CAPITULO 1 CONCEITOS BÁSICOS

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1 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br ÍDICE CAPITULO 1 COCEITOS BÁSICOS ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESTATÍSTICA IFERECIAL POPULAÇÃO OU UIVERSO CESO AMOSTRA EPERIMETO ALEATÓRIO EPERIMETO DETERMIÍSTICO... 3 CAPÍTULO DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA DADOS ESTATÍSTICOS DADOS BRUTOS ROL DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA ELEMETOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA... 4 CAPITULO 3 MEDIDAS DE POSIÇÃO ITRODUÇÃO MÉDIA ARITMÉTICA ( ) MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIAS DADOS AGRUPADOS COFORME UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIAS POR CLASSE PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA CAPÍTULO 4 MODA (Mo) MODA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS MODA PARA DADOS AGRUPADOS MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE DETERMIAÇÃO GRÁFICA DA MODA A MODA A CURVA DE FREQÜÊCIA CAPÍTULO 5 MEDIAA (Md) MEDIAA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS MEDIAA PARA DADOS AGRUPADOS MEDIAA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR VALOR MEDIAA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE RELAÇÃO ETRE A MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIAA E MODA

2 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br CAPÍTULO 6 SEPARATRIZES QUARTIS DECIS PERCETIS... 3 CAPÍTULO 7 OUTRAS MÉDIAS MÉDIA GEOMÉTRICA (G) MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS AGRUPADOS MÉDIA HARMÔICA (H) MÉDIA HARMÔICA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS MÉDIA HARMÔICA PARA DADOS AGRUPADOS... 4 CAPÍTULO 8 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE AMPLITUDE TOTAL DADOS ÃO AGRUPADOS PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE VARIÂCIA E DESVIO PADRÃO PARA DADOS ÃO AGRUPADOS PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS DO DESVIO PADRÃO... 9 Capítulo 9 TESTES DE ESTATÍSTICA Capítulo 10 BATERIA DE EERCÍCIOS RESOLVIDOS E COMETADOS BATERIA BATERIA BATERIA BATERIA

3 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA Captulo 1 COCEITOS BÁSICOS 1.1 ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Portato, são mutas as dfculdades para a realzação de um ceso, logo, os geralmete utlzamos os processos de amostragem. 1.6 AMOSTRA Amostra é qualquer subcojuto ão vazo da população. A estatístca costtu uma parte da matemátca aplcada que tem como faldade obter coclusões sobre os verdaderos parâmetros do uverso, utlzado para sso a coleta, a orgazação, a descrção, a aálse e a terpretação dos dados. 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA É o ramo da estatístca que se preocupa apeas em descrever os dados observados da amostra, sem se preocupar em fazer prevsões sobre os parâmetros do uverso. a estatístca descrtva temos a coleta, orgazação e descrção dos dados. 1.3 ESTATÍSTICA IFERECIAL A estatístca ferecal ou estatístca dutva é a parte mas mportate da estatístca, pos é a ferêca estatístca que permte a aálse e a terpretação dos dados através de estmatvas de parâmetros do uverso. 1.4 POPULAÇÃO OU UIVERSO É qualquer cojuto de elemetos ou dvíduos, com pelo meos uma característca comum ao objeto em estudo. Exemplo: A população de alturas dos caddatos ao cocurso de AFRF/000; A população de escolas de estatístca o Brasl em 000; A população de computadores em São Paulo. A população pode ser dta fta ou fta coforme o úmero de elemetos que possu. Por exemplo a população dos pesos dos caddatos ao cocurso do ICMS/00 é fta. Porém se cada aluo é sorteado e recolocado o cojuto para ovo sorteo, teríamos a população de pesos fta. a prátca cosderamos como ftas aquelas populações com úmero de elemetos muto grade. 1.5 CESO O ceso é o processo que cosste o exame de todos os elemetos da população. a prátca, a coleta de dados sobre a população requer: I Dspobldade de tempo III Precsão dos dados coletados III Recursos faceros IV Plaejameto das etapas de coleta Para a seleção da amostra devemos tomar cudado para que a amostra seja represetatva da população, cosderado a aleatoredade da seleção e o tamaho da amostra. 1.7 EPERIMETO ALEATÓRIO Expermetos Aleatóros são aqueles que, repetdos as mesmas codções, produzem resultados possíves e dferetes. Exemplo: O laçameto de uma moeda hoesta váras vezes as mesmas codções, produz cara ou coroa como resultado, que só pode ser cohecdo após o laçameto. 1.8 EPERIMETO DETERMIÍSTICO Quado o resultado do expermeto já está determado ates de sua realzação, portato ão teressa ao estudo da Estatístca. Capítulo DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA.1 DADOS ESTATÍSTICOS Dados estatístcos são todas as formações levatadas (coletadas) que servrão como base para o estudo e aálse estatístca e que chamaremos de Dados.. DADOS BRUTOS Dados Brutos são dados calmete coletados que ada ão foram orgazados sstematcamete..3 ROL Rol é qualquer arrajo de dados brutos em ordem crescete ou decrescete..4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA A Dstrbução de Freqüêca é uma dsposção de dados umércos, de acordo com o tamaho ou magtude dos mesmos. este tpo de sére ão varam local, tempo e o fato. A dstrbução de freqüêca pode ser apresetada por valor (úco) ou por grupo de escalares (classes), dscrmado a freqüêca dos mesmos. 3

4 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Exemplo: título a) Dstrbução de freqüêca por valor: OTAS DOS APROVADOS O AFRF/000-SP OTAS FREQÜÊCIAS cabeçalho TOTAL 50 FOTE: ALUO rodapé b) Dstrbução de freqüêca por classe: OTAS DOS APROVADOS O AFRF/000-SP Descrevemos a segur cada colua: a) Classe de Freqüêca As classes de freqüêca são os tervalos em que a varável ota fo agrupada. Exemplo: represeta as otas desde 0 até quase 0 b) Lmtes de uma Classe ( l I, L S ) Os lmtes de classe são os valores ífmo e supremo da classe, sedo que o lmte feror ( l I ) o ífmo da classe e lmte superor ( L S ) o supremo da classe. Assm teremos: O lmte feror da ª classe é 0 O lmte superor da 3ª classe é 60 c) Itervalo de classe (ampltude de classe) h É a dfereça etre o lmte superor real da classe e o lmte feror real da classe. h L S l I OTAS FREQÜÊCIAS classes Obs: Quado o lmte feror da classe cocde com o lmte superor da classe ateror, ele é chamado de lmte real. Caso cotráro será chamado de lmte aparete, e o lmte real será a méda artmétca etre eles TOTAL 100 Obs.: E I I E I I E Excludo E E I Icludo FOTE: ALUO d) Ampltude Total ( AT ) É a dfereça etre o maor valor e o meor valor da amostra. o exemplo acma: AT ELEMETOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA e) Poto médo da classe É a méda artmétca etre o lmte feror real e o lmte superor real A Tabela abaxo represeta as otas de100 aluos aprovados o cocurso de AFT/94 em São Paulo. OTAS DOS ALUOS APROVADOS O COCURSO AFT/94-SP Freq. Acumuladas OTAS f F r F r (%) Abaxo de A partr de ,10 10% ,15 15% ,50 50% ,0 0% ,05 5% TOTAL 100 1,00 100% l L I S f) Freqüêca absoluta smples ( f ) Freqüêca absoluta é o úmero de observações que ocorreram em determada classe. o exemplo acma a Freqüêca absoluta ou smplesmete Freqüêca da 3ª classe é 50. 4

