sticas Estatística (divisão) População stica: uma definição Estatística:
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- Aurélia Damásio di Azevedo
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1 Coleção de úmero etatítca tca O úmero de carro veddo o paí aumetou em 30%. A taa de deemprego atge, ete mê, 7,5%. A açõe da Telebrá ubram R$,5, hoje. Reultado do Caraval o trâto: 45 morto, 430 ferdo. Etatítca: tca: uma defção A cêca de coletar, orgazar, apreetar, aalar e terpretar dado com o objetvo de tomar melhore decõe. Etatítca (dvão) Decrtva Idutva O procedmeto uado para orgazar, reumr e apreetar dado. A coleção de método e técca utlzado para etudar uma população baeado em amotra probablítca deta população. População Ceo Uma coleção de todo o poíve elemeto, objeto ou medda de teree. Um levatameto efetuado obre toda uma população é deomado de levatameto cetáro ou mplemete ceo.
2 Amotra Amotragem Uma porção ou parte de uma população de teree. O proceo de ecolha de uma amotra da população é deomado de amotragem. PROBABILIDADE (Matemátca) ESTATÍSTICA (Matemátca Aplcada) Trabalha com dua ou ma caracterítca do dado Trabalha com uma úca caracterítca do dado Uvarada Multvarada P R O B A B IL I D A D E POPULAÇÃO (Ceo) Erro AMOSTRA (Amotrage m) Iferêca Etatítca Decrtva Probabldade Amotragem Etatítca Idutva Etatítca Probabldade Face Probabldade Face Freqüêca /6 5 /6 8 3 / / /6 5 6 /6 6 7 Total Total 0
3 Arredodameto Todo arredodameto é um erro. O erro deve er evtado ou etão mmzado. Regra báca: Arredodar empre para o ma prómo (meor erro). Eemplo:,456,46,454,45,475,485 É ímpar Aumeta É par,48,48 Não aumeta V A R I Á V E I S Qualtatva Quattatva Nomal Ordal Dcreta Cotíuaua Varável Qualtatva NOMINAL Seo Relgão Etado cvl Curo Varável Quattatva DISCRETA Número de falta Número de rmão Número de acerto ORDINAL Coceto Grau de Itrução Mê Da da emaa CONTÍNUA Altura Área Peo Volume
4 Etatítca Decrtva Orgazação; Reumo; Apreetação. Cojuto de dado: Amotra ou População Um cojuto de dado é reumdo de acordo com a egute caracterítca: Amotra ou População Tedêca ou poção cetral Dperão ou varabldade Ametra (dtorção) Achatameto ou curtoe (a) Tedêca ou Poção Cetral A méda S m p l e Artmétca Geométrca Harmôca Quadrátca Itera A méda Artmétca (mea) A méda Geométrca m g.....
5 A méda Harmôca A méda Quadrátca m h m q A méda m Itera É a mema méda artmétca ó que aplcada obre o cojuto ode uma parte do dado (etremo) é decartada. Eemplo Méda Cojuto m g m h ,9 4, ,8 Relação etre a méda Tedêca ou Poção Cetral Dado um cojuto de dado qualquer, a méda artmétca, geométrca e harmôca matém a egute relação: m g m h (a) A méda P o d e r a d a Artmétca Geométrca Harmôca Quadrátca
6 A méda Artmétca Poderada A méda Geométrca Poderada m ap.w +.w k.w w + w wk.w w k m gp w w w. w w.... w k k A méda Harmôca Poderada Eemplo m h P w + w + w w + w w w k w k k Produto p 0 p 0 q Care 4,80 5,5 5 Caa 5,0 4,94 Ceva 0,80 0,9 Pão,50,0 Total Solução Produto p 0 p 0 α p(0,t) 4,80 5,5 0,57,5 5,0 4,94 0,3 0,95 3 0,80 0,9 0,3,5 4,50,0 0,07,40 Total -- --,00 -- Méda artmétca poderada do relatvo (aumeto) erá: map,5.0,57 + 0,95.0,3 +,5.0,3 +,40.0,07 0,57 + 0,3 + 0,3 + 0,07,45 4,5% Por ete crtéro o aumeto fo de 4,5%.
