Profa. Regina Maria Sigolo Bernardinelli. Estatística. Gestão Financeira / Gestão de Recursos Humanos / Logística / Marketing

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1 Profa. Regia Maria Sigolo Berardielli Estatística Gestão Fiaceira / Gestão de Recursos Humaos / Logística / Marketig

2 REGINA MARIA SIGOLO BERNARDINELLI ESTATÍSTICA Esio a Distâcia E a D Revisão 09/008

3 LISTA DE FIGURAS Figura 1. Classificação de uma Variável 9 Gráfico 1. Setores 16 Gráfico. Coluas 16 Gráfico 3. Histograma 17 Gráfico 4. Polígoo de Freqüêcias 18 Gráfico 5. Curva Normal 41 Gráfico 6. Probabilidade 4 Gráfico 7. Normal Padrão ou Normal Reduzida 4 Figura. Itervalo de Cofiaça Média Populacioal 49 Gráfico 8. Correlação Liear Positiva 55 Gráfico 9. Correlação Liear Negativa 55 Gráfico 10. Correlação Nula 56

4 LISTA DE TABELAS Tabela 1. Iformações de Questioário Estudatil Dados Brutos 10 Tabela. Variável Sexo 11 Tabela 3. Variável Toler 1 Tabela 4. Variável Idade 1 Tabela 5. Variável Peso 13 Tabela 6. Variável TV 14 Tabela 7. 1ª Lista de Exercícios Exercício 3 19 Tabela 8. 1ª Lista de Exercícios Exercício 5 0 Tabela 9. 1ª Lista de Exercícios Exercício 7 1 Tabela 10. 1ª Lista de Exercícios Exercício 8 1 Tabela 11. 1ª Lista de Exercícios Exercício 9 Tabela 1. Exemplo 1 Variável Idade 6 Tabela 13. Exemplo Variável Peso 7 Tabela 14. Exemplo 1 Variável Idade 3 Tabela 15. Exemplo Variável Peso 33 Tabela 16. ª Lista de Exercícios Exercício 4 34 Tabela 17. ª Lista de Exercícios Exercício 7 35 Tabela 18. Exemplo 1 Correlação Liear 56 Tabela 19. Exemplo 1 Correlação Liear 57 Tabela 0. Exemplo Correlação Liear 58 Tabela 1. Exemplo Correlação Liear 59 Tabela. 3ª Lista de Exercícios Exercício 11 6 Tabela 3. Normal Padrão 63

5 1 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 1 1. INTRODUÇÃO. NOÇÕES BÁSICAS 3.1. Arredodameto de Dados 3.. População e Amostra População 4... Amostra A Escolha da Amostra 4 3. ORGANIZAÇÃO DE DADOS Tipos de Variáveis Variáveis Qualitativas Variável Qualitativa Nomial Variável Qualitativa Ordial Variáveis Quatitativas Variáveis Quatitativas Discretas Variáveis Quatitativas Cotíuas Distribuição de Freqüêcias Exemplos Tabela de Freqüêcia para a Variável Sexo Tabela de Freqüêcia para a Variável Toler Tabela de Freqüêcia para a Variável Idade Tabela de Freqüêcia para a Variável Peso Tabela de Freqüêcia para a Variável TV GRÁFICOS ESTATÍSTICOS Gráfico de Setores ou Disco ou Pizza ou Diagrama Circular Gráfico de Coluas ou Barras Histograma Polígoo de Freqüêcias 17

6 4.5. 1ª Lista de Exercícios MEDIDAS Medidas de Posição Medidas de Posição para um Cojuto de Dados Média Aritmética ou simplesmete Média ( x ) Mediaa (md) Moda (mo) Medidas de Dispersão Medidas de Dispersão para um Cojuto de Dados Amplitude Total (R) Variâcia ( σ (população) ou S (amostra) ) Desvio Padrão ( σ (população) ou S (amostra) ) Coeficiete de Variação ( CV ) ª Lista de Exercícios PROBABILIDADES Defiições Feômeo Determiístico Feômeo Aleatório ou Probabilístico Espaço Amostral (S) Eveto (E) Probabilidade Propriedades Outras Defiições Variável Aleatória Discreta Fução Discreta de Probabilidade Variável Aleatória Cotíua Fução Cotíua de Probabilidade 40

7 7. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Modelo Normal ou Distribuição Normal Gráfico ESTIMAÇÃO Estimação por Itervalo Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal (variâcia 46 cohecida) Itervalo de Cofiaça para a Proporção Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal (variâcia descohecida) CORRELAÇÃO Correlação Liear Simples Coeficiete de Correlação de Pearso Correlação Liear Positiva Correlação Liear Negativa Correlação Nula ª Lista de Exercícios Respostas Listas de Exercícios ª Lista de Exercícios ª Lista de Exercícios ª Lista de Exercícios 66 REFERÊNCIAS 67 74

8 1 APRESENTAÇÃO Esta apostila reúe os pricipais tópicos de Estatística, de forma codesada e objetiva, com a fialidade de orietar o aluo do CURSO SEMIPRESENCIAL o desevolvimeto do coteúdo dessa disciplia. Em sua elaboração ão tive a pretesão de demostrar as diversas fórmulas matemáticas ela existetes, mas sim, de mostrar suas aplicações os diversos assutos abordados. É, portato, um guia idispesável para acompahar as aulas BREEZE. A disciplia ESTATÍSTICA tem, por objetivo, forecer ao aluo subsídios que o auxiliem as demais disciplias do CURSO SEMIPRESENCIAL, bem como desevolverlhe a capacidade de utilizar os diversos métodos estatísticos e raciocíio ecessário para iterpretação e aálise de pesquisas a área a que se destia. Profª. Regia Maria Sigolo Berardielli

9 1. INTRODUÇÃO A palavra estatística, de origem latia, sigificou por muito tempo ciêcia dos egócios do Estado. Os que goveravam, setido ecessidade de iformações, orgaizavam departametos que tiham a resposabilidade de fazer essas ivestigações. As sociedades moderas acumulam grade quatidade de dados uméricos relativos a evetos sociais, ecoômicos, cietíficos, esportivos etc. Desse modo otamos que o uso da pesquisa é bastate comum as várias atividades humaas. Exemplos: 1º) O ídice de aalfabetismo o Brasil. º) A mortalidade ifatil o Nordeste brasileiro. 3º) A porcetagem de criaças vaciadas a última campaha de vaciação. 4º) A pesquisa realizada pelas idústrias, etre os cosumidores, para o laçameto de um ovo produto. 5º) As pesquisas eleitorais, forecedo elemetos para que os cadidatos direcioem suas campahas. 6º) As pesquisas utilizadas pelas emissoras de TV, mostrado a preferêcia dos espectadores, para orgaizar sua programação. A realização de uma pesquisa evolve muitas etapas como: a escolha da amostra, a coleta e a orgaização dos dados, o resumo e a apresetação desses dados, e também a iterpretação dos resultados para a obteção de coclusões e tomada de decisões razoáveis. Todas essas etapas são trabalhadas com métodos cietíficos pela Estatística. O tratameto estatístico de um cojuto de dados pode evolver dois processos distitos, isto é, a descrição dos dados e o estabelecimeto de coclusões sobre a população a partir dos dados obtidos por amostragem. Para tato, temos: Estatística Descritiva: utiliza métodos uméricos e gráficos para mostrar os padrões de comportameto dos dados, para resumir a iformação cotida esses dados e para apresetar a iformação de forma coveiete. Iferêcia Estatística: utiliza dados de amostras para obter estimativas sobre a população.

