PUCRS FAMAT DEPTº DE ESTATÍSTICA Estimação e Teste de Hipótese- Prof. Sérgio Kato

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1 1 PUCRS FAMAT DEPTº DE ESTATÍSTICA Estimação e Teste de Hipótese- Prof. Sérgio Kato 1. Estimação: O objetivo da iferêcia estatística é obter coclusões a respeito de populações através de uma amostra extraída dessa população. Uma variável aleatória é caracterizada por sua distribuição de probabilidade. Em algus casos, o cotrole estatístico da qualidade, por exemplo, a distribuição de probabilidade é usada para descrever ou modelar alguma característica de qualidade, como por exemplo, uma dimesão crítica de um produto ou a proporção de defeituosos de um processo de maufatura. Assim, estamos iteressados em fazer iferêcias a respeito dos parâmetros da distribuição de probabilidade. Como estes parâmetros quase sempre são descohecidos, iremos estimá-los a partir dos dados de uma amostra. A Estatística Iferecial compreede a Estimação e os Testes de hipóteses. A estimação é um processo que cosiste em utilizar dados amostrais (retirados segudo amostragem probabilística) a fim de obter coclusões sobre os parâmetros da população que são descohecidos. A estimação pode ser feita por poto ou por itervalo. Pricipais estimadores por poto: Parâmetro Estimador µ X 2 π 2 S S P ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE CONFIANÇA A estimação por itervalo os forece um itervalo de valores cetrados a estatística amostral, o qual julgamos estar o parâmetro com uma probabilidade cohecida de erro. Vimos que para uma população podemos retirar K amostras diferetes para um determiado tamaho de amostra. Cada amostra possível tem um valor como estimativa e cada estimativa forecerá um itervalo diferete para o parâmetro. Assim, temos uma probabilidade (1-α) de que o valor do parâmetro esteja cotido o itervalo estimado, chamado ível de cofiaça. Por esta razão, chamamos de itervalos de cofiaça. O itervalo de cofiaça depederá da distribuição amostral do estimador que foi utilizado para estimar o parâmetro.

2 2 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO PARA A MÉDIA POPULACIONAL Sabemos que as médias se distribuem segudo uma distribuição ormal com média µ e desvio-padrão quado estas médias provêm de uma distribuição populacioal ormal ou quado o tamaho da amostra é suficietemete grade. Quado retiramos uma amostra, a média X é uma das muitas médias possíveis de se obter de uma população. Assim, por exemplo, se adotarmos um ível de cofiaça de 95%, poderemos dizer que 95% das médias amostrais estarão detro de 1,96 erros padrão. Sabedo que o itervalo de cofiaça tem cetro a média amostral, é determiado da seguite maeira: [ ] ± ε X ode ε =z Quado é pequeo e descohecido, usamos a distribuição t-studet com -1 graus de liberdade, sedo ε =t. s CASO 1: INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA. Para uma variável aleatória X ormalmete distribuída, com média descohecida e variâcia cohecida 2, uma amostra aleatória é retirada e calculase X. O itervalo de cofiaça com ível de cofiaça 1 α é dado por: X Zα. µ X + Zα. 2 2 = X ± Zα. 2 Exemplo: Uma máquia eche pacotes de café com uma variâcia igual a 1 g 2. Ela estava regulada para echê-los com 5g, em média. Agora ela se desregulou, e queremos saber qual a ova média µ. Uma amostra de 25 pacotes apresetou média igual a 485g. Estime a média por itervalo de 95% de cofiaça. R: [481,8; 488,92]

