13 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS E DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL

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1 3 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS E DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Como vto em amotragem o prmero bmetre, etem fatore que fazem com que a obervação de toda uma população em uma pequa eja mpratcável, muta veze em vrtude do cuto e do tempo gato. Codera-e etão uma amotra, e e eta for repreetatva, o reultado poderão er geeralzado para a população. Toda cocluão trada por uma amotragem, quado geeralzada para a população, vrá acompahada de um grau de certeza ou rco. O cojuto de técca e procedmeto que permtem obter formaçõe obre uma população a partr de reultado obervado a amotra recebe o ome de Iferêca Etatítca. Um problema mportate da Iferêca Etatítca é a etmação de parâmetro (ta como a méda ( µ, o devo padrão (, a varâca (, etc correpodete. Etem do cao de etmação de parâmetro: a etmação por poto e a etmação por tervalo. No prmero cao, obtém-e um valor úco para o parâmetro, ao pao que, o egudo, cotró-e um tervalo em toro da etmatva por poto, o qual deverá com probabldade cohecda, coter o parâmetro. 3. ESTIMADOR /ESTATÍSTICA E ESTIMATIVA Etmador T de um parâmetroθ é a varável aleatóra, fução do elemeto da amotra, que erá utlzada a etmação. O valor umérco obtdo para o etmador coderado, uma certa amotra, é deomado de etmatva. Por eemplo, ao etmarmo a méda de uma população utlzamo como etmador a méda artmétca amotral, obtedo como etmatva o valor 73,5cm, por eemplo. Am, o etmador é a méda artmétca e a etmatva é = 73, 5 cm. A otação utlzada para o etmador geralmete é feta por letra maúcula, e para a etmatva, letra múcula. No cao da méda, a otação do etmador erá X e da etmatva erá. 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Codere toda a poíve amotra de tamaho que podem er etraída de determada população. Se para cada uma dela e calcular um valor do etmador, tem-e uma dtrbução amotral dee etmador. Ora, como o etmador é uma varável aleatóra, pode-e determar ua caracterítca, to é, ecotrar ua méda, varâca e devo padrão. Am, a dtrbução de probabldade de um etmador, por eemplo X, é chamada de dtrbução amotral, ete cao dtrbução amotral da méda. 3.. Dtrbução amotral da méda Lembrado o coceto de dtrbução amotral, vto aterormete, bucamo decobrr qual é a dtrbução de probabldade da méda artmétca X. Fgura : Dtrbução amotral da méda

2 Teorema : A méda da dtrbução amotral da méda, deotada por populacoal µ. Ito é: E ( X = µ = µ Am, a méda da méda amotra é gual à méda populacoal. Demotração: Prmeramete vamo relembrar que X ~ N( µ, ( E X = E = E = E( = µ = µ = µ = = V( X V = = V( = = Portato: X ~ N µ, =, am: µ é gual à méda Teorema : Se a população é fta, ou e a amotragem é com repoção, etão o devo padrão (também chamado de erro padrão da dtrbução amotral da méda, deotado por é dado por: = Teorema 3: Se a população é fta, ou e a amotragem é em repoção, etão o devo padrão da dtrbução amotral da méda é dado por: N = N N Ode o fator é deomado de fator de população fta. N N Pode-e otar que lm =. Dea forma quado tramo uma amotra grade de N + N uma população muto maor (pelo meo o dobro, é dferete uar o fator de população fta para e calcular, po o erro erá muto, pequeo. Para ufcetemete grade ( 30, tem-e que a dtrbução amotral da méda é apromadamete ormal, garatdo pelo Teorema cetral do Lmte. Se a população for ormal, a dtrbução amotral da méda também erá ormal, depedete do tamaho da amotra. Teorema 4: Podemo coclur que: N X ~ N µ, para populaçõe fta, e X ~ N µ, para populaçõe fta. N Para o cao de populaçõe fta ou fta, a varáve padrozada erão dada, repectvamete por: X µ X µ Z = ou Z = N N Se etvermo realzado uma amotragem de uma população que teha uma dtrbução de probabldade decohecda, a dtrbução amotral de méda da amotra erá apromadamete ormal, com méda µ e varâca, e o tamaho da amotra for grade. Ee é um do teorema ma úte em etatítca. Ele é chamado de Teorema Cetral do lmte.