10 3. NOÇÕES BÁSICAS.1. ARREDONDAMENTO DE DADOS De acordo com a Fudação IBGE (Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o arredodameto é feito da seguite forma: a) Quado o primeiro algarismo a ser abadoado é 0, 1,, 3, ou 4, fica ialterado o último algarismo a permaecer. Exemplo: aproximação de uma casa decimal: 53,4 passa a 53,. b) Quado o primeiro algarismo a ser abadoado é 6, 7, 8 ou 9, aumeta-se de uma uidade o algarismo a permaecer. Exemplos: aproximação de uma casa decimal: 4,87 passa a 4,9 5,08 passa a 5,1 53,99 passa a 54,0 c) Quado o primeiro algarismo a ser abadoado é 5, há duas soluções: Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferete de zero, aumeta-se uma uidade ao algarismo a permaecer. Exemplos: aproximação de uma casa decimal:,35 passa a,4 5,6501 passa a 5,7 76,500 passa a 76,3 Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser coservado só será aumetado de uma uidade se for ímpar. Exemplos: aproximação de uma casa decimal: 4,75 passa a 4,8 4,65 passa a 4,6 4,75000 passa a 4,8 4,6500 passa a 4,6

11 4.. POPULAÇÃO E AMOSTRA..1. População: é o cojuto de todos os elemetos evolvidos o feômeo a ser estudado.... Amostra: é o cojuto de elemetos retirados da população para a realização do estudo. É, portato, um subcojuto da população. Exemplos: 1º) Queremos obter iformações sobre a audiêcia de certo programa de TV, a Grade São Paulo. População: é o cojuto de todos os domicílios da Grade São Paulo que possuem TV. Amostra: é o cojuto dos domicílios que serão visitados. º) Estudar a procedêcia dos cadidatos a uma certa uiversidade. População: cojuto de todos os cadidatos à referida uiversidade. Amostra: cojuto dos cadidatos que serão etrevistados. 3º) Queremos fazer um estudo sobre a idade dos aluos do curso de Publicidade e Propagada de uma determiada uiversidade. População: todos os aluos do curso de Publicidade e Propagada. Amostra: uma classe do primeiro ao do curso de Publicidade e Propagada. Quado são obtidos dados de toda uma população, dizemos que foi feito um receseameto, e a este cojuto de dados damos o ome de ceso. Quado os dados são obtidos de parte da população, foi feita uma amostragem...3. A Escolha da Amostra Os métodos de escolha da amostra devem garatir a represetatividade do grupo. É ecessário escolher, o míimo, 10% do úmero total dos elemetos da população e garatir por meio de um critério de seleção, que ehum elemeto teha maior chace de ser escolhido do que outro. Desse modo, podemos recorrer a diferetes formas de amostragem: amostragem aleatória simples, amostragem sistemática e amostragem estratificada proporcioal. Vejamos o procedimeto através de dois exemplos.

12 5 Exemplo 1: Supohamos uma pesquisa sobre o ível de escolaridade de um grupo de oitoceta pessoas. Vamos escolher uma amostra com o míimo oiteta pessoas (10% de 800), selecioadas através de: a) Amostragem Aleatória Simples: em primeiro lugar, elaboramos uma lista com os oitocetos omes dos elemetos da população umerados de 1 a 800, para serem submetidos a um sorteio. Bolas ou cartões, também umerados de 1 a 800, são colocados em uma ura e bem misturados. Em cada etapa do sorteio, todo úmero aida ão escolhido tem a mesma probabilidade de ser sorteado. Esse processo ão é muito prático para grades populações, quado podemos etão trabalhar com uma umeração de 0 a 9, sorteado os úmeros por meio de blocos de três algarismos e tomado o cuidado de repor a ura todo algarismo dela 1 retirado. Como temos dez algarismos, cada um deles tem de probabilidade de aparecer 10 em determiada posição. Sempre que um bloco de algarismos idicar um elemeto já selecioado, ou um elemeto que ão exista a população, será descartado. Supohamos que os seguites algarismos foram obtidos o sorteio: Agrupado-os em blocos de três, teremos os úmeros: Observem que devemos descartar 811, 891 e 819, porque ão pertecem à população, e 643 porque já foi selecioado. Cotiuamos o sorteio, até completarmos os 80 elemetos da amostra. b) Amostragem Sistemática: sorteamos um úmero de 1 a 10, ao acaso. Supodo que teha sido obtido o úmero 6, ele será o primeiro elemeto da amostra e os demais serão determiados em itervalos de dez uidades. Nossa amostra, etão, será: Este tipo de amostragem é simples de ser realizado e, acoselhável o caso de amostras muito grades.

13 6 Exemplo : Na escola Sapequiha, quer fazer-se um estudo sobre o peso dos aluos de 7 aos de idade. Existem 10 criaças a faixa de 7 aos de idade distribuídas em cico classes, do seguite modo: a primeira série A tem 0 aluos com 7 aos, a primeira B tem 15, a C tem 35, a D, 30 e a E tem 0. Vamos escolher uma amostra com o míimo 1 criaças (10% de 10), selecioadas através de: c) Amostragem Estratificada Proporcioal: sorteamos os omes das criaças em quatidades proporcioais ao úmero de criaças com 7 aos de cada classe, que costituem os estratos da amostra. Vamos agora determiar a porcetagem de criaças com 7 aos, em cada classe, em relação à população (10 criaças) % A: 10 a = a = a = 16,7% 0 a % B: 10 b = b = b = 1,5% 15 b 10 De modo aálogo, determiamos as porcetages para as classes C, D e E, obtedo: C: c = 9,% D: d = 5% E: e = 16,7% Para calcularmos quatas criaças de cada classe serão sorteadas, para uma amostra de 1 criaças, fazemos: 16,7 A: 16,7% de 1 = 1 = 0,167 1 =,004 = 100 B: 1,5% de 1 = 0,15. 1 = 1,5 = C: 9,% de 1 = 0,9. 1 = 3,504 =3 (este caso, arredodamos para 3, ao ivés de 4, porque o total de criaças da amostra é 1). D: 5% de 1 = 0,5. 1 = 3 E: 16,7% de 1 = 0, =,004 = Deste modo, obtivemos a quatidade de elemetos de cada estrato e o total da amostra.

14 7 3. ORGANIZAÇÃO DE DADOS Dado um cojuto de dados, vamos estudar como devemos tratar os valores, uméricos ou ão, a fim de extrair iformações a respeito de uma ou mais características de iteresse. Supohamos, por exemplo, que um questioário foi aplicado a aluos do 1º ao de uma escola forecedo as seguites iformações: Id: idetificação do aluo Turma: A ou B Sexo: femiio (F) ou masculio (M) Idade: em aos Alt: altura em metros Peso: em quilogramas Filhos: º de filhos a família Fuma: hábito de fumar: sim (S) ou ão (N) Toler: tolerâcia ao cigarro: (I) idiferete; (P) icomoda pouco; (M) icomoda muito Exerc.: horas de atividade física, por semaa Cie: º. de vezes que vai ao ciema por semaa Op Cie: opiião a respeito das salas de ciema a cidade: (B) regular a boa; (M) muito boa TV: horas gastas assistido TV, por semaa Op TV: opiião a respeito da qualidade da programação a TV: (R) ruim; (M) média; (B) boa; (N) ão sabe. O cojuto de iformações, após a tabulação do questioário ou pesquisa de campo, é deomiado de tabela de dados brutos e cotém os dados da maeira que foram coletados iicialmete. (Tabela 1) Cada uma das características pergutadas aos aluos, tais como o peso, a idade, a altura, etc. é deomiada de variável e, como podemos observar, tem aturezas diferetes quato aos possíveis valores que podem assumir TIPOS DE VARIÁVEIS Existem dois tipos de variáveis: quatitativas (variáveis uméricas) e qualitativas (variáveis ão uméricas).

