Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II

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1 Itervalos Estatísticos para uma úica Amostra - parte II Itervalo de cofiaça para proporção 2012/02

2 1 Itrodução 2 3

3 Objetivos Ao fial deste capítulo você deve ser capaz de: Costruir itervalos de cofiaça para proporção de uma população. Esses itervalos serão costruídos usado a distribuição ormal e o Teorema Cetral do Limite.

4 Muitas vezes queremos estimar a proporção de uma determiada população. Exemplo: proporção de cosumidores que preferem determiada marca de refrigerate. Uma amostra de tamaho é retirada de uma população grade. X (X ) dessas observações pertecem a uma determiada classe. Etão ˆP = X é um estimador da proporção p que pertece a essa classe. Observe que X Bi(, p) e queremos estimar p.

5 Seja X i uma variável biária { 1 se a i-ésima observação pertece à classe de iteress X i = 0 caso cotrário. Temos que X = X i. Etão X é uma média de variáveis i.i.d. com distribuição Beroulli(p). Pelo Teorema Cetral do Limite Z = ou seja i X i E( i X i) Var( i X = i) i=1 i X i E(X) N(0, 1) Var(Xi ) Z = X p p(1 p) N(0, 1).

6 Aproximação Normal para uma Proporção Biomial Se for grade, a distribuição de Z = X p = ˆP p p(1 p) p(1 p) será aproximadamete uma ormal padrão. Observação: Essa aproximação é boa desde que p > 5 e (1 p) > 5.

7 Para costruírmos um itervalo para p com 100(1 α)% de cofiaça precisamos que P( z 1 α 2 Z z 1 α 2 ) = 1 α ou seja P z 1 α ˆP p 2 p(1 p) z 1 α = 1 α. 2 Isolado p ficamos com ( p(1 p) P ˆP z 1 α 2 p ˆP + z 1 α 2 ) p(1 p) = 1 α.

8 Porém ão sabemos o valor de p para costruir o itervalo. Etão precisamos estimar esse valor por ˆP. O itervalo fica ˆP(1 P ˆP ˆP) z1 α 2 p ˆP + z 1 α 2 ˆP(1 ˆP) = 1 α.

9 Itervalo de Cofiaça para uma Proporção Biomial Cosidere uma amostra aleatória de tamaho. Uma proporção ˆp dessa amostra pertece a uma classe de iteresse. Queremos costruir um itervalo aproximado para a proporção p da população que pertece à classe. O itervalo com 100(1 α)% de cofiaça é dado por ˆP(1 ˆP z ˆP) 1 α p 2 ˆP ˆP(1 + z ˆP) 1 α 2 ode z 1 α 2 é tal que P(Z z 1 α 2 ) = 1 α 2.

10 Observações: Esse procedimeto depede da adequação da aproximação da biomial pela ormal. Quado a aproximação ão é apropriada outros métodos devem ser usados.

11 Exemplo: Uma amostra de 85 macais é selecioada. 10 deles tem acabameto de superfície mais rugoso do que as especificações permitidas. Uma estimativa potual para proporção de macais que excedem a rugosidade especificada é ˆP = x = 10 = 0, Um itervalo com 95% de cofiaça para p é dado por ˆP(1 ˆP z ˆP) 0,975 p ˆP ˆP(1 + z ˆP) 0,975.

12 Exemplo: (cotiuação) Temos que α = 0, 05 e P(Z 1, 96) = 0, 975 z 0,975 = 1, 96. Os dados são ˆp = 0, 12 z 0,975 = 1, 96 = 85 logo o itervalo fica (0, 12)(1 0, 12) (0, 12)(1 0, 12) 0, 12 1, 96 p 0, 12+1, ou seja 0, 05 p 0, 19.

13 ˆP é estimador de p, logo o erro de estimação é E = p ˆP. Para um itervalor com 100(1 α)% de cofiaça o erro é o máximo é p(1 p) z 1 α. 2 No exemplo aterior o erro máximo era 1, 96 (0, 12)(1 0, 12) = 0, 07.

14 Podemos escolher : fixado o ível de cofiaça 100(1 α)%; e o erro máximo permitido E. Isolado a expressão temos que E = z 1 α 2 = p(1 p). ( ) z1 α 2 2 p(1 p). E

15 Tamaho da amostra em uma Distribuição Biomial Fixado um ível de cofiaça 100(1 α)% e um erro E temos que ( ) z1 α 2 2 = p(1 p). E Uma estimativa de p é ecessária para calcular o valor de. Existem algumas possibilidades.

16 Como estimar p para calcular? Podemos usar uma estimativa ˆp de uma amostra aterior. Uma amostra prelimiar (amostra piloto) pode ser retirada e o valor ˆp é calculado. Podemo ecotrar p tal que p(1 p) é máximo: esse valor é p = 0, 5; etão p(1 p) = 0, 25 e = ( ) z1 α 2 2 (0, 25). E

17 Exemplo: Itrodução Cosidere o exemplo dos macais. Queremos costruir um itervalo com 95% de cofiaça. O erro máximo cometido é 0,05. Se usarmos ˆp = 0, 12 como estimativa de p temos que = ( z0,975 E ) 2 ( ) 1, 96 2 ˆP(1 ˆP) = (0, 12)(0, 88) , 05 Se ão quisermos usar ˆp como estimativa de p temos que ( z0,975 ) 2(0, ( ) 1, 96 2 = 25) = (0, 25) 385. E 0, 05 Se tivermos uma iformação sobre p (de uma amostra passada ou de uma amsotra piloto) podemos usar uma amostra de tamaho meor.

18 Limites uilaterais para proporção biomial Os limites aproximados iferior e superior de cofiaça 100(1 α)% são ˆP(1 ˆP z ˆP) 1 α p p ˆP ˆP(1 + z ˆP) 1 α.