Professor Mauricio Lutz REGRESSÃO LINEAR SIMPLES. Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das formulas: ö ; ø.

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1 Professor Maurco Lutz 1 EGESSÃO LINEA SIMPLES A correlação lear é uma correlação etre duas varáves, cujo gráfco aproma-se de uma lha. O gráfco cartesao que represeta essa lha é deomado dagrama de dspersão. Para poder avalar melhor a correlação etre as varáves, é teressate obter a equação da reta; essa reta é chamada de reta de regressão e a equação que a represeta é a equação de regressão. O dagrama de dspersão é costruído de acordo com os dados amostras de observações e a equação de regressão é dada pela epressão: ax + b, ode a e b são os parâmetros. Vamos, etão, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das formulas: Ode: é o úmero de observações; -( ) ( ) -( ) a e b - a, é a méda dos valores æ ç è ö ; ø é a méda dos valores æ ç è ö. ø Obs.: Como estamos fazedo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o resultado, a realdade, é uma estmatva da verdadera equação de regressão. Sedo assm escrevemos: ax + b, ode o é o estmado. Eemplos: a) Determar a reta de regressão lear, sabedo que este uma forte correlação etre o peso total do lo descartado, por da, uma empresa com o peso do papel cotdo esse lo. Hotel H1 H H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 Peso total 10,47 19,85 1,5 4,36 7,38 8,09 33,61 35,73 38,33 49,14 Peso do papel,43 5,1 6,88 6, 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

2 Professor Maurco Lutz De acordo com os dados, fazemos a represetação gráfca. Os pares ordeados formam o dagrama de dspersão. Para facltar o cálculo costruímos a segute tabela: Peso total ( ) Peso do papel ( ). H1 10,47,43 5,44 109,6 H 19,85 5,1 101,63 394,0 H3 1,5 6,88 146,0 451,56 H4 4,36 6, 151,5 593,41 H5 7,38 8,84 4,04 749,66 H6 8,09 8,76 46,07 789,05 H7 33,61 7,54 53,4 119,63 H8 35,73 8,47 30,63 176,63 H9 38,33 9,55 366, ,19 H10 49,14 11,43 561,67 414,74 88,1 75,4 396, ,5 Temos assm: a -( ) ( ) -( ) 3966,8-1684,9 a 93775, ,68-88,175, ,5- (88,1) 81,88 0, , 75,4 88,1 Como 7, 54 e 8, 81 vem: b - a 7,54-0,1318,81 7,54-6,1405 1,3835 Logo: 0,1X + 1,38 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

3 Professor Maurco Lutz 3 Com base o cohecmeto da equação da reta, pode-se terpolar e etrapolar valores. Iterpolação: a terpolação ocorre quado o valor cosderado pertece ao tervalo da tabela, porém, ão fgura etre os dados coletados. Supodo-se o valor 15 kg para o peso total do lo descartado, pode-se estmar o peso de papel cotdo esse lo. Uma vez que 15 kg ão é um dado coletado e, coseqüetemete, ão pertece à tabela de dados, utlza-se a equação da reta para determar o valor correspodete ao peso do papel. Para 15 kg de lo descartado, estma-se que haja 4,58 kg de papel cotdo esse lo. Etrapolação: a etrapolação ocorre quado o valor cosderado ão pertece ao tervalo da tabela, e também ão fgura etre os dados coletados. Supoha que o peso do lo descartado seja de 60 kg. Esse valor ão é um dado coletado e em se ecotra detro do tervalo [10,47, 49,14]. Essa stuação é semelhate à ateror e utlza-se a equação de reta para determar o peso do papel. Para 60 kg de lo descartado, estma-se, por etrapolação, que haja 14,16 kg de papel cotdo esse lo. Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

4 Professor Maurco Lutz 4 b) Cosderemos uma amostra aleatóra, formada por dez dos 98 aluos de uma classe da faculdade A e pelas otas obtdas por eles em matemátca e estatístca: dspersão: Números Notas Matemátca ( ) Estatístca ( ) 01 5,0 6,0 08 8,0 9,0 4 7,0 8, ,0 10,0 44 6,0 5,0 58 7,0 7,0 59 9,0 8,0 7 3,0 4,0 80 8,0 6,0 9,0,0 Vamos verfcar a correlação prmero fazedo um dagrama de Correlação etre as otas de matemátca e estatístca Números Notas Matemátca ( ) Estatístca ( ). 01 5,0 6, ,0 9, ,0 8, ,0 10, ,0 5, ,0 7, ,0 8, ,0 4, ,0 6, ,0, Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

