ESTATÍSTICA II FORMULÁRIO

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1 Uverdade do Mho Ecola de Egehara ESTATÍSTICA II Ídce Metrado Itegrado em Egehara e Getão Idutral FORMULÁRIO Ao Lectvo Itervalo de Cofaça (uma amotra / dua amotra depedete)... Tete de Hpótee (uma amotra / dua amotra depedete)... Bom Ajute (grade amotra)... Tabela de Cotgêca... Aále da Varâca... 3 Plaeameto Completamete Aleatóro... 3 Plaeameto com Bloco Aleatóro... 3 Plaeameto Factoral com Replcaçõe... 4 Plaeameto... 5 Plaeameto Tete a K Méda (ão paramétrco)... 6 Krukal Wall... 6 Quade... 7 Bom Ajute (pequea amotra)... 7 Kolmogorov... 7 Lllefor para a Normal... 8 Lllefor para a Expoecal... 8 Tete à Dtrbuçõe... 9 Kolmogorov Smrov... 9 Smrov Ulateral... 9 Regreão... 9 Regreão Lear Smple... 9 Regreão Lear Múltpla... 0 Regreão Não Lear... 0 Idepedêca Etocátca... Correlação de Pearo... Correlação de Spearma...

2 FUNÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS Dtrbução de Beroull f x x ( x) = θ ( θ ) x = 0, = θ = θ ( θ ) µ Dtrbução Bomal [B(,p)] f x x x ( x) = p ( p) x = 0,,,..., µ = p = p ( p) Dtrbução Poo [P(λ)] f x λ e x! λ ( x) = x = 0,,,..., µ = λ = λ Aproxmação da Bomal à Poo N grade e p muto pequeo λ = p Dtrbução Uforme (dcreta) f ( x) = x = x, x,..., xk k x ( x µ ) µ = = k k CONTÍNUAS Dtrbução Uforme [U(a,b)] f ( x) = b a 0 a < x < b outro ( b ) a b a µ = = Dtrbução Expoecal [EN(/θ)] f ( x) e = θ 0 x θ µ = θ = θ x > 0 outro Dtrbução Normal [N(µ, )] f ( x) = µ = µ = ( x µ ) e π µ Z = X Aproxmação da Bomal à Normal p > 5 Codçõe q > 5 µ = p = pq Correcção de Yate P X x P X < x 0.5 P Y y P Y > y 0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

3 INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTES DE HIPÓTESES PARA UMA AMOSTRA Cohece Parâmetro a etmar Tpo de População Dmeão da amotra E.T ~ Dtrbução Itervalo de Cofaça Nota? Méda µ Proporção bomal p Varâca Normal Qualquer Sm x µ Z = ~ N(0,) Qualquer 30 Não Z = x µ ~ N(0,) x µ Normal < 30 Não T = ~ t ( ), ( ), Beroull > 30 () - População Normal Z = pˆ p ~ N(0,) p( p) ( ) Q = x z( α ) < µ < x z z( α ) : quatl da tabela acumulada ( α ) da Normal padrão à equerda x z( α ) < µ < x z( α ) Etmador do devo padrão: () x t α < µ < x t α pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) ~ χ pˆ z < p< pˆ z ( ) ( ) < < χ χ ( α ) ( α ) ( α ), ( α ), Etmador da proporção bomal x p pˆ = INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTES DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS Parâmetro a Tpo de População Dmeão da amotra Cohece? E.T ~ Dtrbução Itervalo de Cofaça Nota etmar ( x x) ( µ µ ) Norma Quaquer e Z = ~ N(0,) ( x ) Sm x ± z( α ) ( x x) ( µ µ ) Quaquer 30 e 30 e Z = ~ N(0,) Etmadore do devo padrão: ( x ) Não x ± z( α ) Dfereça etre a, méda µ µ ( x x) ( µ µ ) GL = e Não T = ~ tgl Norma < 30 e < 30 ( x x ) ± t( α ), GLp ( ) ( ) e = p p = Dfereça de proporçõe p p Norma Amotra depedete < 30 e < 30 e Não Beroull 30 e 30 - Z = D ( µ µ ) T = ~ t D ( pˆ pˆ) ( p p) pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) ( ) ~ N(0,) (3) D D D t( ), α. < µ µ < D t( ), α. ( ˆ ˆ ) ( ) ( ) pˆ pˆ pˆ pˆ p p ± z( α ) D = para D = X X Etmadore da proporçõe boma (4) x x pˆ = ˆ e p = Razão de varâca ν = e ν = Norma Quaquer - F = ~ F ν, ν < < = F( α ), ν, ν F F( α ), ν, ν F ( α ), ν, ν ( α ), ν, ν () O devo padrão, edo decohecdo, é etmado atravé de = ( x x) ; () Proporção para amotra de pequea dmeão eceáro recorrer à olução exacta atravé da dtrbução bomal; (3) e (4) No tete à dfereça = de proporçõe e H 0 : p p = 0, a E.T. paa a er ( pˆ pˆ) x x Z = ~ N(0,), com pˆ =. pˆ( pˆ)