5 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br g) Freqüêca Total ( ) A Freqüêca total é a soma de todas as freqüêcas absolutas. k f 1 { k º de classes ode f Freqüêca absoluta da -ésma classe Freqüêca total. h) Freqüêcas Acumuladas Freqüêca Acumulada Crescete ( ou Freqüêca acumulada abaxo de, ou Freqüêca acumulada até ) que represetaremos por F é a soma das freqüêcas absolutas aterores de uma determada AC classe. Por exemplo, a tabela acma, a Freqüêca acumulada crescete da 3ª classe é a Freqüêca acumulada abaxo de 60 que é Como a classe é do tpo (40 60) poderíamos falar em Freqüêca acumulada crescete como sedo a Freqüêca acumulada até 60, que é: Freqüêca Acumulada Decrescete (ou Freqüêca acumulada a partr de, ou Freqüêca acumulada acma de ) que represetaríamos por F é a soma das freqüêcas AC absolutas acma de determado valor de classe. Assm, a Freqüêca acumulada decrescete de 3ª classe é a Freqüêca acumulada a partr de 40, que dá 75. Se a classe fosse do tpo (40 60) poderíamos falar em freqüêca acumu-lada decrescete como sedo freqüêca acumulada decrescete acma 40, sera: ) Freqüêca Relatva ( f r ) É a razão etre a Freqüêca absoluta e a Freqüêca total f f r ou f f r f Portato, a Freqüêca relatva da 4ª classe é 0 0,0, podemos repre-setar a Freqüêca relatva em porcetagem que sera 0% e a somatóra da 100 freqüêca absoluta gual a 1ou 100% ORMAS PARA APRESETAÇÃO TABULAR DE DADOS A apresetação tabular é a apresetação dos dados (ou resultados) de determado assuto de modo stétco a fm de se obter uma vsão global do que vamos aalsar. Exemplo: CADIDATOS APROVADOS O AFRF/000 POR ESTA- DO DO BRASIL Cabeçalho Rodapé SÉRIES ESTATÍSTICAS Chamamos de sére estatístca ao quadro de dstrbução de dados estatístcas em fução da época, do local ou da espéce do feômeo. Sedo assm teremos: a) sére hstórca, ou temporal, ou croológca Aquela em que a varável é o tempo, permaecedo fxos o local e a espéce do feômeo. Exemplo: EPORTAÇÕES BRASILEIRAS DE CARROS ETRE AOS ESTADOS VALOR (US$ 1 MILHÃO) FOTE: BACO DO BRASIL Título CADIDATOS MARAHÃO 50 PIAUÍ 100 CEARÁ 10 R. G. DO ORTE 40 PARAÍBA 110 MIAS GERAIS 80 SÃO PAULO 00 RIO DE JAEIRO 50 R. G. DO SUL 50 TOTAL 1000 FOTE : CURSO PRÉ-FISCAL Corpo 5

6 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br b) Sére terrtoral, ou geográfca, ou de localzação Aquela em que a varável é o local, permaecedo fxos o tempo e a espéce do feômeo. Exemplo: EPORTAÇÕES BRASILEIRAS 000 PAÍSES DE DESTIO VALOR (US$ 1 MILHÃO) ESTADOS UIDOS 00 CAADÁ 100 ALEMAHA 150 ITÁLIA 100 IGLATERRA 300 FOTE: BACO DO BRASIL c) Sére categórca, ou específca Aquela em que varam as espéces ou categórca do feômeo matedo-se fxos o tempo e o local. Exemplo: REBAHO BRASILEIRO ESPÉCIE QUATIDADE (1.000 CABEÇAS) BOVIOS SUÍOS OVIOS.000 CAPRIOS FOTE: MIISTÉRIO DA ECOOMIA d) Sére cojugada Chamamos de séres cojugadas aquelas ode são cruzados (dos) ou mas tpos de séres, podedo ter, assm, duas ou mas etradas. Exemplo: POPULAÇÃO DE CÃES BRASILEIROS (100 UIDADES) UID. DA FEDERAÇÃO AOS AMAZOAS MARAHÃO SÃO PAULO FOTE: IBGE A tabela acma é chamada de dupla etrada, pos podemos cosultá-la o setdo horzotal ou o setdo vertcal. REPRESETAÇÃO GRÁFICA Prmeramete veremos a represetação gráfca de uma dstrbução de Freqüêca. a) Hstograma É a represetação gráfca de uma dstrbução de Freqüêca através de retâgulos justapostos de forma que a área de cada retâgulo é proporcoal à Freqüêca da classe que ele represeta e as bases de cada retâgulo guas às ampltudes das classes que elas represetam. Exemplo: Seja a dstrbução de freqüêca: CLASSES f F AC F AC , , , , , , Total 130 Etão teremos o hstograma: classes b) Polígoo de freqüêca É o gráfco obtdo quado se ue os potos médos das bases superores dos retâgulos de um hstograma, através de segmetos de retas cosecutvos Exemplo: O polígoo de Freqüêca o exemplo ateror sera: ,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 classes 6

7 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br obs: Para falmete fechar o polígoo de Freqüêca devemos ur os potos do polígoo aos potos médos das classes ateror e posteror supostas, até atgr os lmtes e superfíces correspodetes. c) Ogvas Decrescetes É o gráfco costruído através da freqüêca acumulada decrescete. c) Ogvas Crescetes. É o gráfco costruído através da freqüêca acumulada crescete classes classes Obs.: Orgvas Crescetes e Decrescetes se cruzam a medaa. 7

8 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br GRÁFICOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS Aotações: a) Gráfco de Barras (ou coluas) São gráfcos que utlzam barras horzotas ou vertcas para represetar a magtude dos dados estatístcos. Exemplo: Produção de carros São Paulo Espéce Produção (ml) Camhão Fusca Gol BMW Camhão Fusca Gol BMW Obs.: Pode também ser feto a vertcal. b) Gráfcos Pctórcos São gráfcos que utlzam fguras para represetar a magtude dos dados. c) Gráfcos de Setores São gráfcos que evdecam uma parte do todo. Exemplo: Aprovados o ISS/00 Estados Aprovados RJ 50 SP 500 MG 150 RS 00 CE 100 Fote: ESAF Modo de Calcular: RJ º 50 18º CE RJ MG RS SP 8

9 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Capítulo 3 MEDIDAS DE POSIÇÃO 3.1 ITRODUÇÃO As meddas de posção rão os mostrar como estão cocetrados os ossos dados. Essas meddas dvdem-se em meddas de tedêca cetral, que se caracterzam pelo fato dos dados tederem a se cocetrar em valores cetras, e as meddas cohecdas como separatrzes. Sedo assm teremos: MEDIDAS DE POSIÇÃO Icalmete veremos as meddas de tedêca cetral. 3. MÉDIA ARITMÉTICA ( ) Chamamos de méda artmétca a razão etre a soma dos dados assumdos pela varável e o úmero de dados cosderados. Sedo assm temos: 1 ode: méda artmétca os valores observados da varável úmero de valores Obs: Meddas de tedêca Cetral Separatrzes Aotação sgfca a soma de todos os valores s para varado de 1 até. Isto 1 é, Méda Artmétca Medaa Moda Medaa quarts cets percets 3..1 MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS o caso dos dados ão estarem agrupados em uma dstrbução, teremos a fórmula semelhate à da defção. Exemplo 1: Sabedo que a produção de pães dára em uma padara, durate uma semaa fo, 105, 10, 108, 104, 106, 107 e 103 pães, temos a produção méda da semaa como: pães Exemplo : O úmero de flhos de 5 fucoáros de uma empresa é 1, 9,, 8 e 0 flhos, temos que a méda de flhos, esse escrtóro, é flhos 3.. DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA Chamamos de desvo em relação à méda artmétca, ou smplesmete de desvo em relação à méda, a dfereça etre cada valor observado da varável e a sua méda artmétca. Isto é, Sedo 1,, 3,...,, os dados observados da varável e a respectva méda artmétca, E os desvos em relação a méda como sedo: d 1 1 d d d Teremos; d Ode d é o desvo do -ésmo dado em relação à méda artmétca. 9