7 Méda geométrca poderada do relatvo (aumeto) erá: m gp 0,57 0,3 0,3 0, 07,5,5 0, 57,373 0,95 0,95 0,3 3,73 %,5,5 0, 3,40,40 Por ete crtéro o aumeto fo de 3,73%. 0,07 Méda harmôca poderada do relatvo (aumeto) erá: m h P 0, 57 0,3 0, 3 0, ,5 0,95,5, 40,33 3, 3 % Por ete crtéro o aumeto fo de 3,3%. (b) Tedêca ou Poção Cetral A medaa (meda) É o valor que epara o cojuto em do ubcojuto do memo tamaho. m e [ (/) + (/)+ ]/ e é par m e (+)/ e é ímpar Tedêca ou Poção Cetral (b) Separatrze A déa de repartr o cojuto de dado pode er levada adate. Se ele for repartdo em 4 parte tem-e o Quart, e em 0 o Dec e e em 00 o Percet. Eemplo Codere o egute cojuto: Como 7 (ímpar), etão (+)/ 4 Ordeado o cojuto, tem-e: Etão: m e 4 Se o cojuto for: Tem-e: 8 (par) Etão m e [ / + /+) ]/ ( )/ Ordeado o cojuto, tem-e: m e ( )/ ( + )/,50
8 Tedêca ou Poção Cetral Eemplo (c) A moda (mode) Codere o cojuto É o() valor(e) do cojuto que ma e repete(m). Etão: m o Po, o do é o que ma e repete (trê veze). Eemplo Codere o cojuto: Etão: m o e m o Cojuto bmodal Eemplo 3 Codere o cojuto: Ete cojuto é amodal, po todo o valore apreetam a mema freqüêca. Dperão ou Varabldade (a) A ampltude (h) (b) O Devo Médo (dma) (c) A Varâca ( ) (d) O Devo Padrão () (e) A Varâca Relatva (g ) (f) O Coefcete de Varação () A Ampltude (rage) h má - mí Codere o cojuto: h 5 (-) 7
9 O dma (average devato) Codere o cojuto: Calculado o devo: A méda é: Tem-e: d - -3 d - - d d 4 3 d A varâca (varace) Como pode er vto a oma é gual a zero. Tomado o módulo vem: dma , 40 Se ao vé de tomar o módulo, elevarmo ao quadrado, tem-e: ( ) ( 3 ) + ( ) + ( ) ,80 O Devo Padrão (tadard devato) A varâca de um cojuto de dado erá: É a raz quadrada da varâca ( ) + ( ( ) ) ( ) ( )
10 Se etrarmo a raz quadrada teremo do reultado ateror teremo: ( ) 6,80,6 A Varâca Relatva g O Coefcete de Varação g Grade Cojuto de Dado O coefcete de varação do eemplo ateror, erá:, 6077 g 60,77 % Orgazação; Reumo; Apreetação. Amotra ou População
11 Defeto em uma lha de produção Lacado Deeho Torto Deeho Torto Lacado Torto Maor Meor Deeho... Meor Maor Lacado Emalte Emalte Lacado Deeho Meor Maor Torto... Dtrbução de freqüêca Defeto Deeho Emalte Lacado Maor Meor Torto Trcado TOTAL Freqüêca % 4,0 9,00 9,40 4,00 6,60,40 5,40 00 F r e q ü ê c a Apreetação Aboluta Smple Decmal Relatva Percetual Acumulada Aboluta Relatva Decmal Percetual Freqüêca: repreetação Valore f F fr fr Fr , , , , , , ,0 00 Total 00,00 00
12 Defeto em uma lha de produção % 5% 4% 0% 7% 4% 9% Deeho Emalte Lacado Maor Meor Torto Trcado Número de rmão do aluo da turma Etatítca - PUCRS - 006/ Dtrbução de freqüêca por poto ou valore da varável: Número de rmão do aluo da turma 450 da dcpla: Probabldade e Etatítca PUCRS - 006/0.