4 Tete do bom ajute do Qu-Quadrado para grade amotra Probabldade completamete epecfcada a hpótee ula H 0 : p = p 0, p = p 0,..., p k = p k0 e p 0 p 0...p k0 =. R.R: Q c com c = χ k,α Probabldade ão totalmete epecfcada a hpótee ula H 0 : a probabldade correpodete da clae provêm de uma dtrbução da famíla... R.R: R.R: Q c com c = χ g.l,α grau de lberdade = o de cela -- o de parâmetro etmado Q = P k (f e ) = e com a frequêca eperada dada por e =.p Tabela de Cotgêca Caracterítca B B B B 3 B b. A f f f 3 f b Caracterítca A f f f 3 f b A A 3 f 3 f 3 f 33 f 3b..... A a f a f a f a3 f ab.j.. Tete de depedêca Hpótee ula: H 0 : p j = p. p.j (a varáve ão depedete), =,..., a e j =,..., b R.R: Q>ccom c = χ (a )(b ),α. Tete de homogeedade Hpótee ula: H 0 : w j = w j =... = w aj (a ubpopulaçõe A ão equvalete) para j =,..., b. R.R: Q>ccom c = χ (a )(b ),α Q = bx j= = ax (f j e j ) com a frequêca eperadada dada por e j =..j e j =,..., a e j =,..., b

5 Plaeameto completamete aleatóro SQT = P k j= j(y.j Y ) SQT = P k STQ = P k P j j= = (y j Y ) STQ = P k SQR = P k j= T.j j= j= j N T.. P j = y j N T.. P j = (y j y.j ) SQR = STQ SQT com N = P k j= j T.j é o total do valore obtdo para o tratameto j ; T.. é o grade total Tedo-e STQ = SQT SQR Modelo populacoal: y j = µ α j e j com =,..., j e j =,...,k e j N(0, ) Tete à dfereça etre o tratameto H 0 : α = α =... = α k =0 (ão extem dfereça etre a méda da k populaçõe). H : o efeto da aplcação do tratameto ão gfcatvo ( ou extem dfereça etre o tratameto). R.R : F>c em que c (Fher) é determado por forma a α = P [F >c; H 0 ] Tabela ANOVA Fotedevaração Soma do quadrado grau de lberdade Méda do quadrado v.a. F Tratameto SQT k- MQT=SQT/(k-) Reíduo SQR Σ j k =SQR/(Σ j k) F= MQT Total STQ Σ j Itervalo de cofaça para dfereça etre pare de méda de tratameto e j com 6= j =,,..., k T = (y. y.j ) (µ µ j ) q t N k SQR N k ( j ) Plaeameto com bloco aleatóro SQT = b P k j= (y.j Y ) SQT = P k b j= T.j kb T.. SQB = k P b P b = T STQ = P b = = (y. Y ) SQB = P k k j= (y j Y ) STQ = P b = P. kb T.. k j= y j kb T SQR = P b P k = j= (y j y. y.j Y ) SQR = STQ SQT SQB T. é o total do valore obtdo para o bloco ; T.j é o total do valore obtdo para otratametoj.. 3

