Sumário: Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias de. populações independentes com variâncias conhecidas...

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1 0 Sumário: 6. Itervalo de Cofiaça etimação por itervalo Itervalo de cofiaça para a média Itervalo de cofiaça para a média com variâcia cohecida Itervalo de cofiaça para a média com variâcia decohecida Itervalo de cofiaça para a proporção Itervalo de cofiaça para a difereça etre dua média de populaçõe idepedete Itervalo de cofiaça para a difereça etre dua média de populaçõe idepedete com variâcia cohecida Itervalo de cofiaça para a difereça etre dua média de populaçõe idepedete com variâcia iguai e decohecida Itervalo de cofiaça para a difereça etre dua média de populaçõe idepedete com variâcia diferete e decohecida Itervalo de cofiaça para a difereça etre dua proporçõe em populaçõe idepedete Itervalo de cofiaça para a variâcia de uma população ormal Itervalo de cofiaça para a razão etre a variâcia de dua populaçõe ormai Exercício...34

2 Itervalo de cofiaça 6.. etimação por itervalo Normalmete, o proceo de ivetigaäåo de um parçmetro, eceitamo ir além da ua etimativa potual ˆ. O fato de Åo e cohecer o valor de pode cauar uma ieguraäa e levar a um quetioameto: QuÅo prüximo etamo do valor real de quado obtemo ua etimativa? repota depede da preciåo ou variçcia) do etimador e, também, do valor real do parçmetro. Uma maeira de cotorar ee problema coite em e ecotrar um itervalo em toro de ˆ que teha alta probabilidade de eglobar. P do itervalo [ a, b] eglobar ) = O itervalo [ a, b], a prática, erá cotruàdo com a amotra, ou eja, a partir do dado e da ditribuiäåo amotral aociada a ˆ. Logo, o valore a e b eråo aleatório, variado de uma amotra para outra.

3 6.. Itervalo de cofiaça para a média 6... Itervalo de cofiaça para a média com variâcia cohecida Seja uma aa X, X,..., X, com média e variâcia cohecida. Para cotruir um itervalo de cofiaça para a média deve-e coiderar a ditribuição da média amotral X, X N, X / N0, ) Itervalo de cofiaça )00% para Para cotruir um I.C. para a temo que obter cotate a e b tal P a b. que ) probabilidade ) é chamada de ível de cofiaça do itervalo e de ível de igificâcia. X Etão, da ditribuição de, temo: / P z X / z / ) /

4 3 P z / X z / ) P X z / X z / ) Como z / z /, teremo: P X z / X z / ) a b a x z / e b x z /. Nota: oberve que, ea otação, z 0. / Portato, um itervalo de cofiaça )00% para, com cohecido, é dado por: x z / ; x z /. Se = 0.05, / e z. 96, logo, um I.C. 95% para, com cohecido, é dado por: 0.05 x. 96 ; x. 96.

5 Exemplo : Tete de compreão foram aplicado a marca de cimeto para avaliar ua reitêcia em cocreto. Foram produzido 3 corpo de prova e o tete foram aplicado o Laboratório de tete do Departameto de Egeharia Civil da UFSCar. O corpo de prova padrão braileiro, ormatizado pela NT, é o cilídrico, com 5 cm de diâmetro, 30 cm de altura e a idade de referêcia é 8 dia) Foi regitrada a reitêcia à compreão imple fc), para cada corpo de prova com o ituito de calcular a reitêcia caracterítica do cocreto à compreão fck). Um cocreto cocreto clae C30, por exemplo, correpode a um cocreto com f ck = 30 Mpa Mpa = 0 6 Pa). Pacal uidade) O Pacal ímbolo: Pa) é a uidade padrão de preão e teão o SI. Equivale a força de N aplicada uiformemete obre uma uperfície de m fote: Wikipédia). Dado MPa): x = = emprea afirma que o proceo tem variabilidade = 5MPa. Cotruir um itervalo de cofiaça 95% ível de igificâcia = 0.05) para a reitêcia à compreão média. 4 X / Etatítica: ~ N 0 ; Ecotrar a e b tai que: Pa b 0. 95

6 5 X P / P.96 X P X X 0.95 Subtituido o valore da média amotral e tamaho da amotra 5 5 P P Ou eja: 5 a MPa 3 5 b MPa 3 Logo, 3.04, ) é um I.C. 95% para. Iterpretação: o itervalo 3.04 ; 36.48) tem probabilidade %) de eglobar o real valor da média.

