3 - ANÁLISE BIDIMENSIONAL

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1 INE Aálse Bdmesoal ANÁLISE BIDIMENSIONAL É comum haver teresse em saber se duas varáves quasquer estão relacoadas, e o quato estão relacoadas, seja a vda prátca, seja em trabalhos de pesqusa, por eemplo: - se o seo dos fucoáros de uma empresa está relacoado com a fução eercda; - o quato o a temperatura ambete em uma regão flueca as vedas de refrgerate; - se o ível de escolardade de um grupo de empreededores está relacoado com o grau de sucesso por eles alcaçado. Mutas vezes queremos verfcar se há uma relação de causa e efeto etre as duas varáves (se as varáves são depedetes ou ão), se é possível estudar uma das varáves através da outra (que é mas fácl de medr)- prever os valores de uma através dos valores da outra, ou calcular uma medda de correlação ou de depedêca etre as varáves. A Aálse Bdmesoal 1 propõe-se a tetar respoder as pergutas do parágrafo ateror. As duas varáves abordadas podem ser qualtatvas ou quattatvas, e para cada tpo haverá téccas apropradas. Para varáves qualtatvas vamos estudar: tabelas de cotgêca (já vstas a seção.), estatístca Qu-Quadrado e o Coefcete de Cotgêca Modfcado. Para varáves quattatvas vamos abordar: dagramas de dspersão, aálse de correlação, aálse de regressão lear smples, coefcete de determação e aálse de resíduos. As prómas seções tratarão de cada tópco Aálse Bdmesoal de Varáves Qualtatvas A aálse bdmesoal de varáves qualtatvas fo vsta a seção., mas sera teressate relembrar algus potos. Varáves Qualtatvas são as varáves cujas realzações são atrbutos, categoras. Como eemplo de varáves qualtatvas tem-se: seo de uma pessoa (duas categoras, masculo e femo), grau de strução (aalfabeto, prmero grau completo, etc.), opão sobre um assuto (favorável, desfavorável, dferete), etc. Em estudos sobre varáves qualtatvas é etremamete comum regstrar as frequêcas de ocorrêca de cada valor que as varáves podem assumr, e quado há duas varáves evolvdas é comum regstrar-se a frequêca de ocorrêca dos cruzametos etre valores: por eemplo, quatas pessoas do seo masculo são favoráves a uma certa proposta de le, quatas são desfavoráves, quatas pessoas do seo femo são favoráves, etc. E, para facltar a aálse dos resultados estes resultados costumam ser dspostos em uma Tabela de Cotgêcas (fazedo uma dupla classfcação). A Tabela de Cotgêcas relacoa os possíves valores de uma varável qualtatva com os possíves valores da outra, regstrado quatas ocorrêcas foram verfcadas de cada cruzameto. 1 Se mas de duas varáves estverem evolvdas será ecessáro empregar téccas de aálse multdmesoal, ou ANÁLISE MULTIVARIADA. No Capítulo 6 remos estudar o teste de depedêca do Qu-Quadrado, uma outra forma de avalar a assocação etre duas varáves qualtatvas.

2 INE Aálse Bdmesoal Eemplo Vamos aalsar ovamete a tabela de cotgêcas para as varáves Seo e Fução dos fucoáros da empresa Escolástca Ltda., costruída o Eemplo.3. Fução Seo Escrtóro Servços geras Gerêca Total Masculo Femo Total Fote: hpotétca As coclusões são as mesmas a que chegamos o Eemplo.3. Podemos apresetar os percetuas calculados em relação aos totas das coluas: Fução Seo Escrtóro Servços geras Gerêca Total Masculo 43,5% 100% 88,10% 54% Femo 56,75% 0% 11,90% 46% Total 100% 100% 100% 100% Fote: hpotétca Sera teressate saber se as duas varáves são estatstcamete depedetes, e o quão forte é esta assocação. Repare que os percetuas de homes e mulheres em cada fução são dferetes dos percetuas margas (de homes e mulheres o total de fucoáros), sedo que em duas fuções as dfereças são bem grades. A tabela de cotgêcas também é chamada de dstrbução cojuta das duas varáves. Permte descrever o grau de assocação estete etre as duas varáves: é possível avalar a "força" do relacoameto, e caso haja uma assocação forte pode-se prever os valores de uma varável através dos da outra. Se as varáves forem depedetes (ou seja, a assocação etre elas for fraca), as frequêcas a tabela de cotgêcas devem dstrbur-se de forma a segur o padrão dos totas margas. Se, porém, houver uma assocação etre as varáves, elas forem depedetes, as frequêcas deverão segur algum padrão dferete daquele apresetado pelos totas margas. Precsamos de uma estatístca que relacoe as frequêcas OBSERVADAS a tabela de cotgêcas com as frequêcas ESPERADAS se as duas varáves fossem depedetes (se as frequêcas os cruzametos dos valores das varáves segussem os padrões dos totas margas). E quas serão os valores das frequêcas esperadas? Eemplo 3. - Calcule as frequêcas esperadas sob a codção de depedêca etre Seo e Fução para a tabela de cotgêcas do Eemplo 3.1. Se as varáves são depedetes as frequêcas de homes e mulheres em cada fução devem ter a mesma proporção que homes e mulheres têm o total de fucoáros. Lembrado que há 54% de homes e 46% de mulheres, esperamos que esses percetuas mateham-se em cada fução, se as varáves são depedetes. - Em Escrtóro, há 363 pessoas esta fução, sob a codção de depedêca deveram haver: Homes => 54% de 363 = 197,58 Mulheres => 46% de 363 = 165,4 - Em Servços Geras, há 7 pessoas, sob a codção de depedêca deveram haver: Homes => 54% de 7 = 14,70 Mulheres => 46% de 7 = 1,30 - Em Gerêca, há 84 pessoas, sob a codção de depedêca deveram haver: Homes => 54% de 84 = 45,7 Mulheres => 46% de 84 = 38,8 Um rápdo eame da tabela do Eemplo 3.1 mostra que as frequêcas observadas estão razoavelmete dstates das esperadas sob a codção de depedêca. Há dícos de que as duas varáves estão relacoadas.