15 Variáveis Qualitativas Seus valores represetam uma qualidade (ou atributo) do idivíduo pesquisado. Exemplos: sexo, turma, estado civil, grau de istrução, hábito de fumar etc. Detre as variáveis qualitativas, aida existem dois tipos: Variável Qualitativa Nomial Não existe ordeação em seus possíveis resultados. Exemplos: sexo, turma, hábito de fumar Variável Qualitativa Ordial Existe uma certa ordem em seus possíveis resultados. Exemplos: tamaho (P, M, G); classe social (baixa, média, alta); grau de istrução (1º grau, º grau, grau superior); estado civil Variáveis Quatitativas Seus valores são uméricos resultates de uma cotagem ou mesuração. Exemplos: úmero de filhos, salário, peso, altura etc.. Detre as variáveis quatitativas aida existem dois tipos:

16 Variáveis Quatitativas Discretas Seus possíveis valores formam um cojuto fiito ou eumerável de úmeros que resultam freqüetemete de uma cotagem. Exemplos: úmero de filhos, idade (em aos), cie (úmero de vezes que vai ao ciema por semaa) Variáveis Quatitativas Cotíuas Seus possíveis valores formam um itervalo de úmeros reais que resultam ormalmete de uma mesuração. Exemplos: peso, altura, salário. ESQUEMA Variável Qualitativa Quatitativa Nomial Ordial Discreta Cotíua Figura 1.: Classificação de uma Variável

17 10 INFORMAÇÕES DE QUESTIONÁRIO ESTUDANTIL Id Turma Sexo Idade Alt Peso Filho Fuma Toler Exerc Cie OpCie TV OpTV 1 A F 17 1,60 60,5 Não P 0 1 B 16 R A F 18 1,69 55,0 1 Não M 0 1 B 7 R 3 A M 18 1,85 7,8 Não P 5 M 15 R 4 A M 5 1,85 80,9 Não P 5 B 0 R 5 A F 19 1,58 55,0 1 Não M B 5 R 6 A M 19 1,76 60,0 3 Não M 1 B R 7 A F 0 1,60 58,0 1 Não P 3 1 B 7 R 8 A F 18 1,64 47,0 1 Sim I M 10 R 9 A F 18 1,6 57,8 3 Não M 3 3 M 1 R 10 A F 17 1,64 58,0 Não M M 10 R 11 A F 18 1,7 70,0 1 Sim I 10 B 8 N 1 A F 18 1,66 54,0 3 Não M 0 B 0 R 13 A F 1 1,70 58,0 Não M 6 1 M 30 R 14 A M 19 1,78 68,5 1 Sim I 5 1 M N 15 A F 18 1,65 63,5 1 Não I 4 1 B 10 R 16 A F 19 1,63 47,4 3 Não P 0 1 B 18 R 17 A F 17 1,8 66,0 1 Não P 3 1 B 10 N 18 A M 18 1,80 85, Não P 3 4 B 10 R 19 A F 0 1,60 54,5 1 Não P 3 B 5 R 0 A F 18 1,68 5,5 3 Não M 7 B 14 M 1 A F 1 1,70 60,0 Não P 8 B 5 R A F 18 1,65 58,5 1 Não M 0 3 B 5 R 3 A F 18 1,57 49, 1 Sim I 5 4 B 10 R 4 A F 0 1,55 48,0 1 Sim I 0 1 M 8 R 5 A F 0 1,69 51,6 Não P 8 5 M 4 N 6 A F 19 1,54 57,0 Não I 6 B 5 R 7 B F 3 1,6 63,0 Não M 8 M 5 R 8 B F 18 1,6 5,0 1 Não P 1 1 M 10 R 9 B F 18 1,57 49,0 Não P 3 1 B 1 R 30 B F 5 1,65 59,0 4 Não M 1 M R 31 B F 18 1,61 5,0 1 Não P M 6 N 3 B M 17 1,71 73,0 1 Não P 1 1 B 0 R 33 B F 17 1,65 56,0 3 Não M 1 B 14 R 34 B F 17 1,67 58,0 1 Não M 4 B 10 R 35 B M 18 1,73 87,0 1 Não M 7 1 B 5 B 36 B F 18 1,60 47,0 1 Não P 5 1 M 14 R 37 B M 17 1,70 95,0 1 Não P 10 M 1 N 38 B M 1 1,85 84,0 1 Sim I 6 4 B 10 R 39 B F 18 1,70 60,0 1 Não P 5 B 1 R 40 B M 18 1,73 73,0 1 Não M 4 1 B R 41 B F 17 1,70 55,0 1 Não I 5 4 B 10 B 4 B F 3 1,45 44,0 Não M B 5 R 43 B M 4 1,76 75,0 Não I 7 0 M 14 N 44 B F 18 1,68 55,0 1 Não P 5 1 B 8 R 45 B F 18 1,55 49,0 1 Não M 0 1 M 10 R 46 B F 19 1,70 50,0 7 Não M 0 1 B 8 R 47 B F 19 1,55 54,5 Não M 4 3 B 3 R 48 B F 18 1,60 50,0 1 Não P 1 B 5 R 49 B M 17 1,80 71,0 1 Não P 7 0 M 14 R 50 B M 18 1,83 86,0 1 Não P 7 0 M 0 B Tabela 1: Iformações de questioário estudatil dados brutos

18 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS A partir da tabela de dados brutos (Tabela 1), vamos costruir uma ova tabela com as iformações resumidas, para cada variável, deomiada tabela de freqüêcia, que coterá os valores da variável e suas respectivas cotages, as quais são deomiadas freqüêcias absolutas ou simplesmete, freqüêcias. No caso de variáveis qualitativas ou quatitativas discretas, a tabela de freqüêcia cosiste em listar os valores possíveis da variável, uméricos ou ão e fazer a cotagem a tabela de dados brutos do úmero de suas ocorrêcias. Notação: i freqüêcia do valor i freqüêcia total = i Para efeito de comparação com outros grupos ou cojutos de dados, é coveiete trabalharmos com a freqüêcia relativa, defiida por f i i = Exemplos: Tabela de Freqüêcia para a Variável Sexo (extraída da Tabela 1): Sexo i f i = i f i 100 (%) Sexo: variável qualitativa omial. F 37 0,74 74 M 13 0,6 6 Total =50 1, Tabela : Variável Sexo Note que, para variáveis cujos valores possuem ordeação atural (qualitativas ordiais e quatitativas em geral), icluímos a tabela de freqüêcia uma colua cotedo as freqüêcias acumuladas (fac) (quado o úmero de valores i for maior do que ). A freqüêcia acumulada até um certo valor é obtida pela soma das freqüêcias de todos os valores da variável, meores ou iguais ao valor cosiderado.