7 Itervalo de cofiaça para a média com variâcia decohecida Seja uma aa X, X,..., X, com média e variâcia decohecida. No cao da variâcia er decohecida devemo utilizar ua etimativa dada pela variâcia amotral, porém, ee cao a ditribuição aociada à média amotral X ão erá mai a ormal. X Reultado: a etatítica / ) grau de liberdade, ou eja tem ditribuição t Studet com Nota: X / ~ t ) razão X / pode er ecrita como: X / X / X / ) / N0,) por Ou eja, a ditribuição t-studet é dada pela razão de uma N0,) uma dividida pelo eu grau de liberdade.

8 ) im com a ormal padroizada a ditribuiäåo t Studet tem formato de io, ou eja, É imétrica em toro do zero, porém, para grau de liberdade pequeo a moderado ua cauda Åo mai peada. 3) Se uma va T tem ditribuiäåo t Studet com k grau de liberdade, etåo: k E T ) 0 e Var T ) k 4) Quado o grau de liberdade crecem, a ditribuiäåo t Studet e aproxima da N 0,). 5) ditribuiäåo t Studet com grau de liberdade É cohecida como ditribuiåço de Cauchy. 7 Para cotruir um I.C. para a quado É decohecida, devemo proceder como o cao ateriore, porém ubtituido a ditribuiäåo ormal padråo pela t-studet, ou eja:

9 8 X Pt ); / t ); / ) / P t ); / X t ); / ) P X t ); / X t ); / ) Como t ); / t ); /, temo: P X t ); / X t ); / ) Logo, um itervalo de cofiaça )00% para, com decohecido, é dado por x t ); / ; x t ); / Exemplo : No cao do tete de compreão em amotra de cocreto, o gerete da compahia, decofiado de que a iformação a repeito da variâcia ão eja verdadeira, refez o cálculo etimado a variâcia do proceo por. Como o procedimeto de cálculo é o memo, bata ubtituir o valor do quatil da ormal Z 0.05 =.96) pelo quatil da ditribuição t Studet com ) = grau de liberdade. Como 3, etão t t. 788 ); / ;0.05 Com x = e = refazedo o cálculo temo que

10 x t ); MPa x t ); MPa 3 Portato, 30.94, ) é um IC 95% para para o cao em que a variâcia é decohecida Iterpretação: é mema do cao aterior, porém, agora a variâcia é decohecida Itervalo de cofiaça para a proporção Como a proporção p é de fato a média amotral de uma aa cuja va tem ditribuição de eroullip), para e cotruir itervalo de cofiaça para p devemo eguir o memo procedimeto ateriore. Coiderado que o etimador da proporção pˆ tem valor eperado p p) p e variâcia, dada a ditribuição pˆ p p p) N 0,), um I.C. )00% para a proporção é dado por: p ˆ z p p) p p) / ; pˆ z /.

11 Exemplo 3: No tete de compreão em amotra de cocreto, e a emprea afirma que 90% da produção atede ao valor do f ck = 30Mpa, cotruir um I.C. de 95% = 0.05) para a proporção de corpo de prova com fc abaixo de fck. Do 3 corpo de prova o valore 4.83, 9.44 e 7.8 ão 3 meore do que o f ck de 30Mpa. Etão, pˆ Coiderado que p = 0.0: pˆ z pˆ z p p) / p p) / Ou eja: P p Portato, ; ) é um I.C. 95% para p. Iterpretação: o itervalo ; 0.394) tem probabilidade %) de eglobar o real valor do parâmetro p. Nota: Como ormalmete ão cohecemo p, podemo cotruir itervalo de cofiaça para a proporção ubtituido p e p) por pˆ e pˆ), repectivamete. Nete cao o itervalo fica: p ˆ z pˆ pˆ) pˆ pˆ) / ; pˆ z /.