6 Modelo populacoal: y j = µ α j β e j para =,..., b e j =,..., k e j N(0, ) Tete à dfereça etre o tratameto H 0 : α = α =... = α k =0 (ão extem dfereça gfcatva etre o tratameto). H : o efeto da aplcação do tratameto ão gfcatvo ( ou extem dfereça etre o tratameto). R.R : F >cem que c (Fher) é determado a partr de α = P [F,((k ),(b )(k )) >c; H 0 ] e F = MQT Tete à dfereça etre o bloco H 0 : β = β =... = β b =0 (ão extem dfereça gfcatva etre o efeto do bloco) H : extem dfereça etre o efeto do bloco. R.R : F >cem que c (Fher) é determado a partr de α = P [F,((b ),(b )(k )) >c; H 0 ] e F = MQB Tabela ANOVA F. de varação S. do quadrado grau de lberdade Méda do quadrado v.a. F Tratameto SQT k- MQT=SQT/(k-) Bloco SQB b- MQB=SQB/(b-) F= MQT Reíduo SQR (k ).(b ) =SQR/(k ).(b ) F= MQB Total STQ k.b Itervalo de cofaça para dfereça etre pare de méda de tratameto: T = (y j y j ) (µ j µ j ) q( t (b )(k ) b ) Plaeameto factoral com replcaçõe SQF A = qr P p = (y.. Y ) SQF A = SQF B = pr P q SQR = P p j= (y.j. Y ) SQF B = P r k= (y jk y j. ) = P q j= STQ = P p = P q j= P r k= (y jk Y ) P p = T. rq T.. P pqr q j= T.j rp T.. pqr SQR = P jk y jk P j T j STQ = P p P q P r = j= k= y jk T.. pqr SQI AB = STQ SQF A SQF B SQR r T j é a oma da obervaçõe da célula (, j) Modelo populacoal y jk = µ α β j γ j e jk 4

7 para =,..., p, j =,..., q. e k =,..., r e e jk N(0, ) Tete de hpótee Factor A H 0 : α = α =... = α p =0 H : extem dfereça gfcatva etre o íve de A R.R : F >ccom c (Fher) determado de α = Pr[F (p ),pq(r ) >c; H 0 ] ef = MQF A Factor B H 0 : β = β =... = β q =0 H : extem dfereça gfcatva etre o íve de B R.R : F >ccom c (Fher) determado de α = Pr[F (q ),pq(r ) >c; H 0 ] ef = MQF B Iteracção AB H 03 : γ = γ =... = γ =... = γ pq =0 H 3 : extem dfereça gfcatva devdo a teracção R.R : F 3 >ccom c (Fher) determado de α = Pr[F 3(p )(q ),pq(r ) >c; H 03 ] ef 3 = MQI AB Tabela ANOVA Fotedevaração Soma do Quadrado grau de lb. Méda do Quadrado v.a F Factor A SQFA p- MQFA Factor B SQFB q- MQFB F = MQF A Iteracção AxB SQIAB (p-).(q-) MQIAB F = MQF B Reíduo SQR p.q.(r-) F3 = MQI AB Total STQ pqr- Plaeameto tratameto factor A factor B A B obervaçõe méda - - y y... y r y - - y y... y r y y 3 y 3... y 3r y 3 4 y 4 y 4... y 4r y 4 Etmatva do efeto prcpa ee A = (y y )(y 4 y 3 ) SQF A = r (ee A ) ee B = (y 3 y )(y 4 y ) SQF B = r (ee B ) ee AB = (y 4 y 3 )(y y ) SQI AB = r (ee AB ) Varâca redual: = 4 ( 3 4) com = P r j= (yj y ) (r ) Itervalo de cofaça para o efeto devdo ao factore prcpa e à teracção 5

8 T = q ee µ ( r ) t 4(r ) Plaeameto 3 factore teracçõe obervaçõe méda A B C AB AC BC ABC T y y... y r y T y y... y r y T y 3 y 3... y 3r y 3 T T T T T 8 y 8 y 8... y 8r y 8 Efeto etmado: ee = 3 [±y ± y ± y 3 ± y 4 ±... ± y 8 ] A oma do quadrado do efeto de cada factor (ou teracção) pode er calculada a partr de SQ factor ou terac. = r(ee factor ou terac. ) edo o úmero de factore preete o plaeameto e r oúmerodereplcaçõe. Varâca redual: = Itervalo de cofaça para o efeto rea T = ee efeto real q r t 8(r ) Tete de Krukal Wall H0: Não extem dfereça gfcatva etre o efeto do tratameto ou a méda da dtrbuçõe da k populaçõe ão dêtca H: Nem toda ak dtrbuçõe têm méda dêtca. R.R: H c ode c é determado de α = Pr[H c; H 0 ] e H = ( ) [W W... W X k ] 3( )com W = k j= R j =,,..., k Para k>3 ou,,... e/ou > 5, a dtrbução atótca de H éaχ com k grau de lberdade. A etatítca ajutada é H 0 = H P lj= q j (q j ) ( ) em que l é o úmero de cojuto com obervaçõe repetda extete e q j é o úmero de elemeto ee cojuto j (j =,..., l). A etatítca H 0 tem ada uma dtrbução atótca χ k. 6