3 INE Aálse Bdmesoal 3 Podemos calcular as frequêcas esperadas para todas as células da tabela de cotgêcas dretamete, utlzado a segute fórmula: total da lha total da colua j E j total geral Ode E j é a frequêca esperada, sob a codção de depedêca etre as varáves, em uma célula qualquer da tabela de cotgêcas. As frequêcas esperadas são ecessáras para que possamos compará-las com as observadas, sedo essa comparação materalzada em uma estatístca, chamada de Qu-Quadrado:. A epressão está descrta abao: L C O j Ej 1 j 1 Ej Ode L é o úmero total de lhas da tabela de cotgêcas (úmero de valores que uma das varáves pode assumr), C é o úmero total de coluas da tabela (úmero de valores que a outra varável pode assumr), e O j é a frequêca observada em uma célula qualquer da tabela de cotgêcas. Etão, para cada célula da tabela de cotgêcas calcula-se a dfereça etre a frequêca observada e a esperada. Para evtar que as dfereças postvas aulem as egatvas as dfereças são elevadas ao quadrado. E para evtar que uma dfereça grade em termos absolutos, mas pequea em termos relatvos, "flacoe" a estatístca, ou que uma dfereça pequea em termos absolutos, mas grade em termos relatvos, teha sua fluêca reduzda, dvde-se o quadrado da dfereça pela frequêca esperada. Somam-se os valores de todas as células e obtêmse o valor da estatístca. Eemplo Calcule a estatístca Qu-Quadrado para a tabela de cotgêcas do Eemplo 3.1. Fução Seo Escrtóro Servços geras Gerêca Total Masculo Femo Total Fote: hpotétca Calculado as frequêcas esperadas de acordo com a fórmula vsta aterormete: Masculo - Escrtóro E = (58 363)/ 474 = 197,58 Masculo - Servços Geras E = (58 7)/ 474 = 14,70 Masculo - Gerêca E = (58 84)/ 474 = 45,7 Femo - Escrtóro E = (16 363)/ 474 = 165,4 Femo - Servços Geras E = (16 7)/ 474 = 1,30 Femo - Gerêca E = (16 84)/ 474 = 38,8 Agora podemos calcular as dfereças etre as frequêcas e as demas operações, que serão mostradas as tabelas a segur. O - E Fução Seo Escrtóro Servços geras Gerêca Masculo 7-197, , ,7 Femo ,4 0-1, ,8

4 INE Aálse Bdmesoal 4 (O-E) Fução Seo Escrtóro Servços geras Gerêca Masculo 1646,91 1, ,67 Femo 1646,91 1, ,67 Falmete: (O-E) /E Fução Seo Escrtóro Servços geras Gerêca Masculo 8,336 10,301 17,490 Femo 9,956 1,304 0,891 Agora podemos somar os valores: = 8, , , , , ,891 = 79,7 Quato maor for o valor de maor será o grau de assocação etre as varáves. No Capítulo 9 aprederemos a usar esta estatístca em um teste sobre a depedêca etre as varáves. Neste Capítulo vamos utlzar outra estatístca, a partr do para mesurar a força do relacoameto etre as varáves: o Coefcete de Cotgêca Modfcado Coefcete de Cotgêca Modfcado O Coefcete de Cotgêca Modfcado permte quatfcar a assocação (grau de depedêca) etre duas varáves QUALITATIVAS, a partr da estatístca vsta aterormete. Sua equação: C* N k k 1 Ode: - é a estatístca Qu-Quadrado, calculada a partr das frequêcas observadas e esperadas (sob a codção de depedêca) a partr da tabela de cotgêcas. - N é o úmero total de observações da tabela de cotgêcas. - k é o meor úmero etre o úmero de lhas e coluas da tabela de cotgêcas. O Coefcete de Cotgêca Modfcado vara de zero (completa depedêca) até 1 (assocação perfeta). Fgura 1 - Varação da assocação etre as varáves pelo Coefcete de Cotgêca Modfcado C* Valores de C* etre 0 e 0,9 dcam assocação fraca etre as varáves, as frequêcas dos valores de uma das varáves aparetemete ão são fluecadas pelos valores da outra. Valores de C* etre 0,3 e 0,69 dcam uma assocação moderada. Valores acma de C* acma de 0,7 dcam uma assocação forte etre as varáves, há evdêca que as frequêcas dos valores de uma das varáves fo fluecada pelos valores da outra. CUIDADO, porém, com as geeralzações, assocação estatístca ão sgfca relação de causa e efeto!

5 INE Aálse Bdmesoal 5 Eemplo Calcule o Coefcete de Cotgêca Modfcado para os dados do Eemplo 3.3. O valor de fo calculado o Eemplo 3.3, a varável Seo pode assumr valores, e Fução pode assumr 3. O total de observações é gual a 474. Etão: = 79,7 N = 474 k = (porque é o meor valor etre e 3). C* N k k 1 79,7 79, ,54 1 Etão a assocação pode ser cosderada moderada. O resultado é coerete com a tabela de cotgêcas, pos há grades dfereças etre as frequêcas esperadas e observadas Aálse Bdmesoal de Varáves Quattatvas Mutas vezes também estamos teressados em avalar o relacoameto etre varáves QUANTITATIVAS, sejam elas dscretas ou cotíuas. Bascamete dos tpos de aálse podem ser realzados: Aálse de Correlação e Aálse de Regressão. Na aálse de correlação e regressão há teresse em, a partr de dados de uma amostra aleatóra, verfcar SE e COMO duas ou mas varáves quattatvas 3 relacoam-se etre s em uma população. A Aálse de Correlação forece um úmero que resume o relacoameto etre as varáves, dcado a força e a dreção do relacoameto. A Aálse de Regressão forece uma equação matemátca que descreve a atureza do relacoameto etre as duas varáves, permtdo clusve que sejam fetas prevsões dos valores de uma delas em fução dos valores das outras. Quado há apeas duas varáves evolvdas a Aálse de Regressão é chamada Smples. Quado há mas de duas varáves temos a Aálse de Regressão Múltpla. Uma das suposções báscas da Aálse de Correlação e Regressão é que há alguma teora (ou evdêca empírca) que permta levatar hpóteses sobre a relação de depedêca etre as varáves, ou seja, que permta detfcar varáves depedete e depedete(s) 4. A teora deve mostrar se esperamos assocação postva ou egatva e em que grau. Por eemplo, ao avalarmos o relacoameto etre reda mesal em reas e área em m da resdêca de uma famíla, esperamos um relacoameto postvo etre ambas: para maor reda (depedete) esperamos maor área (depedete). Uma ou mas das varáves são chamadas de Idepedete(s): podem ser uma ou mas varáves que o pesqusador mapulou para observar o efeto em outra, ou mesmo varáves cuja medção possa ser feta de maera mas fácl ou precsa, sedo etão suposta sem erro. Há uma outra varável, chamada de Depedete, seus valores seram resultado da varação dos valores das varáves Idepedetes 5. Esta deomação costuma levar a má terpretação do sgfcado da correlação etre varáves: se há correlação etre varáves sgfca que os seus valores varam em uma mesma dreção, ou em dreções opostas, com uma certa força, ão 3 Há possbldade de avalar o relacoameto etre duas varáves qualtatvas omas (através do Coefcete de Cotgêca Modfcado, que fo vsto aterormete) e etre duas varáves qualtatvas ordas (através dos coefcetes de correlação por postos, que ão serão abordados esta dscpla). 4 Na Aálse de Regressão Múltpla podem haver váras varáves depedetes mas apeas UMA depedete. 5 Veja as defções de varáves a seção.1.

