Construção e Análise de Gráficos

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1 Costrução e Aálse de Gráfcos Por que fazer gráfcos? Facldade de vsualzação de cojutos de dados Faclta a terpretação de dados Exemplos: Egehara Físca Ecooma Bologa Estatístca Y(udade y) Tabela X(udade x) 1

2 Porque fazer gráfcos a mão? Razões para fazer gráfcos maualmete Faclta a terpretação do dados Permte avalar a mão o comportameto de um cojuto de dados obtdos em campo Procedmeto para Fazer Gráfcos 1 (a) 1 (b) 1 8 Y Axs Ttle Y Axs Ttle X Axs Ttle,,,4,6,8 1, X Axs Ttle 1 8 (c) (d) Y Axs Ttle 6 4 Y Axs Ttle X Axs Ttle X Axs Ttle

3 Procedmeto para Fazer Gráfcos ,,,4,6,8 1, V ( m /s ) ,,,4,6,8 1, X (m) Procedmeto para Fazer Gráfcos V ( m /s ) 6 4,,,4,6,8 1, X (m) 3

4 Procedmeto para Fazer Gráfcos Método do BOM-SENSO Exstem outros mas são meos prátcos Materal Papel mlmetrado (vem aexo a prova) ATENÇÃO: O papel mlmetrado da prova está levemete fora de escala NÃO UTILIZE A RÉGUA PARA POSICIONAR OS PONTOS 1 a etapa Aálse dos Dados Dado o cojuto de dados que va ser colocado o gráfco Verfcar quem são: Gradeza Idepedete a ser colocada o exo x Gradeza Depedete a ser colocada o exo y Exemplo de cojuto de dados Num expermeto para a determação da desdade (em g/cm 3 )de um materal medu-se a massa (m) e o volume (V) de dferetes objetos costtuídos do mesmo materal. Nesta medda ossa gradeza depedete (Gx) é a massa e a ossa gradeza depedete (Gy) é o volume. Massa (g) Volume (cm 3 )

5 a etapa Motagem do exo-x Dados varam de 9 g até 55 g Lmte feror dos dados Escolho (zero) como orgem (arbtráro e coveete) Faclta a vda a hora de determar o coefcete lear Lmte superor dos dados Escolho 6 g por coveêca Etão: É mas fácl trabalhar com múltplos de 1 do que de 5 Exo x vara de g até 6 g Vou fazer dvsões desta escala de 1 em 1 g (6 dvsões) Podera ser de em g (3 dvsões muto pouco) Podera ser de 3 em 3 g ( dvsões meos ada) Ajustado a escala o papel mlmetrado Escolho a orgem Exagerado #!!??% Traço a reta (exo x) Marco as dvsões o exo x Ecoômco Marco as dvsões o exo x Esta ecooma de papel gera os segutes problemas Baxa qualdade do gráfco Dfculdade de localzar os potos Dfculdade a correção (ormalmete mplca em descoto de ota) 5

6 Ideal (este caso) m (g) Marco as dvsões o exo x muto mportate Neste caso cm = mm = 1 g logo 1 cm = 5 g e 1 mm = (1 g / mm) =,5 g e para facltar mm = 1 g Jamas Colocar dados o exo (9,, 8,..) Usar uma régua o mlmetrado da prova (está fora de escala) 3 a etapa Motagem do exo-y Dados varam de 49 cm 3 até 9 cm 3 Lmte feror dos dados Escolho (zero) como orgem (arbtráro e coveete) Não va mplcar em uma perda de espaço útl o papel Podera car em 4 cm 3 mas sto depedera das dvsoes empregadas Lmte superor dos dados Escolho 3 cm 3 por coveêca Etão: Exo y vara de cm 3 até 3 cm 3 Vou fazer dvsões desta escala de 5 em 5 cm 3 (6 dvsões) Podera ser de 5 em 5 cm 3 (1 dvsões excessvo) Podera ser de 1 em 1 cm 3 (3 dvsões muto pouco) 6

7 V (cm 3 ) 3 5 Dreto ao caso Ideal Nota-se um aprovetameto muto bom do espaço exstete Neste caso cm = mm = 5 cm 3 logo 1 mm = (5 cm 3 / mm) =,5 cm 3 e para facltar mm = 5 cm 3 Jamas Colocar dados o exo (49, 18, 155,.) Usar uma régua o mlmetrado da prova (está fora de escala) Marco as dvsões o exo y 4a etapa Plotado os potos m (g) Vol (cm 3 ) V (cm 3 ) m (g) 7