10 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA Exemplo 3: PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Exemplo 5: Cosderado, o exemplo 1, teremos: 1 105, 10, 3 108, 4 104, 5 106, 6 107, Etão: d \ d 1 0 d \ d 3 d \ d 3 3 Cosderado o exemplo 3, temos: d 1 0 d 3 d 3 3 d 4 1 d 5 1 d 6 d 7 d \ d 4 1 d \ d 5 1 d \ d 6 7 d 1 0 d \ d 7 Exemplo 4: Cosderado o exemplo, temos: 1 1, 9, 3, 4 8, 5 0 e 4 d 1 1 \ d \ d 1 3 Exemplo 6: Cosderado o exemplo 4, temos: d 1 3 d 5 d 3 d 4 4 d 5 4 d \ d 9 4 \ d 5 d 3 3 \ d 3 4 \ d 3 5 d 1 0 d 4 4 \ d \ d 4 4 d 5 5 \ d \ d 5 4 ª. PROPRIEDADE Somado-se (ou subtrado-se) uma costate (K) a todos os valores de uma varável, a ova méda artmétca se altera, fca aumetada (ou dmuda) da costate ( K ) Isto é: 3..3 PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA Saletamos que este poto é muto freqüete em provas de cocursos públcos. 1ª. PROPRIEDADE A soma de todos os desvos em relação à méda artmétca é sempre gual a zero. Isto é: d 0 OU ( ) Se ± K etão ± K Exemplo 7: Supoha que o padero do exemplo 1 resolve aumetar a produção dára da sua padara em mas 10 pães por da. Assm, temos: 1 105, 10, 3 108, 4 104, 5 106, 6 107, aumetado em 10 pães por da, teríamos: 1 115, 11, 3 118, 4 114, 5 116, 6 117, Observe que 10, logo 10 \ pães 10

11 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Exemplo 8: Supohamos que cada fucoáro do exemplo tvesse mas 3 flhos, etão: 1 1, 9, 3, 4 8, 5 0 Aumetado em mas 3 flhos, cada fucoáro, teríamos 1 4, 1, 3 5, 4 11, 5 3 Observe que 3 Logo 3 \ 4 3 \ 7 flhos 3ª. PROPRIEDADE Multplcado-se (ou dvddo-se) por uma costate ( K ), todos os valores de uma varável, a ova méda artmétca se altera, fca multplcada (ou dvdda) pela costate. Isto é: Se K etão K Se Exemplo 9: K etão ( K ¹ 0 ) K Supoha que o padero gostara de dobrar a produção dára de pães, etão teríamos: 1 105, 10, 3 108, 4 104, 5 106, 6 107, dobrado a produção dára, teríamos: 1 10, 04, 3 16, 4 08, 5 1, 6 14, 7 06 Observe que Logo \ 105 \ Exemplo 10: 10 pães Supohamos que os fucoáros do exemplo trplcassem o º de flhos, daí, 1 1, 9, 3, 4 8, 5 0 Trplcado o º de flhos, teríamos: 1 3, 7, 3 6, 4 4, 5 0 Observe que: 3 Logo 3 \ 4 \ 1 flhos 3.3 MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS COSIDERE OS DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA ABAIO: VALORES ( ) FREQÜÊCIA ABSOLUTA (f ) 1 f 1 f 3 f k f k K Total f 1 Etão a méda artmétca da dstrbução acma terá a segute fórmula: K f 1 K f 1 A partr desse poto remos suprmr os ídces o símbolo de somatóro para facltar a otação, sedo assm, teremos: Exemplo 11: f f ou f Cosderemos a dstrbução do úmero de flhos de uma determada classe de aluos ÚMEROS DE FILHOS ( ) ALUOS ( f ) Total 50 11

12 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Etão o método mas fácl de se calcular a méda é fazer mas uma colua f, sto é: Etão, temos: f f Total f 100 f f e f 50, logo flhos COSIDEREMOS AGORA OS DADOS AGRUPADOS ABAIO COFORME UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE Classes Freqüêcas aparetes ( f ) l 1 L 1 f 1 l L f l 3 L 3 f l k L k f k Total f Exemplo 1: Cosdere as otas de 100 aluos aprovados em cocurso públco. OTAS ( ) ALUOS ( f ) Total 100 Etão a méda artmétca para a dstrbução de freqüêca em classe acma terá a segute fórmula: f f ode poto médo da -ésma classe. Exemplo 13: Cosdere as alturas de 50 dvíduos de uma empresa, coforme a dstrbução abaxo: Alturas (cm) Idvíduos ( f ) Etão vamos cosderar mas uma colua de f f f Total Total 50 Etão o método mas fácl é cosderar duas coluas, dos potos médos ( ) e do produto do poto médo pela freqüêca absoluta ( f ), sto é, Logo: f 549 f f e f 100, logo 5,49 Classe f f Total

13 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Temos, etão: f Exemplo 14: f f e f 50, logo 175 cm Cosdere os saláros de 100 fucoáros de uma empresa, coforme a dstrbução abaxo: Saláros Mímos ( S.M.) Fucoáros ( f ) Total 100 Cosderado etão mas duas coluas, dos potos médos ( ) e do produto do poto médo pela freqüêca absoluta ( f ), temos: Classe (SM) f f Total Temos, etão: f 390 f f f 100, ,9 saláros mímos e logo PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA Como geralmete o cálculo da méda artmétca em dstrbução de freqüêca por classe é trabalhoso, vetaram um processo, que cosste em mudar a varável orgal por outro, de modo que obedeça a segute relação: 0 h Ode 0 é uma costate arbtrára escolhda coveetemete etre os valores dos potos médos, geralmete o da classe que possu a maor freqüêca. Através da relação acma podemos chegar a segute fórmula: Exemplo 15: 0 Vamos cosderar o exemplo 13 ( f ) f Alturas (cm) Idvíduos ( f ) Total 50 Observado a colua de potos médos ( ), temos que o poto médo da classe de maor freqüêca é o valor 175, portato e h 10 (tervalo de classe). Logo os valores de, serão: h h h h h h Logo, vamos costrur a tabela de cálculos Classes f f Total

14 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Temos, etão: ( f ) f f cm Exemplo 16: Cosderemos o exemplo 14: Classe (SM) f Total 100 Aalogamete teremos 0 3, h h f Como : 0 3, Temos : 3 0, h, ( f ) 0 f ( f ) h 45, f 100 3,9 saláros mímos OBSERVAÇÕES IMPORTATES SOBRE A MÉDIA ARITMÉTICA 1) A méda sofre fluêca de valores extremos (pequeos ou grades) da dstrbução. ) Quato à propredade 1, observe que a soma dos desvos em relação à méda artmétca tem a segute otação: Sd 0 ou S ( ) 0 para dados ão agrupados. Sd f 0 ou S ( ) f 0 para dados agrupados h 3 3 h h ) O processo breve pode ser usado o caso dos dados ão estarem agrupados em uma dstrbução de freqüêca por classe, basta fazer h 1. 4) A méda artmétca represeta o cetro de massa dos dados. 4 4 h ) A méda artmétca, o caso de dados agrupados, é a méda poderada pelas freqüêcas absolutas. 5 5 h Costrudo a tabela de cálculo temos: Classes (SM) f f Total

