i 2 i= = n Observando a fórmula para a variância, vemos que ela pode ser escrita como, i 2

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1 O Coefcete de Correlação de Pearo O coefcete de correlação de Pearo é baeado a déa de varâca, dada a aula 6 Como vto aquela aula, quado temo uma amotra compota por dado, a varâca da amotra é dada por, ode é a méda do valore A varâca é uma medda quadrátca da dperão do dado em toro da ua méda Um valor grade de dca que o dado etão localzado a grade dtâca da méda, equato que um valor pequeo dca que ele etão localzado a pequea dtâca Obervado a fórmula para a varâca, vemo que ela pode er ecrta como,, ou eja, ela é dada pela omatóra do produto de do termo gua, o devo de cada dado em relação à meda A varâca é uma gradeza etatítca uada quado e trabalha com apea uma varável X Quado e trabalha com dua varáve, X e Y, um tpo de perguta que e cotuma fazer é: quado o valore da varável X varam em relação à ua méda, fcado acma ou abao dela, como e comportam o valore da varável Y em relação à ua méda?, Detre a vára pobldade para eta perguta, há trê cao mportate: Quado um valor da varável X vara em relação à ua méda fcado acma dela, o valor correpodete da varável Y também vara em relação à ua méda fcado acma dela; e quado um valor da varável X vara em relação à ua méda fcado abao dela, o valor correpodete da varável Y também vara em relação à ua méda fcado abao dela

2 Quado um valor da varável X vara em relação à ua méda fcado acma dela, o valor correpodete da varável Y também vara em relação à ua méda, ma fcado abao dela; e quado um valor da varável X vara em relação à ua méda fcado abao dela, o valor correpodete da varável Y também vara em relação à ua méda, ma fcado acma dela 3 O valore da varável Y varam em relação à ua méda de forma completamete depedete da varação do valore da varável X em relação à ua méda No do prmero cao, dzemo que a varáve X e Y co-varam, po a varação de uma em relação à ua méda etá aocada à varação da outra em relação à ua méda No prmero cao, dzemo que a varáve X e Y têm covarâca potva e o egudo cao dzemo que ela têm covarâca egatva No tercero cao, dzemo que a dua varáve têm covarâca ula A covarâca etre dua varáve, X e Y, é quatfcada por uma fórmula mlar à da varâca: COV X, Y XY Note que ela é dêtca à fórmula para o cálculo da varâca, ó que agora ele codera o devo da dua varáve, X e Y, em relação à ua repectva méda Para eteder o gfcado da covarâca, codere um eemplo em que a varável X vara etre e + com méda 0 e a varável Y vara etre e + também com méda 0 Supohamo que teham do feta 5 pare de medda para a dua varáve e que o reultado ejam o dado pela tabela abao:

3 X Y , , Em tal cao, o valor da covarâca de X e Y é: XY , , ,5 Ete é um valor potvo Note que ele é potvo porque todo o termo da oma acma ão potvo ou ulo Ito ocorre porque empre que um valor de X etá abao da méda o valor correpodete de Y também etá abao da méda Portato, o devo do do em relação à ua repectva méda ão egatvo e o produto dele dá um termo potvo Da mema forma, quado um valor de X etá acma da méda o valor correpodete de Y também etá acma da méda e o produto do do devo em relação à méda é potvo Supohamo agora um cao em que o 5 pare de medda foem o egute: 5 4 X Y ,5 4 0, Nete cao, o valor da covarâca de X e Y é: XY , , ,