19 Tabela de Freqüêcia para a Variável Toler (extraída da Tabela 1): Toler i fac f i = i f i 100 (%) fac (%) Toler: variável qualitativa ordial. I ,0 0 0 P ,4 4 6 M , Total = 50 1, Tabela 3: Variável Toler Tabela de Freqüêcia para a Variável Idade (extraída da Tabela 1): Idade i fac f i = i f i 100 (%) fac (%) Idade: variável quatitativa discreta , , Observe através da fac que 90% dos aluos têm idades até 1 aos , , , , , , , Total = 50 1, Tabela 4: Variável Idade A variável Peso, classificada como quatitativa cotíua, apreseta valores que podem ser qualquer úmero real um certo itervalo.

20 13 Pela Tabela 1, verificamos que os valores variam etre 44,0 kg e 95,0 kg e como existe um grade úmero de valores diferetes, vamos costruir faixas ou classes de valores e cotar o úmero de ocorrêcias em cada faixa. Não existe uma regra formal para determiar o úmero de faixas ou classes a serem utilizadas. Etretato, deve-se observar que com um pequeo úmero de classes, perde-se iformação, e com um úmero grade de classes, o objetivo de resumir os dados fica prejudicado. No geral, é coveiete trabalharmos com 5 a 8 faixas de mesma amplitude, devedo ressaltar que faixas de tamaho desigual podem ser coveietes para represetar valores as extremidades da tabela. Para a variável Peso, usaremos faixas de amplitude 10 e iiciaremos com 40,0 kg Tabela de Freqüêcia para a Variável Peso (extraída da Tabela 1): Peso i fac f i = i f i 100 (%) fac (%) Poto Médio 40,0 50, , ,0 50,0 60,0 30 0, ,0 60,0 70, , ,0 70,0 80, , ,0 80,0 90, , ,0 90,0 100, , ,0 Total = 50 1, Tabela 5: Variável Peso Peso: variável quatitativa cotíua. Observe pela fac que 76% dos aluos pesam meos que 70,0 kg e = 1% têm peso maior ou igual a 80,0 kg. Na Tabela 5 temos 6 faixas ou classes ou itervalos. Cosideremos, por exemplo, a 1ª classe ou itervalo: 40,0 50,0, ode temos: Limite iferior (li): 40,0 Poto Médio (PM) = li + ls ( = = 45 )

21 14 Limite superior (ls): 50,0 Amplitude ou tamaho do itervalo (h): h = ls li; (h = 50,0 40,0 = 10,0) O símbolo : idica que o itervalo é fechado à esquerda e aberto à direita (40,0 faz parte dessa classe, mas 50,0 ão; 50,0 está a ª classe). Na Tabela 1, a variável TV (quatitativa discreta) tem valores iteiros etre 0 e 30 e uma tabela represetado tais valores e respectivas freqüêcias seria muito extesa e pouco prática. Por esse motivo, trataremos essa variável como quatitativa cotíua, criado, por exemplo, faixas de amplitude 6 para represetar seus valores Tabela de Freqüêcia para a Variável TV (extraída da Tabela1): TV i fac f i = i f i 100 (%) fac (%) , , , , TV: variável quatitativa discreta que foi tratada como cotíua. Observe que a última classe, o itervalo é fechado à esquerda e à direita, icluido , Total = 50 1, Tabela 6: Variável TV Portato, o valor 30, e ão tedo assim, que abrir mais uma classe por causa de um úico valor. Outra sugestão seria usar uma amplitude maior essa última classe, por exemplo, 4 36 que iclui o valor 30.

22 15 4. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS A orgaização dos dados em tabelas de freqüêcia proporcioa um meio eficaz de estudo do comportameto de características de iteresse. Muitas vezes, a iformação cotida as tabelas pode ser mais facilmete visualizada através de gráficos. Vamos defiir quatro tipos básicos de gráficos: setores ou pizza, coluas ou barras, histograma e polígoo de freqüêcias GRÁFICO DE SETORES OU DISCO OU PIZZA OU DIAGRAMA CIRCULAR Adapta-se muito bem às variáveis qualitativas, mas também pode ser usado para as variáveis quatitativas discretas. Fazedo uso do computador para o traçado do gráfico, basta cohecer as porcetages de cada valor da variável. Se ao cotrário, formos traçar o gráfico com o auxílio de compasso e trasferidor, precisamos determiar a medida em graus, de cada setor correspodete aos valores da variável, lembrado que o disco todo mede 360. Exemplo: Gráfico de Setores para a Variável Toler (Tabela 3) I: 0% P:4% M: 38% 100% x = % x x = x = Procedemos de maeira aáloga para os valores de P e M.

23 16 Gráfico de Setores: Variável Toler M 38% I 0% P 4% Gráfico 1: Setores 4.. GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS Adapta-se melhor às variáveis discretas ou qualitativas ordiais. Utiliza o plao cartesiao com os valores da variável o eixo das abscissas e as freqüêcias ou porcetages o eixo das ordeadas. Exemplo: Gráfico de Coluas para a Variável Idade (Tabela 4) Gráfico de Coluas: Variável Idade 30 0 i Idade Gráfico : Coluas

24 HISTOGRAMA É utilizado para variáveis quatitativas cotíuas. Cosiste em retâgulos cotíguos ou adjacetes ode a base, colocada o eixo das abscissas, correspode aos itervalos das classes e a altura, colocada o eixo das ordeadas é dada pela freqüêcia absoluta ou relativa das classes. Observação: a área de um histograma é proporcioal à soma das freqüêcias absolutas. No caso de trabalharmos com as freqüêcias relativas, a área será igual à costate de proporcioalidade. Exemplo: Histograma para a Variável Peso (Tabela 5) Histograma: Variável Peso 5 i ,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 Peso Gráfico 3: Histograma 4.4. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS É também utilizado para variáveis quatitativas cotíuas. Para costruir o polígoo de freqüêcias, admitem-se como represetates de cada classe os potos médios de cada itervalo que as defiem. Após obter os potos (poto médio, freqüêcia correspodete) em relação a cada itervalo, estes são ligados etre si por meio de

25 18 segmetos de retas, sedo que o primeiro e o último deles são ligados ao eixo das abscissas, a metade de classes hipotéticas, imediatamete aterior à primeira e posterior à última. Exemplo: Polígoo de Freqüêcias para a Variável Peso (Tabela 5) Polígoo de Freqüêcias: Variável Peso 5 (55,0; ) 0 15 i 10 5 (45,0; 8) (65,0; 8) (75,0; 6) (85,0; 5) (95,0; 1) 0 40,0 50,0 50,0 60,0 60,0 70,0 70,0 80,0 80,0 90,0 90,0 100,0 Peso Gráfico 4: Polígoo de Freqüêcias ª Lista de Exercícios 1) Arredode cada um dos umerais abaixo, coforme a precisão pedida: a) para o décimo mais próximo: 3,40 34,783 45,09 48, ,85 1,35 10, ,98 199,97 b) para o cetésimo mais próximo: 46,77 8,55 99,951 53,65 13,84 37,485 c) para a uidade mais próxima: 6,6 18,5 68, 67,5 49,98 39,49 d) para a dezea mais próxima: 4, ,4