15 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Capítulo 4 MODA (M O ) Chamamos de moda o valor ou atrbuto que ocorre com maor freqüêca em uma dstrbução. Por exemplo, a ota modal dos aluos de um cocurso é a ota mas comum, sto é, a ota que a maora dos aluos obtveram MODA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS Quado temos sére de valores ão agrupados, a moda é faclmete ecotrada, pos pela defção, basta ecotrar o valor que mas se repete. Exemplo 17 4,, 6, 4, 3, 5, 7, 9, 4, 10, 8, 4, 3,, 4 Mo 4. (umodal) Exemplo 18 3,, 3, 4, 5, 3, 4,, 3,, 5,. este caso são dos valores ( e 3) que mas se repetem, e a mesma quatdade. Portato, dzemos que a dstrbução possu duas modas guas a e 3, e chamamos de bmodal. Exemplo ,, 3, 0, 7, 3,, 5, 1, 9, 15 Mo 1 Mo Mo 3 (multmodal) Exemplo 18., 0, 1, 3, 4, 15, 7 ão exste Moda (amodal) 4. - MODA PARA DADOS AGRUPADOS 4..1 MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA. Quado os dados estverem agrupados em uma dstrbução de freqüêca de valores, para acharmos a moda basta observar qual é o valor da varável que possu a maor freqüêca. Exemplo 19 Vamos cosderar a dstrbução do exemplo 11. úmero de flhos ( ) Aluos ( f ) Observamos que o valor flhos possu a maor freqüêca (0), logo a moda é flhos Exemplo 0 Vamos cosderar a dstrbução do exemplo 1. otas ( ) Aluos ( f ) Observamos que o valor da ota 6 possu a maor freqüêca (47), portato a ota modal é MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE Quado os dados estverem agrupados em dstrbução de freqüêca por classe, a moda estará evdetemete a classe que possu a maor freqüêca (classe modal). Se os dados forem agrupados em classe, perdemos o cohecmeto dos dados e os respectvos cálculos da méda, da moda e da medaa, esse caso, fazemos uma estmatva etre os lmtes ferores e superores da classe da mesma. o caso da moda, exstem 3 métodos de cálculo da moda: a) MODA BRUTA Chamaremos de moda bruta ao poto médo da classe modal (classe que cotém a maor freqüêca). Sedo assm teremos uma fórmula para a moda bruta: l* L * M 0 ode: l * lmte feror da classe modal L* lmte superor da classe modal Exemplo 1 Vamos cosderar a dstrbução do exemplo 13 Alturas (cm) Idvíduos (f )

16 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Temos que a classe modal é a classe , logo l * 170 e L* 180 e a moda bruta será: l* L* M0 M0 M cm Exemplo Vamos cosderar a dstrbução do exemplo 14 Saláros Mímos (SM) Fucoáros (f ) logo, classe modal: 4 l * L* 4 Moda bruta: M 0 4 b) MODA DE CZUBER M 0 3 saláros mímos Trata-se que uma estmatva, a classe modal, através de uma regra de três, que resulta a segute fórmula: M0 l * [ f f ] [ f f ] [ f f ] max max at at max h* ode: l * é o lmte feror da classe modal Exemplo 3 post f max é a freqüêca absoluta máxma (freqüêca de classe modal) f at é a freqüêca absoluta ateror à classe modal f post é a freqüêca posteror à classe modal h* tervalo da classe modal Vamos cosderar a dstrbução do exemplo 13. Alturas (cm) Idvíduos (f ) Etão, temos: Classe modal: l * 170, h* f max 0, f at 10 f pos 10 logo: M * 0 M0 M0 l [ f f ] [ f f ] [ f f ] max [ ] 0 max at [ 0 10 ] [ 0 10 ] M0 at h* max post M cm Exemplo 4 Vamos cosderar a dstrbução do exemplo 14 Saláros Mímos (SM) Fucoáros (f ) Classe modal: 4 l * h* 4 f max 40 f at 0 f post 0 M * 0 M0 l [ f f ] [ f f ] [ f f ] max [ ] 40 max at 0 [ 40 0 ] [ 40 0 ] M 0 3 saláros mímos at max h* post 16

17 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA c) MODA DE KIG PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br b) MODA CZUBER A fórmula da moda de Kg é também uma estmatva a classe modal, mas ão cosdera a freqüêca absoluta da classe modal. freqüêcas A B fpost * h* M 0 l fat fpost C D Exemplo 5 Cosderado os dados do exemplo 13 temos: l * 170 h* 10 f at 10 l * L* Moda de Czuber Classes Para achar a moda de Czuber o hstograma acma, basta descer uma perpedcular, a partr da tersecção dos segmetos AD e CB, ao exo horzotal das classes. f post 10 l M * 0 fpost h* fat fpost c) MODA DE KIG freqüêcas A B M M cm D` C D 4.3. DETERMIAÇÃO GRÁFICA DA MODA Podemos determar grafcamete a posção da moda o hstograma da dstrbução de freqüêca absoluta, como veremos a segur. a) MODA BRUTA l L* * C Moda de Kg Classes freqüêcas A B Para achar a moda de Kg o hstograma acma, basta ur os potos D C e verfcar a tersecção com o exo horzotal, ode D l * DL* e L*C Cl * 4.4. A MODA A CURVA DE FREQÜÊCIA. l * L* classes Moda bruta (M o ) a curva de freqüêca, a moda será o valor que correspode, o exo horzotal, ao poto de freqüêca máxma (vertcal). f UIMODAL (UMA MODA) Para achar a moda bruta o hstograma acma basta descer uma perpedcular, a partr do poto médo do segmeto AB, ao exo horzotal das classes. M o x 17

18 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA f BIMODAL (DUAS MODAS) PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Capítulo 5 MEDIAA (MD) A medaa é outra medda de posção, que represeta o valor que dvde a dstrbução em dos cojutos com o mesmo úmero de elemetos. --- M 01 M 0 x MULTIMODAL Md 5.1. MEDIAA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS A defção é bem clara e fácl de ser terpretada o caso de dados ão agrupados. Exemplo 6 Dado a sére de valores f M o1 M o M o3 x ATIMODAL ou AMODAL Md x 4, 1, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7 a medaa será fácl de ser detfcada após ecotrarmos o Rol. Rol: 3, 4, 5, 7, 8, 10, 1, 14, 15. Agora veremos qual é o valor cetral que dvde a dstrbução de forma que teha o mesmo º de elemetos à esquerda e à dreta desse valor. Logo a medaa é 8 (Md 8), pos temos quatros valores abaxo de 8 e quatro valores acma de 8. Observe que o exemplo acma hava 9 valores, e ove é um úmero ímpar. Portato, se o rol tem um úmero ímpar de dados a medaa será justamete o termo cetral. OBS.: 1. Em uma dstrbução smétrca e umodal a Méda Artmétca é gual a moda e gual a Medaa.. Em uma dstrbução smétrca e bmodal apeas a Méda Artmétca e a Medaa são guas. 3. Em uma dstrbução smétrca e multmodal a Méda Artmétca e a Medaa são guas e cocdem apeas como uma das modas. Se, porém, houvesse um úmero par de dados, a medaa, sera etão valor etre os dos termos cetras, e por coveção adotamos a medaa como sedo a méda artmétca etre os dos termos cetras. Exemplo 7 Dada a sére de valores 6, 4, 10, 5, 1, 3, 0, 7 Exstem 8 dados, como o úmero de dados é par, exstem dos termos cetras o Rol. Rol: 3, 4, 5, 6, 7, 10, 1, 0 termos cetras Logo a medaa será: Md 6 7 Md 6,5 18