4 O valor da covarâca é egatvo e tem o memo módulo que o ateror Ito ocorre porque, agora, quado um valor de X etá acma da méda o valor correpodete de Y etá abao da méda e vce-vera Portato, o devo que aparecem em cada termo terão empre o a trocado e eu produto erão egatvo Eercíco: Gere outro cao com 5 pare de valore para a varáve X e Y do eemplo acma e calcule o valore da covarâca para cada um dele Faça um auto-tete para ver e você coegue prever que valor a covarâca terá em cada um do cao Tete ecotrar a tuaçõe em que ea covarâca tem o mámo valor potvo e o mímo valor egatvo O módulo da covarâca ee do cao ão gua ou dferete? Ao fazer ee epermeto, você acabará por adqurr um etedmeto um ght obre o gfcado da covarâca Se você de fato fez o eercíco acma, você otou que a covarâca de X e Y vara etre do valore gua em módulo, um potvo e outro egatvo Além do, e foemo dar uma udade ao valor da covarâca, ela era gual ao produto da udade da varável X pela udade da varável Y por eemplo, o cao do eemplo de a 3 da aula 8 a udade da covarâca eram, repectvamete, potoxjogo, egudoxjogo e palavraxjogo É tereate defr um ídce para medr o grau de varação cojuta etre a varáve X e Y que teha dua caracterítca: a ua faa de varação eteja lmtada ao tervalo etre e +; e b eja admeoal, ou eja, ão teha udade Ee ídce pode er obtdo a partr da covarâca de X e Y dvddo-a pelo produto do devo padrõe da varáve X e Y: r X XY Y Y Ete ídce é chamado de coefcete de correlação de Pearo 4

5 Eercíco: Volte ao eemplo etudado acma e calcule, para cada um dele, o valor de r egudo a fórmula dada acma Verfque que o valore de r etão empre o tervalo etre e + Dca: Para fazer o eercíco acma de uma maera ma rápda, mplemete o Ecel uma plalha como a motrada abao A prmera colua cotém o ídce da varáve X e Y A eguda colua cotém o valore da varável X e, logo abao, a méda e o devo padrão dee valore A tercera colua cotém a mema coa que a colua, ó que para a varável Y A quarta colua cotém o valore do devo A quta colua cotém o valore do devo Falmete, a eta colua cotém o valore do produto do devo e logo abao, o valor de r calculado pela fórmula acma A B C D E F -med -med -med-med ,5 0,5 0, ,5 - -0,5-0, meda 0 0 r 8 devpad 0,790569,5839 O comado uado para gerar a plalha acma etão motrado abao: A B C D E F -med -med -med-med B-$B$7 C-$C$7 D*E 3 A+ - - B3-$B$7 C3-$C$7 D3*E3 4 A3+ 0,5 B4-$B$7 C4-$C$7 D4*E4 5 A4+ -0,5 - B5-$B$7 C5-$C$7 D5*E5 6 A B6-$B$7 C6-$C$7 D6*E6 7 meda MÉDIAB:B6 MÉDIAC:C6 r SOMAF:F6/4*B8*C8 8 devpad DESVPADB:B6 DESVPADC:C6 Olhado para a fórmula do coefcete de correlação de Pearo, vemo que ela ão é dfícl de er calculada, ma é tedoa epecalmete para um grade e erro podem er cometdo cao e quera calculá-la à mão Deta forma, recomedo que você uem empre um programa como o Ecel para o cálculo de r 5

6 6 Cao ão e teha aceo a um computador, ma a uma calculadora cetífca que calcule o devo-padrão pode-e uar a fórmula ateror Cao ó e teha aceo a uma calculadora comum, etão ão há jeto e deve-e fazer o cálculo à mão Nee últmo cao, recomedo que e ue a fórmula dada a egur, obtda por uma epaão do termo quadrátco que aparecem a fórmula para r -----Dedução de uma fórmula alteratva para r você pode pular ete pedaço e quer---- O devo padrão de uma varável X é,, X de maera que o produto do devo padrõe de X e Y vale, Y X Y X Subttudo eta epreão a fórmula para r, temo: r Epaddo o termo o umerador e o deomador: r

7 r Fm da dedução da fórmula alteratva para r Talvez você ão e coveça de que a fórmula acma permte um cálculo feto à mão ma rápdo de r que a fórmula ateror A úca maera de e covecer do é fazedo uma eperêca à mão Ecolha um do eemplo dado aterormete e calcule r egudo a dua fórmula, uado papel e láp Meça o tempo gato para o cálculo de r pela dua fórmula e verfque por você memo qual é meor avale também, de forma ubjetva, qual da dua maera é a meo tedoa; verfque e a dua medda e correlacoam! Vamo agora, para reforçar, fazer ma um eercíco do cálculo do coefcete de correlação de Pearo, ó que uado o Ecel Eemplo 6: Supoha que eta um tete pcológco cláco e de valdade comprovada para a avalação do deempeho de craça em ler teto em voz alta Vamo upor que um pedagogo teha propoto um ovo tete para avalar ee deempeho Uma maera de verfcar e o ovo tete oferece uma avalação tão boa quato o tete cláco é ver como ele e correlacoam Codere que o do tete teham do aplcado a uma mema amotra compota por 0 craça A potuaçõe obtda por ela etão dada a tabela abao vamo upor que o tete cláco atrbua ecore etre 0 e 00 e que o tete ovo atrbua ecore etre 0 e 30 7