3 3.. Dtrbução Amotral da Varâca 3 Tomado toda a amotra aleatóra poíve, de tamaho, de uma população, e calculado a varâca de cada amotra, obtemo a dtrbução amotral da varâca. Se a amotra de tamaho forem etraída de uma população ormal de varâca, etão a varável aleatóra χ, dada por ode é a varâca amotral, dada por χ = ( = = ( que tem uma dtrbução qu-quadrado com ν = grau de lberdade. Dea forma, temo que : ( χ ~. Podemo dzer também, que = χ to é, egue uma dtrbução χ, com ν = grau de lberdade. Fgura 3: Dtrbução amotral da etatítca qu-quadrado Pode-e demotrar que a dtrbução amotral da varâca ão dada repectvamete por: ( µ = E =, a méda µ e a varâca = V ( = Dtrbução amotral da proporçõe ou freqüêca relatva Seja X uma população fta tal que p eja a probabldade de uceo de certo eveto e q = p a probabldade de fracao. Seja (,, K, uma amotra aleatóra de elemeto dea população e h o úmero de uceo a amotra, detfcado como uma varável aleatóra com dtrbução Bomal, de méda p e varâca pq. Podemo determar ada a freqüêca

4 h relatva ou proporção como f r = P=. O cojuto da freqüêca relatva calculada para cada amotra cottu a dtrbução amotral da proporçõe ou freqüêca relatva. Fgura 3: Dtrbução amotral da proporçõe 4 A méda ( P µ e a varâca ( dea dtrbução erão dada, repectvamete, por: P h p E( P = E = = p µ P = p h pq pq pq V( P = V = V( h = = P = Logo, a dtrbução amotral da méda tem uma méda µ p e devo padrão pq P =. No cao de amotragem obtda em repoção ou população fta, tem-e que: pq N µ P = p e P = N Sedo a amotra ufcetemete grade, a dtrbução amotral da proporçõe, que egue a dtrbução bomal, poderá e apromar de uma dtrbução ormal de mema méda e mema varâca. Na prátca, ea apromação é utlzada para p 5 e q 5. Am, para ee pq cao, P ~ N p, e o valore da varável padrozada ão dado por: P µ Z = P pq Como a dtrbução amotral da proporçõe é Bomal, que é dcreta, e vamo uar uma apromação pela ormal, que é cotíua, o cálculo de Z deve er corrgdo por meo do fator, P± µ P fcado: Z =. pq Ee fator de correção correpode à em-ampltude do tervalo etre do valore coecutvo de P. Dea forma, um valor de P paa a er repreetado por um tervalo de ampltude e etremo P±. P =

5 Eercíco 5 Uma população e cottu do úmero, 3, 4 e 5. Codere toda a amotra poíve, de tamaho, que podem er etraída dea população em repoção. Determe a dtrbução amotral da méda, calculado a méda e o devo padrão dea dtrbução. Repota: µ = 3, 5 e = 0, 64 Seja ~ N( 80, 6 a P ( > 83 b P ( < 8 c P( µ + X. Retra-e dea população uma amotra de tamaho = 5. Calcular: Repota: a 0, 006 b 0,975 c 0, Seja X ~ N( 00,840. Qual deverá er o tamaho de uma amotra de tal forma que P ( 96 < < 04 = 0, 9? Repota: 44 4 Uma dútra fabrca válvula elétrca, edo 5% defetuoa. Fo adqurdo um lote de 000 válvula. Qual a probabldade de que o lote teha: a eatamete 30 válvula defetuoa? b ma de 60 válvula defetuoa? c o mámo 50 válvula defetuoa? Repota: a 0,03 b 0,06 c 0, A graja Ovo Bom vede ovo ao upermercado em lote de 00 caa de e dúza. Dado que eu lote cotumam apreetar 5% de ovo choco, em quata amotra de 0 caa eperame ecotrar meo de 90% de ovo bo? Repota: Em o mámo caa. 6 Deeja-e aber qual a proporção de peoa da população portadora de determada doeça. Retra-e uma amotra de 400 peoa, obtedo-e 8 portadore da doeça. Defr lmte de cofabldade de 99% para a proporção populacoal. Repota: p 488 proporção de peoa portadora de doeça. 4 Certa dútra remete 000 caa cotedo 30 compoete eletrôco cada uma. Se 4% do compoete ão defetuoo, em quata caa podemo eperar que etam pelo meo 7 compoete perfeto? Repota: 983 caa 3.3 Qualdade de um bom etmador Quato maor o grau de cocetração da dtrbução amotral do etmador em toro do verdadero valor do parâmetro populacoal, melhor erá o etmador. A prcpa qualdade de um etmador devem er: a Cotêca (etmador cotete; b Auêca de víco (etmador ão-tedecoo; c Efcêca (etmador de varâca míma; d Sufcêca (etmador ufcete.