6 INE Aálse Bdmesoal 6 sgfcado ecessaramete que uma varável depede das outras. Para tal coclusão sera ecessáro a estêca de evdêcas ão estatístcas dessa depedêca, ou que os valores fossem o resultado de um epermeto estatístco (adequadamete plaejado e eecutado) em que todas as outras causas da varação tvessem sdo elmadas. Para que seja possível realzar uma Aálse de Correlação e/ou Regressão os dados devem provr de observações emparelhadas e em codções semelhates. Se estamos avalado a correlação estete etre a altura e o peso de um determado grupo de craças, por eemplo, o peso de uma determada craça deve ser meddo e regstrado o mesmo state em que é medda e regstrada a sua altura. Reda e área da resdêca da mesma famíla, o mesmo mometo. Se houver mas de duas varáves todas devem ser meddas o mesmo state. Outro aspecto às vezes eglgecado é a quatdade sufcete de dados. Se apeas algus poucos dados foram coletados podemos chegar a algumas coclusões errôeas: - podemos descartar a correlação etre as varáves, embora ela realmete esta, porque os dados foram sufcetes para mostrá-la; - podemos coclur que há correlação, que a realdade ão é sgfcatva, porque os dados mostraram apeas uma pequea parte do cojuto total, ode, talvez por acaso, a correlação esta. Por razões ddátcas vamos lmtar osso estudo ao relacoameto etre duas varáves apeas, e aos casos de relacoameto lear (em que o relacoameto pode ser descrto por uma equação de reta 6 ). Se estamos trabalhado com apeas duas varáves osso prmero passo é costrur um gráfco que mostre o relacoameto etre as varáves, um dagrama de dspersão Dagrama de Dspersão Se estamos aalsado duas varáves quattatvas, cujas observações costtuem pares ordeados, chamado estas varáves de X (depedete) e Y (depedete), podemos plotar o cojuto de pares ordeados (,y) em um dagrama cartesao, que é chamado de Dagrama de Dspersão. Através do dagrama de dspersão é possível ter uma déa cal de como as varáves estão relacoadas: a dreção da correlação (sto é, o que ocorre com os valores de Y quado os valores de X aumetam, eles aumetam também ou dmuem), a força da correlação (em que taa os valores de Y aumetam ou dmuem em fução de X) e a atureza da correlação (se é possível ajustar uma reta, parábola, epoecal, etc., aos potos). Vejamos os segutes dagramas de dspersão: Fgura - Dagrama de dspersão 1 o caso No dagrama ao lado percebemos dos aspectos báscos: - à medda que a varável X aumeta, os valores de Y tedem a aumetar também. - sera perfetamete possível ajustar uma reta crescete que passasse por etre os potos (obvamete a reta ão podera passar por todos eles). Cocluímos etão que há correlação lear (porque é possível ajustar uma reta aos dados) postva (porque as duas varáves aumetam seus valores cojutamete). 6 Ou learzável, que através de trasformações apropradas trasforme-se em uma reta.

7 INE Aálse Bdmesoal 7 No dagrama ao lado percebemos dos aspectos báscos: - à medda que a varável X aumeta, os valores de Y tedem a dmur. - sera perfetamete possível ajustar uma reta decrescete que passasse por etre os potos. Cocluímos etão que há correlação lear (porque é possível ajustar uma reta aos dados) egatva (porque quado uma das varáves aumeta seus valores e a outra dmu). Fgura 3 - Dagrama de dspersão o caso No caso do dagrama ao lado é óbvo que há alguma espéce de correlação etre as varáves: os potos apresetam claramete um padrão, semelhate a um círculo. Cotudo, ão se trata de uma relação lear, pos sera totalmete adequado ajustar uma reta aos dados (os resíduos seram muto grades). Assm, há correlação, mas ão é lear. Fgura 4 - Dagrama de dspersão 3 o caso No caso do dagrama ao lado é óbvo temos uma stuação totalmete dversa dos casos aterores. NÃO HÁ padrão os potos, lear ou ão lear, os potos parecem dstrbur-se de forma aleatóra. Etão, coclu-se que NÃO HÁ CORRELAÇÃO etre as duas varáves. Fgura 5 - Dagrama de dspersão 4 o caso Coefcete de Correlação Lear de Pearso Através do dagrama de dspersão é possível detfcar se há correlação lear, e se a correlação lear é postva ou egatva. Quato mas o dagrama de dspersão apromar-se de uma reta mas forte será a correlação lear. É teressate otar que algus erroeamete cofudem estêca de correlação lear com estêca de correlação etre as duas varáves. Duas varáves podem apresetar uma forte correlação ão-lear, coforme vsto a seção ateror. Se após observar o dagrama de dspersão decdr-se que é razoável cosderar que as varáves possuem um relacoameto lear é possível mesurar a dreção e a força desse relacoameto através de um coefcete de correlação: o coefcete de correlação lear de Pearso. Este coefcete é chamado de quado são usados dados da população, e de r quado usados dados de uma amostra (mas comum).