12 Outra poibilidade eria coiderar o fato de p p) / 4 cotruir um itervalo coervador para p aumido p = ½. Nete cao: p p) 4 e Logo, o itervalo de cofiaça coervador para p erá p z ˆ 4 / z ; pˆ 4 /. Coiderado = 0.05, etão, I.C. 95% para p, o cao acima erão dado por: pˆ pˆ) pˆ pˆ) i) utilizado pˆ : pˆ.96 ; pˆ.96 ii) coervador p ½: pˆ ; pˆ 4 4 O procedimeto em ii) forece itervalo de cofiaça exceivamete grade quado p e ditacia de ½ p 0 ou p ) uab & Moreti, 00). Para a utilização do itervalo coervador, portato, devemo ter algum cohecimeto do valor p, garatido que eu valor eteja próximo de ½. Exemplo: No exemplo do tete de compreão em cocreto temo 3 p ˆ 0.3, logo 3

13 i) utilizado pˆ : pˆ z pˆ z pˆ pˆ) / pˆ pˆ) / Portato, ; ) é um I.C. 95% para p. ii) coervador p ½: z.96 p ˆ / < 0!!) pˆ z.96 / Portato, ; ) é um I.C. 95% coervador para p. Note que o itervalo acima o limite iferior é egativo, coequêcia da utilização da máxima variâcia de p e do fato de que a proporção a er etimada etá loge do valor ½. Nota: uualmete, ete cao, arredodamo o limite iferior para 0 zero), porém, o mai idicado é a utilização da etimativa pˆ.

14 3 Forma implificada de repreetação: i) Média com variâcia cohecida: x z / ii) Média com variâcia decohecida: x t ); / iii) Proporção: pˆ z / pˆ pˆ) Exemplo: ) Um provedor de aceo É iteret deeja implatar um plao em limite de hora. Para io, verificou uma amotra de = 5 uuñrio o tempo de utilizaöüo meal, obtedo: mádia amotral x 6. 8 hora. Sabedo que = 6.5 hora : a) Ecotre um itervalo de cofiaöa 90% para a mádia. b) De quato deve er aumetado o tamaho da amotra para que, matida a demai medida, o comprimeto do itervalo caia pela metade? ) Obervou-e a etatura de 0 recám-acido um hopital coforme dado abaixo. Pequia ateriore idicam que a etatura mádia da criaöa acida ete hopital á de à = 5 cm. Dado: x = 987 e x = a) Qual a probabilidade de que a etatura mádia da amotra Üo ultrapae 50.0 cm? b) Cotrua um I.C. 99% para a mádia. 3) 0 corpo de prova foram ubmetido a um tete de corroüo ode foram ubmero em Ñgua algada durate 60 egudo/dia. corroüo foi medida pela perda de peo em miligrama/decâmetro quadrado/dia MDD). O dado obtido foram:

15 a) Ecotre etimativa para a média e variâcia para a perda de peo em MDD. b) Cotrua um itervalo de 95% de cofiaça para a média. c) Supodo que a verdadeira média eja = 0, calcule a probabilidade de que X eja uperior ao máximo valor da amotra coiderado: i) devio padrão cohecido = 6; ii) devio padrão decohecido. 4

16 6.3. Itervalo de cofiaça para a difereça etre a média de dua populaçõe idepedete Sejam dua populaçõe e cuja média ão variâcia e, repectivamete. Um etimador ão viciado para ) X e 5 e é dado pela etatítica X e ua ditribuição amotral é obtida coforme trê diferete ituaçõe: i) Populaçõe idepedete com variâcia cohecida; ii) Populaçõe idepedete com variâcia decohecida, porém, iguai; iii) Populaçõe idepedete com variâcia diferete e decohecida. Figura: Populaçõe ormai.

17 Itervalo de cofiaça para a difereça etre a média de dua populaçõe idepedete com variâcia cohecida tamaho Seja uma aa de tamaho, retirada da população e uma aa de retirada da população, idepedete. Coiderado que a variâcia e ejam amba cohecida, temo que: X / e X / ão N0, ) Da teoria da probabilidade temo que EX X e VarX X Logo, para o cao em que a variâcia e ão cohecida, a ditribuição amotral aociada à etatítica X é dada por: X X X N0,) Oberve que a variável padroizada tem expreão imilar ao cao ateriore, ou eja, a difereça etre a va e ua média, dividida pelo eu devio padrão.