8 Potuação o tete Craça Tete Cláco Tete Novo Uado o Ecel, mplemete uma plalha como a do eemplo ateror e calcule r arredode-o até a eguda caa decmal Você deve obter o valor r 0,93 Ito dca que ete uma correlação muto forte etre o do tete A verfcação do pode er feta traçado-e o dagrama de dperão para a dua varáve: Oberve que o poto ão caem todo eatamete obre uma lha reta como o eemplo aterore Ito decorre do fato de que a correlação ão é perfeta r ão é eatamete gual a 8

9 O Coefcete de Correlação de Spearma O coefcete de correlação de Spearma, deotado por r S ou ρ, é uado quado o valore da varáve X e Y ão ordeado por rakg ou poto Ele mede a correlação etre a poçõe do pare, o rakg da varáve X e Y Am como o coefcete de correlação de Pearo, o coefcete de correlação de Spearma r S vara etre e + e é terpretado da mema maera dcado correlação egatva perfeta e + dcado correlação potva perfeta Para ordear o valore de uma varável por rakg, dá-e ao valor ma alto a poção, ao egudo maor valor a poção, ao tercero maor valor a poção 3, etc Cao haja valore gua, dá-e a cada um dele o valor da méda da poçõe que eram ocupada por ele o rakg, calculada omado-e ea poçõe e dvddo-e pelo úmero de valore gua Para motrar como calcular o coefcete de correlação de Spearma, vamo dar um eemplo Supoha que foram coletada a ota da prova fa de portuguê e de matemátca de uma amotra de dez craça de uma ecola O dado etão apreetado a tabela abao Craça Nota de portuguê Nota de matemátca Poção o rakg de portuguê Poção o rakg de matemátca Dfereça etre a poçõe d 6,5 7, 4 4,5 0,5 0,5 3,0 6, ,3 7, 4,5 3,5,5 4 8,0 5, ,5 8, ,4 4, ,0 4, ,5 4, , 7, ,8 7, d 9

10 A prmera trê colua dão, repectvamete, o ídce da craça de a 0, a ua ota em portuguê e a ua ota em matemátca A outra dua colua dão, repectvamete, a poçõe de cada craça o rakg da ota de portuguê e de matemátca Note que a craça de úmero e 3 traram a mema ota em matemátca Ela deveram ocupar a poçõe de úmero 4 e 5, de maera que a dua receberam a poção méda 4,5 to é, 4+5/ A últma dua colua ão uada para o cálculo de r S A prmera dá a dfereça etre a poçõe da craça o rakg de portuguê e de matemátca e a eguda dá o quadrado dea dfereça A fórmula para o cálculo do coefcete de correlação de Spearma é a egute: r S 6 d Aplcado a fórmula acma ao dado da tabela, obtêm-e o valor r S 0,0 Ete valor muto prómo de zero dca que ão há correlação etre a poçõe rakeada do aluo em portuguê e em matemátca De ode vem eta fórmula? Se você fzer o calculo da correlação etre a poçõe o rakg da ota de portuguê e de matemátca uado a fórmula do coefcete de correlação de Pearo, você verá que o valor obtdo para r erá pratcamete o memo que o obtdo acma para r S Na realdade, o coefcete de correlação de Spearma é o coefcete de correlação de Pearo, ó que aplcado à poçõe da varáve X, Y o eu repectvo rakg A fórmula de Spearma é apea uma maera ma fácl de calcular o coefcete de correlação de Pearo ete cao Nota: memo quado e calcula a correlação etre a poçõe o rakg do valore de X e Y uado-e a fórmula do coefcete de correlação de Pearo, ada am chama-e o reultado do cálculo de coefcete de correlação de Spearma dcado por r S 0

