Uma amostra aleatória simples de n elementos é selecionada a partir da população. Calcula-se o valor da média a partir da amostra

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1 Distribuição amostral de Um dos procedimetos estatísticos mais comus é o uso de uma média da amostra ( ) para fazer iferêcias sobre uma população de média µ. Esse processo é apresetado a figura abaio. População com média µ =? Uma amostra aleatória simples de elemetos é selecioada a partir da população. O valor de é usado para fazer iferêcias sobre o valor de µ Calcula-se o valor da média a partir da amostra Para cada uma das repetições que possamos fazer o processo descrito acima, a estimativa de apresetará um valor diferete. Logo, podemos dizer que a própria estimativa da média de uma variável aleatória, também é uma variável aleatória. Assim, a distribuição de probabilidade da variável aleatória é chamada de distribuição amostral da média da amostra. Distribuição amostral de A distribuição amostral de é a distribuição de todos os valores passíveis da média da amostra. O propósito de se estudar a distribuição amostral de é descrever as propriedades da própria distribuição. Veremos que o cohecimeto da distribuição amostral de os possibilitará, mais adiate, fazer declarações de probabilidade sobre os erros de amostragem evolvidos quado a média de uma amostra ( ) é usada para estimar a média da população (µ). Valor Esperado de A média da variável aleatória é o valor esperado de, ou seja, é a média de todas as médias possíveis para uma amostras de tamaho de uma população. É importate saber que o valor esperado de é igual ao valor da média da população (µ). Assim, temos: Valor Esperado de E ( ) = µ E ( ) = o valor esperado de ; µ = a média da população. 1

2 Isso os mostra que, embora ão saibamos quato o tamaho de uma amostra está próima do tamaho da população, pelo meos sabemos que a média de todas as médias possíveis das amostras, ou seja, o valor esperado de será igual a média da população (µ). Desvio-Padrão de O desvio-padrão da distribuição amostral de, também chamado de erro-padrão, depede de a população ser fiita ou ifiita. As duas epressões para o desvio-padrão de são apresetadas a seguir: Desvio-Padrão de População Fiita (N <30) População Ifiita ou N 30. N σ σ σ = σ = N 1 σ = o desvio padrão da distribuição amostral de ; σ = o desvio-padrão da população; = o tamaho da amostra; N = o tamaho da população. Teorema do Limite Cetral A etapa fial do estudo da distribuição amostral de é a forma da distribuição de probabilidade de. Faremos etão duas cosiderações, quado à distribuição da população é descohecida, e quado essa distribuição é cohecida e ormalmete distribuída. Quado a distribuição é descohecida, cotamos com um dos mais importates teoremas da estatística: o teorema do Limite Cetral. Teorema do Limite Cetral Ao selecioar amostras aleatórias simples de tamaho a partir de uma população, a distribuição amostral de pode ser aproimada pela distribuição ormal de probabilidade a medida em que o tamaho da amostra se tora maior Na prática, temos: A distribuição amostral de pode ser aproimada por uma distribuição ormal sempre que o tamaho da amostra for grade, ou seja, 30. Para amostras pequeas, usamos a distribuição t-studet, com grau de liberdade -1 (ver Porém, quado soubemos de atemão que a população está ormalmete distribuída, ão importa o tamaho da amostra, pois a distribuição de sempre será uma distribuição ormal. Assim, temos: Sempre que a população tem uma distribuição ormal, a distribuição de amostragem de tem uma distribuição ormal de probabilidade para qualquer tamaho de amostra. 2