3 3 CASO 2: INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL COM VARIÂNCIA 2 DESCONHECIDA. Supoha que X seja uma variável aleatória de uma distribuição ormal com média µ descohecida e variâcia 2 descohecida, retira-se um amostra aleatória e calcula-se a média amostral X e a variâcia amostral s 2. Utilizado a distribuição t-studet tem-se: s s s X tα. µ X + t. = X ± t., 1 α, 1 α, OBS: Quado for grade, podemos utilizar a distribuição ormal. Exemplo: Um pesquisador está estudado a resistêcia de um determiado material sob determiadas codições. Ele sabe que essa variável é ormalmete distribuída. Foi retirado uma amostra de 9 uidades 4,9 ; 7, ; 8,1; 4,5 ; 5,6; 6,8 ; 7,2 ; 5,7; 6,2. a) Determie um itervalo de 9% de cofiaça para a resistêcia média populacioal. b) Determie um itervalo de 95% de cofiaça. para a resistêcia média populacioal. c) Verifique os resultados de a) e b), e coclua a respeito do erro de estimação e o ível de cofiaça. R: a) [5,5; 6,94] b) [5,33; 7,11] c) Quato maior o ível de cofiaça maior é o itervalo e meor é a precisão CASO 3: ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO Para a estimativa potual da proporção (pˆ ), é utilizada a distribuição Biomial, ode pˆ é a razão etre o úmero de sucesso (ites que apresetam uma determiada característica) e o úmero total da amostra (). A estimativa itervalar da proporção populacioal (π), para grades amostras, é simétrica em relação à proporção amostral, tal como ocorre com o itervalo para a média populacioal em relação a média amostral. A pricipal difereça etre as estimativa de médias e de proporções está os desvios padrões das distribuições amostrais. O desvio padrão se baseia a distribuição biomial e é dada por: pˆ.(1 pˆ) = pˆ Se é grade e p>=,1, etão a aproximação Normal para Biomial pode ser usada, resultado: pˆ.(1 pˆ) pˆ.(1 pˆ) pˆ.(1 pˆ) pˆ Z pˆ + Z = pˆ α. π α. ± Zα Exemplo: De 8 etrevistados, 48 acreditam que o dólar estará com o preço mais baixo daqui a um mês. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para a verdadeira proporção de pessoas que acreditam que o dólar estará abaixo do valor atual. R: [,4926;,774]

4 4 LISTA DE ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE CONFIANÇA 1. O gerete de um baco em uma cidade pequea gostaria de determiar a proporção de seus corretistas que recebem salários semaalmete. Determie uma estimativa, com 9% de cofiaça, da proporção, a população, de corretistas do baco que são pagos por semaa, se uma amostra de 145 apresetou 29 que recebiam por semaa. R: [,1455;,2645]. 2. Uma moeda foi jogada 4 vezes, obtedo-se 136 caras. Costrua um itervalo de 95% e 99% de cofiaça para o resultado cara essa moeda. R: [,2936;,3864] e [,2789;,411] 3. Em uma pesquisa realizada com 2 habitates de uma cidade, 4 se mostraram favoráveis a pea de morte. Estime, por poto e por itervalo de 99% de cofiaça para a verdadeira proporção de moradores favoráveis a pea de morte esta cidade. R: [,127;,273] 4. A distribuição dos diâmetros de parafusos produzidos por uma certa máquia é ormal, com desvio padrão igual a,17mm. Uma amostra de 6 parafusos retiradas ao acaso da produção apresetou os seguites diâmetros (em mm): 25,4; 25,2; 25,6; 25,3; 25,; 25,4. Estime a média da população e costrua um itervalo de 95% de cofiaça para a média populacioal, iterprete estes resultados. R: [25,18; 25,45] 5. A largura itera de um etalhe usiado em um pistão apreseta variâcia igual a,15. Uma amostra aleatória de 12 pistões idicou média igual a 12,258mm. Costrua um itervalo de 99% de cofiaça para a largura média do etalhe. R: [12,23; 12,29] 6. Solicitou-se a uma amostra de 1 estudates de um colégio que aotassem suas despesas com alimetação e bebidas o período de uma semaa. O resultado foi uma despesa média de R$6, e desvio padrão de 5,. Costrua o itervalo de 98% de cofiaça para a despesa média de todos os aluos do colégio. R: [58,835; 61,165] 7. Em uma amostra de 4 leituras de um comercial de 3 segudos, um locutor levou em média 29,2 segudos com variâcia de 5,76 segudos. Costrua o itervalo de 9% de cofiaça para a média. R: [26,3764; 32,236] 8. A Idustrial ABC S/A, fabricate de lâmpadas elétricas, desejado cohecer o tempo médio de duração de seu produto, selecioou uma amostra aleatória de 1 uidades, apurado os seguites valores, em horas: Determie um itervalo de 95% de cofiaça para a estimação desejada. R. [ 226,74 ; 253,2] 9. Uma pesquisa em 17 ciemas de São Paulo, idicou que o igresso custava, em média, US$ 5,5, com um desvio padrão de US$,5. Com base esses resultados, determie a estimativa do preço médio dos igresso de ciema em São Paulo, em ível de cofiaça de 95% para a estimativa; R. [5,24 ; 5,76] 1. O Secretário de Saúde do Império Romao propôs-se a melhorar o atedimeto médico à plebe. Como ão há diheiro para cotratar mais médicos, ele decidiu torar o atedimeto mais eficiete. Para estimar o tempo médio gasto em cada cosulta ele sorteou 64 pacietes de um hospital público aleatoriamete escolhido: essa amostra idicou que o tempo médio de atedimeto era de 1 miutos, com um desvio padrão de 3 miutos. Com base isso, determie o tempo médio de atedimeto a um ível de cofiaça de 9%. R. [9,38 ; 1,62]