9 Plaeameto com bloco. Tete de Quade O dado cotem um cojuto de b varáve aleatóra depedete a k dmeõe (y,y,..., y k ),=,...,b, chamada bloco. O cálculo para ete tete devem etar am ordeado: Ampltude do bloco: A Graduaçõe do bloco de acordo Matrz S j A = max j (y j ) m j (y j ) com a ua ampltude: R(A ) S j = R(A )[R(y j ) k ] R(y j ) - graduaçõe da obervaçõe y j, (j =,..., k) S j = P b = S j; SQT = P k b j= S j ; STQ = P b P k = j= S j Se ão extrem obervaçõe repetda, STQ reduz-e a b(b )(b )k(k )(k )/7. Tetedehpótee H0 : Não extem dfereça gfcatva etre o tratameto (ou, o efeto do tratameto ão dêtco) H : Pelo meo um do tratameto tede a coegur valore obervado maore do que um outro tratameto. R.R : T>c ode c é um poto crítco da dtrbução F que correpode ao ível de gfcâca α, com (k ) e (b )(k ) grau de lberdade Comparaçõe do a do (b )SQT T = STQ SQT O tratameto e j ão coderado gfcatvamete dferete e b(stq SQT) S S j >c (b )(k ) edo c o poto crítco da dtrbução t-studet, com (b )(k ) grau de lberdade que correpode a uma regão de rejeção de tamaho α (ível de gfcâca) Tete de ajute de dtrbuçõe Tete do tpo de Kolmogorov para pequea amotra S(x) éafução de dtrbução empírca queédefda como fracção do X 0 (elemeto da amotra) que ão meore ou gua a X, paracadax( <X< ) Dado: F (x) é uma fução dtrbução completamete epecfcada. A. Tete blateral B. Tete ulateral C. Tete ulateral H 0 : F (x) =F (x) x H 0 : F (x) F (x) H 0 : F (x) F (x) H : F (x) 6= F (x) H : F (x) <F (x) H : F (x) >F (x) T = up x F (x) S(x) T = up x [ F (x) S(x) ] T = up x [ S(x) F (x) ] R.R: T (T ou T ) >c com c calculado de α = Prob(Rej H 0 ; H 0 )=Prob(T >c; H 0 de A.). 7

10 O poto crítco da dtrbução de T (T ou T ) correpodem a p = α Tete de Lllefor para a Normal DADOS: O dado cotem uma amotra aleatóra X,X,..., X de tamaho aocada com alguma fução dtrbução decohecda F (x). H0: A amotra aleatóra fo retrada de uma dtrbução ormal, com méda e/ou varâca ão epecfcada. H: A fução dtrbução do X 0 ão é ormal. R.R: T >cedo c opotocrítcodadtrbuçãodet que correpode a p = α P = X= X v u e = t X (X X) = Z = X X, =,,..., T = up z F (z) S(z) Tete de Lllefor para a expoecal DADOS: O dado cotem uma amotra aleatóra X,X,..., X de tamaho aocada com alguma fução dtrbução decohecda F (x). H 0 : A amotra aleatóra egue a dtrbução expoecal: ½ F (x) =F e (x) = x/β, para x>0 0 para x<0 em que β é um parâmetro decohecdo. H : A dtrbução do X 0 ão é expoecal. P = X= X Z = X, =,,..., X ½ F e (z) = z, para z>0 0 para z<0 T = up z F (z) S(z) R.R: T >cedo c opotocrítcodadtrbuçãodet que correpode a p = α. Tete a dua dtrbuçõe. Amotra depedete. Tete de Kolmogorov - Smrov DADOS: O dado cotem em dua amotra aleatóra depedete, uma de tamaho, X,X,..., X e outra de tamaho m, Y,Y,..., Y m retrada de dua populaçõe com dtrbuçõe F (x) e G(y) (ou G(x)) repectvamete. A. Tete blateral B. Tete ulateral C. Tete ulateral H 0 : F (x) =G(x) x H 0 : F (x) G(x) H 0 : F (x) G(x) H : F (x) 6= G(x) H : F (x) >G(x) H : F (x) <G(x) T = up x S (x) S (x) T = up x[ S (x) S (x) ] T = up x[ S (x) S (x) ] 8