18 7 Podemo, aim, cotruir um I.C. para ) a partir de Pz z / ). X X / Ou eja, um I.C. ) 00% para ) coiderado amotra idepedete e variâcia cohecida é dado por: x x z / ; x x z /. Exemplo 4: Coidere que o exemplo com o tete de compreão em amotra de cocreto, além da uma eguda marca teha ido avaliada com o ituito de que foem comparada. Dado MPa): x = = x = = 5.07 a) Sabedo que a emprea afirmam que ambo o proceo têm variabilidade = 5MPa, cotruir um I.C. para a difereça etre a média da dua marca.

19 8 Solução: a) Como 5 etão: X X Logo, um I.C. 95% para ) é dado por: x x z / ; x x z /. Ou eja: x x z / Portato 3.034, ) é um I.C. 95% para ) Itervalo de cofiaça para a difereça etre a média de dua populaçõe idepedete com variâcia iguai e decohecida Sejam dua populaçõe e cuja média ão e variâcia decohecida, porém iguai, ou eja, e

20 9 Nee cao, cotudo, tato como etimam a variâcia comum, logo, podemo utilizar a iformaçõe de amba a amotra para etimar a variâcia populacioal. O que e faz, a prática, é combiar a oma de quadrado da dua variâcia amotrai e dividir pelo grau de liberdade total, ou eja ) ) x x i i ) = g.l. de ) ) x x i i ) = g.l. de que combiada, reultam em ) ) ) ) ) ) x x x x p i i i i p variâcia combiada p ou pooled), ada mai é do que uma variâcia poderada pelo grau de liberdade da dua amotra: ) ) p. im como e, p é um etimador ão vieado para.

21 0 Prova: ) ) E E E p ) ) ) Pelo fato de er decohecida, temo que X / t e X / t. Como temo um etimador comum para a variâcia populacioal, podemo derivar uma ditribuição de probabilidade para X X. Padroizado a difereça etre a média amotrai teremo: X X X X p p p

22 Reultado: X X p t Um I.C. )00% para ), quado a variâcia ão iguai e decohecida, é dado por: x x t ); / p Exemplo 5: Cotruir um I.C. 95% para a difereça etre a reitêcia média à compreão em cocreto feito com cimeto da marca e, coiderado variâcia iguai e decohecida. você acha válida a upoição de variâcia iguai?) x = x = = = 5.07 = 3 = ) 45.07) p p t t.0555 ); / 6;0.05

23 Logo, um I.C. 95% para ) é dado por: x x t6;0.05 p Portato 3.05, ) é um I.C. 95% para ) coiderado variâcia iguai e decohecida Itervalo de cofiaça para a difereça etre a média de dua populaçõe idepedete com variâcia diferete e decohecida Sejam dua populaçõe e cuja média ão variâcia diferete e decohecida, Com etimativa e e e e e. diferete e decohecida, devemo utilizar ua idividualmete e, ee cao, a ditribuição da etatítica utilizada, apear de cotiuar edo a t-studet, ão tem mai o grau de liberdade obtido diretamete, como o cao ateriore, ito é X X ~ t,

24 3 em que o grau de liberdade ão dado por: / / Logo, um I.C. ) 00% para ), quado a variâcia ão diferete e decohecida, é dado por: x x t ; /. Exemplo 6: Com o dado de reitêcia à compreão em cocreto com cimeto da marca e, coiderado variâcia iguai e decohecida. x = x = = = 5.07 =.759 = 3 = 5.74 = / /

25 Nota: O grau de liberdade ão preciam er valore iteiro. De fato, t pelo R). 5.86; Efim, um I.C. 95% para ) é dado por: x x t 6; Portato 3.084, ) é um I.C. 95% para ) coiderado variâcia diferete e decohecida. Reumido: Variâcia Variäcia cohecida Etatítica X X I.C. 95% p/ ) N 0,) 3.034, 4.394) Variäcia decohecida e iguai X X p t 3.05, 4.465) Variäcia decohecida e diferete X X ~ t 3.084, 4.444)

