Probabilidade e Estatística, 2009/1

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1 Probabilidade e Estatística, 009/ CCT - UDESC Prof. Ferado Deeke Sasse Problemas Resolvidos - Estimadores Potuais Dados relativos à espessura, em agstroms, de óido em semicodutores são listados a seguir: 45, 43, 46, 40, 4, 435, 48, 409, 43, 433,43, 46, 40, 434, 435, 48, 4, 46, 4, 436, 4, 47, 48, 47. (a) Calcule um estimador potual da espessura média de óido para todos os membros da população. (b) Calcule um estimador potual para o desvio padrão da espessura de óido para todos os membros da população. (c) Calcule o erro padrão para o estimador potual da parte (a). (d) Calcule um estimador potual da mediaa. (e) Calcule um estimador potual da proporção de semicodutores a população ue tem espessura de óido maior do ue 45. Solução (a) restart with Statistics : L d 45, 43, 46, 40, 4, 435, 48, 409, 43, 433, 43, 46, 40, 434, 435, 48, 4, 46, 4, 436, 4, 47, 48, 47 : Lt d rtable L, subtype = Array ;.. 4 Array Lt := Data Type: aythig Storage: rectagular rder: Fortra_order (.) (b) d ops L ; := 4 µ d Mea L µ := L i K µ S d sum, i =.. K S := s est d srt S s est := (.) (.3) (.4) (.5) Diretamete com o comado do pacote, s d StadardDeviatio L (.6)

2 s := (c) erro padrão da média estimada é dado por s s P d evalf s P := (.6) (.7) ou StadardError Mea, Lt ; (d) A mediaa Media L (.8) (e) k d 0 : for i to do if L i 45 the k d k C ed if; od k 44. u seja, o estimador potual da proporção é k evalf ; (.9) (.0) (.) Duas máuias produzem um mesmo tipo de peça com um mesmo parâmetro de especificação μ. No etato, a máuia é mais ova ue a máuia e, coseuetemete, tem um meor variabilidade do parâmetro as peças produzidas. Sabemos ue a variâcia associada à máuia é s e ue a variâcia associada à máuia é s = a s. Supoha ue temos observações idepedetes para o parâmetro a máuia e a máuia. (a) Mostre ue é um estimador ão-tedecioso de µ para ualuer 0 < α <. (b) Determie o erro-padrão do estimador de µ da parte (a). (c) Qual o valor de α ue miimiza o erro padrão do estimador potual de μ? (d) Supoha ue a = 4 e =. Que valor de α deve ser selecioado para miimizar o erro-padrão do estimador de µ da parte (a)? Quão ruim seria a escolha do parâmetro a = 0.5? Solução (a)

3 (b) (c) restart ep := s a C K a a ep := s a C K a a (.) e := a C K a a e d diff e, a = 0 a s d solve e, a e := a C K a a e := a K K a a = 0 a s := a C a (.) (.3) (.4) (d) erro padrão este caso é a d 4; d $ a := 4 := a s 8 9 assume s 0 (.5) (.6) ep := evalf subs a = 4, =, a =. a s, ep

4 Se a s = 0.5 temos u seja, bastate acima do erro míimo. ep := s~ srt evalf subs a = 4, = *, a = 0.5, ep ; s~ (.7) (.8) 3 Uma população ormal tem média 00 e variâcia 5. Qual deve ser o tamaho da amostra aleatória para ue o erro padrão da média amostral seja.5? Solução restart assume µ, real ; assume s, real ; assume 0! s f := t/ K t K µ e s p µ := 00; s := 5 s erro padrão da média é dado por e d.5 = s srt f := t/ K e µ := 00 s := 5 e :=.5 = p s 5 t K µ s (3.) (3.) (3.3) solve e, Portato, =.. (3.4) 4 A capacidade compressiva do cocreto é ormalmete distribuída com μ = 500 psi e σ = 40 psi. Determie a probabilidade de ue uma amostra aleatória de = 7 elemetos teha capacidade compressiva o itervalo de 490 psi a 50 psi. Qual o erro padrão da média amostral?

5 Solução. restart sigma := 40; mu := 500; := 7; s := 40 erro padrão é: sigmam := evalf s X d 50; X d 496; µ := 500 := 7 sigmam := X := 50 X := 496 ZZ := (XM-mu)/sigmaM; ZZ := XM K z d subs XM = X, ZZ ; z d subs XM = X, ZZ z := f := t, m, s / K t K m e s p s f := t, m, s / z := K K e P d evalf it f t, 0,, t =KN..z P := P d evalf it f t, 0,, t =KN..z P := P K P p s t K m s (4.) (4.) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (4.9) 5 A vida efetiva de um compoete utilizado em um motor é uma variável aleatória com uma média de 5000 h e desvio padrão de 40 h. A distribuição de vida efetiva é próima à distribuição ormal. fabricate do motor itroduz uma melhoria o processo de maufatura deste compoete ue aumeta a vida média para 5050 h e decresce o desvio padrão para 30 h. Supoha ue uma amostra