26 19 65,31 65, ,7 995,000 ) Na Escola São Leopoldo, para estudar a preferêcia em relação a refrigerates, sortearamse 150 estudates, etre os 1000 matriculados. Respoda: a) Qual é a população evolvida a pesquisa? b) Que tipo de amostragem foi utilizado e qual é a amostra cosiderada? 3) A população evolvida em uma pesquisa sobre a icidêcia de cárie detária em escolares da cidade de Morro Grade é apresetada a Tabela 7: Escola População A 500 B 50 C 440 D 360 Total 1550 Tabela 7 Baseado-se esses dados, estratifique uma amostra com 00 elemetos. 4) Em uma cidade com habitates deseja-se fazer uma pesquisa sobre a preferêcia por tipo de lazer etre pessoas de 0 aos de idade, levado em cota o sexo a que pertecem. a) Qual a população evolvida a pesquisa? b) Supodo que a cidade haja mulheres e homes com 0 aos, determie uma amostra com 1.00 pessoas. 5) Em uma fábrica foram testadas 400 lâmpadas; a duração delas aparece a distribuição por freqüêcia da Tabela 8:

27 0 Duração (em horas) Número de lâmpadas Total 400 Tabela 8 a) Complete a tabela dada com as demais coluas que você cohece. b) Qual a amplitude de cada classe? c) Qual o limite iferior da 3ª classe? d) Qual o limite superior da 8ª classe? e) Qual o poto médio da 5ª classe? f) Qual a freqüêcia relativa da 6ª classe? g) Qual a porcetagem de lâmpadas com durabilidade máxima de 500 horas? h) Qual a porcetagem de lâmpadas com durabilidade de 900 horas ou mais? 6) Com relação às variáveis: Turma, Alt, Filhos, Fuma, Exerc, Cie, Op Cie, Op TV, da (Tabela 1) a) Classifique essas variáveis. b) Faça a distribuição de freqüêcia para cada uma delas. c) A variável Exerc, poderia ser tratada de forma diferete com relação à sua classificação? Justifique sua resposta e em caso afirmativo, costrua a ova distribuição de freqüêcia.

28 1 d) Costrua os gráficos que melhor se adaptam a cada uma das variáveis acima. 7) Quize pacietes de uma clíica de ortopedia foram etrevistados quato ao úmero de meses previstos de fisioterapia, se haverá (S) ou ão (N) seqüelas após o tratameto e o grau de complexidade da cirurgia realizada: alto (A), médio (M) ou baixo (B). Os dados são apresetados a Tabela 9: Pacietes Fisioterapia Seqüelas S S N N N S S N N S S N S N N Cirurgia A M A M M B A M B M B B M M A Tabela 9 a) Classifique cada uma das variáveis. b) Para cada variável, costrua a tabela de freqüêcia e faça uma represetação gráfica. c) Para o grupo de pacietes que ão ficaram com seqüelas, faça um gráfico de barras para a variável Fisioterapia. Você acha que essa variável se comporta de modo diferete esse grupo? 8) Os dados da Tabela 10 referem-se ao salário (em salários míimos) de 0 fucioários admiistrativos em uma idústria. 10,1 7,3 8,5 5,0 4, 3,1, 9,0 9,4 6,1 3,3 10,7 1,5 8, 10,0 4,7 3,5 6,5 8,9 6,1 Tabela 10 a) Costrua uma tabela de freqüêcia, agrupado os dados em itervalos de amplitude a partir de 1. b) Costrua o histograma. 9) Um grupo de estudates do esio médio foi submetido a um teste de matemática resultado em:

29 Nota Freqüêcia Tabela 11 a) Costrua o histograma. b) Se a ota míima para aprovação é 5, qual será a porcetagem de aprovação?

30 3 5. MEDIDAS Nosso iteresse é caracterizar o cojuto de dados através de medidas que resumam a iformação, por exemplo, represetado a tedêcia cetral dos dados ou a maeira pela qual estes dados estão dispersos MEDIDAS DE POSIÇÃO Se estivermos uma parada de ôibus e os pedirem alguma iformação sobre a demora em passar um determiado ôibus, iguém imagia que poderíamos dar como resposta uma tabela de freqüêcias que coletamos o último mês. Quem pergutou deseja uma resposta breve e rápida que sitetize a iformação que dispomos e ão uma completa descrição dos dados. É para isto que servem as medidas de posição. As medidas de posição ou medidas de tedêcia cetral para um cojuto de dados qualquer (população ou amostra) são: a média, a mediaa e a moda Medidas de Posição para um Cojuto de Dados Seja uma variável X com observações represetadas por x K. 1, x, x3,, x Média Aritmética ou simplesmete Média ( x ) É a soma dos valores da variável dividida pelo úmero total de observações. x = x 1 + x + L + x = i= 1 x i (dados ão agrupados); (i xi) x = (dados agrupados) Exemplo: Calcular a média aritmética dos valores: 9, 1, 8, 6, 14, 11, 5

31 x = = = 9,9 7 7 Para calcularmos a média quado os dados estão agrupados em classes, represetamos todos os valores de cada classe pelo poto médio da classe Mediaa (md) É o valor da variável que ocupa a posição cetral dos dados ordeados. Temos duas cosiderações a fazer: a) O úmero de observações () é ímpar: a mediaa será o valor da variável que ocupa a + 1 posição de ordem. Exemplo: Calcular a mediaa dos valores: 9, 1, 8, 6, 14, 11, 5. Em primeiro lugar, vamos orgaizar os dados em ordem crescete: 5, 6, 8, 9, 11, 1, = 7 (ímpar) = = 4 a mediaa é o 4º elemeto da seqüêcia md = 9 b) O úmero de observações () é par: ão existe portato um valor que ocupe o cetro; covecioou-se que a mediaa será a média aritmética dos valores que ocupam as posições de ordem e + 1. Exemplo: Calcular a mediaa dos valores já ordeados: 6, 8, 9, 11, 1, 14 = 6 (par) = 3 e + 1 = 4 a mediaa será dada pela média aritmética etre o º e 4º elemetos da seqüêcia md = = = 10 Para calcularmos a mediaa quado os dados estão agrupados em classes, ão levamos em cosideração se é par ou ímpar e procedemos do seguite modo:

32 5 1º) Calcula-se. º) Pela freqüêcia acumulada, idetifica-se a classe que cotém a mediaa. 3º) Aplica-se a fórmula: ( fac) h md = li md +, ode: i md li md = limite iferior da classe md = º total de elemetos da amostra fac = freqüêcia acumulada da classe aterior à classe md h = amplitude da classe md i md = freqüêcia da classe md Moda (mo) É o valor da variável mais freqüete da distribuição. Exemplo: Calcular a moda para o seguite cojuto de dados: 65, 87, 49, 58, 65, 65, 67, 83, 87, 79, 87. mo = 65 (aparece 3 vezes) e mo = 87 (aparece 3 vezes). Temos duas modas, portato a distribuição é bimodal. Quado a distribuição ão apresetar moda, será chamada de amodal; se tiver uma só moda, recebe o ome de uimodal, e se apresetar várias modas será multimodal. Para calcularmos a moda quado os dados estão agrupados em classes, usaremos o seguite processo: 1º) Idetifica-se a classe modal (a que possuir maior freqüêcia). Δ1 º) Aplica-se a fórmula: mo = limo + h, ode: Δ + Δ li mo = limite iferior da classe modal Δ 1 = difereça etre a freqüêcia da classe modal e a imediatamete aterior 1 Δ = difereça etre a freqüêcia da classe modal e a imediatamete posterior