19 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br RESUMIDO Se a sére possu elemetos teremos: a) Se for ímpar, exste um termo cetral o rol e este termo cetral do rol será justamete a medaa, que será calculada como sedo o 1 termo de ordem do rol. b) Se for par, exstem dos termos cetras o rol, e a medaa será a méda artmétca etre esses termos cetras, que será calculado como sedo a méda artmétca etre os termos de ordem e 1 Portato o exemplo 6, temos 9 (ímpar), logo, a 1 medaa será o 5º termo do rol, sto é, Md 5º termo do rol 8. o exemplo 7, termos 8 (par), logo a medaa será a º º méda artmétca etre o 4º e 5º termo do rol e Md 6,5 5.. MEDIAA PARA DADOS AGRUPADOS MEDIAA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR VALOR Vamos ver esta stuação através de um exemplo. Exemplo 8 º DE APROVADOS EM UM COCURSO, POR OTAS OTA APROVADOS TOTAL 51 Seja a freqüêca total f, portato 51 aprovados, sto é, exstem 51 dados, como 51 é ímpar exste 1 um termo cetral, que é o termo de ordem 6, o rol. Para ser fácl a detfcação dele vamos costrur a freqüêca acumulada crescete. ota freqüêca freq. Acum TOTAL 51 Observamos etão, a colua de freqüêca acumulada, que o 6º elemeto do rol é 8, logo Md 8. Se a freqüêca total () fosse par, procederíamos da segute forma, Exemplo 9 º de aprovados em um cocurso, por ota ota Aprovados TOTAL 50 Como a freqüêca total () é 50, exstem dos termos cetras (5º e 6º), logo costrudo a freqüêca acumulada teríamos. ota freqüêca freq. Acum TOTAL 50 Logo, a medaa será a méda artmétca etre os termos de ordem 5º e 6º 1, sto é, Md 7 8 Md 7,5 19

20 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br 5... MEDIAA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE Quado temos os dados agrupados em uma dstrbução de freqüêca por classe, teremos que determar qual será o poto do tervalo de classe em que está compreedda a medaa. Logo, precsamos achar qual a classe que cotém a medaa. Evdetemete a classe que cotém a medaa será a que correspode a freqüêca acumulada medatamete superor a. Tudo que fo dto acma está cosderado a fórmula abaxo: l Md * F AC.AT f * h* Ode: l* é o lmte feror da classe que cotém a medaa h* o tervalo da classe que cotém a medaa f* a freqüêca absoluta da classe que cotém a medaa Freqüêca total F AC. AT Freqüêca acumulada crescete ateror à classe que cotém a medaa. Exemplo 30 Cosderado o exemplo 13 Altura (Cm) Idvíduo (f ) TOTAL 50 Prmeramete precsamos fazer a freqüêca acumulada crescete. Alturas (Cm) Ìdvíduo (f ) Freq. Acum TOTAL 50 Daí, 50 \ 5, etão a classe que cotém a medaa será a classe , logo, l* 170 h* 10 f* 0 F 15 AC. AT Md l* Md Exemplo 31 F AC AT f * Md 175 cm Md 170 Cosderado os dados do exemplo 14 temos: [ 5 15 ] Saláros mímos (SM) Fucoáros TOTAL Prmeramete precsamos fazer a freqüêca acumulada crescete Saláros mímos (SM) Fucoáros Freq. Acum TOTAL 100 Daí, , e etão a classe que cotém a medaa será a classe 4, logo, l* h* f* 40 F 0 AC. AT Md l* Md Md [ 50 0 ] F AC.AT f * h* Md 3,5 saláros mímos 0

21 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br 5.3. RELAÇÃO ETRE A MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIAA E MODA Quado a dstrbução for umodal, sto é, a moda for úca teremos a segute stuação. Capítulo 6 SEPARATRIZES a) DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 6.1. QUARTIS (Q) Isto é, Md Mo Chamamos de quarts os valores que dvdem a dstrbução em quatro partes guas. Logo, teremos três quarts: Prmero quartl ( Q 1 ) será o valor que terá 5% dos dados à sua esquerda e 75% dos dados à sua dreta. SE A DISTRIBUIÇÃO É SIMÉTRICA E UIMODAL ETÃO: Md Mo Segudo quartl ( Q ) será o valor que terá 50% dos dados à sua esquerda e 50% dos dados à sua dreta. Portato o segudo quartl é a própra medaa. Tercero quartl ( Q 3 ) será o valor que terá 75% dos dados à sua esquerda e 5% dos dados à sua dreta logo. b) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA EGATIVA 5% 5% 5% 5% Isto é, < Md < Mo SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA EGATIVA E UIMODAL ETÃO: < Md < Mo Q 1 Q Q 3 Para calcular os quartl, basta, a fórmula da medaa, K substtur o por 4 c) DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA Q K l * K 4 F AC.AT f* h* ode K 1,, 3, daí teremos: Isto é, Mo < Md < Q 1 l * 4 F AC.AT f* h* SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA E UIMODAL ETÃO: Mo < Md < Q l * F AC.AT f* h* Q 3 l * 3 4 F AC.AT f* h* 1

22 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Exemplo 3 Cosderado os dados do exemplo 14 Saláros mímos (SM) Fucoáros Freq. Acum TOTAL 100 Cálculo do prmero quartl (Q 1 ): K 100 K Logo, a classe que cotém o prmero quartl será a classe 4. daí, l* h* f* 40 F 0 AC. AT Q1 l* Q1 4 [ 5 0 ] 40 F AC. AT f * * h Q 1 0,5 \ Q 1,5 saláros mímos Cálculo do segudo quartl (Q ) 100 K 50 Logo, a classe que cotém o prmero quartl será a classe 4. daí, l* h* f* 40 F 0 AC. AT Q 3 l* Q 3 Q Q 3 4 1,5 [ ] F AC. AT f * Q 3 5,5 saláros mímos h* Obs.: A Medaa será sempre gual ao º quartl. 6.. DECIS (D) Chamamos de decs os valores que dvdem a dstrbução em dez partes guas. Logo, teremos ove decs: O prmero decl ( D 1 ) será o valor que terá 10% dos dados à sua esquerda e 90% dos dados à sua dreta. O segudo decl ( D ) será o valor que terá 0% dos dados à sua esquerda e 80% dos dados à sua dreta. O tercero decl ( D 3 ) será o valor que terá 30% dos dados à sua esquerda e 70% dos dados à sua dreta e assm por date até... oo decl ( D 9 ) será o valor que terá 90% dos dados à sua esquerda e 10% dos dados à sua dreta. Q l* Q [ 50 0 ] 40 F AC. AT f * h* Q 1,5 \ Q 3,5 saláros mímos Cálculo do tercero quartl (Q 3 ) K K logo, a classe que cotém o tercero quartl será a classe 4 6. daí, l* 4 h* f* 0 F 0 AC. AT obs: logo: 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% D 1 D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 ote que o quto decl ( D 5 ), pela defção, cocde com a medaa. D K l * K 10 F AC.AT f* h* Para calcular os decs basta substtur a fórmula da medaa o por. K 10