26 Itervalo de cofiaça para a difereça etre dua proporçõe em populaçõe idepedete Coidere que e queira etimar a difereça etre dua proporçõe p e p, aociada a dua populaçõe idepedete. Etão, um etimador ão vieado para a difereça p ) é dado por pˆ ˆ ). Sabedo que p p ˆp p p ) p p) N p, e ˆp N p, Etão: p p) p p ) pˆ pˆ ) N p p), Deta forma, um I.C. )00% para p ) p é dado por pˆ pˆ ) z / pˆ pˆ ) pˆ pˆ ) Exemplo 7: Um grupo de biólogo itereado em etudar populaçõe de aimai em regiõe iolada por loga ditâcia etão avaliado o deevolvimeto de peixe de uma determiada epécie em dua lagoa eparada por uma grade ditâcia geográfica. Numa amotra de 6 peixe da primeira lagoa, 84 ão da epécie em quetão, equato que, de uma amotra de 80 peixe da outra lagoa, 45 ão da epécie etudada.

27 Etimar a difereça etre a proporçõe de peixe da dua lagoa e cotruir um I.C. 90% para a difereça. etimativa idividuai para p e p ão: pˆ 0.74 pˆ Etão, uma etimativa para a difereça etre p e p é dada por pˆ pˆ e, a etimativa do devio padrão da difereça Logo, um I.C. 90% para a difereça etre a proporçõe é dado por , ou eja, , 0.67 ) é o I.C. 90% para p ). p O que e pode cocluir?

28 6.4. Itervalo de cofiaça para a variâcia de uma população ormal Coidere uma população ormal com média e variâcia, amba decohecida. Em muita aplicaçõe prática temo o iteree em avaliar a variabilidade do feômeo em etudo. Nea ituação, devemo etimar e, também, cotruir itervalo de cofiaça para a variâcia populacioal. Coiderado que a população eja ormal, temo que 7 ) para Deta forma, a partir da ditribuição a partir de eu quati: podemo cotruir I.C. ) P ); / ); / )

29 8 ); / P ) ); / ) ) ) P ); / ); / ) ) a b ) ) a e b. ); / ); / Deta forma, um I.C. )00% para é dado por: ) ); / ) ;. ); / Exemplo 8: O peo de um compoete mecâico é uma va com ditribuição ormal com média e variâcia, decohecido. Pretedee etudar a variabilidade do proceo de produção e, para io, uma amotra com = compoete foi avaliada. O peo g) ão dado x 00 e x Portato: x 00 g ) 8 g. 0

30 9 Cotruir um I.C. 95% para a variâcia populacioal = 0.05). 3.5 e ;0.05 ;0.975 a ) ); / b ) ); / Um I.C. 95% para é dado por 3.906, 4.65 ).

31 Itervalo de cofiaça para a razão etre a variâcia de dua populaçõe ormai É muito comum, em aplicaçõe etatítica, preciarmo comparar a variâcia de dua populaçõe, como, por exemplo, quado comparamo a média dea populaçõe. comparação de dua variâcia ão é feita pela difereça etre ela, ma im pela razão da mema. Reultado: Seja W k e W k, prova-e facilmete que a razão W k F F W k ;k k razão de dua va idepedete, com ditribuição quiquadrado, dividida pelo eu repectivo grau de liberdade k e k ), tem ditribuição F de Sedecor, em que k ão o grau de liberdade do umerado e k o grau de liberdade do deomiador. Nota: i) Se X t k, etão X F,. k Prova: Sai direto do reultado ) da ditribuição t-studet. ii) Exite uma relação etre o quati da ditribuiçõe F, de forma que F k ; k F ; k ; k ;

32 3 e Sejam dua populaçõe ormai com variâcia e e ejam eu etimadore a partir de amotra de tamaho e, etão ) / ) F F ) / ; ) Ma a razão F acima pode er implificada por: F F ; de: Logo, um I.C. para razão etre dua variâcia é cotruído a partir P f f ) em que: f F e ); ); / f F. ); ); / P f f )

33 Portato, ecrevedo o reultado para, um I.C. )00% para a razão de variâcia é dado por: 3 P ) f f Ou eja, o itervalo para a razão etre dua variâcia de populaçõe ormai é defiido por: F ); ); / ;. F ); ); / Nota: O itervalo é cotruído de forma que eja maior do que. Exemplo 9: Cotruir um I.C. 95% para a razão etre a variâcia da reitêcia à compreão em cocreto do cimeto da marca e. =.759 = 3 = 5.74 = 5 Com, F ;;0.05 e F 4;; F 4;;

34 33 F 4;; im, um I.C. 95% para é dado por , ).