5 5 2. Teste de Hipótese: Trata-se de uma técica para se fazer iferêcia estatística, ou seja, a partir de um teste de hipóteses, realizado com os dados amostrais, pode-se iferir sobre a população. No caso das iferêcias através do Itervalo de Cofiaça, busca-se cercar o parâmetro populacioal descohecido. Aqui formula-se uma hipótese quato ao valor do parâmetro, e pelos elemetos amostrais faz-se um teste que idicará a aceitação ou rejeição da hipótese formulada. Hipótese Estatística: Hipótese, em estatística, é uma suposição formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de uma ou mais populações. Esta hipótese será testada com base em resultados amostrais, sedo aceita ou rejeitada. Ela somete será rejeitada se o resultado da amostra for claramete improvável de ocorrer quado a hipótese for verdadeira. Cosideremos Ho a hipótese ula, e H 1 a hipótese alterativa a ser testada (complemetar de Ho). O teste pode levar a aceitação ou rejeição de Ho que correspode, respectivamete à egação ou afirmação de H 1. Exemplo: Supohamos que uma idústria compre de certo fabricate parafusos cuja a carga média de ruptura por tração é especificada em 5 Kg, o desvio-padrão das cargas de ruptura é suposto ser igual a 4 Kg. O comprador deseja verificar se um grade lote de parafusos recebidos deve ser cosiderado satisfatório, o etato existe alguma razão para se temer que a carga média de ruptura seja evetualmete iferior à 5 Kg. Se for superior ão preocupa o comprador pois este caso os parafusos seriam de melhor qualidade que a especificada. Neste exemplo, a hipótese do comprador é que a carga média da ruptura é iferior a 5 Kg. O comprador pode ter o seguite critério para decidir se compra ou ão o lote: Resolve tomar uma amostra aleatória simples de 25 parafusos e submetê-los ao esaio de ruptura. Se a carga média de ruptura observada esta amostra for maior que 48 Kg ele comprará o lote, caso cotrário se recusará a comprar. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESE 1. HIPÓTESES: Hipótese Nula (H ): É um valor suposto para um parâmetro. No exemplo acima, H :µ=5. Hipótese Alterativa(H 1 ) : É uma hipótese que cotraria a hipótese ula, complemetar de H, o exemplo, H 1 : µ <5. ou seja, o exemplo, Ho: µ = 5 H 1 : µ < 5