11 com S (x) afuçãoempírcabaeadaaamotrax,x,..., X e S (x) afuçãoempírcabaeadaemy,y,..., Y m α. R.R: T (T ou T ) >cedo c opotocrítcodadtrbuçãodaetatítcaquecorrepodeaumíveldegfcâca Tete a k dtrbuçõe. Amotra depedete.tete ulateral de Smrov DADOS: k amotra aleatóra de tamaho gua a. Se a dtrbuçõe empírca forem, repectvamete, S (x),s (x),..., S k (x), e a fuçõe dtrbução F (x), F (x),..., F k (x) repreetam a k populaçõe, decohecda, H 0 : F (x) F (x)... F k (x) para todo o x H : F (x) >F j (x) para algum <jealgumx R.R: T >cedo c o poto crítco, que correpode a p = α, aoíveldegfcâca α. T = up x,<k [ S (x) S (x) ] =,..., k Regreão lear e mple Y N(α βx, ) Y = α βx e com x = X X, =,.., O etmadore de máxma veromlhaça, para o parâmetro α, β e ão P = α = Y P = Y ; β = = (X X)(Y Y ) P = = (X X) P = (X X)Y P = (X X) ; = P ( ) = [Y α β(x X)] Tete de hpótee T = α q α β β t ; T = q t P (X X) H 0 : β =0 H : β>0(ou β 6= 0) R.R: T c com c = t,α (ou α/) Domemomodo,a etatítca T pode er uada para calcular tervalo de cofaça e tete de hpótee relacoado com o parâmetro α Méda e varâca de um valor etmado de Y: E[Y 0 ]=E[ α] (X 0 X)E[ β] =α β(x 0 X) var[y 0 ]= ( (X 0 X) P = (X X) ) 9

12 Regreão lear e múltpla Y = α βx γz e em que x = X X,z = Z Z e e é o erro aleatóro de obervação,ormalmete dtrbuído com méda zero e varâca comum ( =,..., ). E[Y ]=α β(x X)γ(Z Z). α = P = Y = Y ; = P ( 3) = (Y α βx γz ) ½ P = x Y = β P = x γ P = x z P = z Y = β P = x z γ P = z A etatítca T,T e T 3 para tete de hpótee e tervalo de cofaça, em relação, repectvamete, ao parâmetro α, β e γ, ão: T = α q α β β ; T = r ; T 3 = P x (P x z ) P z 3 grau de lberdade. r γ γ P z (P x z ) P x e eguem a dtrbução t-studet com Regreão ão-lear ) E[Y ]=α βx O modelo matemátco geral, é: Y = α βw γw e com w = W W eoe N(0, )( =,..., ). Defe-e X = W e Z = W, o que reduz ete cao à regreão múltpla e lear. ) E[Y ]=X β O modelo matemátco ma geral e comum é: dtrbução, em geral ão métrca e cetrada em. Y = αe βx u. O erro aleatóro u ( =,..., ) têm agora uma Learza-e o modelo paado-e a ter: ly = lα βx lu e aplca-e a aále de regreão lear e mple. Tete de depedêca etocátca Coefcete de correlação da amotra. Tete de Pearo X N(µ, ) e Y N(µ, ) H 0 : ρ =0 H : ρ 6= 0 R.R: R c. O valor dec é determado de α = P r [ R c; H 0 ] R = q ( P P P = X = Y X P = Y = X (P = X ) equeéocoefcete de correlação da amotra de Pearo. )( P = Y (P = Y ) ) 0

13 c; H 0 ]. Avarável T = R R t eotetereume-ea,rejetarh 0 e T c com c determado de α = P r [ T Correlação de Spearma (X,Y ), (X,Y ),..., (X,Y ) amotra aleatóra bvarada, de tamaho R(X ) graduação do valor de X R(Y ) graduação do valor de Y ( =,,..., ) Ameddadecorrelação de Spearma R S édefda por ou R S = P = [R(X ) ][R(Y ) ] ( ) 6T R S = ( ) X com T = [R(X ) R(Y )] = cao ão extam obervaçõe repetda. Extdo repetçõe deve uar-e a expreão: R S = P = R(X )R(Y ) ( ) q P q = R(X P ) ( ). = R(Y ) ( ) A. Tete blateral H0: A varáve X e Y ão depedete. H: (a) Exte uma tedêca para o maore valore de X formarem pare com o maore valore de Y,ou (b) Exte uma tedêca para o meore valore de X formarem pare com o maore valore de Y. R.R: R S >c ou R S <c, edo c o poto crítco que correpode a α e c o poto crítco que correpode a α B. Tete ulateral para correlação potva H0: A varáve X e Y ão depedete. H: Exte uma tedêca para o maore valore de X edey formarem pare. R.R: R S >c,emquec é o poto crítco que correpode a α C. Tete ulateral para correlação egatva H0: A varáve X e Y ão depedete. H: Exte uma tedêca para o meore valore de X formarem pare com o maore valore de Y e vce-vera. R.R: R S <cedo c o poto crítco que correpode a α.