8 Algumas regras geras sobre gráfcos Gráfcos fetos a partr de dados obtdos o campo ou expermetalmete Empregar potos (símbolos) para os potos Exceção: Gráfcos com úmero excessvo de potos (espectros) Regressão Lear Bom Seso 3 5 Volume (cm 3 ) Massa (g) 8

9 Regressão Lear Bom Seso 3 5 Volume (cm 3 ) Massa (g) Regressão Lear Bom Seso 3 5 Volume (cm 3 ) Massa (g) 9

10 Regressão Lear Bom Seso 3 5 Volume (cm 3 ) Massa (g) Regressão Lear Bom Seso Equação da reta: Volume (cm 3 ) b Y = ax + b a = coef. agular b = coef. lear M1 tg α = a = Y/ X = V/ M = (V-V1)/(M-M1) Massa (g) V tg α = a V1 M coefcetes 1

11 Regressão Lear MMQ Expermeto Medda de gradezas físcas Apresetam relações de depedêca etre s Exemplo: MRUV r r r 1 r x = x + vt + at x = f(t) depedêca tpo fução do o grau O Método dos Mímos Quadrados (MMQ) Permte a obteção da equação que relacoa as gradezas físcas Isto é deomado por Regressão Softwares Matemátcos Permtem o cálculo dos parâmetros da regressão São os coefcetes umércos das equações Org (mas utlzado a dscpla) Desevolvmeto de programas FORTRAN, C, MATLAB, BASIC, Algus Exemplos Modelo do prmero grau (reta): y = ax + b ; parâmetros a determar: a e b. Modelo do segudo grau: y = ax + bx + c ; parâmetros a determar: a, b e c. Modelo do tercero grau: 3 y = ax + bx + cx + d ; parâmetros a determar: a, b, c e d. Modelo expoecal: cx y = a+ be ; parâmetros a determar: a, b e c. Nesta dscpla Modelo Lear MMQ Regressão Lear Exemplo Supodo que em determada prátca foram meddos os valores de duas gradezas físcas x e y ode, prevamete, é sabdo que elas se relacoam segudo um modelo do prmero grau. Com os dados meddos fo motada a tabela: Y y 1 y y 3... y X x 1 x x 3... x Gráfco dos potos meddos y x 11

12 Procura-se uma reta que relacoe a gradeza físca represetada o exo y em fução da gradeza físca represetada o exo x Em prcípo são ftas as retas que podem ser traçadas de maera a represetar o comportameto dos potos do gráfco. Se cada um dos aluos da classe traçar uma reta, usado um crtéro subjetvo, serão úmeras as retas obtdas. MMQ Atrbu crtéros para que seja possível a obteção de uma úca reta Idepedetemete de quem a determa (a meos dos arredodametos). O prcpal crtéro A soma dos quadrados dos desvos seja míma. O desvo δ é a dfereça etre o valor meddo x e o valor médo δ x = ( x x) Determação dos coefcetes O coefcete agular é determado por δ y. δ x δ y. δ x a = = = 1 = 1 δ x. δ x δ x = 1 = 1 δ x = ( x x ) o coefcete lear é dado por b = a x + y y tg α = a 4 b x 1

13 Motagem da tabela de MMQ Dados m(g) Vol (cm 3 ) x(m(g)) y(vol((cm 3 )) δ x = ( x x ) δ y = ( y y ) δ x. δ y δ x ,4-99,8 35,9 416, ,4-5,8 443,5 7, ,4 4, -1,8 5, ,6 54, 68,7 134, ,6 94, 1846,3 384,16 x = 3,4 y = 15,8 Σ = 4944,4 Σ = 111, Determação dos coefcetes O coefcete agular é determado por o coefcete lear é dado por δ y. δ x δ y. δ x a = = = 1 = 1 δ x. δ x δ x = 1 = 1 b = a x + y a = δy. δx δx. δx 4944,4 g. cm 111, g 3 = 1 = = = 1 3 4,9cm / g b = 15,8 cm 3 - [4,9 (cm 3 /g) 3,4 (g)] = 1,84 cm 3 13

14 Regressão Lear MMQ 3 5 Equação da reta: Y = ax + b = 4,9X + 1,84 (X,Y) Volume (cm 3 ) (X1,Y1) Massa (g) Também é possível determar o parâmetro a (coefcete agular) pela equação: a x. y x. = 1 = 1 = 1 =. x ( x ) = 1 = 1 Para facltar o uso desta equação, sugere-se a tabela a segur. y x x x.y 4, 1 5,8 8,6 3 1,4 4 1, 5 y y x x xy 14

15 FIM 15

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