5 Professor Maurco Lutz 5 Temos assm: a -( ) ( ) -( ) (65) , Como 6, 5 e 6, 5 vem: b - a 6,5-0,8636,5 6,5-5,6108 0,889 Logo: 0,86X + 0, 89 Para traçarmos a reta o gráfco, basta determar dos de seus potos: X X 0 Þ 0,89 5Þ 0,865+ 0,89 5,19 Assm temos: Coefcete de determação Trata-se de um dcador da qualdade do ajustameto. Dessa maera, o coefcete de determação ou coefcete de eplcação é dado por, ode 0 1, ou se multplcarmos (100) % temos 0 100% O coefcete de determação ( ) é gual ao quadrado do coefcete de correlação lear de Pearso (r). O epressa a proporção da varação total que é eplcada (dvda) à reta de regressão de sobre. Utlzado os valores do eemplo ateror de correlação temos: (0,911) 83,0% 0,830 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

6 Professor Maurco Lutz 6 Iterpretamos esse resultado da segute maera: o uso da varável ota em matemátca, X, eplca 83,0% das otas em estatístca. Eercícos 1)Complete o esquema para o ajustameto de uma reta aos dados: Temos: (......) - (......) a (...) Logo: ( ) b...- (...) Dode: a... e b X +... ) A tabela abao apreseta valores que mostram como o comprmeto de uma barra de aço vara coforme a temperatura: Temperatura ( C) Comprmeto (mm) Determe: a) O coefcete de correlação; b) A reta ajustada a essa correlação; c) O coefcete de determação. d) O valor estmado do comprmeto da barra para a temperatura de 18 C; e) O valor estmado do comprmeto da barra para a temperatura de 35 C. Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

7 Professor Maurco Lutz 7 3) A varação do valor do BTN (Bôus do Tesouro Nacoal), relatvamete a algus meses de 1990, deu orgem à tabela: Meses Abr. Ma. Ju. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Valores (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76 a) Calcule o grau de correlação. b) Estabeleça a equação de regressão de sobre X. c) Calcule o coefcete de determação. d) Estme o valor do BTN para o mês de dezembro. Sugestão: Substtua os meses, respectvamete, por 1,,..., 8. 4) A partr da tabela: a) Calcule o coefcete de correlação; b) Determe a reta ajustada; c) Calcule o coefcete de determação; d) Estme para X0. 5) Certa empresa, estudado a varação de demada de seu produto em relação a varação de preço de veda, obteve a tabela: Preço ( ) Demada ( ) a) Determe o coefcete de correlação; b) Estabeleça a equação da reta ajustada; c) Calcule o coefcete de determação; c) Estme para X60 e X10. 6) Pretededo-se estudar a relação etre as varáves cosumo de eerga elétrca ( ) e volume de produção as empresas dustras ( ), fez-se uma amostragem que clu vte empresas, computado-se os segutes valores: 11, 34; 0, 70; 1, 16; 84, 96 e, 13. Determe: a) O calculo do coefcete de correlação; b) A equação de regressão de para X; Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

8 Professor Maurco Lutz 8 c) A equação de regressão de X para. 7) Vamos supor que esta uma relação lear etre as varáves: X despesas em propagada e vedas de certo produto. Cosderado os dados abao: X 1,5 5,5 10,0 3,0 7,5 5,0 13,0 4,0 9,0 1,5 15, Determe: a) Faça o dagrama de dspersão. b) Calcule o coefcete de correlação de Pearso. c) Estabeleça a equação da reta ajustada. d) Calcular o valor de vedas para um gasto com propagada de 4,5. e) Calcule o coefcete de determação e terprete-o. 8) Para uma empresa mater-se compettva, gastos de pesqusa e desevolvmeto (P & D) são essecas. Para determar o ível ótmo de gastos em P & D e seu efeto sobre o valor da empresa, fo aplcada aálse de regressão lear smples, ode: razão etre preços e gahos e X razão etre gastos com P & D e vedas. Os dados das 0 empresas usadas o estudo são os segutes: Empresas X Empresas X Empresas X Empresas X 1 5,6 0, , 0, ,4 0, ,5 0,083 7, 0, ,3 0, ,1 0, ,8 0, ,1 0, ,0 0, ,1 0, ,1 0,09 4 9,9 0,01 9 8,5 0, , 0, ,0 0, ,0 0, , 0, ,4 0, ,9 0,08 a) Costrur o dagrama de dspersão. b) Calcule o coefcete de correlação de Pearso. c) Estabelecer a equação da reta ajustada. d) Usar a equação obtda pra prever o valor de, quado X $0,070. e) Calcule o coefcete de determação. Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