6 3.3. Etmador cotete 6 Um etmador T de um parâmetro θ é dto cotete e a egute codçõe forem atfeta: lm E T = e lm V ( T = 0. ( θ De forma geral, pode-e dzer que um etmador é cotete quado para amotra ufcetemete grade toram o erro de etmação tão pequeo quato e quera. Eercíco : Motre que a méda amotral X é um etmador cotete da méda populacoal µ (codere amotragem com repoção. Reolução: Ob :Se a população é fta ou e a amotragem é com repoção, etão o devo padrão da méda, também chamado de erro padrão, é =. ( = lm E X = lm E = lm E = lm E( = lm µ = lm µ = µ = = = lmv( X = lm = Etmador ão-tedecoo Um etmador T de um parâmetro θ é dto ão-tedecoo, ão-vcado, juto ou ãoveado e: E =. ( θ T O valor da tedecodade B é defda como edo B = E t. Obervação: para etmadore ão-tedecoo, a codção de cotêca é lm V t =. mplemete ( 0 Eercíco : Seja X ~ N( µ, como já demotrado, (., ou eja, ( = E. Reolução: ( ( = E = E E = E = E = E = ( θ. Sabemo que X é um etmador ão-tedecoo de µ, po E X =µ Motre que ( + ( = = ( é um etmador ão-tedecoo de

7 7 E E ( E E( = = = E = ( ( E( Temo que X ~ N( µ, V( X = E( X [ E( X ] E ( X = V( X + [ E( X ] ( X = +µ (, etão: E ( E além do: V ( X = E( X [ E( X ] = E( X µ ( X +µ E ( 3 = Am:, ubttudo ( e ( 3 em (, temo: E E ( = ( + µ + µ = ( = ( + µ µ ( = ( ( ( = E E Portado é um etmador ão tedecoo de Etmador de varâca míma Dado do etmadore T e T, uado a etmação de um memo parâmetro θ, dz-e que T é ma efcete que T como etmador de θ e, para o memo tamaho da amotra ( T θ < E( T E. θ Se T e T forem etmadore ão-tedecoo de θ, ou eja codção dcará que a varâca de T é meor que a varâca de E ( T = θ e ( T = θ T, ou eja, V ( T < V(. Se T é ma efcete que T como etmador de θ, pode-e defr a relação E E [( T θ ] ( T θ [ ] E, ea T como edo a efcêca de T em relação a T como etmador de θ. Se T e T forem ambo ãotedecoo, a efcêca relatva e reduzrá ao quocete da repectva varâca, ou eja, V( T V T (.

8 3.3.5 Etmador ufcete 8 Um etmador T de θ é ufcete e ele tem a capacdade de retrar da amotra toda formação que ela pode forecer. Eemplo: A méda X é um etmador ufcete de µ. 3.4 Etmação por poto Na etmação por poto o parâmetro é etmado atravé de um valor úco, que correpode a um poto obre o eo de varação da varável. A egur ão apreetado algu do prcpa etmadore por poto Etmador da méda populacoal µ O etmador ee cao é a méda artmétca amotral, edo ão-tedecoo, efcete e ufcete, dado por: 3.4. Etmador da varâca populacoal X = = Quado a méda populacoal µ for cohecda, o etmador erá a varâca amotral dada por: = = ( µ Quado µ for decohecda, a varâca amotral = = ( No do cao temo etmatva ão-tedecoa Etmador do devo padrão populacoal. erá dada por: Sabemo que o devo padrão é defdo como a raz quadrada da varâca, porém, memo edo um etmador ão-tedecoo da varâca populacoal, a raz quadrada de ão é um etmador ão-tedecoo do devo padrão populacoal. Etretato, a tedecodade de tede a zero o cao de grade amotra. Portato, para grade amotra, quado µ for cohecda, = = ( µ,

