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1 Estatística Aplicada II DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL MÉDIA AULA 08/08/16 Prof a Lilia M. Lima Cuha Agosto de 016 Revisado... Distribuição Amostral da Média Seja X uma v. a. de uma população com média µ e variâcia da qual se extrai uma amostra aleatória de elemetos. Sabe-se que: X X represeta a média amostral. Cada X i tem a mesma distribuição da população, com, E(X i ) = µ e Var(X i )= X 1, X,..., X são idepedetes. Etão, E( X ) = µ e Var( X ) = i= = 1 i e 1

2 Teorema do Limite Cetral Seja X uma variável aleatória de uma população com distribuição defiida pelos parâmetros média µ e variâcia. Tomado uma amostra aleatória simples de tamaho dessa população X 1, X,..., X a distribuição da média amostral X se aproxima de uma distribuição ormal com média µ e variâcia / torado-se a aproximação progressivamete melhor com o aumeto do tamaho da amostra. TLC

3 Distribuição Normal Algumas característica importates Defiida pela média e desvio padrão Media=mediaa=moda µ pode ser +, - ou 0 Simétrica ao redor da média Fução desidade se parece com um sio Área total abaixo curva = 1 ou 100% Notação: X ~N(µ,) Fução desidade de probabilidade 1 f ( X ) = e π f(x) 1 X µ µ X 5 f(x) Desvio = 5 Desvio = 10 µ X Medias iguais, desvios diferetes (maior desvio, maior achatameto curva = maior dispersão 3

4 Distribuição Normal 68,3% aprox. dos valores de uma variável aleatória ormal estão detro de mais ou meos um desvio padrão de sua média 95,4% aprox. dos valores de uma variável aleatória ormal estão detro de mais ou meos dois desvios padrão de sua média 99,7% aprox. dos valores de uma variável aleatória ormal estão detro de mais ou meos tres desvios padrão de sua média 7 Corolário Seja X 1, X,..., X uma amostra aleatória simples de uma população X, com média µ e variâcia. Pelo TLC, sabemos que: Etão: X ~ N µ ; X µ z = ~ N(0,1) Distribuição ormal padrão 4

5 Variável aleatória que tem distribuição ormal com media zero e desvio padrão = 1 possui uma Distribuição Normal Padrão x = variável aleatória z = variável aleatória ormal padrão Uma vez que media= zero e desvio = 1, a fórmula da fução de desidade ormal padrão de probabilidade é uma versão simplificada Fução desidade de probabilidade f ( X ) = 1 e π 1 X µ f ( X ) = 1 e π z f(x) µ X 5

6 Para que serve? Sabedo-se que a amostra possui distribuição ormal, a partir do cálculo da média e desvio padrão da amostra (estimativas dos verdadeiros valores da população), pode-se costruir a fução desidade e, para quaisquer valores específicos, determia-se a área sob a curva etre esses dois valores. Ou seja, pode-se determiar a probabilidade de uma variável aleatória estar etre um itervalo de valores f(x) A área total abaixo da curva é igual a 1 a µ b X 11 Para distribuição ormal padrão, as áreas sob a curva ormal foram calculadas e estão dispoíveis a tabela z 6

7 Calcular a probabilidade de o valor z correspodete à variável aleatória ormal padrão estar: EXEMPLO 1? Resp = 0, ,0 Z Calcular a probabilidade de o valor z correspodete à variável aleatória ormal padrão estar: EXEMPLO Resp = x 0,3413 = 0,686 EXEMPLO 3 Resp = 0,5 0,449 = 0,0571 7

8 Calcular a probabilidade de o valor z correspodete à variável aleatória ormal padrão estar: EXEMPLO 4-0,5 Resp = 0, ,5 = 0,6915 EXEMPLO 5 Resp = 0,449 0,3413 = 0,1016 EXEMPLO 6 Resp = 0,5 0,1 = 0,4 (a tabela correspode a 1,8) Para calcular probabilidades de qualquer distribuição ormal EXEMPLO 7 8