9 Professor Maurco Lutz 9 esolução dos eercícos: 1)Complete o esquema para o ajustameto de uma reta aos dados: Temos: Logo: (7833)- (55131) a -1,641 - (55) ( ) b 18,7143- (-1,641)7, , , ,475 Dode: a -1,641 e b 31, 475-1,641X + 31,475 ) A tabela abao apreseta valores que mostram como o comprmeto de uma barra de aço vara coforme a temperatura: Temperatura ( C) Comprmeto (mm) Determe: a) O coefcete de correlação; b) A reta ajustada a essa correlação; c) O coefcete de determação. d) O valor estmado do comprmeto da barra para a temperatura de 18 C; e) O valor estmado do comprmeto da barra para a temperatura de 35 C. Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

10 Professor Maurco Lutz a) r r b) -( )(. ) -( ). - [ ][ ( ) ] 550-( 100) (505000)- (504300) [ ] [ ] ( )- ( ) a - (100) ( 550) b 1008,6-0, ,6-11, 997,4 ( )- ( ) [ ] [ ( 5043) ] , ,3903 0,986 0,56X + 997,4 c) (0,986) 96,55% 0,9655 d) 0, ,4 1007, 48mm e) 0, ,4 1017mm 3) A varação do valor do BTN (Bôus do Tesouro Nacoal), relatvamete a algus meses de 1990, deu orgem à tabela: Meses Abr. Ma. Ju. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Valores (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76 a) Calcule o grau de correlação. b) Estabeleça a equação de regressão de sobre X. c) Calcule o coefcete de determação. Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

11 Professor Maurco Lutz 11 d) Estme o valor do BTN para o mês de dezembro. Sugestão: Substtua os meses, respectvamete, por 1,,..., 8. a) r r. 1 41,73 41, ,393 41,73 83, , ,98 131, ,4 4 48,91 195, , ,41 67, , ,06 354, , ,65 466, ,3 8 75,76 606, , , 3 146, , 73 -( )(. ) -( ). - [ ][ ( ) ] 804-( 36) (17174,48)- (1554,8) [ ] [ , ,3] (8146,81) - (36431,3) [ ] [ 84331,73-( 431,3) ] 1650, , , 1709,196 0,9655 (8146,81) - (36431,3) 17174, ,8 a - (36) b) ( 804) b 53,9038-4,91134,5 53,9038-, , , 336 4,9113 4,9113X + 31,809 c) (0,9655) 93,% 0,93 d) Dezembro é gual a 9 4, ,809 76,0046 O valor para dezembro é de Cr$ 76,0046 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

12 Professor Maurco Lutz 1 4) A partr da tabela: a) Calcule o coefcete de correlação; b) Determe a reta ajustada; c) Calcule o coefcete de determação; d) Estme para X0 a) r r ( )(. ) -( ). - [ ][ ( ) ] 691-( 1) (340)- (460) [ ] [ ] (6570)- (10) [ ] [ ( 0) ] , ,436 (6570)- (10) 340 a - (1) 546 b) ( 691) , b 36,6667- (-11,4863,5) 36, , ,486X + 76,6667 c) (-0,9897) 97,96% 0,9796 d) Para X0 temos: Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

13 Professor Maurco Lutz 13-11, , ,667 5) Certa empresa, estudado a varação de demada de seu produto em relação a varação de preço de veda, obteve a tabela: Preço ( ) Demada ( ) a) Determe o coefcete de correlação; b) Estabeleça a equação da reta ajustada; c) Calcule o coefcete de determação; c) Estme para X60 e X10. a) r r ( )(. ) -( ). - [ ][ ( ) ] ( 663) (165370)- (174364) [ ] [ ] ( ) - (66368) [ ] [ ( 68) ] , ,5090 ( ) - (66368) a - (663) b) ( ) b 6,8- (-1, ,3) 6,8+ 14, , ,8709-1,8709X + 386,8405 c) (-0,9015) 81,7% 0,817 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

14 Professor Maurco Lutz 14 d) Para X60 temos: -1, , ,5867 Para X10 temos: -1, , ,338 6) Pretededo-se estudar a relação etre as varáves cosumo de eerga elétrca ( ) e volume de produção as empresas dustras ( ), fez-se uma amostragem que clu vte empresas, computado-se os segutes valores: 11, 34; 0, 70; 1, 16; 84, 96 e, 13. Determe: a) O calculo do coefcete de correlação; b) A equação de regressão de para X; c) A equação de regressão de X para. a) r r -( )(. ) -( ). - [ ][ ( ) ] 01,16 -( 11,34) (44,6)- (34,738) [ 43,- 18,5956] [ 1699,- 48,49] (0,13) - (11,34 0,70) [ ] [ 084,96-( 0,70) ] 07,86 114, ,71 07,86 381, (0,13) - (11,34 0,70) 44,6-34,738 a - (11,34) 43,- 18,5956 b) ( 01,16) b 1,035- (1,8137 0,567) 1,035-1,084 0, ,86 114,6040 1,8137-1,8137 X + 0,0066 c) 11, 34; 0, 70 ; 1, 16 ; 84, 96 e, 13. (0,13) - (11,34 0,70) 44,6-34,738 a - (0,70) 1699,- 48,49 ( 084,96) b 0,567- (0,16361,035) 0,567-0,1693 0, ,86 170,71 0,1636 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