8 INE Aálse Bdmesoal 8 Trata-se de um coefcete admesoal, amostral, que pode ser epresso por: Cov(X,Y) r s s X Y 1 y y 1 s s X Y (1) O umerador da epressão (1) é chamado de Covarâca de X e Y, que permte mesurar o relacoameto etre as varáves. A Covarâca é dvdda pelos desvos padrões de X e Y para que seja elmado o efeto que uma varável com maores valores umércos causara o resultado. A covarâca permte mesurar o relacoameto etre X e Y: - quado os valores de X e Y são ambos grades ou ambos pequeos (as dstâcas em relação às médas têm o mesmo sal) a covarâca será grade e postva. - quado o valor de X é alto e o de Y é bao (ou vce-versa) a covarâca será grade e egatva. dvddo-a por -1 o seu valor ão será mas afetado pelo tamaho da amostra. Apesar de válda, a epressão (1) costuma levar a resultados que apresetam substacas erros de arredodameto. A forma do coefcete de correlação lear de Pearso mas utlzada (clusve em calculadoras, programas estatístcos e plalhas eletrôcas) é: y y r () y y Para fazer os cálculos é precso calcular a soma dos valores de X, a soma dos valores de Y, a soma dos valores do produto XY, a soma dos quadrados dos valores de X, a soma dos quadrados dos valores de Y e o úmero de valores da amostra (). O coefcete de correlação lear de Pearso pode varar de -1 a +1 (passado por zero), e é admesoal 7 : se r = -1 sgfca que há uma correlação lear egatva perfeta etre as varáves; se r = +1 sgfca que há uma correlação lear postva perfeta etre as varáves; e se r = 0 sgfca que ão há correlação lear etre as varáves. Admte-se que se r > 0,7 a correlação lear pode ser cosderada forte. Novamete, um alto coefcete de correlação lear de Pearso (prómo a +1 ou a -1) ão sgfca uma relação de causa e efeto etre as varáves, apeas que as duas varáves apresetam aquela tedêca de varação cojuta. Eemplo Estamos avalado as médas de estudates o eso médo, relacoado-as com os ídces dos mesmos estudates o seus cursos uverstáros. As médas o eso médo podem varar de 0 a 100, e os ídces a uversdade de 0 a 4. Costrua um dagrama de dspersão e calcule o coefcete de correlação lear de Pearso para os dados a segur. Iterprete os resultados ecotrados. 7 Sem udade.

9 Ídce a uversdade INE Aálse Bdmesoal 9 Méda o eso médo Ídce a Uversdade 80,0 1,0 8,0 1,0 84,0,1 85,0 1,4 87,0,1 88,0 1,7 88,0,0 89,0 3,5 90,0 3,1 91,0,4 91,0,7 9,0 3,0 94,0 3,9 96,0 3,6 98,0 4,0 Costrudo o dagrama de dspersão (há váras plalhas eletrôcas e programas estatístcos que podem fazer sso) obtemos: 4 3,5 O prmero passo é defr qual varável é depedete (X) e qual é a depedete (Y). Quem pode ter fluecado quem? É razoável magar que a méda o eso médo dos estudates teha fluecado de algum modo o ídce por eles obtdos a uversdade, smplesmete pelo fato de que é precso cursar o eso médo ates da uversdade. Assm sedo, X será a méda o eso médo (varável depedete) e Y será o ídce a uversdade (varável depedete). Como será o relacoameto etre estas varáves? Novamete, o bom seso dca que a valores altos de médas o eso médo devam correspoder ídces altos a uversdade: espera-se uma correlação postva. 3,5 1,5 1 0, Méda o eso médo Fgura 6 - Dagrama de dspersão: médas o eso médo e ídces a uversdade Observado o dagrama da Fgura 6 cosegue-se vslumbrar que há uma correlação postva etre as duas varáves: de uma maera geral, quato maor o valor da méda o eso médo maor o ídce a uversdade. Além dsso, é possível pesar em ajustar uma reta aos dados, que passasse por etre os potos, e tal reta sera crescete (pos a correlação é postva). Etão, por ser possível ajustar uma reta aos dados, e os valores das varáves camham a mesma dreção, há uma correlação lear postva etre méda o eso médo e ídce a uversdade, ao meos para este cojuto de dados: ou seja, para valores MAIORES de méda o eso médo esperamse valores também MAIORES de ídce a uversdade, e vce-versa, permtdo usar uma equação de reta para prever o ídce a uversdade de um aluo a partr da sua méda o eso médo. A correlação lear é forte? Quato mas os potos estverem prómos da reta hpotétca ajustada aos dados mas forte será a correlação. No dagrama da Fgura 6 os potos estão prómos us dos outros, estaram a pouca dstâca de uma reta que passasse etre eles. Coclu-se, etão, que a correlação lear deve ser forte, o que resultará em um coefcete de correlação lear de Pearso prómo de 1. Para calcular o coefcete é precso obter algus somatóros.