33 6 Exemplos 1) Calcule média, mediaa e moda para a variável Idade. (Tabela 1) (Ver Tabela 4): Idade ( x i ) fac i xi i (i xi) 945 x = = = 18,9 (média) 50 = 50 é par, portato, a mediaa será a média aritmética dos dois valores cetrais = 5 e + 1 = 6. Pela fac observamos que o valor da freqüêcia acumulada até 18 é igual a 31, e portato o 5º elemeto é igual ao 6º elemeto e ambos correspodem ao valor da variável igual a Total = 50 x ) = 945 ( i i md = = 18 (mediaa) Tabela 1 Para o cálculo de mo, olhamos a maior freqüêcia () que correspode à idade de 18aos. mo = 18 (moda) ) Calcule média, mediaa e moda para a variável Peso. (Tabela 13) (Ver Tabela 5)

34 7 Peso fac Poto Médio x ) i ( i i xi 40,0 50, ,0 360,0 50,0 60, ,0 110,0 60,0 70, ,0 50,0 70,0 80, ,0 450,0 80,0 90, ,0 45,0 90,0 100, ,0 95,0 Total = 50 ( i xi) = 3060,0 Tabela 13 (i xi ) 3060,0 x = = = 61, (média) = = 5. Pela fac (30), a ª classe cotém a mediaa, isto é, o itervalo 50,0 60,0. md = li md + ( fac) h i md = 50, ( 8) 10 = 50,0 + (5 8) 10 = ,0 + = 57,73 (mediaa) i = classe modal : ª mo = li mo Δ1 + Δ + Δ 1 h 8 14 mo = 50, = 50, = 50,0 + 5 = 55,0 (moda) ( 8) + ( 8).14 Observação As medidas de posição podem ser utilizadas em cojuto para auxiliar a aálise dos dados, mas existem situações em que uma pode ser mais coveiete do que a outra. Por exemplo,

35 8 quado existe um ou mais valores muito discrepates, a média é muito iflueciada por este valor e se tora iadequada para represetar o cojuto de dados, sedo melhor trabalhar com a mediaa. Por outro lado, para cojutos de dados muito umerosos, a ordeação é custosa e a mediaa se tora difícil de calcular. 5.. MEDIDAS DE DISPERSÃO Um bairro obre da capital paulista iclui uma das maiores favelas de São Paulo. O que podemos dizer da reda média do bairro? Certamete, os altos redimetos de algus residetes serão suficietes para fazer a média atigir um patamar comparável às melhores ecoomias do mudo, porém a discrepâcia etre os diversos valores deve ser muito grade. O que podemos estar esquecedo é a variabilidade dos valores da variável e isto ão é captado pela média e sim pelas medidas de dispersão. As medidas de dispersão ou de variabilidade servem para quatificar a variabilidade dos valores da variável, isto é, a dispersão dos dados, ou a forma como os valores de cada cojuto se espalham ao redor das medidas de tedêcia cetral Medidas de Dispersão para um Cojuto de Dados Sejam x K os valores assumidos por uma variável X. 1, x, x3,, x Cosideremos, por exemplo, as séries: A: 10, 10, 11, 1, 1, 13, 14, 14, 14, 15 com x = 1,5 e md = 1,5 B: 7, 7, 8, 9, 1, 13, 13, 16, 17, 3 com x = 1,5 e md = 1,5 Observamos que essas séries ão são homogêeas apesar de ambas terem o mesmo valor para a média e mediaa. É preciso, pois, calcular as costates de dispersão que medem os afastametos dos valores dessas séries em toro do valor cetral. Detre as medidas de dispersão ou de variabilidade mais usadas, temos: amplitude total, variâcia, desvio padrão e coeficiete de variação.

36 Amplitude Total (R) É a difereça etre o maior e o meor valor de um cojuto de dados. R = x máx x. mí. Exemplos: Para a série A: R = = 5 Para a série B: R = 3 7 = 16 A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito limitada, pois só leva em cosideração dois valores de todo o cojuto de dados Variâcia ( σ (população) ou S (amostra) ) Para medir a dispersão dos valores de uma variável em toro da média, é iteressate estudar o comportameto dos desvios de cada valor em relação à média, isto é, d i = x x. Na determiação de cada desvio d i, estaremos medido a dispersão etre cada x i e a média x. Porém se somarmos todos os desvios, teremos di = ( xi x ) = 0. Para cotorar o i= 1 i= 1 i problema, resolveu-se cosiderar o quadrado de cada desvio i x ) ( x. Assim, defii-se: Variâcia: é a média aritmética dos quadrados dos desvios. N N ( xi μ) di i= 1 i= 1 σ = = (dados ão agrupados) N N N N ( xi μ) i di i i= 1 i= 1 σ = = (dados agrupados) N N Para uma população, ode μ é a média da população e N é o tamaho da população S ( xi x ) = i= 1 (dados ão agrupados) Para uma amostra, ode x é a média da amostra e é o tamaho da amostra

37 30 S ( xi x ) i i= 1 = (dados agrupados) A seguir estão outras fórmulas que podem ser usadas para facilitar o cálculo da variâcia populacioal e amostral. σ = 1 N N i= 1 x i μ (dados ão agrupados) 1 S = xi (x ) (dados ão agrupados) i= 1 σ = 1 N N i= 1 i i ( x ) μ 1 (dados agrupados) S = (i xi ) ( x ) (dados agrupados) i= 1 Exemplos: 1 1 Para a série A: S = xi ( x ) = ,5 = 159,1 156,5 =, i= Para a série B: S = xi ( x ) = ,5 = 179,9 156,5 = 3, i= Desvio Padrão ( σ (população) ou S (amostra) ) O desvio padrão é a raiz quadrada da variâcia. É assim defiido para que a uidade origial da variável, se houver, seja matida, pois, pela fórmula do cálculo da variâcia, a uidade é elevada ao quadrado. σ = σ (desvio padrão populacioal) S = S (desvio padrão amostral) Exemplos: Para a série A: S =,85 = 1, 69 Para a série B: S = 3,65 = 4, 86

38 31 Observação: o desvio padrão defie em toro da média populacioal ou amostral um itervalo [μ σ, μ + σ ] ou [ x S,x + S ] de amplitude σ ou S, respectivamete, chamado zoa de ormalidade Coeficiete de Variação ( CV ) O coeficiete de variação é uma medida relativa da dispersão que serve para comparar o grau de cocetração em toro da média de cojutos de dados distitos. σ S CV = 100% (para população) CV = 100% (para amostra) μ x Exemplos: 1,69 Para a série A: CV = 100% = 13,5% 1,5 4,86 Para a série B: CV = 100% = 38,88% 1,5 Vemos, portato, que há maior variação a série B do que a A, pois o CV a série B é bem maior que a série A. Exemplos 1) Calcule amplitude total, variâcia, desvio padrão e coeficiete de variação para a variável Idade. (Tabela14) (Ver Tabela 1):

39 3 Idade ( x i ) fac i x i i i x i Total = 50 ( i xi) = 945 ( x ) = i i Tabela 14 R = 5 17 = 8 (amplitude total) 1 S = (i xi ) ( x ) Já foi calculado em (Exemplo1): x = 18, 9 i= 1 1 S = (18,9) = 361,6 357, 1 = 4,05 (variâcia) 50 S = S = 4,05 =,01 (desvio padrão) S,01 CV = 100% = 100% = 10,63% (coeficiete de variação) x 18,9 ) Calcule amplitude total, variâcia, desvio padrão e coeficiete de variação para a variável Peso. (Tabela 15) (Ver Tabela 13):

40 33 Peso i fac Poto Médio ( x i ) i x i i x i 40,0 50, ,0 360,0 1600,0 50,0 60, ,0 110, ,0 60,0 70, ,0 50, ,0 70,0 80, ,0 450, ,0 80,0 90, ,0 45,0 3615,0 90,0 100, ,0 95,0 905,0 Total = 50 ( i xi) = 3060, 0 ( x ) = , 0 i i Tabela 15 R = 95,0 44,0 = 51,0 kg (amplitude total - Tabela 1) 1 S = (i xi ) ( x ) Já foi calculado em (Exemplo): x = 61,kg i= 1 1 S = ,0 (61,) = 3909,0 3745,44 = 163,56kg (variâcia) 50 S = S = 163,56 = 1,79kg (desvio padrão) S 1,79 CV = 100% = 100% = 0,90% (coeficiete de variação) x 61, 5.3. ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Vite e cico residêcias de um certo bairro foram sorteadas e visitadas por um etrevistador que, etre outras questões, pergutou sobre o úmero de televisores. Os dados foram os seguites:,,, 3, 1,, 1, 1, 1, 1, 0, 1,,,,, 3, 1, 1, 3, 1,, 1, 0 e. Orgaize os dados uma tabela de freqüêcia e determie todas as medidas de posição e de dispersão.