15 Professor Maurco Lutz 15 X 0, ,3977 7) Vamos supor que esta uma relação lear etre as varáves: X despesas em propagada e vedas de certo produto. Cosderado os dados abao: X 1,5 5,5 10,0 3,0 7,5 5,0 13,0 4,0 9,0 1,5 15, Determe: a) Faça o dagrama de dspersão. b) Calcule o coefcete de correlação de Pearso. c) Estabeleça a equação da reta ajustada. d) Calcular o valor de vedas para um gasto com propagada de 4,5. e) Calcule o coefcete de determação e terprete-o. a). 1, , , , , , , , , , , , , , , Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

16 Professor Maurco Lutz 16 b) r r -( )(. ) -( ). - [ ][ ( ) ] ( 86) (14665)- (184900) [ ] [ ] ( ) - (86150) [ ] [ ( 150) ] ,5 0,9451 ( ) - (86150) a - (86) c) ( 11870) b 195, , , , ,6914X + 88,4131 d) Quado X4,5 temos: 13,6914X + 88, ,69144,5+ 88, ,041 e) (0,9451) 89,3% 0,893 89,3% das vedas é eplcada pela propagada, os outros 10,7% é devdo a outros fatores. Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

17 Professor Maurco Lutz 17 8) Para uma empresa mater-se compettva, gastos de pesqusa e desevolvmeto (P & D) são essecas. Para determar o ível ótmo de gastos em P & D e seu efeto sobre o valor da empresa, fo aplcada aálse de regressão lear smples, ode: razão etre preços e gahos e X razão etre gastos com P & D e vedas. Os dados das 0 empresas usadas o estudo são os segutes: Empresas X Empresas X Empresas X Empresas X 1 5,6 0, , 0, ,4 0, ,5 0,083 7, 0, ,3 0, ,1 0, ,8 0, ,1 0, ,0 0, ,1 0, ,1 0,09 4 9,9 0,01 9 8,5 0, , 0, ,0 0, ,0 0, , 0, ,4 0, ,9 0,08 a) Costrur o dagrama de dspersão. b) Calcule o coefcete de correlação de Pearso. c) Estabelecer a equação da reta ajustada. d) Usar a equação obtda pra prever o valor de, quado X $0,070. e) Calcule o coefcete de determação. a). 0,003 5,6 0,0168 0, ,36 0,004 7, 0,088 0, ,84 0,009 8,1 0,079 0, ,61 0,01 9,9 0,079 0, ,01 0,03 6,0 0,1380 0, ,030 8, 0,460 0, ,4 0,035 6,3 0,05 0, ,69 0,037 10,0 0,3700 0, ,044 8,5 0,3740 0, ,5 0,051 13, 0,673 0, ,4 0,058 8,4 0,487 0, ,56 0,058 11,1 0,6438 0, ,1 0,067 11,1 0,7437 0, ,1 0,080 13, 1,0560 0, ,4 0,080 13,4 1,070 0, ,56 0,083 11,5 0,9545 0, ,5 0,091 9,8 0,8918 0, ,04 0,09 16,1 1,481 0, ,1 0,064 7,0 0,4480 0, ,08 5,9 0,165 0, ,81 0, , 5 10, 915 0, , 33 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)

18 Professor Maurco Lutz 18 b) r r -( )(. ) -( ). - [ ][ ( ) ] 00, ( 0,958) (05,83)- (18,499) [ 1,376-0,917764] [ 39566,6-3690,5] (010,915)- (0,958190,5) [ ] [ 01978,33-( 190,5) ] 3,331 0, ,5 3,331 3,1533 0,76 (010,915)- (0,958190,5) 05,83-18,499 a - (0,958) 1,376-0, c) ( 00,061638) b 9,56-74,06760,0479 9,56-3, ,977 3,331 0, , ,0676X + 5,977 d) Quado X $0,070 temos: 74,0676X + 5,977 74,06760,070+ 5,977 5, ,977 11,1619 e) (0,76) 5,74% 0,574 Isttuto Federal farrouplha Campus Alegrete S 377 km 7 Passo Novo Foe/Fa: (55)