PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA UNIDADE IV - MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIAÇÃO

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA UNIDADE IV - MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIAÇÃO 0

2 INTRODUÇÃO A medda de varação ou dperão, avalam a dperão ou a varabldade da eqüênca numérca em anále, ão medda que fornecem nformaçõe complementare à nformação da méda artmétca. A prncpa medda de dperão ão: a varânca e o devo-padrão. Uaremo a letra denotar o eu devo-padrão. para denotar a varânca de uma amotra e para CÁLCULO DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Para calcular a varânca e o devo-padrão vamo analar trê cao: ) Quando o dado anda não foram agrupado em tabela de freqüênca, ou eja, etão na forma de dado bruto ou rol; ) Quando o dado etão agrupado em dtrbuçõe de freqüênca varável dcreta e ) Quando o dado etão agrupado em dtrbuçõe de freqüênca varável contínua.. Dado bruto ou rol Para podermo calcular a varânca e o devo padrão de dado bruto vamo uar a fórmula que eguem: FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA VARIÂNCIA DE DADOS BRUTOS ( n ) = Varânca = Cada um do valore aumdo pela varável = Méda artmétca do dado bruto n = Total de elemento obervado FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO DE DADOS BRUTOS = Devo-padrão = Varânca

3 Vejamo um eemplo de utlzação da varânca e devo-padrão. Calcule a varânca e o devo padrão da nota de trê turma de etudante. Quadro Nota de etudante da Turma A, B e C Turma Nota do aluno Méda Devo-Padrão A ,3 B ,5 C ,5 7,5 6,69 Oberve no quadro que a méda e o devo-padrão da nota já etão calculado. Vamo ver como o fo feto. O devo-padrão da turma A fo calculado da egunte forma: º) Determnar é a méda artmétca da nota, po a varânca depende dela. Como ão dado bruto vamo relembrar a fórmula para calculo da méda n Uando a nota da turma A para fazer o cálculo temo: Concluímo que a méda artmétca da nota vale 6 º) Vamo calcular a varânca da nota da turma A, para o vamo uar a fórmula para o cálculo da varânca de dado bruto que é

4 Vamo entender o que a fórmula etá dzendo... ( ) (faça a dferença entre cada nota e a méda ( n ) artmétca e eleve ao quadrado, depo ome cada uma dea dferença) Depo dvda o valor que encontrou pelo total de nota meno Turma Nota do aluno A ( ) (4 6) (5-6) (5-6) (6-6) (6-6) (7-6) (7-6) (8-6) n ,7 7 7 Temo que a varânca da nota vale,7 3º) Vamo calcular o devo-padrão da nota vamo uando a fórmula: Subttundo a varânca na fórmula e fazendo o cálculo temo:,7 =,3 Temo que o devo-padrão vale,3. Para calcular o devo-padrão da turma B e C fo proceddo da mema forma. 3

5 Conderaçõe Quadro Nota de etudante da Turma A, B e C Turma Nota do aluno Méda Devo-Padrão A ,3 B ,5 C ,5 7,5 6,69 Obervando o quadro, podemo fazer a egunte conderaçõe: A nota que geraram méda 6 na trê turma ão batante dferente. O devo-padrão ão bem dferente. O menor etá na turma A, o ntermedáro na turma C e o maor na turma B. O devo-padrão no motra a varabldade do dado em relação à méda. A groo modo dzemo que o devo-padrão no motra e a méda artmétca ofreu pouca ou muta nfluênca do valore etremo (muto grande ou muto pequeno). Nee cao podemo armar que: A turma A fo a meno nfluencada por valore etremo A turma C fo medanamente nfluencada por valore etremo A turma B fo a ma nfluencada por valore etremo.. Dtrbução de freqüênca varável dcreta Para calcular a varânca e o devo-padrão de uma dtrbução de freqüênca varável dcreta vamo uar a fórmula a egur: 4

6 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE ( FREQUENCIA VARIÁVEL DISCRETA ). = Varânca = Cada um do valore aumdo pela varável = freqüênca aboluta = Méda artmétca da varável dcreta = Soma do total de elemento obervado meno FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA VARIÁVEL DISCRETA = Devo-padrão = Varânca Vejamo um eemplo: O quadro repreenta a nota de Matemátca, calcule a varânca e o devo-padrão. Quadro Nota de Matemátca Nota de Matemátca () Tota 0 A nota de Matemátca etão agrupada em uma dtrbução de freqüênca varável dcreta, para calcular a varânca e o devo-padrão temo que uar a fórmula correpondente. 5