6 6 Supodo H verdadeira, X da amostra aleatória de 25 valores será uma v.a com média também de 5 Kg e desvio padrão. No exemplo, 4 = = x 25, 8 Sabemos que X é aproximadamete ormal, etão podemos calcular a probabilidade de obtermos um valor iferior a 48. P(X <48) = P( x µ 48 5 < ) = (P(Z<-2,5) =,62, 8 Existe pois uma probabilidade de,62 de que, mesmo sedo a hipótese H verdadeira, X assuma um valor a região que leva à rejeição de H, coforme critério adotado ateriormete. 2. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE UM TESTE: É a probabilidade máxima de rejeitar Ho. Se, por exemplo, utilizarmos o ível de sigificâcia de 5%, a hipótese ula (Ho) será rejeitada somete se o resultado da amostra for tão diferete do valor suposto que uma difereça igual ou maior ocorreria com uma probabilidade máxima de,5. Na prática, o valor de α é fixo. (Geralmete α =,1 ou,5 ou,1.) No exemplo, fixado α =,5, levaria à rejeição de Ho, pois,62 <,5. Uma outra maeira de tomar-se uma decisão é comparar o valor tabelado com a estatística do teste. 3. ESTATÍSTICA DO TESTE: É o valor calculado a partir da amostra que será usado a tomada de decisão. No exemplo, Z calc = -2,5. Z calc = valor da estimativa - valor alegado para o parâmetro desvio-padrão do estimador

7 7 4. REGIÃO CRÍTICA: Região ode os valores da estatística dos teste levam à rejeição da hipótese ula. A sua área é igual ao ível de sigificâcia, e sua direção é a mesma da hipótese alterativa. Uilateral à esquerda: H : µ = 5 H 1 : µ < 5 Uilateral à direita: H : µ = 5 H 1 : µ > 5 Bilateral: H : µ = 5 H 1 : µ 5 5. REGRA DE DECISÃO: Se o valor da estatística do teste cair detro da região crítica, rejeita-se H. Ao rejeitar a hipótese ula (H ) existe uma forte evidêcia de sua falsidade. Ao cotrário, quado aceitamos, dizemos que ão houve evidêcia amostral sigificativa o setido de permitir a rejeição de Ho. 6. CONCLUSÃO: O que sigifica, a situação de pesquisa, aceitar ou rejeitar Ho.

8 8 TIPOS DE ERROS Pelo fato de estarmos usado resultados amostrais para fazermos iferêcia sobre a população, estamos sujeito a erros. Digamos que existe uma probabilidade α de que mesmo sedo Ho verdadeiro, X assuma um valor que leva Z calc à rejeição de Ho. As probabilidades desses erros são chamadas α e β respectivamete. α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H / H é verdadeiro) β = P(erro tipo II) = P(aceitar H / H é falso) DECISÃO REALIDADE H verdadeira H falsa Aceitar H Decisão Correta (1-α) Erro do tipo II (β) Rejeitar H Erro do tipo I (α) Decisão Correta (1-β) A probalidade de erro tipo I é determiada pelo pesquisador, mas para determiar a probabilidade de erro tipo II, devemos cosiderar a hipótese ula como falsa e, etão determiar qual a verdadeira distribuição da característica em estudo. Exemplo: O peso médio de litros de leite de embalages echidas em uma liha de produção está sedo estudado. O padrão prevê um coteúdo médio de 1 ml por embalagem. Sabe-se que o desvio padrão é de 1 ml e que a variável tem distribuição ormal. Para ecotrar a probabilidade de erro tipo II, quado testamos a média ser diferete de 1 ml ao ível de 5% de sigificâcia com 4 uidades amostrais, e sedo o real coteúdo médio da embalagem de 112 ml, temos: H : µ = 1 H 1 : µ 1 P (erro tipo II) = P (aceitar H / H é falsa) =? Z α/2 = Z,25 = 1,96 X 1 1,96 = X = 19,8 1 4