9 e quado µ for decohecda, = = ( Etmador da proporção populacoal p O etmador ão-tedecoo P da proporção populacoal p é forecdo por: h P= ode h é o úmero de uceo a amotra. Eercíco: Uma amotra de 0 válvula eletrôca fo tetada e o tempo de vda (em hora foram: 00, 50, 00, 30, 80, 0, 80, 00, 30 e 60 Etmar o tempo médo de vda e a varâca dee tpo de válvula. Repota: X = 05, 56, V( X = 45h 3.5 Etmação por Itervalo A etmação por poto de um parâmetro ão pou uma medda do poível erro cometdo a etmação. Uma maera de eprear a precão da etmação é etabelecer lmte, que com certa probabldade cluam o verdadero valor do parâmetro da população. Seja o parâmetro θ, tal que P ( t θ t = α. O tervalo t θ t é deomado de tervalo de cofaça (IC; o etremo dee tervalo ( t e t ão deomado de lmte de cofaça; a probabldade ( α é deomada de ível de cofaça; e α é o ível de certeza da ferêca, ou ível de gfcâca. A ecolha do ível de cofaça ( α depede da precão com que e deeja etmar o parâmetro. É muto comum a utlzação do íve de 95% e 99%. Evdetemete, o aumeto da cofaça o tervalo mplca o aumeto de ua ampltude Itervalo de cofaça para a meda populacoal µ cao: O devo padrão populacoal é cohecdo. Codere uma população ormal com méda decohecda que deejamo etmar e varâca cohecda, ou eja, X ~ N(?,. Procedmeto para a cotrução do IC:. Retramo uma amotra caual mple de tamaho.. Calculamo a méda amotral X. 3. Calculamo o devo padrão da méda amotral: = 4. Famo o ível de gfcâca α, e com ele determamo z α /, tal que α α P ( Z > z α / = e P ( Z < z α / =. Grafcamete temo:

10 0 Portato, P ( z Z = α α / zα /. Subttudo Z µ = e olado µ, temo: P zα / µ + zα / = α Dea forma, o IC de ( α% para µ erá: zα / µ + zα / Eercíco: De uma população ormal X, com = 9 5 = = 5. Determar um IC de 90% para a méda populacoal. Repota: ( 5,09;7,07, tramo uma amotra de 5 obervaçõe, obtedo O devo padrão do comprmeto da peça produzda por certa máqua é mm. Uma amotra de 50 peça produzda por ea máqua apreetou méda = 5 mm. Cotrur o IC de 95% para o verdadero comprmeto da peça produzda por ea máqua. 4,4;5,6 Repota: ( 3 De uma população ormal com = 5, tramo uma amotra de 50 elemeto e obtemo = 4. a Determe o IC para a méda ao ível de gfcâca de 5%. b Qual o erro de etmação ao ível de 5%. c Para que o erro eja meor ou gual a, com probabldade de acerto de 95%, qual deverá er o tamaho da amotra? 40,6;43,386 b, 39 c 96 Repota: a (

11 cao: O devo padrão populacoal é decohecdo. Nete cao utlzamo a dtrbução t de Studet. O procedmeto ão o memo do cao ateror e grafcamete temo: Devemo etão, determar o valor de t α /, tal que: P ( t t = α α / tα / ode µ t =, com ν = grau de lberdade. Portato, IC de ( α% para µ erá: tα / µ + tα /. Sabemo que a dtrbução t de Studet tede para a dtrbução ormal padrão quado ν, e como ν depede de, podemo utlzar a dtrbução ormal quado > 30. Eercíco Uma motra de cabo produzdo por uma dútra fo eaada e a teõe de ruptura obtda foram (em kgf: 750, 780, 745, 770 e 765. Cotrur o IC de 99% para a verdadera teão de ruptura do cabo. 734 ;79,6 Repota: ( A altura do home de uma cdade apreeta dtrbução ormal. Para etmar a altura méda dea população, levatou-e uma amotra de 50 dvíduo obtedo-e 50 = = cm. Repota: ( 7,3;7,78 50 = = 5800 cm e 3 Uma amotra aleatóra de 80 ota de matemátca de uma população com dtrbução ormal de 5000 ota apreeta méda de 5,5 e devo padrão de,5. a Qua o lmte de cofaça de 95% para a méda da5000 ota? b Com que grau de cofaça dríamo que a méda da ota é maor que 5,0 e meor que 6,0? Repota: a( 5,3;5,77 b 99,96%