10 INE Aálse Bdmesoal 10 Méda o eso médo X Ídce a Uversdade Y X Y XY 80,0 1, ,0 80,0 8,0 1, ,0 8,0 84,0, ,41 176,4 85,0 1,4 75 1,96 119,0 87,0, ,41 18,7 88,0 1,7 7744,89 149,6 88,0, ,0 176,0 89,0 3, ,5 311,5 90,0 3, ,61 79,0 91,0, ,76 18,4 91,0, ,9 45,7 9,0 3, ,0 76,0 94,0 3,9 8836,1 366,6 96,0 3, ,96 345,6 98,0 4, ,0 39,0 Sabe-se que = (há aluos) ,0 1 y 37, , 0 1 y 107, 8 1 y 3400, 5 Substtudo os valores a equação do coefcete de correlação lear de Pearso: r r = 0,9 1 y 1 1 y y 1 y 3400,5 ( ,5) ,8 37,5 Corroborado as coclusões aterores, o coefcete de correlação lear de Pearso teve resultado postvo, e prómo de 1, dcado forte correlação lear postva etre a méda o o grau e o ídce a uversdade ao meos para estes estudates 8. AVISO IMPORTANTE É precso avalar a coerêca etre o valor do coefcete de correlação lear de Pearso e a dsposção dos potos o dagrama de dspersão. Às vezes valores de r prómos a -1 (correlação lear egatva) ou +1 (correlação lear postva) ão ecessaramete dcam que as varáves realmete tem correlação lear. Para o caso do Eemplo 3.5 sso realmete acotece: r > 0,9 (portato, maor do que 0,7, dcado forte correlação lear postva), e os potos estão dspostos o dagrama de dspersão da Fgura 6 de tal forma que sera possível ajustar uma reta crescete aos dados. Mas sso em sempre acotece. Eemplo Estamos avalado as médas de estudates o eso médo, relacoado-as com os ídces dos mesmos estudates o seus cursos uverstáros. As médas o eso médo podem varar de 0 a 100, e os ídces a uversdade de 0 a 4. Costrua um dagrama de dspersão e calcule o coefcete de correlação lear de Pearso para os dados a segur. Iterprete os resultados ecotrados. 8 Na prátca ão se deve utlzar uma quatdade de dados tão pequea.

11 Ídce a uversdade INE Aálse Bdmesoal 11 Méda o eso médo X Ídce a Uversdade Y X Y XY 80 0, , ,6 8 0, ,196 9,5 84 0, ,304 40,3 85 0, ,641 67, , ,6889 7,1 88 1, ,136 93,8 89 1, , ,0 90 1, , ,7 91 1,67 881,7889 1, , , ,07 93, , ,6 94, , , , , , , , ,8 Costrudo o dagrama de dspersão (há váras plalhas eletrôcas e programas estatístcos que podem fazer sso) obtemos: 4 3,5 3,5 1,5 1 0, Méda o eso médo Fgura 7 - Dagrama de dspersão: médas o eso médo e ídces a uversdade Observado o dagrama da Fgura 7 cosegue-se vslumbrar que há uma correlação postva etre as duas varáves: de uma maera geral, quato maor o valor da méda o eso médo maor o ídce a uversdade. Mas, ao cotráro do caso da Fgura 6, talvez uma curva (um polômo de º grau, por eemplo) fosse mas aproprada para ajustar aos dados. Etão, apesar da correlação etre as varáves parecer ser postva, para valores MAIORES de méda o eso médo esperam-se valores também MAIORES de ídce a uversdade, e vce-versa, ela ão parece ser lear, pos uma reta ão acompahara os dados. Como os potos estão prómos etre s, pode-se afrmar que a correlação é forte. Ao calcular o coefcete de correlação lear de Pearso para os dados acma será possível avalar se há coerêca ou ão com a dsposção dos potos o dagrama de dspersão. Sabe-se que = (há aluos) ,0 3, 7 1 y , y 136, 75 1 y Substtudo os valores a equação do coefcete de correlação lear de Pearso:

12 Ídce a uversdade INE Aálse Bdmesoal 1 r 1 1 y 1 y y 1 y 136,75 (133 3,7) ,687 3,7 r = 0,918 Observe que o valor de r é gual a 0,918, maor do que 0,7, dcado uma forte correlação lear postva, mas o valor está INCOERENTE com a dsposção dos potos o dagrama de dspersão da Fgura 7. Ou seja, ão é possível cofar apeas o valor de r, é ecessáro specoar o dagrama de dspersão que mostra o relacoameto etre as varáves. Para os dados do Eemplo 3.6 é possível ver o dagrama de dspersão da Fgura ,5 3,5 1,5 1 0, ,5 Méda o eso médo Fgura 8 - Dagrama de dspersão: médas o eso médo e ídces a uversdade com duas curvas ajustadas aos potos Na Fgura 8 é possível ver a reta ajustada aos potos (o processo para obter a equação da reta será mostrado adate), a lha cotíua, e o polômo de segudo grau 9 (a lha terrompda). Observe como este últmo parece segur melhor os dados do que a reta, ão obstate o valor de r ser prómo a +1. O passo lógco sera obter uma equação que permtsse epressar o relacoameto das varáves, de maera que seja possível fazer prevsões sobre a varável depedete a partr dos valores da varável depedete Aálse de Regressão A Aálse de Regressão tem por faldade obter uma fução de regressão: uma fução matemátca que eprma o relacoameto etre duas ou mas varáves. Se apeas duas varáves estão evolvdas chama-se de regressão smples, se há mas de uma varável depedete (e apeas uma depedete) chama-se de regressão múltpla. 9 Ajustado usado o Mcrosoft Ecel.

13 INE Aálse Bdmesoal 13 A fução de regressão eplca grade parte da varação de Y com X. Uma parcela da varação permaece sem ser eplcada, e é atrbuída ao acaso. As mesmas suposções geras utlzadas a aálse de correlação são ecessáras: a estêca de uma teora que "eplque" o relacoameto etre as varáves, o pareameto dos dados, a quatdade sufcete de dados, etc. Além desses, para realzar a Aálse de Regressão, seja lear (reta), epoecal, logarítmca, polomal, etc., algus pressupostos báscos são ecessáros: - supõe-se que há uma fução que justfca em méda, a varação de uma varável em fução da varação da outra; - os potos epermetas (os pares,y) terão uma varação em toro da lha represetatva desta fução, devdo a uma varação aleatóra adcoal, chamada de varâca resdual ou resíduo; - a varável X (varável INDEPENDENTE) é suposta sem erro. - a varável Y (varável DEPENDENTE) terá uma varação os seus valores depedete 10 de X se houver regressão. - a fução de regressão será: Y = (X) + ode (X) é a fução de regressão propramete dta e é a compoete aleatóra de Y, devda ao acaso (e que SEMPRE estrá). - a varação resdual de Y em toro da lha teórca de regressão segue uma dstrbução ormal com méda zero e desvo padrão costate (depedete dos valores de X). Fgura 9 - Varação resdual em toro da lha teórca de regressão - para se decdr pela utlzação de um modelo de regressão devem estr evdêcas NÃO ESTATÍSTICAS que dquem relação causal etre as varáves (alguma le da físca por eemplo, como a Le de Hook). Uma vez cohecda a forma da lha de regressão o problema resume-se a estmar seus parâmetros. 10 Fo colocado etre aspas porque a estêca de regressão NÃO IMPLICA ecessaramete em que Y depede de X, apeas que elas têm uma varação relacoada, que pode ser causada por uma outra varável.

