheiro, J. I. D et al. (Campus) Probabilidade e Estatística: Quatificado a Icerteza Estatística Aplicada à Egeharia 57 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 15