3 Eercícios sobre distribuição amostral das médias. 1 Uma população tem uma média de 200 e um desvio padrão de 50. Uma amostra aleatória simples de tamaho 100 será tomada e a média da amostra será usada para estimar a média da população. a) Qual é o valor esperado de? R: E ( ) = µ = 200 b) Qual é o desvio-padrão de? R: 5 2 Uma população tem uma média de 200 e um desvio-padrão de 50. supoha que uma amostra aleatória simples de tamaho 100 seja selecioada e seja usado para estimar µ. a) Qual é a probabilidade de que a média da amostra selecioada estar detro de ± 5 da média da população? R: 0,6827 b) Qual é a probabilidade de que a média da amostra estar detro de ± 10 da média da população? R: 0, Assuma que o desvio-padrão da população seja σ = 25. Calcule o erro-padrão da média ( σ ), para tamahos de amostra de 50, 100, 150, e 200. O que você pode dizer sobre o tamaho do erro-padrão da média quado o tamaho da amostra é aumetado. = 50 R: 3,535 4 = 100 R: 2,500 2,5 = 150 R: 2,041 2,0 = 200 R: 1,768 1,8 4 Supoha que uma amostra aleatória simples de tamaho 50 seja selecioada de uma população com σ = 10. Ecotre o valor do erro-padrão da média em cada um dos seguites casos (se apropriado, use o fator de correção da população fiita). a) o tamaho da população é ifiito. R: 1,414 1,4 b) o tamaho da população é de N = R: 1,414 1,4 c) o tamaho da população é N = R: 1,414 1,4 d) o tamaho da população é N = 500 R: 1,343 1,3 5 uma população tem uma média de 400 e um desvio-padrão de 50. A distribuição de probabilidade da população é descohecida. Um pesquisador usará amostras aleatórias simples de 10, 20, 30 e 40 ites para coletar dados sobre a população. Com qual dessas alterativas de tamaho de amostra seremos capazes de usar a distribuição ormal de probabilidade para descrever a distribuição amostral de? Eplique. 6 Uma população tem uma média de 100 e um desvio-padrão de 16. Qual é a probabilidade de uma média da amostra estar detro de ± 2 da média da população para cada um dos seguites tamahos de amostra? a) = 50. R: 0,6232 b) = 100. R: 0,7887 c) = 200. R: 0,9229 d) = 400. R: 0,9876 e) qual é a vatagem de um tamaho maior de amostra? 3

4 Distribuição amostral de p Em muitas situações usamos a proporção de uma amostra para fazer iferêcias sobre as proporções de uma população. A proporção de uma amostra é deotada por p. Esse processo é relatado a figura abaio. População com com média µ p =? Uma amostra aleatória simples de elemetos é selecioada a partir da população. valor de é O valor de p usado para fazer é usado para iferêcias sobre o estimar p valor de µ Calcula-se o valor da da proporção média a a partir da amostra Em cada repetição do processo podemos atecipar a obteção de um valor diferete para a proporção da amostra. A distribuição de probabilidade para todos os valores possíveis da proporção da amostra é chamada de distribuição amostral da proporção p. Distribuição amostral de p A distribuição amostral de p é a distribuição de probabilidade de todos os valores possíveis da proporção da amostra p. Para determiar a distâcia que a proporção da amostra p está da proporção da população p, ós ecessitamos eteder as propriedades da distribuição amostral da variável aleatória p : o valor esperado, o desvio-padrão de p e também a forma da sua distribuição amostral. Valor Esperado de p A média da variável aleatória p é o valor esperado de p, ou seja, é a média de todas as proporções possíveis para amostras de tamaho de uma população. É importate saber que o valor esperado de p é igual ao valor da proporção da população (p). Assim, temos: 4

5 Valor Esperado de p E ( p ) = p E ( p ) = o valor esperado de p ; p = a proporção da população. Isso os mostra que, embora ão saibamos quato o tamaho de uma amostra está próima do tamaho da população, pelo meos sabemos que a média de todas as proporções possíveis das amostras será igual à proporção da população (p). Desvio-Padrão de p O desvio-padrão da distribuição amostral de p, também chamado de erro-padrão da proporção, depede de a população ser fiita ou ifiita. As duas epressões para o desvio-padrão de p são apresetadas a seguir: Desvio-Padrão de p População Fiita (N <30) σ p = N N 1 p(1 p) População Ifiita ou N 30. p( 1 p) σ = p σ = o desvio padrão da distribuição amostral de p ; p p = a proporção da população; = o tamaho da amostra; N = o tamaho da população. Teorema do Limite Cetral Agora que cohecemos a média (ou o valor esperado) e o desvio-padrão de p, devemos cosiderar a forma da distribuição amostral de p. Para isso fazemos uso do Teorema Cetral do Limite. Teorema do Limite Cetral A distribuição amostral de p pode ser aproimada por uma distribuição ormal sempre o tamaho da amostra for grade ( p 5 e ( 1 p) 5 ) 5