11 Em reumo, o coefcete de correlação de Spearma r S ou ρ dca o grau de correlação etre dua varáve, X e Y, uado ua poçõe o eu repectvo rakg, ao vé do eu valore rea O valor de r S é o memo que era obtdo cao e calculae o coefcete de correlação de Pearo para a poçõe o rakg, ó que a fórmula de Spearma é ma fácl de er uada ee cao Sgfcâca do Coefcete de Correlação Na aula 8, falamo que há dua coa mportate que e deve aber obre um coefcete de correlação Uma é a ua força, que é dada pelo módulo de r ou r A outra é a ua gfcâca Não temo codçõe de motrar para você ete curo como fazer um tete matemátco para avalar a gfcâca do coefcete de correlação O que vamo fazer, portato, é apreetar o coceto de gfcâca do coefcete de correlação Epera-e que com o você aprecem a mportâca de e aber a gfcâca de um coefcete de correlação depedetemete de quão forte ou fraco ele eja Para apreetar o coceto de gfcâca, coderemo o egute eemplo Supoha que a Comão de Graduação CG da Uverdade teha peddo a dua turma dferete do curo de pedagoga, por eemplo, a turma do egudo ao e a turma do tercero ao, para avalar trê profeore do curo Vamo upor que cada turma teha feto dua dcpla dferete com cada profeor, de maera que o aluo teham um bom cohecmeto dele e de ua capacdade ddátca A avalação cote de quetoáro dtrbuído etre o aluo, cobrdo tema como dedcação do profeor, capacdade de eplcação, cohecmeto da matéra, educação etc Vamo upor que o quetoáro foram preechdo por todo o aluo felzmete, algo raro a realdade e etregue à CG O membro da CG fzeram, etão, o cálculo da potuaçõe do profeore egudo a avalação de cada turma que evolveram méda da ota dada pelo aluo de cada turma

12 O reultado etão apreetado a tabela abao, tato em termo da potuação de cada profeor como em termo da ua poção o rakg vamo upor que a ota de cada profeor varam uma ecala de a 5 e que do profeore ão poam ter ota gua Turma do o ao Turma do 3 o ao Profeor Nota Poção o rakg Nota Poção o rakg A 3,5 4 B 4 4,5 C 3, Vamo coderar apea a colua que dão a clafcaçõe do profeore em termo da ua poção o rakg Oberve que a poçõe do trê profeore o rakg da dua turma ão a mema Ito mplca que a correlação da avalaçõe do trê profeore feta pela dua turma é perfeta De fato, o cálculo do coefcete de correlação de Spearma o dá r S motre o como eercíco A quetão que e põe é: o coefcete de correlação é +, dcado uma correlação perfeta, ma erá que o ão ocorreu apea por cocdêca? Dto de outra forma, quão gfcate é o valor r S? Em etatítca, aborda-e a quetão da gfcâca de um reultado uado-e o coceto de hpótee ula A hpótee ula H 0 mplemete aume que um dado reultado etatítco fo obtdo apea por acao, devdo a flutuaçõe probablítca do eveto edo meddo, e ão devdo a um efeto real que caue o reultado Sempre que e trabalha com uma hpótee para eplcar um dado feômeo, temo que coderar a pobldade de pelo meo uma hpótee cocorrete a ela No cao da etatítca, a hpótee cocorrete é chamada de hpótee alteratva H A

13 No oo eemplo, o reultado empírco é que a correlação etre a avalaçõe do trê profeore feta pela dua turma é perfeta r S Como hpótee ula, vamo coderar que ee reultado é pura cocdêca e, portato, que ada de ma profudo poa er retrado dele Já a hpótee alteratva codera o cotráro, que o reultado é devdo a uma real mlardade da opõe do aluo da dua turma obre o trê profeore, ou eja, que a correlação é gfcate Uma vez que a dua hpótee teham do eucada e o eu gfcado etejam bem claro a mete do pequador, a etratéga uada pela Etatítca cote em atacar a hpótee ula Io é feto com a egute perguta: e a hpótee ula etver correta e o reultado obtdo for devdo apea ao acao, qual a probabldade de que ele ocorra? No oo eemplo, e o reultado obtdo for apea obra do acao, para calcular a probabldade dele temo que coderar todo o reultado poíve De quata maera o trê profeore podem er ordeado pela turma do o ao? Como temo 3 profeore, o úmero de maera é 3! 3 6 veja abao Profeor Pobldade de rakeameto pela turma do o ao A 3 3 B 3 3 C 3 3 Igualmete, o 3 profeore podem er ordeado pela turma do 3 o ao de 6 maera dferete a mema motrada acma Deta forma, como cada turma pode ordear o 3 profeore de 6 maera dferete, o úmero de poíve maera dferete em que o 3 profeore podem er rakeado pela dua turma em cojuto é veja abao 3