6 aleatória de = 6 compoetes é selecioada a partir do processo atigo e = 5 do processo melhorado. Qual é a probabilidade de ue a difereça as duas médias amostrais seja de ao meos 5 horas? Supoha ue os dois processos são idepedetes. Solução A distribuição da média amostral X é ormal, com média XM d 5000 XM := 5000 e desvio padrão A distribuição da média amostral X é ormal, com média e desvio padrão amostral dados por XM d 5050 XM := 5050 s M d 40 srt 6 s M d 30 srt 5 s M := 0 s M := 6 A distribuição de XMKXM é ormal, com média µ K µ = 5050 K 5000 = 50 e variâcia Queremos agora determiar s C s = 6 C 0 = 36 P XM K XM R 5 (5.) (5.) (5.3) (5.4) Variável ormalizada 5 K 50 Z := evalf 36 Usamos aui o seguite fato: Z := K with Statistics : X := RadomVariable Normal 0, ; X := _R K CDF X, Z (5.5) (5.6) (5.7)

7 6 Seja a fução desidade de probabilidade Determie o estimador de máima verossimilhaça para θ. Solução. A fução de máima verossimilhaça verossimilhaça da amostra é restart f i := e K i i K f i := e (6.) L d simplify? i = f i L :=?i = e i K (6.) L d subs? e i = i K = ep K $Xb L :=, L K Xb e (6.3)

8 L3 d log L L3 := l K Xb e (6.4) e d diff L3, = 0 K e := K Xb e C K Xb e K Xb Xb e = 0 (6.5) e3 d simplify e e3 := K C Xb = 0 (6.6) solve e3, u seja, o estimador de θ é Xb EST = > i = i (6.7) 7 Ilustre através de um eemplo o fato de ue a média amostral é um estimador ão tedecioso. Verifiue a validade da fórmula de estimação da variâcia da média amostral. Solução. Tomemos a lista restart with Statistics : L d, 3, 6, 8, d ops L k d rad.. k := proc L :=, 3, 6, 8, := 5 proc optio builti = RadNumberIterface; ed proc 6, 5, 3 C ed proc Geramos todas as 5 amostras de elemetos da população dada pela lista L: NA d 00 : for j from to NA do (7.) (7.) (7.3)

9 LL j d L k, L k od: LLb d se LL h, h =..NA ; LLb :=,,, 3,, 6,, 8,,, 3,, 3, 3, 3, 6, 3, 8, 3,, 6,, LLc d op LLb LLc :=,,, 3,, 6,, 8,,, 3,, 3, 3, 3, 6, 3, 8, 3,, 6,, 6, 3, 6, 6, 6, 8, 6,, 8,, 8, 3, 8, 6, 8, 8, 8,,,,, 3,, 6,, 8,, 6, 3, 6, 6, 6, 8, 6,, 8,, 8, 3, 8, 6, 8, 8, 8,,,,, 3,, 6,, 8,, N d ops LLc Cada uma destas amostras tem média: for k from to N do X k d Mea LLc k od: LLL d se X m, m =..N ; LLL :=., , 4., 5., , , 3., , A média deste estimador é: M d Mea LLL Note ue Mea L N := , 7., 4., , 6., 7., , 5., , 7., 8., , , 7., , ,. M := (7.4) (7.5) (7.6) (7.7) (7.8) (7.9) ue coicide com a média populacioal. Verificaremos agora a validade da fórmula para a variâcia da média. A variâcia da população (variâcia verdadeira) é dada por 5 (7.0) V d sum L m K Mea L, m =.. V := A fórmula para o a variâcia da média, os diz ue esta pode ser estimada por V pois é o úmero de elemetos a amostra. desvio padrão da população é etão DPd srt V (7.) (7.) (7.3)

10 DP:= Nota: o comado do Maple, s d StadardDeviatio L s := iterpreta o a lista L como uma lista amostral, fazedo, por isso o cálculo: sum L m K Mea L, m =.. K De fato, desvio padrão da distribuição amostral das médias (erro padrão das médias) é (7.3) (7.4) (7.5) sum LLL m K M, m =..N N o ue cocorda com o resultado forecido pela fórmula de estimação. Uma vez estabelecida a verificação da fórmula para este caso ideal, cosideremos agora um eemplo mais realístico. Seja a população descrita pela lista restart with Statistics : L d 6, 5, 8, 7, 7, 8, 6.5, 4.3,, 6, 4, 5,, 3, 4, 7, 8, 9, 7, 6, 7, 5, 6, 7, 9, 0, 9, 4., 6., 8., 7, 8.5,., 4., 0., 9.3, 7., 8.3, 6.7, 5., 9.5, 3.3,., 4.5, 0.,.9, 5.3, 7.7, 5.6, 7.7, 7.8, 9. : d ops L := 5 k d rad.. : Tomemos 40 amostras aleatórias de 7 elemetos da população dada pela lista L: NA d 40 : for j from to NA do LL j d L k, L k, L k, L k, L k, L k, L k od: Cada uma destas amostras tem média: for k from to NA do X k d Mea LL k od: LLL d se X m, m =..NA ; LLL := , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , A média deste estimador é: (7.6) (7.7) (7.8)

11 Notemos ue Mea L M d Mea LLL M := de modo ue M é bem próimo do valor verdadeiro. Verificaremos agora a validade da fórmula para a variâcia da média. A variâcia da população (variâcia verdadeira) é dada por V d sum L m K Mea L, m =.. V := A fórmula para o a variâcia da média, os diz ue esta pode ser estimada por V pois 7 é o úmero de elemetos as amostras. desvio padrão verdadeiro da distribuição amostral das médias (erro padrão das médias) é (7.9) (7.0) (7.) (7.) sum LLL m K M, m =..NA NA ue cocorda aproimadamete com a estimação. (7.3)

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