35 Exercício. Deeja-e comparar a qualidade de um produto produzido por dua idútria. Ea qualidade erá defiida pela uiformidade com que o produto é produzido. Tomaram-e dua amotra, uma de cada idútria, medido-e o tamaho do produto cm). a) qualidade da dua fábrica é a mema? Cao a ua repota eja egativa, dê um itervalo de cofiaça para idicar a iteidade dea deigualdade. b) Cotruir um I.C. 99% para a difereça etre a média, ) Etatítica Idútria Idútria Tamaho da motra 7 Média.5. Variâcia Num etudo comparativo do tempo médio de adaptação do empregado de um grade complexo bacário, uma amotra aleatória, de 50 home e 50 mulhere, produziu o eguite reultado: Etatítica Home Mulhere Tamaho da motra Média 3. ao 3.7 ao Devio-padrõe 0.8 ao 0.9 ao Que cocluõe você pode tirar para a população de home e mulhere dee baco? Idique quai a upoiçõe feita) 3. Supoha que uma aociação de defea de coumidore deeja etimar o coumo médio um ovo modelo de automóvel que erá laçado o mercado. Para fazer eta verificação, a aociação oberva uma amotra de 0 veículo, coduzido por motorita treiado, um percuro de 00 milha. O coumo, em galõe, foi regitrado com o eguite reultado: x 43.8 e x umido que ete valore repreetam uma amotra aleatória de uma variável ormalmete ditribuída com média e variâcia. a) Calcule etimativa potuai para e. b) Calcule um itervalo de 75 % de cofiaça para.

36 4. O dado abaixo Üo uma amotra aleatãria para etimar a proporöüo etudate de uma uiveridade que pouem automãvel. Foi cotruâdo o itervalo coervador de 90% de cofiaöa para p: ; ) Um egudo itervalo foi cotruâdo coiderado a ormalidade de pˆ : ; ) a) Qual á a etimativa potual para pˆ? b) Qual á o tamaho da amotra? c) Qual o âvel de cofiaöa do egudo itervalo 5. Da populaöüo X Normal50; 00) retirou-e uma aa de = 0 elemeto e da populaöüo Y Normal60; 00) retirou-e uma aa de m = 6 elemeto, idepedete da primeira, obtedo-e a variäcia amotrai e, repectivamete. a) Ecotre o valor de a, tal que P a b) Ecotre o valor de b, tal que P b Uma da maeira de medir o grau de atifaöüo do empregado de uma mema categoria quato É polâtica alarial á por meio do devio padrüo de eu alñrio. FÑbrica diz er mai coerete a polâtica alarial do que a FÑbrica. Para verificar ea afirmaöüo, orteou-e uma amotra de 0 fucioñrio Üo epecializado de, e 5 de, obtedo-e o devio padråe 000 reai e 600 reai. Qual eria a ua cocluüo? 35

37 Reolução:. Deeja-e comparar a qualidade de um produto produzido por dua idútria. Ea qualidade erá defiida pela uiformidade com que o produto é produzido. Tomaram-e dua amotra, uma de cada idútria, medido-e o tamaho do produto cm). a) qualidade da dua fábrica é a mema? Cao a ua repota eja egativa, dê um itervalo de cofiaça para idicar a iteidade dea deigualdade. I.C. 95% para : 7 x.5. x Limite iferior: F ;0; Como F6;0; F.68 0;6; Limite uperior: F ;0;0.05 O itervalo.65 ;.83 ) é um itervalo de cofiaça 95% para. Como o itervalo ão egloba o valor, etão, há evidêcia uficiete para afirmar que. Logo, a qualidade da dua idútria ão é a mema. idútria, com meor variabilidade, tem melhor qualidade.