6 Eercícios sobre distribuição amostral das proporções. 1 Uma amostra aleatória simples de tamaho 100 é selecioada de uma população com p = 0,4. a) Qual o valor esperado de p? R.: 0,4 b) Qual o desvio-padrão de p? R.: 0,05 2 A proporção de uma população é 0,40. Uma amostra aleatória simples de tamaho 200 será tomada e a proporção p será usada para estimar a proporção da população. a) Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra esteja detro de ± 0,03 da proporção da população? R.: 0,6135 b) Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra esteja detro de ± 0,05 da proporção da população? R.: 0, Assuma que a proporção da população seja 0,55. Calcule o erro-padrão da proporção para tamahos de amostras de 100, 200, 500 e R.: 0,05, 0,04, 0,022, 0,016 (respectivamete). 4 A proporção de uma população é 0,30. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra esteja detro de ± 0,04 da proporção da população para cada um dos seguites tamahos de amostra: a) = 100 R.: 0,6173 b) = 200 R.: 0,7830 c) = 500 R.: 0,9490 d) = 1000 R.: 0,9942 e) Qual é a vatagem de um tamaho de amostra maior? 6

7 REVISÃO: Estimativa de Parâmetros 1 - O tempo médio de viagem para o trabalho para os habitates de Joiville é de 31,5 miutos. Cosidere que a média da população seja µ = 31,5 miutos e o desvio padrão da população seja σ = 12 miutos. Uma amostra de 50 residetes de Joiville é selecioada. a) Qual é a probabilidade de que a média da amostra esteja detro de ± 1 miuto para a média da população? R.: 0,4443 b) Qual é a probabilidade de que a média da amostra esteja detro de ± 3 miutos para a média da população? R.: 0, O Depto. de Estatística sobre o Trabalho relatou que a média salarial horária para idivíduos em cargos eecutivos, admiistrativos e gereciais é de R$ 24,07. Cosidere que a média da população seja µ = R$ 24,07 e que o desvio-padrão seja σ = R$ 4,80. Uma amostra de 120 idivíduos dos cargos eecutivos, admiistrativos e gereciais será selecioada. a) Qual é a probabilidade de que a média da amostra esteja detro de ± 0,50 cetavos da média da população? R.: 0,7462 b) Qual é a probabilidade de que a média da amostra esteja detro de ± R$ 1,00 da média da população? R.: 0, De acordo com um joral, o úmero médio de dias por ao que as pessoas que viajam a egócios estão a estrada é de 115. O desvio-padrão é de 60 dias por ao. Cosidere que esses resultados se aplicam à população de viajates a egócios, e que uma amostra de 50 viajates será selecioada da população. a) Qual é o valor do erro-padrão da média? R.: 8 b) Qual é a probabilidade de que a média da amostra seja mais de 120 dias por ao? R.: 0,2778 c) Qual é a probabilidade de que a média da amostra seja mais de 135 dias por ao? R.: 0,0092 d) Qual é a probabilidade de que a média da amostra esteja detro de ± 5 dias da média da população? R.: 0,4443 e) Como a probabilidade mudaria o item (d) se o tamaho da amostra fosse aumetado para 100? R.: 0, Qual é o fator mais importate para as pessoas que viajam a egócios quado estão hospedados em um hotel? De acordo com o mesmo joral da questão aterior, 74% desses viajates declaram que ter um quarto para fumate é o fator mais importate. Cosidere uma amostra de 200 viajates será selecioa. a) Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra esteja detro de ± 0,04 da proporção da população? R.: 0,8028 b) Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra esteja detro de ± 0,02 da proporção da população? R.: 0, Uma campaha de produção ão é aceitável para embarque a clietes se uma amostra de 1000 ites cotém 5% ou mais de ites defeituosos. Se uma campaha de produção tem uma proporção de defeitos da população de p = 8%, qual é a probabilidade de que p será pelo meos 0,05? R.: 0,9984 E se p fosse 10? R.: 1, A proporção de clietes de uma seguradora de automóveis que receberam pelo meos uma multa os últimos 5 aos é de 0,15. A probabilidade de que a proporção da amostra esteja detro de ± 0,03 da proporção da população é de 0,6965. Qual o tamaho da amostra? R: 150 7