23 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Exemplo 33 Saláros mímos (SM) Fucoáros Freq. Acum TOTAL 100 Calcular o oo decl ( D 9 ) K K Logo, a classe que cotém o oo decl será a classe 6 8, daí: l* 6 h* f* 15 F 80 AC. AT D 9 l* D [ ] 15 F AC. AT f* h* D D 9 6 1,33 \ D 9 7,33 saláros mímos Obs.: A Medaa será sempre gual ao 5º decl PERCETIS (P) Chamamos de percets os valores que dvdem a dstrbução em cem partes guas. Logo, teremos oveta e ove percets: O prmero percetl (P 1 ) será o valor que terá 1% dos dados à sua esquerda e 99% dos dados à sua dreta. O segudo percetl (P ) será o valor que terá % dos dados à sua esquerda e 98% dos dados à sua dreta. E assm por date até o oagésmo oo percetl (P 99 ) que será o valor que terá 99% dos dados à sua esquerda e 1% dos dados à sua dreta. Obs: Logo: ote que o ququagésmo percetl (P 50 ), pela defção, cocde com a medaa. P K Exemplo 34 l * K 100 F AC.AT f* h* Saláros mímos (SM) Fucoáros Freq. Acum TOTAL 100 Vamos calcular, por exemplo, o qüquagésmo quto percetl ( P 55 ) K K Logo, a classe que cotém o qüquagésmo quto percetl será a classe 4, daí: l * h* f* 40 F AC. AT * P55 l P55 P55 0 [ 55 0 ] FAC. AT. h* f* P55 P 55 3,75 saláros mímos 1,75 Obs.: A Medaa será sempre gual 50º percetl. Portato: Q D 5 P50 Md 1% 1% 1% 1% 1% 1% P 1 P P 3 P 4 P 8 P 99 Para calcular o percetl basta substtur a fórmula da K medaa o por 100 3

24 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Capítulo 7 OUTRAS MÉDIAS 17 G 17 G G, MÉDIA GEOMÉTRICA (G) MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS Sejam 1,, 3,..., dados ão agrupados, etão a méda geométrca será Exemplo 1 G 1 3 LL Calcular a méda geométrca dos dados:, 8, 4, 16, 1. 5 G 5 G 5 G G G 4 Exemplo Calcular a méda geométrca de,6, G 6 8 G 96 \ G 4,5 Observe que é ecessáro o uso de máqua de calcular MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS AGRUPADOS G f1 f fk LL 1 K Exemplo 3 Calcular a méda geométrca f f TOTAL MÉDIA HARMÔICA (H) É o verso da méda artmétca dos versos dos dados MÉDIA HARMÔICA PARA DADOS ÃO AGRUPADOS Sejam 1,, 3,...,, dados ão agrupados. Etão a méda hamôca será: Exemplo 4 H 1 1 Calcule a méda harmôca dos dados:, 3, 4, 1. H H H H 1, MÉDIA HARMÔICA PARA DADOS Exemplo 5 H AGRUPADOS H K f 1 f 1 f , , ,5 1,5 TOTAL 17 7,5 f H Observação mportate: 17 7,5 H G H,34 4

25 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Capítulo 8 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE Exemplos: a) : 10, 10, 10, 10, 10 AT AT 0 (Dspersão ula) b) : 8, 9, 10, 11, DISPERSÃO OU VARIABILIDADE Já apredemos que um cojuto de dados pode ser resumdo a algus parâmetros de posção, como: a méda artmétca, a medaa e a moda, que através de suas característcas resumem formações mportates sobre todo o cojuto. Porém ão é o bastate para as meddas de posções, represetarem os dados, pos faltara a déa de cocetração (grau de homogeedade ou heterogeedade) que exstem etre os dados do cojuto. Por exemplo: : 10, 10, 10, 10, 10 : 8, 9, 10, 11, 1 Z:, 3, 10, 15, 0 observamos que as médas, e Z são 10, 10, Z 10 otamos etão, que apesar das três varáves,, Z terem a mesma méda artmétca, o cojuto é o mas homogêeo, pos todos os valores são guas a 10. Prossegudo etão, o cojuto é mas heterogêeo que o, sto é, os dados do cojuto são mas dspersos (tem maor dspersão ou varabldade) que os dados da varável. Daí, temos que, a dspersão de Z é maor que a dspersão de, que é mas dsperso que. Outro exemplo característco é aquele em que dos dvíduos saem para jatar e, um deles come um letão tero e o outro ão come ada. Em méda os dos comeram a metade do letão, cada um. Observe que esse caso a méda artmétca ão caracterza, sozha a stuação, pos a dspersão esta stuação é alta. Sedo assm os dos dvíduos morreram, um de fome e outro de dgestão. Cocluímos etão que para caracterzar os dados precsamos smultaeamete das meddas de posção e das meddas de dspersão que estudaremos a segur. 8.. AMPLITUDE TOTAL DADOS ÃO AGRUPADOS Chamamos de ampltude total (AT) a dfereça etre o maor e meor valor dos dados AT MA MI AT 1-8 AT 4 c) Z:, 3, 10, 15, 0 AT 0 - AT 18 Observamos, etão, que a maor dspersão é da varável Z (AT 18), e a meor dspersão é da varável (AT 0) PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA. Exemplo: AT Max M f AT 4 0 AT PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE A ampltude total é a dfereça etre o maor lmte superor e o meor lmte feror. Exemplo: AT L MA lmi Classes Freq AT 8 0 AT 8 OBS: A ampltude total ão é uma medda coveete de dspersão, pos cosdera somete os valores extremos da dstrbução. Portato sua aplcação é lmtada. 5

26 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA 8.3. VARIÂCIA E DESVIO PADRÃO PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br PROPRIEDADES o tópco ateror vmos que a ampltude total sofre fluêca apeas dos valores extremos, por sso procuramos uma medda de dspersão que cosdere todos os dados. A varâca é uma medda de dspersão que cosdera o quadrado dos desvos em toro da méda artmétca. Assm teremos: Isto é, σ 1 ( ) A varâca é a méda artmétca dos quadrados dos desvos em toro da méda artmétca. Obs: a) É fácl mostrar que: ( ) 1 1 Portato podemos escrever a varâca como: σ 1 Fórmula prátca b) Quado queremos estmar a varâca através de uma amostra, cosderamos como estmador ão tedecoso da varâca a estatístca S ( ) É fácl observar que se a varâca cosdera o quadrado dos desvos em toro da méda, a sua udade é o quadrado da udade orgal. Por sso, se crou a medda chamada de desvo padrão (σ), como sedo a raz quadrada do desvo padrão. σ 1 ( ) ou σ 1 a) Quado somamos (ou subtraímos) a todos os ossos dados uma costate (k), a varâca ão se altera, cotua a mesma. b) Quado somamos (ou subtraímos) a todos os ossos dados uma costate (K), o desvo padrão ão se altera, cotua o mesmo. c) Quado multplcamos (ou dvdmos) todos os ossos dados por uma costate (k), a ova varâca se altera, fca multplcada (ou dvdda) pelo quadrado da costate. d) Quado multplcamos (ou dvdmos) todos os ossos dados por uma costate (K), o ovo desvo padrão se altera, fca multplcado (ou dvddo) pelo valor absoluto da costate PARA DADOS ÃO AGRUPADOS σ σ σ σ VARIÂCIA 1 ( ) ou 1 ( ) ou 1 1 σ DESVIO PADRÃO ( σ ) (3) (1) () (4 ) 6

27 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Exemplo: Vamos aplcar as duas fórmulas para exemplfcar. Seja a varável : 0,, 4, 6, PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA Pela fórmula : 0,, 4, 6, 8 5 desvos: -4, -, 0,, desvo quadrado: 16, 4, 0, 4, 16 4 σ σ ( ) σ VARIÂCIA (σ ) σ σ 1 ( ) f ou f 1 Pela fórmula Ode f (Freqüêca Total) Exemplo: σ σ σ σ 8 Logo, vmos que a varâca (σ ) é 8. f Total 100 Vamos calcular a varâca usado as duas fórmulas, para exemplfcar 1ª solução: Prmeramete calculamos a méda artmétca. f f Para calcular o desvo padrão basta saber que o desvo padrão é a raz quadrada da varâca, daí σ 8 σ,83 f Total