38 37 b) I.C. 99% para ) coiderado variâcia diferete. / / / 0.734/ gl / t. 888 ;0.005 x x ) t; ; 0.34 ) é o I.C. 99% para a difereça etre a média de tamaho do produto da idútria e.. Num etudo comparativo do tempo médio de adaptação do empregado de um grade complexo bacário, uma amotra aleatória de 50 home e 50 mulhere produziu o eguite reultado: qualidade da dua fábrica é a mema? comparar a variâcia) H 50 M 50 x H 3. ao x M 3. 7 ao H 0. 8 ao M 0. 9 ao

39 Que cocluõe você pode tirar com relação ao tempo de adaptação de home e mulhere dee baco? Idique quai upoiçõe foram feita) 38 M I.C. 95% para : H 0.9) 0.8 Limite iferior: ) F ;49; ) 0.8 Limite uperior: ) F ;49;0.05 M O itervalo 0.78 ;.30 ) é um itervalo 95% para. Como o itervalo egloba o valor, etão, ão há evidêcia uficiete para afirmar que a variâcia ão diferete. I.C. 90% para a difereça etre o tempo médio de adaptação etre home e mulhere, com variâcia iguai. H p M ) M H ) M H H / 0.05 t ;0.05 p xm xh ) t98;0.05 M p H ) ; ) é o I.C. 90% para a difereça etre o tempo médio de adaptação de etre mulhere e home.

40 39 O itervalo Üo egloba o zero, portato, há evidêcia uficiete para afirmar que o home tçm um tempo de adaptaöüo meor do que a mulhere. Supoiçõe: Normalidade do tempo de adaptaöüo de home e mulhere 3. Uma aociaöüo de defea de coumidore deeja etimar o coumo mádio um ovo modelo de automãvel que erñ laöado o mercado. Para fazer eta verificaöüo, a aociaöüo oberva uma amotra de 0 veâculo, coduzido por motorita treiado, um percuro de 00 milha. O coumo, em galåe, foi regitrado com o eguite reultado: x 43.8 e x umido que ete valore repreetam uma amotra aleatãria de uma variñvel ormalmete ditribuâda com mádia e variäcia. a) Calcule etimativa potuai para e. ˆ x ˆ ) 0 ) b) Calcule um itervalo de 75% de cofiaöa para. 0.5) e ;0.5 ;0.875 ).776 Limite iferior: ;0.875 ).776 Limite uperior: ;0.5 I.C. 75% para a variäcia á dado por: ; 0.60 )

41 4. O dado abaixo Üo uma amotra aleatãria para etimar a proporöüo etudate de uma uiveridade que pouem automãvel. Itervalo coervador de 90% de cofiaöa para p: ; ) Itervalo coiderado a ormalidade de pˆ : ; ) a) E potual para pˆ? poto médio do itervalo) 40 pˆ b) Qual á o tamaho da amotra? Sabe-e que o tamaho do I.C. 90% coervador á dado por: Z a 5 c) Qual o âvel de cofiaöa do egudo itervalo pˆ pˆ).7 Z 5 0 / ) Z /.576 O âvel de cofiaöa do I.C. á ) ou 99%.

42 5. Da populaöüo X Normal50;00) retirou-e uma aa de = 0 elemeto e da populaöüo Y Normal60;00) retirou-e uma aa de m = 6 elemeto, idepedete da primeira, obtedo-e a variäcia amotrai e, repectivamete. a) Ecotre o valor de a, tal que P a Ob: 00 4 F ; m F 9; 5 a P a F b) Ecotre o valor de b, tal que P b Da relaöüo etre a ditribuiöåe F F ;5;0.05 F 5;9; ;5;0.95 b P b F ;5; Uma da maeira de medir o grau de atifaöüo do empregado de uma mema categoria quato É polâtica alarial á por meio do devio padrüo de eu alñrio. FÑbrica diz er mai coerete a polâtica alarial do que a FÑbrica. Para verificar ea afirmaöüo, orteou-e uma amotra de 0 fucioñrio Üo epecializado de, e 5 de, obtedo-e o devio padråe 000 reai e 600 reai. Qual eria a ua cocluüo? O grau de atifaöüo com o alñrio á o memo a dua fñbrica? comparar a variâcia)

43 Cotruir um I.C. 95% para e verificar e egloba o valor : Limite iferior: F ;9;0.975 Como F4;9; F ;4; Limite uperior: F ;9;0.05 I.C. 95% para : ; 8.57 ) O I.C. egloba o valor, portato, ão há evidêcia para utetar a afirmação da Fábrica.