13 N 0 de rmão N 0 de aluo Dagrama de colua mple da varável: Número de rmão do aluo da turma 450 Dcpla: Etatítca, PUCRS - 006/
14 A méda m Artmétca tca Nete cao, a méda a dada por: f f.... f k k f + f f k f. Eemplo f f A Medaa A méda erá, etão: Como 50 é par, tem-e: f ,90 rmão me / + ( / ( 50 / ) ) + 50 / + + rmão + Eemplo f F Total de dado 50 (par) Metade do dado / 5 A Moda m o valor(e) que ma e repete(m)
15 Eemplo f Po A moda ele e é repete gual ma a veze (um) A Ampltude O Devo Médo h má - mí h rmão Nete cao, o dma erá dado por: f +... f + + f k dma f + f f k f. k Eemplo f f ,90 3,30.,90 8, ,90 0, ,90 5, ,90 8, ,90 9, ,90 8, ,40 O dma erá, etão: f. dma 64,40 50,9 rmão
16 A Varâca Nete cao, a varâca erá: f ( ) + f ( ) f f ( ) f k ( k ) Eemplo f f O Devo Padrão A varâca erá, etão: O devo padrão erá dado por: f,3700 rmão 99 50,90 f,5395,54 rmão,3700 O Coefcete de Varação Dvddo a méda pelo devo padrão, tem-e o coefcete de varação:, g,90 8,03 %
17 Idade (em mee) do aluo da turma 450 da dcpla: Probabldade e Etatítca - PUCRS - 006/ Dtrbução por clae ou tervalo da varável dade do aluo da turma 450 da dcpla: Probabldade e Etatítca da PUCRS - 006/0 Idade Número de aluo Total 50
18 Htograma de freqüêca da varável Idade do aluo da turma 450 de Probabldade e Etatítca da PUCRS - 006/0 f / h 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Ate de apreetar a medda,. é, repreetate do cojuto, é eceáro etabelecer uma otação para algu elemeto da dtrbução. poto médo da clae; f freqüêca mple da clae; l lmte feror da clae; l lmte uperor da clae; h ampltude da clae.
19 O Poto Médo M da Clae f A Méda da Dtrbução Eemplo f f A méda erá: f ,0 mee A Medaa Nete cao, utlzam-e a freqüêca acumulada para detfcar a clae medaa,. é, a que cotém o() valor(e) cetral(). Eemplo f F Total de dado 50 (par) Metade do dado / 5
20 Portato, a clae medaa é a tercera. Am 3. A medaa erá obtda atravé da egute epreão: 50 F 70 0 m e l + h + f mee 8 8 A Moda Eemplo Nete cao é preco calmete apotar a clae modal,. é, a de maor freqüêca. Nete eemplo é a prmera com f. Am. f Clae modal, po f. Portato a moda poderá er obtda atravé de uma da egute epreõe: Crtéro de Kg: mo l + h f f + + f mee 9
21 Crtéro de Czuber: m o l + h.f f f ( f + f + ) ( ) mee A Ampltude h má - mí h mee O Devo Médo Aboluto Nete cao, o dma erá dado por: f + f f k dma f + f f k f. k Eemplo f f ,0 54, ,0 6, ,0 4, ,0 03, ,0 08, ,0 74, ,0 4, ,60 O dma erá, etão: dma f. 3,43 mee 6,60 50
22 A Varâca Nete cao, a varâca erá: f( ) + f ( ) f k (k ) f ( ) f Eemplo f f A varâca erá, etão: O Devo Padrão O devo padrão erá dado por: f ,0 f 37, ,70 40 mee,96 40,96 mee O Coefcete de Varação Dvddo a méda pelo devo padrão, tem-e o coefcete de varação: 37,69563 g 3,% 85,0 Skewe
23 Prmero Coefcete ( de Pearo) Coefcete Quartílco a (Méda - Moda) / Devo Padrão CQA [(Q 3 - Q ) - (Q - Q )]/(Q 3 - Q ) Segudo Coefcete ( de Pearo) a 3.(Méda - Medaa) / Devo Padrão Coefcete do Mometo a 3 m 3 / 3, ode m 3 Σ(X - ) 3 / Coefcete 0 Cojuto Smétrco Coefcete < 0 Cojuto: Negatvamete Amétrco Provão 000 Curo: Odoto Provão 000 Curo: Joralmo Coefcete > 0 Cojuto: Potvamete Amétrco Provão 000 Curo: Eg. Elétrca (Kurto)
