Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI. Teoria de Probabilidade

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1 Celso Albo FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhaguee, Av. de Moçambque, km, Tel: , Fax: , Maputo Cursos de Lcecatura em Eso de Matemátca e de EGI Teora de Probabldade AULA IV: Probabldade codcoal. Acotecmetos depedetes. Probabldade total e fórmula de Bayes RESUMO TEÓRICO Probabldade codcoal Cosderemos o laçameto de um dado equlbrado. O espaço amostral desta experêca é Ω = {, 2,3, 4,5, 6}. Sea A o acotecmeto sar a face 2. P( A ) =. 6 Supohamos, agora, que o dado teha sdo laçado e sea dada a segute formação: sau face par. Qual é a probabldade de ter saído a face 2? Note a dfereça: agora temos uma formação parcal sobre a experêca e devemos usá-la para reavalar a ossa estmatva. Mas precsamete, sabemos que ocorreu o eveto B face par. Com essa formação, podemos os cocetrar o acotecmeto B = {2, 4, 6} uma vez que as faces, 3, 5 fcam descartadas em fução da formação dada. Detro dessas três possbldades, a probabldade do acotecmeto A passa a ser. Calculamos assm, a probabldade do 3 eveto A sabedo que ocorreu o acotecmeto B. Essa probabldade é deotada P( A B ) (lê-se probabldade de A dado B). Sea ( Ω, X, P) um espaço de probabldade. Se B X e P( B ) > 0, a probabldade P( A B) codcoal de A dado B é defda por P( A B) =, A X. (Observa a fgura P( B) abaxo).

2 Celso Albo # A a) P( A ) = #( A B) b) P( A B) = # Ω # B Quado calculamos P( A ) estamos calculado a chace de estarmos em A sabedo que estamos em Ω. Quado calculamos P( A \ B ), estamos calculado a chace de estarmos em A, sabedo que estamos em B. Neste caso, o osso espaço amostral se reduz a B, uma vez que o eveto B ocorreu. Pode-se mostrar que P( A B ) é uma medda de probabldade, sto é, satsfaz os três axomas de Kolmogorov. Ademas, todas as propredades de probabldade, vstas aterormete são também váldas para P( A B ), algumas propredades são descrtas a segur:. P( B) = 0 2. P( A B) = P( A B) 3. A C P( A B) P( C B) 4. ( A B) B P( A \ B) 5. P[( A C) \ B] = P( A B) P[( A C) \ B] 6. P[( A C) \ B] = P( A B) + P( C \ B) P[( A C) \ B] Regra do Produto Note que a partr da fórmula da probabldade codcoal pode-se defr a probabldade da tersecção de acotecmetos: P( A B) = P( A) P( B \ A) = P( B) P( A \ B), cohecda também como regra de multplcação: Para três e acotecmetos temos respectvamete que P( A B C) = P( A) P( B A) P[ C ( A B)] e P( A ) = P( A A2... A ) = P( A ) P( A2 \ A ) P[ A3 ( A2 A )]... P[ A \ ( A A2... A )] = Acotecmetos depedetes Dos acotecmetos A e B X (X é sgma-álgebra) são depedetes se P( A B) = P( A). Itutvamete a chace de A ocorrer ão é alterada mesmo quado se sabe que o acotecmeto b ocorreu. Pode-se mostrar que Se A e B são depedetes P( A B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B) = P( A) P( B), esta últma usado a regra de produto. 2

3 Celso Albo Teorema de Probabldade Total Cosdere a fgura abaxo, ode A, A2, A3,..., A é uma partção de Ω e B um acotecmeto qualquer de Ω. A A 2 A 3 A 4 A 8 A A 7 6 A 5 Como a uão de todos A s é o espaço amostral, segue que B = ( A B) ( A B)... ( A B). Como A A =,, pos costtuem 2 uma partção, etão ( A B) ( A B) =,. Posto sto, etão, Total. P( B) = P[( A B) ( A B)... ( A B)] = P( A B) + P( A B) P( A B) 2 2 = 2 2 P( A ) P( B A ) + P( A )( P( B A ) P( A ) P( B A ) (usado a regra do produto) Se A, A2, A3,..., A é uma partção de Ω e B um acotecmeto qualquer em Ω, P( B) = P( A ) P( B A ). Esta fórmula é cohecda como Teorema de Probabldade = Teorema de Bayes Cosderemos a fgura do cotexto ateror. Neste cotexto, P( A ) é deomada probabldade a pror do acotecmeto A.Supohamos agora que B teha ocorrdo. Vamos usar essa formação para calcular a probabldade a posteror do eveto A, ou sea, vamos calcular P( A B ). P( A B) P( A ) P( B A ) Por defção P( A B) = =, expressão esta cohecda P( B) P( A ) P( B A ) como teorema de Bayes. = Os coutos A, A2,... A formam uma partção do espaço amostral Ω se: ) os acotecmetos A são dsutos dos a dos, sto é, A A =, e 2) a uão dos A é o espaço amostral Ω, sto é A = Ω. = 3