41 34 ) Num experimeto, 15 coelhos foram alimetados com uma ova ração e seu peso avaliado o fim de um mês. Os dados referetes ao gaho de peso (em quilogramas) foram os seguites: 1,5; 1,6;,3; 1,7; 1,5;,0; 1,5; 1,8;,1;,1; 1,9; 1,8; 1,7;,5 e,. a) Utilizado os dados brutos, determie as medidas de posição e de dispersão desse cojuto. b) Orgaize uma tabela de freqüêcia com faixas de amplitude 0, a partir de 1,5. c) Calcule, a partir da tabela de freqüêcia e com o poto médio como represetate de cada faixa, as medidas de posição e de dispersão. Comete as difereças ecotradas com o item (a). d) Se ao ivés de 15, fossem 500 coelhos, qual seria o procedimeto mais coveiete: o de (a) ou o de (c)?justifique. 3) A pulsação de 10 estudates o iício de uma prova de estatística foram as seguites (em batimetos por miuto): 80, 91, 84, 86, 93, 88, 80, 89, 85 e 86. Calcule as medidas de posição e de dispersão desse cojuto de dados. 4) Num estudo sobre cosumo de combustível, 00 automóveis do mesmo ao e modelo tiveram o seu cosumo observado durate 1000 quilômetros. A iformação obtida é apresetada a Tabela 16 em km/litro. Faixas Freqüêcia Tabela 16

42 35 Determie as medidas de posição e de dispersão do cosumo. 5) Se a média das alturas de um grupo de pessoas é 175 cm e o desvio padrão é 0 cm, uma pessoa com estatura de 150 cm está detro da ormalidade? Por quê? 6) Numa escola, duas turmas coseguiram os seguites resultados: Respoda: a) Qual a turma mais homogêea? Por quê? Turma A: x = 45, S = 10 Turma B: x = 45, S = 3,5 b) Um aluo com média 40 é cosiderado ormal a turma A? E a turma B? Por quê? 7) Na aplicação de um teste de motricidade, coseguiram-se os resultados da Tabela 17. Potos i Tabela 17 Respoda: a) Qual é a média aritmética? b) Qual é o desvio padrão? c) Qual a zoa cosiderada de ormalidade? d) Uma criaça que obteve 8 potos é cosiderada com motricidade ormal? Por quê? 8) Na pesagem de 0 criaças de quita série, obtiveram-se os seguites resultados, em kg:

43 Nesse grupo de criaças, um meio com 35 kg seria cosiderado com peso ormal? Por quê?

44 37 6. PROBABILIDADES Neste capítulo ão existe a pretesão de um estudo completo sobre a teoria das probabilidades, mas sim do cohecimeto de algus coceitos que serão aplicados posteriormete DEFINIÇÕES Feômeo Determiístico É aquele em que repetido um experimeto, as mesmas codições, o resultado esperado é sempre o mesmo. Exemplo: se um corpo percorre uma distâcia de 10 km, com velocidade média de 60 km/h, podemos determiar, pelas leis da Física, que ele gastará horas para percorrer o referido espaço, e isto sempre ocorrerá, desde que sejam matidas as mesmas codições Feômeo Aleatório ou Probabilístico É aquele cujo resultado ão pode ser previsto com certeza, aida que matidas as mesmas codições de realização. Exemplo: o laçameto de um dado, ão podemos dizer, com certeza, qual será o resultado. Só podemos saber que é provável que ocorra o resultado 1, ou, ou 3, ou 4, ou 5, ou 6. A maioria dos feômeos tratada pela Estatística é de atureza aleatória ou probabilística. Na própria escolha da amostra, temos um feômeo probabilístico. Veremos que modelos podem ser estabelecidos para quatificar as icertezas das diversas ocorrêcias.

45 Espaço Amostral (S) É o cojuto de todos os resultados possíveis de um certo feômeo aleatório Eveto (E) É um subcojuto do espaço amostral. Exemplo: laçamos uma moeda duas vezes. Se C idica cara e R, coroa, temos: S = {(C, C); (C, R); (R, C); (R, R)} (Espaço Amostral) Seja o eveto obteção de faces iguais. Temos: E = {(C, C); (R, R)} (Eveto) Seja o eveto obteção de cara o 1º laçameto. Temos: E = {(C, C); (C, R)} (Eveto) Exemplo: um experimeto cosiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir seu tempo de vida ates de se queimar. Um espaço amostral coveiete é: S = {t: t 0}, isto é, o cojuto de todos os úmeros reais ão egativos. Seja o eveto o tempo de vida da lâmpada é iferior a 0 horas. Temos: E = {t: 0 t < 0}. Este é um exemplo de espaço amostral cotíuo, equato os outros ateriores são discretos Probabilidade É a relação etre o úmero de possíveis resultados de E e todos os possíveis resultados do experimeto. Idicamos: P(E) P(E) = º de resultados que produzem E º de resultados possíveis a experiêcia 1 No caso dos dois evetos acima, P(E) = =. 4

46 PROPRIEDADES Sedo o modelo probabilístico um modelo teórico para as freqüêcias relativas, podemos verificar algumas das propriedades a seguir: Como toda freqüêcia relativa é um úmero etre 0 e 1, temos que: 0 P(E) 1, para qualquer eveto E. Cosiderado o espaço todo S e o cojuto vazio como evetos, temos: P(S) = 1 (eveto certo) e P(Ø) = 0 (eveto impossível) 6.3. OUTRAS DEFINIÇÕES Variável Aleatória Discreta Uma quatidade X, associada a cada possível resultado do espaço amostral S, é deomiada de variável aleatória discreta, se assume valores um cojuto eumerável de potos do cojuto real, com certa probabilidade de ocorrêcia Fução Discreta de Probabilidade A fução que atribui a cada valor x K da variável aleatória X sua 1, x, x3,, x probabilidade de ocorrêcia p K, respectivamete, é deomiada de fução 1, p, p3,, p discreta de probabilidade ou, simplesmete, fução de probabilidade. Notação: p( x ) = P(X = x ) = p, i 1,, 3, K ou aida i i i = X p i x 1 x x 3 p 1 p p 3 K K Uma fução de probabilidade satisfaz: p 1 e p = 1 0 i i.