24 Coefcete de Curtoe (mometo) Coefcete 3 ou 0 Cojuto: Meocúrtco a 4 m 4 / 4, ode m 4 Σ(X - ) 4 / Provão 000 Curo: Odoto Coefcete > 3 ou (> 0) Cojuto: Leptocúrtco Coefcete < 3 ou (< 0) Cojuto: Platcúrtco Provão 000 Curo: Matemátca Provão 999 Curo: Eg. Cvl Etão: Se y a +b y a + b y y a a
25 Poçõe Relatva A méda e o devo padrão ão a dua prcpa medda utlzada para decrever um cojuto de dado. Ela, também, podem er utlzada para comparaçõe, to é, para forecer a poção relatva de um valor em relação ao cojuto como um todo. O ecore z Seja (,,..., ) uma amotra de obervaçõe. Sejam e a méda e o devo padrão da amotra. Etão o ecore z é o valor que forece a poção relatva de cada da amotra, tedo como poto de referêca a méda e como medda de afatameto o devo padrão. O ecore z - z O ecore z forece o úmero de devo padrão que cada valor etá acma ou abao da méda. O ecore,5, gfca que ete valor etá um devo e meo abao da méda. O ecore Z é também uma varável, que é obtda pela traformação da amotra orgal. Ela apreeta méda gual a zero e devo padrão gual a um. Eemplo Codere o egute amotra: Ametra 0,33 Curtoe - 0,
26 Calcular o ecore z para cada valor da amotra. Repreetar o valore da amotra e o ecore em dagrama para verfcar e houve alteração o formato da dtrbução do dado. Solução: A méda e o devo padrão da amotra ão: 40 e 3,69. Etão o ecore padrozado erão: 0,3066 0,997-0,997-0,63-0,63 -,63-0,3066-0,63 0,3066,538,63 -,538,456 -,538 0,0000 0,0000 0,0000 -,63 0,3066-0,997-0,63-0,997-0,3066-0,3066,63 0,63 0,63-0,3066 0,997 0,63 0,3066-0,3066 0,3066 -,538 0,0000,63 -,63 0,0000-0,997 0,0000 -,63-0,3066,460 0,0000 0,997 -,8394,538-0,63 0,63,8394 Propredade 7 6 Ametra 0,37 Curtoe - 0, ,84 -,3-0,6 0,00 0,6,3,84,45 A méda do ecore padrozado é zero; O devo padrão do ecore padrozado é um. A forma da dtrbução do ecore padrozado é a mema do dado orga. Ecala O ecore Z ão é utlzado ormalmete da forma como é calculado. É comum a utlzação de uma ecala lear de traformação. A dua ma utlzada ão: Ecala A ecala T que é obtda atravé da egute traformação T 0.Z + 50 A ecala A que é utlzada o vetbulare é obtda por: A 00.Z + 500
27 Teorema de Chebyhev O teorema de Chebyhev permte verfcar qual é o percetual mímo de valore de um cojuto de dado que deve etar um certo úmero de devo em toro da méda. Em qualquer cojuto de dado com devo padrão, pelo meo ( /z ) do valore do cojuto devem etar etre z devo em toro da méda, ode z é um valor tal que z >. Eemplo: Am pelo meo: 75% do valore etão detro de z devo a partr da méda; 89% do valore etão detro de z 3 devo a cotar da méda; X - X < S 94% do valore etão detro de z 4 devo a cotar da méda. - /4 75%.
Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.
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