14 INE Aálse Bdmesoal Aálse de Regressão Lear Smples Restrge-se a aálse a apeas DUAS varáves, e supõe-se que a lha teórca de regressão é uma reta. Este modelo é bastate dfuddo porque mutos relacoametos etre varáves podem ser descrtos através de uma reta, seja utlzado os dados orgas, seja após aplcar alguma trasformação (logarítmca, epoecal, etc.) a eles que cause a learzação da curva. A reta teórca será Y = + X e os coefcetes e serão estmados através dos valores amostras a e b respectvamete: Y a bx, ode Y é a estmatva de Y, b é o coefcete agular da reta (a sua clação), e a é o coefcete lear (o poto ode a reta toca o eo Y). A melhor reta será ecotrada pelo método dos mímos quadrados: são ecotrados os coefcetes a e b que mmzam os quadrados dos desvos 11 de cada poto do dagrama de dspersão em relação a uma reta teórca. Desvo Y Yˆ O Desvo em um poto qualquer é a dfereça etre o valor OBSERVADO da varável Y aquele poto e o valor PREDITO da varável Y pelo modelo de regressão (qualquer modelo) aquele mesmo poto. O método dos mímos quadrados procura ecotrar os valores dos coefcetes do modelo de regressão, o caso da reta a e b tal que a soma dos quadrados dos desvos (cosderado todos os potos sob aálse) seja a meor possível. Para o caso específco da reta tem-se os segutes valores de a e b: b 1 y y a 1 y b Mutas calculadoras já têm estas fórmulas programadas em um módulo estatístco (jutamete com a fórmula do coefcete de correlação lear de Pearso). Além dsso, plalhas eletrôcas e programas estatístcos também fazem tas cálculos. Eemplo Calcule os coefcetes da reta de mímos quadrados para os dados do Eemplo 3.5. Coforme vsto o Eemplo 3.5 as varáves méda o eso médo e ídce a uversdade apresetam alta correlação lear postva, o que é mostrado pelo dagrama de dspersão e pelo coefcete de correlação lear de Pearso. Ajustar uma reta aos dados parece ser uma boa déa, e todos os somatóros ecessáros foram calculados o Eemplo 3.5, a saber: ,0 1 y 37, , 0 1 y 3400, 5 1 = Substtudo os valores as equações de b e a: y y 3400,5 ( ,5) b 1 1 0,18 11 Também chamados de resíduos.

15 Ídce a uversdade a 1 y b 1 37,5 0, INE Aálse Bdmesoal 13,5 A equação da reta será etão: Ŷ 13,5 0,18 X ou Y ˆ 0,18 X 13, 5 Vejamos como fcara o dagrama de dspersão com a reta acma traçada sobre ele. 4 3,5 3 y = 0,18-13,5,5 1,5 1 0, Méda o eso médo Fgura 10 - Dagrama de dspersão: méda o eso médo e ídce a uversdade - reta ajustada Dversos aplcatvos computacoas (como o Mcrosoft Ecel) permtem obter os coefcetes de mímos quadrados para város modelos de regressão: lear, polômos de város graus, logarítmco, epoecal, potêca, etc. Abao são mostrados algus deles, permtdo estmar os valores de Y através dos valores de X (a estmatva de Y é deotada como Y ): - lear (reta) - Y b X a ; - polômo de segudo grau - Y c X b X a - logarítmco - Y b L( X ) a ; a - potêca - Y b X ; - epoecal 1 a X - Y b e Se houver mas de uma varável depedete (predtora), a regressão é chamada de múltpla, e devdo à compledade matemátca para obteção dos coefcetes do modelo, mesmo para o caso lear, é recomedável a utlzação de aplcatvos computacoas. Os modelos de regressão obtdos pelo método dos mímos quadrados 13 etremamete útes para processos de prevsão, mas eles têm três lmtações séras. podem ser A prmera lmtação é que o modelo é obtdo para dados que foram coletados em determadas codções, se fatos posterores alterarem tas codções o modelo de regressão pode perder sua utldade. Isso é especalmete mportate para dados socoecoômcos ou faceros, os quas as mudaças de legslação, goveros e evetuas avaços tecológcos podem 1 L sgfca logartmo atural, um logartmo cuja base é o úmero de Euler, gual a, e e sgfca o úmero de Euler 13 Há outros métodos de estmação dos parâmetros dos modelos, como o de máma verossmlhaça.

16 INE Aálse Bdmesoal 16 smplesmete torar os dados aterores obsoletos. A seguda lmtação é a ampltude dos dados, lembrado do coceto de tervalo do Capítulo : o modelo de regressão é calculado, e somete é váldo, para os valores da varável depedete X stuados etre o mímo e o mámo dos valores coletados. Para o caso do Eemplo 3.5, o modelo obtdo o Eemplo 3.7 vale apeas para médas o eso médo ENTRE 80 e 98. Para aluos com méda abao de 80, ou acma de 98, o modelo teorcamete ão é váldo: ele permte fazer cálculos de terpolação (por eemplo, para alguém com méda o eso médo gual a 93, estete o cojuto de dados, mas etre 80 e 98), mas ão há grade cofaça em cálculos de etrapolação para valores de X fora do tervalo. A tercera lmtação resde a quatdade dos dados. O objetvo é obter um modelo de regressão robusto, ou seja, um modelo que seja pouco afetado por valores dscrepates. Observe atetamete as fguras a segur. Há apeas ses potos este dagrama, e por sua dsposção é possível perceber que há forte correlação lear etre as varáves. O coefcete de correlação lear de Pearso fo calculado, está o cato superor da fgura, e é gual a 0,9945, quase gual a 1, dcado fortíssma correlação lear postva. A reta traçada por etre os potos quase passa por todos eles, e trata-se de uma reta crescete (coefcete agular gual a 0,440, o cato superor dreto da fgura). Mas, a quatdade de dados é muto pequea, e se ocorresse um valor dscrepate? Veja o que acotece a Fgura 1. Fgura 11 - Dagrama de dspersão - poucos dados - 1 o caso Fo acrescetado apeas um poto ao cojuto mostrado a Fgura 11. Mas este poto é dscrepate, o cato feror dreto da fgura, e seu efeto fo devastador, devdo à pequea quatdade de dados. O coefcete de correlação lear cau para -0,044, dcado correlação lear quase ula, e a reta que era crescete passou a ser decrescete (coefcete agular gual a -0,031). Decsões tomadas a partr deste cojuto poderam ser tremedamete prejudcadas, smplesmete devdo à pequea quatdade de dados. Fgura 1 - Dagrama de dspersão - poucos dados - o caso