47 Variável Aleatória Cotíua Uma quatidade X, associada a cada possível resultado do espaço amostral S, é deomiada de variável aleatória cotíua, se assume valores um itervalo do cojuto dos úmeros reais, com certa probabilidade de ocorrêcia. Exemplos: reda, salário, tempo de uso de um equipameto, área atigida por certa praga agrícola Fução Cotíua de Probabilidade Fução cotíua de probabilidade ou fução desidade de probabilidade para uma variável aleatória cotíua X é toda fução f (X) que satisfaz a duas codições: a) f (X) 0, para todo X + ; (, ) b) a área defiida por f (X) é igual a 1.

48 41 7. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Detre os pricipais modelos teóricos para variáveis aleatórias cotíuas (defiição 6.3.3), estudaremos o modelo ormal, pois, vários feômeos tais como estatura, QI, orietação política, desgaste dos pisos, etc., aproximam-se, a prática, muito bem desse modelo Modelo Normal ou Distribuição Normal Dizemos que uma variável aleatória cotíua X tem distribuição ormal com parâmetros μ e σ, respectivamete a média e a variâcia da distribuição, < μ < + e 0 < σ < +, se a sua fução desidade de probabilidade (defiição 6.3.4) é dada por: 1 (X μ) / σ f(x) = e, para < X <+. σ π Notação: X ~ N( μ, σ ), sigifica: X tem distribuição ormal com parâmetros μ e σ Gráfico f ( X ) 0 μ - σ μ μ + σ X Gráfico 5: Curva Normal Observado-se o gráfico, temos:

49 4 a) f ( X ) é simétrica em relação a μ, isto é, f (μ + X ) = f (μ X ), para todo X, < X < +. b) f ( X) 0 quado X ±. c) o valor máximo de f ( X ) se dá para X = μ, isto é, a curva ormal é uimodal e média ( μ ), mediaa ( Md ) e moda ( Mo ) coicidem. d) E ( X ) = μ ( valor esperado ou média) e) Var ( X ) = σ ( variâcia) Como calcular P ( a X b)? f ( X ) Gráfico 6: Probabilidade As probabilidades para o modelo ormal são calculadas com o auxílio de tabelas, e, para evitarmos a multiplicação desecessária de tabelas para cada par de valores ( μ, σ ),utiliza-se uma trasformação que coduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável de parâmetros ( 0, 1 ), isto é, μ = 0 (média) e 0 μ a b X σ = 1 (variâcia). Desse modo, se X ~ N( μ, σ ), defiimos uma ova variável Z = X μ, para qual σ demostra-se que μ ( Z ) = 0 e σ ( Z ) = 1. Logo Z ~ N( μ, σ ) e é deomiada de Normal Padrão ou Normal Reduzida. f ( Z ) Z Gráfico 7: Normal Padrão ou Normal Reduzida Agora, para calcularmos P ( a X b), fazemos a seguite trasformação:

50 43 a μ b μ P ( a X b) = P( Z ), ode X ~ N( μ, σ ). σ σ Portato, quaisquer que sejam os valores de μ e σ, utilizamos a Normal Padrão para obter probabilidades com a distribuição ormal. Os valores P ( 0 Z z ), z 0 são tabelados. Pela simetria da curva ormal, podemos calcular valores de probabilidades em outros itervalos e também temos que a probabilidade de estar à direita (ou à esquerda) de zero é 0,5. Como a probabilidade é sempre um º compreedido etre 0 e 1, a tabela cotém apeas a parte decimal. Exemplo 1) As alturas de aluos têm distribuição aproximadamete ormal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm. Qual a probabilidade de termos: a) Aluos com alturas etre 165 cm e 170 cm. b) Etre 165 cm e 180 cm. c) Etre 168 cm e 185 cm. d) Meores que 160 cm. e) Maiores que 180 cm. f) Qual o úmero esperado de aluos com altura superior a 165 cm? Resolução Variável X: altura, com X ~N ( 170, 5 ); μ = 170 cm e σ = 5. a μ b μ P ( a X b) = P( Z ) σ σ a) P ( 165 < X < 170 ) = P ( < Z < ) = P ( -1< Z < 0 ) (a tabela ão 5 5 existem valores egativos; pela simetria da curva ormal, a área represetada por P ( -1 < Z < 0 ) é igual à área represetada por P ( 0 < Z < 1 ) = 0,3413 (Tabela da Normal Reduzida) P ( 165 < X < 170 ) = 34,13%.

51 b) P ( 165 < X < 180 ) = P ( < Z < ) = P ( -1 < Z < ) = 5 5 = P ( -1 < Z < 0 ) + P (0 < Z < ) = P (0 < Z < 1 ) + P ( 0 < Z < ) (Tabela da Normal Reduzida) = 0, ,477 = 0,8185 P ( 165 < X < 180 ) = 81,85% c) P ( 168 < X < 185 ) = P ( < Z < ) = P ( - 0,4 < Z < 3 ) = 5 5 = P (- 0,4 < Z < 0 ) + P ( 0 < Z < 3 ) = P ( 0 < Z < 0,4 ) + P ( 0 < Z < 3 ) (Tabela da Normal Reduzida) = 0, ,4987 = 0,6541 P ( 168 < X < 185 ) = 65,41% d) P ( X < 160 ) = P ( Z < ) = P ( Z < - ) = P ( Z > ) (pela simetria da Normal) 5 P ( Z > ) = 0,5 P ( 0 < Z < ) = 0,5 0,477 = 0,08 P ( X < 160 ) =,8% e) P ( X > 180 ) = P ( Z > ) = P ( Z > ) = 0,5 P ( 0 < Z < ) = 0,5 0,477 = 5 0,08 P ( X > 180 ) =,8% f) P ( X > 165 ) = P ( Z > ) = P ( Z > - 1 ) = P ( Z < 1 ) (pela simetria da Normal) 5 P ( Z < 1 ) = 0,5 + P ( 0 < Z < 1 ) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413 P ( X > 165 ) = 84,13%. Como são aluos, teremos: ,8413 = aluos é o úmero esperado de aluos com altura superior a 165 cm.

52 45 8. ESTIMAÇÃO A estimação faz parte da Iferêcia Estatística que tem por objetivo fazer geeralizações sobre uma população com base em dados de uma amostra. Existem dois tipos de estimação: por poto e por itervalo. Na estimação por poto é proposto um úico valor para substituir o parâmetro (dado da população). Assim, o estimador por poto da média aritmética populacioal μ é a média aritmética amostral x ; o estimador por poto da variâcia populacioal σ é a variâcia amostral S ESTIMAÇÃO POR INTERVALO A estimação por poto ão permite julgar qual a possível magitude do erro que estamos cometedo ao substituir o parâmetro por um úico valor. Daí surge a idéia de costruir itervalos de cofiaça, que são baseados a distribuição amostral do estimador potual, icorporado à estimativa potual do parâmetro iformações a respeito de sua variabilidade. Um itervalo de cofiaça é determiado por dois valores que são os seus limites, chamados limites de cofiaça, que com certa probabilidade icluam o verdadeiro valor do parâmetro da população. Logo, a estimação por itervalo cosiste a fixação de dois valores tais que γ seja a probabilidade de que o itervalo, por eles determiado, coteha o verdadeiro valor do parâmetro. γ é chamado de coeficiete de cofiaça ou ível de cofiabilidade. 1 γ é o ível de sigificâcia ou ível de icerteza ou aida grau de descofiaça. Portato, a partir de iformação de amostra, devemos calcular os limites de um itervalo, que em γ % dos casos iclua o valor do parâmetro a estimar e em (1 γ)% dos casos ão iclua o valor do parâmetro.