4 Celso Albo CONTACTO. Um úmero é escolhdo ao acaso o couto {, 2,3,...,50}. Sabedo que é múltplo de 5, qual a probabldade de ser par? 2. Sedo P( A ) = 0,5 e P( A B) = 0,7 determe: P( B ) sedo A e B depedetes; P( B ) sedo A e B mutuamete exclusvos; P( B ) sedo P( A \ B ) = 0,5 3. Um estudate ao etrar uma uversdade fo formado que tem 30% de possbldade de vr a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabldade de lcecar-se é 85%, equato o caso de ão a obter, a probabldade de lcecar-se é de apeas 45%. a) Determe a probabldade de que o estudate lcece-se. b) Se daqu a us aos ecotrar o estudate lcecado, qual a probabldade de que teha recebdo a bolsa? 4. O gerete de um restaurate classfca seus cletes em três categoras: Bem vestdos (50%); moderadamete vestdos (40%) e mal vestdos (0%). 70% dos bem vestdos, 50% dos moderadamete vestdos e 30% dos mal vestdos pedem um vho ao etrar o restaurate. a) Qual a probabldade de que um clete escolhdo ao acaso peça um vho? b) Se pedr-se um vho, qual é a probabldade de que o clete que o pede estea bem vestdo? 5. Numa uversdade um velho e rascível professor faz exames oras que costam de 5 pergutas. Se o professor se ecotra de bom humor, o que acotece com probabldade 2/3, o aluo só precsa de respoder certo a uma perguta para passar. Mas se o professor está de mau humor, etão o aluo só passa se respoder certo a pelo meos 3 pergutas. Um aluo, que respode certo a cada perguta (depedetemete das outras) com probabldade /3, ao acabar de reprovar o exame oral afrma ter reprovado devdo ao mau humor do professor esse da. Qual a probabldade do aluo estar a dzer a verdade? 6. Cosdere dos acotecmetos, A e B. Mostre que, se ( B A) P( B A) A e B são depedetes. P =, etão 4

5 Celso Albo 7. Seam A e B acotecmetos possíves de um mesmo espaço amostral. Se P( A B ) = verfque a veracdade das segutes afrmações, ustfcado sua resposta: a) A e B são depedetes. b) A e B são mutuamete exclusvos. ESTUDO. Supoha que temos dos evetos, A e B que são mutuamete exclusvos. Supoha, além dsso, que cohecemos P( A ) = 0,30 e P( B ) = 0, 40 a) Determe P( A B)? b) Determe P( A \ B )? c) Um estudate em estatístca argumeta que os cocetos de evetos mutuamete exclusvos e de evetos depedetes são realmete os mesmos e que, se os evetos são mutuamete exclusvos, eles precsam ser depedetes. Você cocorda com essa declaração? Neste problema, use a formação de probabldade para ustfcar sua resposta. d) Dados os resultados desse problema, que coclusão geral você tra sobre evetos mutuamete exclusvos e evetos depedetes? 2. Para se destruírem os produtos deterorados, aalsa-se perodcamete certa produção. No processo, que ão é falível, 0% dos artgos ão deterorados são destruídos e 5% dos produtos deterorados ão são destruídos, destrudo-se a totaldade 27% da produção. a) Qual a percetagem de artgos deterorados e destruídos? b) Qual a percetagem da produção em boas codções? a) Qual a percetagem de artgos deterorados e ão destruídos? 3. Em uma oalhara, cada um dos três armáros dêtcos tem duas gavetas. Em cada gaveta do prmero armáro há um relógo de ouro. Em cada gaveta do segudo armáro há um relógo de prata. Em uma gaveta do tercero armáro há um relógo de ouro, equato a outra gaveta há um relógo de prata. Escolhdo ao acaso um armáro, e aberta uma das gavetas, verfca-se coter um relógo de prata. Qual a probabldade de a outra gaveta do armáro escolhdo coter um relógo de ouro? 4. No traecto de um avão de guerra há duas estações de radar mgas equpadas com bateras ataéreas, que só são accoadas se o avão for detectado. O avão tem uma probabldade de 0,25 de ser detectado pela prmera estação e, sedo detectado, 5

6 Celso Albo tem três hpóteses em cco de ão ser abatdo por essa estação. Se o avão ão é detectado pela prmera estação, aproxma-se da seguda as mesmas codções que da prmera. Por outro lado, se a prmera estação o detecta sem o abater, será certamete detectado e abatdo pela seguda estação. a) Qual a probabldade do avão ão ser abatdo pela prmera estação? b) Qual a probabldade do avão ão ser abatdo? c) O avão fo abatdo. Qual a probabldade de ter sdo a prmera estação a abatê-lo? 5. Num estudo sobre ovos hábtos dos aluos observa-se que: 0% costumam tomar o pequeo-almoço durate a aula; outros 30% acham ser a melhor altura para pôr a coversa em da, dos quas 90% uca têm dúvdas; 30% tato dos que tomam pequeo-almoço como dos restates, têm por hábto apresetar dúvdas sobre a matéra leccoada. a) Sabedo que um aluo apresetou uma dúvda sobre a matéra, qual a probabldade de estar a tomar pequeo-almoço. b) Pode afrmar-se que mas de 80% dos aluos ão apresetam dúvdas a aula? DESAFIO. A uma pessoa A se passa um papel que marca com o sal +, com probabldade /3, ou com sal -, com probabldade 2/3. A passa o papel a B, que pode trocar ou ão o sal ates de passar a C que pode trocar ou ão o sal ates de passar a D, que também pode trocar ou ão o sal ates de passar a um árbtro. A probabldade com que cada uma das pessoas B, C e D trocam o sal é de 2/3. Se o árbtro vu um sal + o papel, qual é a probabldade de que A teha escrto o sal +? FIM 6