17 INE Aálse Bdmesoal 17 Image agora uma stuação em que fosse possível coletar uma grade quatdade de dados, para as mesmas duas varáves, e um dagrama de dspersão fosse costruído, tal como o da Fgura 13. Pela dsposção dos dados é fácl perceber que há correlação lear postva etre as varáves. Há uma "uvem" de potos que dca que à medda que aumetam os valores de X aumetam os de Y. O coefcete de correlação lear de Pearso vale 0,9395, dcado forte correlação lear postva. A reta ajustada aos dados é crescete, com o coefcete agular valedo 0,3894. Devdo à grade quatdade de dados mesmo que ocorram algus valores dscrepates seu efeto ão será tão marcate quato fo o caso mostrado a Fgura 1. Veja a Fgura 14. Fgura 13 - Dagrama de dspersão com mutos dados - 1 o caso Apesar do valor dscrepate (o cato feror dreto da Fgura 14), ão houve grade mudaça a equação da reta e o coefcete de correlação lear de Pearso. O coefcete de correlação lear de Pearso cau de 0,9395 para 0,8001, ada dcado forte correlação lear postva, um vsível cotraste com o que ocorreu a Fgura 1. Já o coefcete agular da reta cau meos ada, de 0,3894 para 0,3545, dcado robustez o modelo. Fgura 14 - Dagrama de dspersão com mutos dados - o caso

18 INE Aálse Bdmesoal 18 Sempre que possível devemos coletar a maor quatdade possível de dados, seja regressão smples ou múltpla, para que o modelo obtdo seja robusto e ão sofra grades alterações devdo aos valores dscrepates Coefcete de Determação Algus ovos cocetos precsam ser troduzdos: Y é a méda artmétca dos valores observados de Y ( é o úmero total de observações). Yˆ é um valor geérco predto de Y através do modelo de regressão (qualquer modelo). Y Y 1 Y ˆ Y 1 regressão. : medda da varabldade total dos dados em toro da méda de Y. Y Yˆ 1 : medda da varabldade dos dados em toro da méda de Y eplcada pela : medda da varabldade dos dados em toro da méda de Y ão eplcada pela regressão, chamada também de varação resdual. E: Y Y Y ˆ Y Y Yˆ total) (varação eplcada + varação resdual = varação Neste poto é teressate troduzr o coefcete de determação, r. Este coefcete descreve a proporção da varabldade méda de Y que é eplcada pela varação de X através do modelo de regressão (QUALQUER modelo). Sua fórmula geral é: r 1 Yˆ Y varâca eplcada var âca total Y Y 1 Para o caso lear o r será smplesmete o quadrado do coefcete de correlação lear de Pearso (r), e como ele será um valor admesoal, mas pode varar apeas de 0 a +1. O r é uma boa medda da aderêca do modelo de regressão aos dados, quato mas prómo de +1 maor a parcela da varabldade méda total de Y que é eplcada pela varação de X através do modelo. Para r superores a 0,5 (mas de 50% da varabldade méda total de Y é eplcada pela varação de X através do modelo de regressão). Para o caso lear sso sgfca que o módulo do coefcete r deve ser maor do que 0,7 para que a regressão lear seja uma boa opção. Eemplo Calcule e terprete o resultado do coefcete de determação para o modelo lear ajustado o Eemplo 3.7. Como se trata de um modelo lear, podemos obter o coefcete de determação elevado o coefcete de correlação lear de Pearso (calculado o Eemplo 3.5) ao quadrado. r = 0,9 = 0,81 Em méda 81% da varabldade de Y pode ser "eplcada" pela varabldade de X através do modelo lear Ŷ 13,5 0,18 X. O valor do r é substacalmete maor do que 0,5, dcado que o modelo lear aproprado para os dados (corroborado as coclusões dos Eemplos 3.5 e 3.7).

19 INE Aálse Bdmesoal 19 Embora útl, o coefcete de determação ão é sufcete para avalar se um modelo de regressão é apreseta bom ajuste aos dados. Precsamos fazer uma aálse dos resíduos do modelo Aálse de resíduos Idealmete a adequação de um modelo de regressão é realzada através da aálse dos seus resíduos. Os resíduos são as dfereças etre os valores observados da varável depedete e os valores predtos da varável depedete através do modelo de regressão. Para torar a aálse mas cofável, sem que as gradezas dos resíduos veham a prejudcá-la recomeda-se padrozar os resíduos: calcula-se o desvo padrão dos resíduos e dvde-se cada um deles pelo desvo padrão. Para fazer a aálse de resíduos precsamos costrur pelo meos dos dagramas de dspersão: - um que relacoe os resíduos padrozados com os própros valores predtos da varável depedete; - outro que relacoe os resíduos padrozados com os valores da varável depedete 14. Se o modelo de regressão é adequado os resíduos padrozados ão podem apresetar quasquer padrões, eles devem dstrbur-se de forma aleatóra os dos dagramas, atededo os segutes crtéros: - a quatdade de resíduos padrozados postvos deve ser apromadamete gual à quatdade de egatvos. - a gradeza dos resíduos padrozados postvos deve ser apromadamete gual a dos egatvos, para todos os valores predtos da varável depedete, e para todos os valores da varável depedete. - ão pode haver padrões ão aleatóros (tedêcas crescetes ou decrescetes, curvas, etc.) em ehum dos dagramas; em outras palavras é precso que os potos sejam dspostos em "uvem". Somete se todas estas codções forem satsfetas é que podemos cosderar o modelo de regressão aproprado. Se houver dos ou mas modelos aproprados escolhemos o mas smples, ou aquele que apresetar o mas alto coefcete de determação. Os dagramas deveram ser como a Fgura. Fgura - Formato esperado dos resíduos se modelo é aproprado Eemplo Estamos avalado o relacoameto etre as varáves veda de refrgerates e temperatura ambete os meses de verão. Na Fgura 16 vemos o dagrama de dspersão das duas varáves (temperatura é a depedete e vedas é a depedete), com dos modelos ajustados através do Mcrosoft Ecel: reta e parábola (polômo de o grau). Queremos saber qual dos dos modelos é mas aproprado através da aálse de seus resíduos. As Fguras 17 e 18 apresetam os dagramas de dspersão dos resíduos padrozados (em fução da temperatura e dos valores predtos 14 Se houver mas de uma varável depedete faz-se um dagrama de dspersão para cada uma delas.