9 9, ,8 112 P (aceitar H / H é falsa) = P (X < 19,8 / µ = 112) = P ( x µ 19, < ) 1 4 = P ( Z < -,44) =,33 Ou seja, a probabilidade de ão rejeitarmos Ho, quado a média real da embalagem é de 112 ml é de,33. A partir dessa iformação podemos obter o poder do teste é de 1-β=1-,33=, Teste de Hipótese para uma Média com variâcia pop.cohecida HIPÓTESES: H : µ = µ H 1 : µ µ ou H 1 : µ > µ ou H 1 : µ < µ ESTATÍSTICA DO TESTE: x µ = cal Z Região crítica uilateral à esquerda: Rejeita-se H se Z calc < Z Região crítica uilateral à direita: Rejeita-se H se Z calc > Z 1- Região crítica bilateral: Rejeita-se H se Z calc < Z /2 ou Z calc > Z (1- /2) Exemplo 1: A resistêcia à tração do aço ioxidável produzido uma certa usia permaecia estável, com uma resistêcia média de 72 Kg/ mm 2 e um desvio padrão de 2, Kg/ mm 2. Recetemete, a máquia foi ajustada. A fim de determiar o efeito do ajuste, 1 amostras foram testadas. As resistêcias médias são apresetadas a seguir: 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 7,2 73,3 74,2. Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que ates do ajuste. Podemos cocluir que o ajuste mudou a resistêcia à tração de aço? (Adote 5% de sigificâcia).

10 1 2. Teste de Hipótese para uma Média com variâcia pop. descohecida HIPÓTESES: H : µ = µ H 1 : µ µ ou H 1 : µ > µ ou H 1 : µ < µ ESTATÍSTICA DO TESTE: t cal x µ = s Região crítica uilateral à esquerda: Rejeita-se H se t calc < t α, 1 Região crítica uilateral à direita: Rejeita-se H se Z calc > t α, 1 Região crítica bilateral: Rejeita-se H se Z calc < t α, 1 ou Z calc > t α, Exemplo 2: A percetagem média da receita muicipal dos quase 6 muicípios de um estado têm sido 7%. O govero pretede melhorar este ídice e, para isso, está estudado algus icetivos. Para verificar os efeitos destes icetivos, sorteou 1 cidades e estudou quais seriam as percetages ivestidas eles. Os resultados foram: 8, 1, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 12, 1. Admitido que estes úmeros veham a ocorrer, os dados trazem evidêcia de melhoria? (Adote 5% de sigificâcia). 3. Teste de Hipótese para a proporção HIPÓTESES: H : π = π H 1 : π π ou H 1 : π < π ou H 1 : > π π ESTATÍSTICA DO TESTE: Z cal = ^ π ) ^ ^ ( p p.(1 p) Região crítica uilateral à esquerda: Rejeita-se H se Z calc < Z Região crítica uilateral à direita: Rejeita-se H se Z calc > Z 1- Região crítica bilateral: Rejeita-se H se Z calc < Z /2 ou Z calc > Z (1- /2) Exemplo 3: O presidete do Clube A, afirma que 58% da população de sua cidade torce para seu time. O presidete do clube rival com o ituito de desmetir a afirmação, cotrata uma pesquisa que etrevistou 2 pessoas a qual 17 afirmaram realmete torcer para o clube A. Formule a hipótese e realize o teste ao ível de sigificâcia de 1%.

11 11 Lista Teste de Hipótese 1) Uma amostra de 25 elemetos resultou média 13,5 com desvio padrão de 4,4. Efetuar o teste ao ível de 1% para a hipótese que a média seja iferior a 16. 2) As estaturas de 2 recém ascidos foram tomadas o Departameto de Pediatria da FMRP, cujos resultados são em cm: a) supoha iicialmete que a população das estaturas é ormalmete distribuída com variâcia 2 cm 2 ; Teste a hipótese de que a média seja diferete de 5cm ( =,5) b) Faça o mesmo teste para a média, mas agora descohecedo a variâcia ( =,5). 3) Um processo deveria produzir mesas com,85m de altura. O egeheiro descofia que as mesas que estão sedo produzidas são meores que o especificado. Uma amostra de 8 mesas foi coletada e idicou média,847m. Sabedo que o desvio padrão é =,1m, teste a hipótese do egeheiro usado um ível de sigificâcia de 3%. 4) As codições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de ascidos que sobrevivem até 6 aos é de,6. Testar essa hipótese ao ível de 5% se em 1 ascimetos amostrados aleatoriamete, verificou-se 53 sobrevivetes até 6 aos. 5) A experiêcia tem comprovado que mais de 4% dos estudates são reprovados em uma prova de estatística. Se 45 de 9 estudates amostrados fossem reprovados, o que se pode cocluir a respeito desta afirmação. Teste esta hipótese ao ível de sigificâcia de 4%.