14 Maera Prof o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o A B C r S 0,5 0,5-0,5-0,5-0,5-0,5 0,5 - -0,5 0,5-0,5-0,5-0,5 Maera Prof o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o o 3 o A B C r S -0,5 0,5 - -0,5 0,5-0,5-0,5-0,5 0,5 - -0,5-0,5 0,5 0,5 A últma lha dea tabela dá o valore do coefcete de correlação de Spearma r S para cada um do 36 cao poíve Vemo que em e dele a correlação etre a avalaçõe da dua turma é potva e perfeta r S Dada toda a pobldade acma, a probabldade de e obter uma tuação como a do eemplo, em que r S é: p úmero de maera em que rs pode ocorrer 6 0,67 úmero de combaçõe poíve 36 Ito quer dzer que cao o reultado obtdo o epermeto eja fruto de mero acao, a probabldade de ele ocorrer é de 6,7% Se você achar que ete valor de probabldade é ufcetemete bao ode o crtéro de defção de ufcetemete bao tem que er prevamete defdo, você pode rejetar a hpótee ula A déa é a de que, e a probabldade de o reultado er obtdo por mero acao for muto baa, deve-e coderar que a hpótee do acao ão é ufcetemete forte para eplcar o ocorrdo e, portato, que a hpótee alteratva tem ma chace de oferecer uma eplcação melhor 4

15 Normalmete, o lmar do valor de probabldade abao do qual a hpótee ula é rejetada é 5% p 0,05 Se a probabldade do eveto cao a hpótee ula eteja certa for meor que 5%, rejeta-e a hpótee ula; cao a probabldade eja maor que 5%, ão e pode rejetar a hpótee ula A probabldade de e obter a clafcação do do profeore do oo eemplo por mero acao é de 6,7%, um valor bem maor que 5% Sedo am, memo com o valor de r S tedo do mámo, ão e pode coclur que ele é gfcate A probabldade de que ele teha do gerado apea pelo acao é muto grade O que acotecera e a CG pede para a dua turma avalar quatro profeore e o do rakg feto por ela foem perfetamete gua, de maera que ovamete r S? Nete cao, cada turma podera ordear o quatro profeore de 4! 43 4 maera dferete e o úmero de pareameto poíve do do ordeameto era Dee, há 4 dele em que o rakeameto ão eatamete gua Deta forma, a probabldade de e obter um pareameto dêtco por puro acao é, ete cao, p ,04 Ete valor é agora meor que o lmar de rejeção da hpótee ula, p 0,05 Nete egudo cao, o acao ão é ufcete para eplcar o reultado obtdo a um ível de gfcâca de 0,05 e, portato, a hpótee ula deve er rejetada Coclu-e que a correlação é agora gfcatva Ee do eemplo ão muto mple e tveram por objetvo apea lutrar o coceto de gfcâca Epero que ele teham motrado que um valor alto do coefcete de correlação, tato faz e for r ou r S, ão é ufcete para e acredtar que ete de fato uma relação etre a dua varáve 5

16 Quado o tamaho da amotra é pequeo, é relatvamete fácl to é, muto provável obter um pareameto perfeto etre a dua varáve apea pelo acao Em um cao am, tato a regra da pequa cetífca como a regra do bom eo o dcam que ão devemo coderar um valor alto de r como gfcate Por outro lado, quado for grade, memo valore bao do coefcete de correlação por eemplo, r 0, ou meor ão dfíce de er obtdo por mero acao e, portato, ão coderado como gfcate É por o que é muto comum hoje em da lermo reportage em jora dzedo que algum etudo motrou que ete uma pequea, ma gfcate tedêca de algo em geral, aocada a uma pequa obre a correlação etre algum almeto e alguma codção da aúde humaa 6