28 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Prossegumos, o cálculo dos desvos e seus quadrados σ f ( ) ( ) f Total ( ) f σ σ 4,8 ª solução: Como já calculamos a méda artmétca, temos: σ σ f f Total f 1 0,8 16 σ σ 4,8 Para o cálculo do desvo padrão temos: σ σ 1 ( ) ou f f ( 4 ) PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DIS- VARIÂCIA ( ) ode: Exemplo: TRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIA POR CLASSE σ ( ) σ σ 1 ou f 1 f f (Freqüêca Total) poto médo da -ésma classe Cosdere as alturas de 50 aluos de uma turma, coforme a dstrbução abaxo: Alturas (cm) Aluos Total 50 Para exemplfcar vamos resolver pelas duas fórmulas. Prmeramete vamos calcular a méda artmétca. Alturas Aluos f Total Para calcular o desvo padrão basta achar a raz quadrada da varâca σ 4,8 σ,19 f cm 8

29 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br 1ª solução: Prossegumos o cálculo dos desvos e seus quadrados. Altura (cm) Aluos ( ) ( ) f Total σ 1 ( ) f σ 10 cm ª solução: Altura (cm) Aluos f Total σ σ f σ σ 10 cm Para o cálculo do desvo padrão temos: σ 1 1 ( ) ou f ( 175 ) PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS DO DESVIO PADRÃO Aalogamete ao cálculo do processo breve para a méda artmétca, mudamos a varáves x por y tal que y o ode: o é um valor arbtráro h tervalo de classe o exemplo ateror teríamos: h 10 o 175cm Alturas (cm) Aluos h f f Total σ h σ 10 σ 10 σ 10 f ,0 f σ 10,95 cm σ f 1 Mas para calcular o desvo padrão basta achar a raz quadrada da varâca. σ 10 σ 10,95 cm 9

30 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Aotações: 30

31 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br CAPÍTULO 9 - TESTES DE ESTATÍSTICA TESTE 1 Calcule a Méda Artmétca dos úmeros: 5, 9, 7, 1, 3. a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 TESTE Calcule a Méda Artmétca dos úmeros: 8,, 4, 6, 0. a) 4 b) c) 3 d) 5 e) 6 TESTE 3 Calcule a Méda Artmétca dos úmeros: 17, 15, 1, 3, 7, 6, 8, 11, 13. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 TESTE 6 Calcule a Méda Geométrca dos úmeros: 1, 9, 1, 3, 7, 9,3, 3, 1, 1. a) 9 b) 1 c) 3 d) 6 e) 8 TESTE 7 Calcule a Méda Harmôca dos úmeros:, 4, 6, 8. a) 3,84 b) 3,48 c) 4,83 d) 4,38 e) 8,43 TESTE 8 Calcule a Méda Geométrca dos úmeros:, 4, 6, 8. a) 4,4 b) 4,78 c) 5,00 d) 6,0 e) 5,5 TESTE 4 Calcule a Méda Geométrca dos úmeros: 1, 3, 6, 7. a) 6 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4 TESTE 5 Calcule a Méda Geométrca dos úmeros: 5, 1, 5, 15, 1, 1. a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 5 TESTE 9 Calcule a Méda Artmétca dos úmeros:, 4, 6, 8. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 TESTE 10 Os tervalos de classe podem ser apresetados de váras maeras. Detre stuações abaxo, a correta é: a) 6 compreede todos os valores etre e 6, clusve os extremos. b) I I 6 compreede todos os valores etre e 6, exclusve os extremos. c) I 6 compreede todos os valores etre e 6, exclusve o e clusve o 6. d) I 6 compreede todos os valores etre e 6, clusve o e exclusve o 6. e) 6 compreede todos os valores etre e 6, exclusve os extremos. 31

32 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br Cosdere a dstrbução de freqüêca trascrta a segur para respoder às questões 11 e 1. Peso (kg) Freqüêca smples Absoluta I I I I I 1 1 TESTE 11 a) 65% das observações têm peso ão feror a 4 kg e feror a 10 kg. b) Mas de 65% das observações têm peso maor ou gual a 4 kg. c) Meos de 0 observações têm peso gual ou superor a 4 kg. d) A soma dos potos médos dos tervalos de classe é feror ao tamaho da população. e) 8% das observações tem peso o tervalo de classe 8 I 10. TESTE 1 A Méda Artmétca da dstrbução é gual a: a) 5,7 kg b) 5,4kg c) 5,1 kg d) 5,19 kg e) 5,30 kg Cosdere a dstrbução de freqüêca trascrta a segur para respoder às questões 13 e 14. Dâmetro (cm) Freqüêca smples Absoluta 4 I I I I I 14 4 TESTE 13 a) A soma dos potos médos dos tervalos de classe é feror à soma das freqüêcas absolutas smples. b) 8% das observações estão o quarto tervalo de classe. c) Maos de 5 observações têm dâmetro abaxo de 10 cm. d) Mas de 85% das observações têm dâmetro ão feror a 6 cm. e) 75% das observações estão o tervalo 6 I 1. TESTE 14 A Méda Artmétca da dstrbução é gual a: a) 9,00 cm b) 8,80 cm c) 8,70 cm d) 8,90 cm e) 9,15 cm TESTE 15 Calcule a medaa : 4, 1, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7 TESTE 16 Calcule a medaa : 6, 4, 10, 5, 1, 3, 0, 7 TESTE 17 Calcule a medaa º DE APROVADOS EM UM COCURSO, POR OTAS OTA APROVADOS TOTAL 51 3

33 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 18 TESTE Calcule a medaa º de aprovados em um cocurso, por ota ota Aprovados TOTAL 50 TESTE 19 Calcule a medaa Altura (Cm) Idvíduo (f) TOTAL 50 TESTE 0 Calcule a medaa Saláros mímos (SM) TESTE 1 Fucoáros TOTAL 100 Calcule a méda artmétca da dstrbução abaxo: freq Total 9 a) 11,58 b) 11,00 c) 1,58 d) 1,00 e) 1,99 Seja a tabela abaxo: IDADE FREQ. ACUMULADA Calcule a méda artmétca: a) 3,75 b) 3,5 c) 3,00 d) 3,0 e),80 TESTE 3 Calcule a méda artmétca CLASSES FREQÜÊCIA a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) RA TESTE 4 O depósto em cadereta da poupaça o mês de março de 00 de 600 cletes de um baco ecotrase a tabela abaxo: DEPÓSITO EM R$ 1.000,00 º DE CLIETES ou mas 80 A porcetagem dos que depostaram R$ ,00 ou mas é: a) 50% b) 70% c) 60% d)30% e)80% 33

34 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 5 Calcule a medaa da dstrbução abaxo: f a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TESTE 6 Calcule a medaa da dstrbução abaxo: f a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TESTE 7 Calcule a medaa da dstrbução abaxo: CLASSE FREQÜÊCIA a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TESTE 8 Calcule a medaa da dstrbução abaxo: CLASSE FREQÜÊCIA Total 100 a) 4, 4 b) 3, 44 c) 4, 69 d) 3, 1 e) RA TESTE 9 A fm de mplemetar um projeto de stalação de parques fats em uma certa regão de uma cdade, fo selecoada uma amostra de 50 quadras das 300 exstetes a regão. A dstrbução da amostra é apresetada a segur: º DE CASAS º DE QUADRAS Total 50 A stalação dos parques deve ser cada pelas quadras mas populosas. Por lmtação de verbas, decdu-se beefcar somete as 50% mas populosas. O úmero mímo de casas que a quadra deverá ter para ser beefcada com a stalação de um parque fatl é: a) 5 b) 30 c) 3 d) 35 e) 38 34