7 º Vamo calcular a varânca uando a fórmula Vamo entender o que ela gnca ( ). ( ). f = devemo ubtrar cada nota da méda artmétca. Ee reultado deve er elevado ao quadrado. Depo deve er multplcado pela repectva freqüênca. Ao nal fazer o omatóro dee valore =omar o total de nota e ubtrar Prmero, devemo calcular a méda artmétca. Para podermo, depo uar a fórmula da varânca Lembra-e da fórmula da méda artmétca ponderada? É ela que remo uar!. X Vamo uar a dtrbução da nota de Matemátca e abrr uma coluna para podermo multplcar por e calcular a méda Nota de Matemátca (). 3.3 = = = = 0 Tota 0 73 Calculando a méda temo: X ,65 A méda artmétca da nota de Matemátca é 3,65 6

8 Vamo calcular agora a Varânca uando a fórmula. Para podermo fazer ( ). f, vamo abrr uma nova coluna na dtrbução de freqüênca da nota de Matematca, para poder facltar noo cálculo Nota de Matemátca () ( - ). 3 ( - 3,65). 3 = 8,7 3 5 (3-3,65). 5 =, 4 8 (4-3,65). 8 = 0, (5-3,65). 4 = 7,9 Tota 0 8,55 Conclumo daí que = 0- = 9 ( ). f vale 8,55, completando a reolução Calculando temo = 0,98 A varânca da nota de Matemátca vale 0,98 º Vamo calcular o devo-padrão uando a fórmula = Devo-padrão = Varânca 0,98 = 0,99 (devo-padrão) Conderaçõe Podemo conclur pelo cálculo que o devo-padrão vale 0,99, o que no demontra uma varabldade pequena na nota de Matemátca..3 Cálculo da varânca e do devo-padrão da dtrbução de freqüênca varável contnua Para calcular a varânca e o devo-padrão de varáve contnua devemo proceder como para a varáve dcreta, tomando omente o cudado de ubttur o pelo ponto médo de cada clae, uma vez que a varável etá agrupada com ntervalo de clae. 7

9 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE ( FREQUENCIA VARIÁVEL CONTÍNUA ). = Varânca = Cada um do valore aumdo pela varável = freqüênca aboluta = Méda artmétca da varável dcreta = Soma do total de elemento obervado meno FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA VARIÁVEL CONTÍNUA = Devo-padrão = Varânca Vamo ver um eemplo: O quadro 3, repreenta um banco de hora de uma pequena emprea. Calcule a varânca e o devo-padrão. Quadro 3 Banco de hora do empregado de uma emprea Banco de hora (h) Total 0 º) Para calcular a varânca a prmera coa que temo que conhecer é a méda artmétca dee banco de hora, cao contraro, não tem como uar a fórmula da varânca. Lembra-e da fórmula da méda artmétca ponderada? É ela que remo uar! X. Na varável contínua para podermo calcular a méda temo que fazer aparecer o, calculando o ponto médo entre cada uma da hora. Para o vamo 8

10 abrr uma coluna para dtrbução para colocar o ponto médo e outra para podermo multplcar por. Banco de hora (h) (ponto médo) = = =8 8-5 =0 5.0 = =4 Total 0-84 X. 84 8,4 Temo que a méda do banco de hora é 8,4 h 0 Agora m, etamo em condçõe de calcular a varânca ( ). Vamo uar a dtrbução e abrr uma coluna para podermo calcular ( ). Banco de hora (h) (ponto médo) ( - ). 0-4 ( 8,4). = 40, (6 8,4). 3 = 7, (0 8,4). 5 =, (4 8,4). = 3,36 Total 0-0,4 Temo que ( ). = 0,4 e = 0 - = 9 Aplcando o valore na fórmula vem: ( ). 0,4 9,38 9

11 Chegamo à concluão de que a varânca vale,38 º Agora vamo calcular o devo-padrão uando Subttundo o valore temo:,38 3, 37 Conderaçõe Feto o cálculo vercamo que a varânca do banco de hora é 3,37, o que demontra uma varabldade méda na hora. NOTA Quanto maor o devo-padrão maor a varação ou dperão do dado Quanto menor o devo-padrão, menor a varação ou dperão do dado 3 FINALIZANDO Fnalzamo ma uma Undade onde aprendemo a calcular a varânca e calcular e nterpretar o devo-padrão. Como vmo, o devo-padrão fornece nformaçõe que complementam a nformação da méda artmétca, motrando e a varação do dado que geraram a méda artmétca é pequena, méda ou grande. Só conegumo dentcar e um devo-padrão é pequeno ou grande e tvermo do conjunto que tenham méda gua para podermo comparar eu devo-padrão. Etou conante e tenho certeza que você coneguram acompanhar e que etão atfeto por terem conegudo vencer ma ea etapa. 0

12 Agradeço a todo, contnuem e eforçando empre e até a próma! Um forte abraço!

13 Campu Lberdade R. Galvão Bueno, São Paulo SP Bral Tel: (55 )