12 12 Lista Complemetar de Teste de Hipótese 1) Na idústria de cerâmica, avalia-se sistematicamete a resistêcia de amostras de massas cerâmicas, após o processo de queima. Sabe-se que essas massas tem resistêcia mecâica com média igual a 53 e variâcia 16. Após a troca de forecedores de matéria prima, deseja-se verificar se houve alteração a média. Uma amostra de 15 corpos de prova de massa cerâmica acusou média igual 5. Teste a hipótese ao ível de sigificâcia de 5%. R: z=-2,9; Rejeita Ho 2) Fucioários de uma grade firma de cotabilidade alegam que seu salário médio aual é meor que o de seu cocorrete que é de R$ 45., sabe-se também que o desvio padrão de ambas as empresas são iguais a R$ 52. Uma amostra de 3 cotadores da empresa gera um salário médio de R$ 435. Teste a alegação dos empregados ao ível de sigificâcia de 1%. R: z=-1,58; Aceita Ho 3) A idústria ABC S/A, fabricate de certo equipameto eletrôico, substituiu certo compoete importado pelo similar acioal. Um comprador da referida idústria supõe que tal substituição teha dimiuído a duração do produto que ates era auciada como sedo, em média, 2 horas. Para julgar sua suposição, o comprador testou uma amostra de 1 uidades, verificado média de 197 horas, com desvio padrão de 6,32 h. Com α=5%, estabeleça a coclusão alcaçada pelo comprador. R: t=-1,5; Aceita Ho 4) Uma cadeia de lachoetes se propõe a istalar uma ova filial se, pelo local, passarem mais de 2 carros por hora, em certo período do dia. Em 2 horas escolhidas ao acaso, passaram pelo local, o período de iteresse, em média 28,5 carros com desvio padrão de 3 carros. Com α=5%, a ova filial deve ser istalada? R: t=1,267; Aceita Ho 5) Uma compahia de seguros está disposta a iiciar uma campaha de colocação de apólices o mercado se verificar que a quatia média segurada por família da região alvo é iferior a 1. u.m. Uma amostra casual de 2 famílias da referida região acusou média de 9.6 u.m., com desvio padrão de 1. u.m. Usado 5% de sigificâcia, decida sobre se a campaha deve ou ão iiciar, admitido ormalidade para a população. R: t=-1,789; Rej. Ho 6) Certo fabricate de parafusos aucia que 9% do seu produto ão apreseta qualquer tipo de defeito. Um comprador acredita que a percetagem de parafusos perfeitos é diferete da auciada pelo fabricate. Para verificar tal hipótese, examiou 4 parafusos, verificado que 344 eram perfeitos. Com α=2%, realize o teste correspodete. R: z=-2,3; Aceita. Ho 7) Certa orgaização médica afirma que um ovo medicameto é de qualidade superior ao até etão existete, que é 8% eficaz a cura de determiada doeça. Examiada uma amostra de 3 pessoas que sofriam da doeça, costatou-se que 249 ficaram curadas com o ovo medicameto. Com α=5%, teste a afirmação da orgaização. R: z=1,38; Aceita Ho 8) Uma agêcia de viages tem um tradicioal plao de férias que é oferecido a todos os possíveis clietes que procuram a agêcia. O ídice de respostas positivas é historicamete 2%. Este ao, uma amostra de 5 poteciais clietes mostrou que 15 adquiriam o plao de férias. Teste, α=6%, a hipótese de que o percetual de respostas positivas teha aumetado este ao. R. z=1.54 Aceita. Ho