12 3.5. Itervalo de cofaça para a dfereça etre dua méda populacoa µ e µ º cao: O devo padrõe populacoa e ão cohecdo Nete cao utlzamo a etatítca z dada por: µ µ z = + P z =. α / z zα / ode ( α ( ( Subttudo a etatítca z a probabldade acma e olado µ µ, obtemo o IC de ( α 00% para a dfereça etre a méda: Eemplo: α / + zα / + ( z + µ µ ( Da populaçõe orma e depedete X e Y etraem-e amotra de tamaho = 9 e = 5. A méda amotra ão = 0 e y = 5 ; o devo padrõe populacoa ão = 6 e y = 3. Determe o IC da dfereça da méda populacoa a um ível de gfcâca de 3%. y Repota: 0,346 µ 9, 65 µ y O devo padrõe da duraçõe da lâmpada elétrca fabrcada pela dútra A e B ão, repectvamete, 50h e 80h. Foram eaada 40 lâmpada de cada marca e a duraçõe méda obtda foram 00h e 00h, para A e B, repectvamete. Cotrur o IC de 99% para a dfereça etre o tempo médo de vda da lâmpada de marca A e B. Repota: 6,5 µ 38, 5 A µ B º cao: O devo padrõe populacoa e ão decohecdo e upotamete gua Nete cao utlzamo a etatítca t dada por: t = ( ( µ µ p +, ode ( + ( p = e ν = + + Dea forma, cotruímo o IC de ( α 00% para a dfereça etre a méda: ( tα / p + µ µ ( + tα / p + Eemplo: O dâmetro (em mm de uma amotra de 5 tubo da fábrca A ã: 45, 47, 45, 44 e 46. Uma amotra de 6 tubo da fábrca B apreetou o dâmetro: 43, 45, 44, 44, 46 e 43 mm. Cotrur o IC de 95% para a dfereça etre o dâmetro médo. Repota: 0,38 µ, 78 A µ B

13 3º cao: O devo padrõe populacoa e ão decohecdo e upotamete dferete Nee cao utlzamo um método apromado deomado Ap-Welch, cuja etatítca é dada por: t = ( ( µ µ + com o grau de lberdade edo o tero ma prómo ao reultado da relação: 3 ν ( w + w w, ode w + w = e w = Eemplo: Em certo mucípo, regtro pluvométrco motram que o últmo 8 ao, durate o mê de jaero, a queda méda fo de 5 mm com devo padrão = 5 mm. Outro mucípo apreetou o últmo 5 ao, também o mê de jaero, uma queda méda de 00 mm cm devo padrão = 5 mm. Cotrua um IC de 99% para a dfereça etre a queda pluvométrca méda µ e µ. Repota:,6 µ µ 55, Itervalo de cofaça para a varâca populacoal α / α / = Obervado a fgura abao percebemo que ( χ χ χ α com ν = grau de lberdade. P, ode ( χ =, O IC de ( α 00% para erá: ( ( χ α / χ α /

14 Para cotrur o IC de ( α 00% para o devo padrão populacoal bata coderar a raz quadrada potva do IC para a varâca. Dea forma, temo para ete cao: ( ( χ α / χ α / Eemplo: De uma amotra aleatóra de dez te de uma população ormal obteve-e: = 8 e = 0,5. Etme a varâca e o devo padrão populacoa, a 5% de gfcâca. Repota: 0,34 0, Itervalo de cofaça para a proporção populacoal p Sabemo que para amotra ufcetemete grade, a dtrbução amotral da proporçõe P p é apromadamete ormal, com z =. pq Para cotrurmo o IC para a proporção p populacoal, determamo pˆ a amotra, h ode p ˆ = P= e qˆ = pˆ = P. Dea forma, temo o IC de ( α 00% para p dado por: 4 P z α / pˆ ( pˆ pˆ ( pˆ p P+ z α / Eemplo: Em uma lha de produção de certa peça mecâca, colheu-e uma amotra de 00 te, cotatado-e que 4 peça eram defetuoa. Cotrur o IC para a proporção p da peça defetuoa ao ível de0%. Repota: 0,00767 p 0, 0073 Para e etmar a porcetagem de aluo de um curo favoráve à modfcação do currículo ecolar, tomou-e uma amotra de 00 aluo, do qua 80 foram favoráve. a Cotrur um IC para a proporção de todo o aluo do curo favoráve à modfcação ao ível de 4%. b Qual o valor do erro de etmação cometdo em (a? Repota: a 0,78 p 0, 88 b e = 0, 08