9 Exemplo 8 Supoha que a variável aleatória retoros do cotrato futuro de soja a bolsa de Chicago (100 retoros) possui distribuição ormal com média 0,18% a.d. e desvio padrão igual a 1,17% a.d. Qual a probabilidade de se obter retoro etre 0,18% a.d. e % a.d.? Qual a probabilidade de se obter retoro superior a % a.d.? f(rt) 0,18%,00% Rt 17 Para resolver este tipo de problema é ecessário usar uma trasformação padroização Se X ~ Normal(µ,) Etão Z ~ Normal(0,1) Z µ = X Existem valores tabelados para Z, mas ão para os X s 18 9

10 Resposta P(0,0018 < R P ( 0 < Z < 1,56 ) P( R t t 0,0018 0,0018 0,0 0,0018 < 0,0) = P < Z < 0,0117 0,0117 = 0,4406 = 44,06% > %) = P( Z > 1,56) = 0,5 0,4406 = 5,94% 19 Quado se tem média amostral ecessário usar uma trasformação padroização Se X ~ Normal(µ,) Z X µ = amostra Etão Z ~ Normal(0,1) 0 10

11 Exercício 1 Os gastos médios com quarto e alimetação por ao de faculdades de quatro aos são de R$6.803,00. Você selecioou aleatoriamete 9 faculdades de quatro aos. Qual é a probabilidade de que a média de gastos seja meor que R$7.088,00? Supoha que os gastos com quarto e alimetação sejam ormalmete distribuídos, com um desvio padrão de R$1.15,00. TABELA Z PG 497 MORETTIN 11

12 Exercicio (Moretti, pg 74, exe.7) Uma v.a. tem distribuição ormal, com média 100 e desvio padrão 10 a) Qual a P(90<X<110)? b) Se X for a média de uma amostra de 16 elemetos retirados dessa população, Calcule P(90< X <110)? Erro Amostral Defiição: O erro amostral da média é defiido como a difereça etre a média amostral X e a média populacioal µ, isto é, e= X µ Corolário: A distribuição de probabilidade do erro amostral da média aproxima-se de uma ormal, com valor médio zero e variâcia ou seja, e ~ N 0, / 1

13 13 Determiação do Tamaho da Amostra Qual o tamaho da amostra, para obtermos um erro de estimação previamete estipulado, com determiada probabilidade? Supoha que se queira determiar o tamaho da amostra, de modo que o erro amostral seja o máximo ε, com determiada probabilidade γ, ambos fixados. Ou seja, ε = γ P( e < ) Temos que Logo, Dado γ, podemos obter z γ da N(0, 1), de modo que = N X e 0, ~ µ γ ε ε = z P = = ε ε γ γ z z

14 Exercício 3: Uma istituição fiaceira possui uma carteira de 5000 títulos a receber, da qual quer cohecer o valor médio, com 90% de cofiaça. Dado que o desvio padrão da carteira é de R$ 100,00, qual a amostra míima para que o erro da estimativa seja iferior a R$50,00? Exercicio 4 - ENTREGAR Um auditor de baco declara que as cotas de cartões de crédito são ormalmete distribuídas, com uma média de R$.870,00 e um desvio padrão de R$900,00. a) Qual é a probabilidade de que um titular de cartão de crédito aleatoriamete selecioado teha uma cota meor que R$.500,00? b) Você selecioou 5 titulares de cartões de crédito de forma aleatória. Qual é a chace de que a média da cota deles seja meor que R$.500,00? 14

15 RESPOSTAS a)qual é a probabilidade de que um titular de cartão de crédito aleatoriamete selecioado teha uma cota meor que R$.500,00? 0,341 OU 34,1% aprox a)você selecioou 5 titulares de cartões de crédito de forma aleatória. Qual é a chace de que a média da cota deles seja meor que R$.500,00? 0,0197 OU 1,97% aprox REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bussab, W.º; Moretti, P.A. (00). Estatistica Básica, Editora Saraiva, São Paulo Brasil Cap 10 pgs Aderso, et al (007). Estatistica Aplicada à Admiistração e Ecoomia. Cap 7 pgs 37-53; pgs e Cap 8 pg Hoffma, R. (006) Estatistica para Ecoomistas, Pioeira, Thomso Learig, São Paulo Brasil Cap 9 15

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