20 Resíduos padrozados Resíduos padrozados Vedas INE Aálse Bdmesoal 0 pelo modelo de regressão) para a reta, e as Fguras 19 e 0 apresetam os respectvos dagramas para a parábola. a) Faça a aálse do dagrama de dspersão das varáves. Na sua opão qual dos modelos apreseta o melhor ajuste aos dados? b) Faça a aálse dos resíduos para o modelo da reta. c) Faça a aálse dos resíduos para o modelo da parábola. d) Com base as respostas aterores, qual dos dos modelos parece ser o mas aproprado para descrever o relacoameto etre as varáves? e) Utlzado o modelo escolhdo o tem d, faça a prevsão de vedas para os segutes valores de temperatura: e.1-7 o C e. - 3 o C e.3-38 o C y = R = y = R = Temperatura Fgura 16 - Dagrama de dspersão vedas por temperatura: ajuste de reta e parábola a) Observado o dagrama podemos ver que a parábola (polômo de o grau) apareta ter melhor ajuste aos dados, pos ela "segue" melhor o seu comportameto do que a reta. Os resíduos do modelo de parábola provavelmete serão meores do que os da reta, o que pode ser costatado também pelo seu coefcete de determação (0,8631), que é maor do que o da reta (0,8049). Ambos os modelos, porém, coseguem "eplcar" grade parte da varação méda das vedas, pos seus coefcetes de determação são substacalmete maores do que 0,5. R e s íd u o s p a ra re ta R e s íd u o s p a ra re ta Te m p e ra tu ra -3-4 V alores predtos Fgura 17 - Resíduos da reta por temperatura Fgura 18 - Resíduos da reta por valores predtos b) Devemos levar em cota os três aspectos mecoados aterormete. - Número de resíduos postvos e egatvos. Aparetemete a quatdade de resíduos padrozados postvos e egatvos é semelhate (deveríamos cotá-los por meo de algum procedmeto computacoal), a lha do zero parece "dvdr" o úmero de potos em duas partes guas em ambos os dagramas. - Gradeza dos resíduos postvos e egatvos. A maora esmagadora dos potos postvos

21 Resíduos padrozados Resíduos padrozados INE Aálse Bdmesoal 1 cocetra-se abao de desvos padrões (lha do ), e maora dos egatvos também (acma da lha -), em ambos os dagramas. - Estêca de padrões. Há claramete padrão em ambos os dagramas. Para valores meores de temperatura e valores predtos os resíduos são postvos e maores. À medda que a temperatura e os valores predtos vão aumetado os valores dos resíduos vão dmudo, torado-se egatvos, até que passam a subr ovamete. Em outras palavras, o comportameto dos resíduos do modelo da reta NÃO É ALEATÓRIO. R e s íd u o s p a ra p a rá b o la R e s íd u o s p a ra p a rá b o la Te m p e ra tu ra V alores predtos Fgura 19 - Resíduos da parábola por temperatura Fgura 0 - Resíduos da parábola por valores predtos c) Para o caso da parábola vamos avalar ovamete os três aspectos. - Número de resíduos postvos e egatvos. A quatdade de resíduos postvos e egatvos é aparetemete bastate semelhate em ambos os dagramas (a lha do zero dvde os potos em duas "metades" smlares). - Gradeza dos resíduos postvos e egatvos. Em ambos os dagramas os resíduos postvos e egatvos têm gradezas semelhates, dstates o mámo a desvos padrões do zero, para a maora dos potos. - Estêca de padrões. Em ambos os dagramas NÃO são detfcados padrões, os potos parecem dstrbur-se de forma aleatóra, formado uma "uvem". d) Com base a aálse de resíduos o modelo da parábola (polômo de o grau) é o mas aproprado para descrever o relacoameto etre vedas de refrgerate e temperatura ambete, porque os seus resíduos dstrbuem-se aleatoramete, tato em fução dos valores da varável depedete quato dos valores predtos pelo própro modelo. e) O modelo de parábola estmado pelo Mcrosoft Ecel é (ver Fgura 16, sedo Y = Vedas e X = Temperatura): Vedas = 6,477Temperatura ,6 Temperatura Para fazer as prevsões basta substtur os valores da temperatura a equação acma. e.1-7 o C: Vedas = 6,477 (7) , = 571,533 e. - 3 o C: Vedas = 6,477 (3) , = 1189,48 e.3-38 o C: Vedas = 6,477 (38) , = 3677,988 Mas, como ão há temperatura de 38º C regstrada os dados orgas (coferr a Fgura 16), a prevsão de vedas para esta temperatura ão é cofável. REGRA IMPORTANTE: E se a aálse de resíduos detfcar que todos os modelos são aproprados? Neste caso devemos selecoar aquele que apresetar o maor coefcete de determação. Se, porém, os modelos tverem coefcetes de determação prómos (dfereças ferores a 5%) devemos ser parcmoosos, e escolher o modelo mas smples (regra da PARCIMÔNIA).

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