35 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 30 TESTE 33 A tabela abaxo represeta os saláros pagos a 00 fucoáros de uma empresa. º de Saláros Mímos º de Fucoáros 0 ¾ 80 ¾ ¾ ¾ ¾ Total 00 Calcule: a) O saláro médo dos fucoáros. b) O saláro medao dos fucoáros c) A moda bruta d) A moda de czuber e) A moda de Kg TESTE 31 Seja a dstrbução de estatura de 300 aluos de uma turma. Estaturas(cm) Aluos 130 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Total 300 Calcule: a) A moda bruta b) A moda de Czuber c) A moda de kg TESTE 3 Seja a dstrbução de estatura de 400 aluos de uma turma. Estaturas(cm) Aluos 140 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Total 400 Calcule: a) A moda bruta b) A moda de Czuber c) O prmero quartl d) O segudo quartl e) O tercero quartl A tabela abaxo represeta os saláros pagos a 0 fucoáros de uma empresa. º de Saláros Mímos º de Fucoáros 0 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 50 1 Total 0 Calcule: a) O prmero quartl. b) O segudo quartl. c) O tercero quartl. d) O quarto decl. e) O quto decl. f) O oo decl. TESTE 34 Seja a dstrbução de estatura de 300 aluos de uma turma. Estaturas(cm) Aluos 130 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Total 300 Calcule: a) O otavo percetl. b) O 45º percetl. c) O 50º percetl. TESTE 35 Seja a dstrbução de estatura de 400 aluos de uma turma. Estaturas(cm) Aluos 140 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Total 400 Calcule: a) A méda artmétca. b) O desvo médo. c) A varâca. d) O desvo padrão 35

36 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 36 A tabela abaxo represeta os saláros pagos a 0 fucoáros de uma empresa. º de Saláros Mímos º de Fucoáros 0 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 50 1 Total 0 Calcule: a) A méda artmétca. b) O desvo médo. c) A varâca. d) O desvo padrão. TESTE 37 Seja a dstrbução de estatura de 40 aluos de uma turma. Estaturas(cm) Aluos 140 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Total 40 Calcule: a) A méda artmétca b) A medaa c) A moda bruta d) A moda de Czuber e) O º quartl f) O 5º decl g) O 50º percetl h) A varâca ) O desvo padrão TESTE 38 (AFRF-003) As realzações auas dos saláros auas de uma frma com empregados produzram as estatístcas S 1 R$14.300,00 0,5 ( ) R$1.00, 00 Seja P a proporção de empregados com saláros fora do tervalo [R$ 1.500,00; R$ ,00]. Assale a opção correta. a) P é o máxmo 1/ b) P é o máxmo 1/1,5 c) P é o mímo 1/ d) P é o máxmo 1/,5 e) P é o máxmo 1/0 TESTE 39 (ISS- ESAF) Sejam 1,, 3,... observações de um atrbuto. Sejam: e 1 S 1 ( ) 1 Assale a opção correta: a) Pelo meos 95% das observações de dferem de em valor absoluto por meos que S. b) Pelo meos 99% das observações de dferem de em valor absoluto por meos que S. c) Pelo meos 75% das observações de dferem de em valor absoluto por meos que S. d) Pelo meos 80% das observações de dferem de em valor absoluto por meos que S. e) Pelo meos 90% das observações de dferem de em valor absoluto por meos que S. TESTE 40 (SUSEP-ESAF) Seja uma varável aleatóra com valor esperado µ e desvo padrão. Pode-se afrmar que: a) Pelo meos 75% das observações de pertecerão ao tervalo. b) Pelo meos 80% das observações de pertecerão ao tervalo [ µ σ; µ σ]. c) Pelo meos 90% das observações de pertecerão ao tervalo [ µ σ; µ σ]. d) Pelo meos 95% das observações de pertecerão ao tervalo [ µ σ; µ σ]. e) a) Apeas com o cohecmeto de µ e ão é possível fazer afrmação sobre o percetual de realzações de que carão o tervalo. 36

37 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 41 TESTE 44 (AFRF-000-ESAF) uma amostra de tamaho 0 de uma população de cotas a receber, represetadas geerca-mete por, foram determadas a méda amostral M 100 e o desvo-padrão S 13 da varável trasformada (-00)/5. Assale a opção que dá o coefcete de varação amostral de. a) 3,0 % b) 9,3 % c) 17,0 % d) 17,3 % e) 10,0 % TESTE 4 (AFRF-000-ESAF)Tem-se um cojuto de mesurações 1,..., com méda artmétca M e varâca S, ode M (1... )/ e S (1/ ) S ( M ) Seja? a proporção dessas mesurações que dferem de M, em valor absoluto, por pelo meos S. Assale a opção correta. a) Apeas com o cohecmeto de M e S ão podemos determar q exatamete, mas sabe-se que 0,5 θ. b) O cohecmeto de M e S é sufcete para determar q exatamete, a realdade tem-se q 5% para qualquer cojuto de dados 1,...,. c) O cohecmeto de M e S é sufcete para determar q exatamete, a realdade tem-se q 95% para qualquer cojuto de dados 1,...,. d) O cohecmeto de M e S é sufcete para determar q exatamete, a realdade tem-se q 30% para qualquer cojuto de dados 1,...,. e) O cohecmeto de M e S é sufcete para determar? q exatamete, a realdade tem-se q 15% para qualquer cojuto de dados 1,...,. TESTE 43 Seja a dstrbução de estatura de 30 aluos de uma turma. Estaturas(cm) Aluos 10 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 60 4 Total 30 Calcule: a) A varâca b) O prmero coefcete de assmetra de Pearso. c) O segudo coefcete de assmetra de Pearso d) O coefcete de assmetra quartílco e) O coefcete de assmetra percetílco Seja a dstrbução de estatura de 50 aluos de uma turma. Estaturas(cm) Aluos 0 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 50 4 Total 50 Calcule: a) A varâca b) O prmero coefcete de assmetra de Pearso. c) O segudo coefcete de assmetra de Pearso d) O coefcete de assmetra quartílco e) O coefcete de assmetra percetílco TESTE 45 (TCU-93) Com base a tabela de freqüêca acumulada de saláros abaxo, assale a opção correta. Saláros Frequêca em reas Acumulada abaxo de abaxo de abaxo de abaxo de abaxo de abaxo de abaxo de abaxo de a) Apeas 5 fucoáros gaham saláros guas ou superores a R$ ,00. b) Um quarto dos fucoáros gaham meos de R$ ,00. c) 70% dos fucoáros gaham mas de R$ ,00 e meos de R$ ,00. d) O oo decl é maor ou gual a R$ ,00. e) Mas da metade dos fucoáros gaham meos de R$ ,00. 37

38 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 46 Os dados segutes, ordeados do meor para o maor, foram obtdos de uma amostra aleatóra, de 50 preços ( ) de ações, tomada uma bolsa de valores teracoal. A udade moetára é o dólar amercao. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 1, 1, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 3 Os valores segutes foram calculados para a amostra: å 490 e å ( å ) / Assale a opção que correspode à medaa e à varâca amostral, respectvamete (com aproxmação de uma casa decmal) a) (9,0 14,0) b) (9,5 14,0) c) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) e) (8,0 15,0) TESTE 47 Cosdere os preços e quatdades dos bes durate o período de 000 a 00. Bes p q p q p q B B B Total Calcule: a) O ídce de preços de Laspeyres com base em 000. b) O ídce de preços de Paasche com base em 000. c) O ídce de quatdade de Laspeyres com base em 000. d) O ídce de quatdade de Paasche com base em 000. TESTE 48 Dadas as três séres de ídces de preços abaxo, assale a opção correta. Ao S1 S S a) As três séres mostram a mesma evolução de preços b) A sére S mostra evolução de preços dstta das séres S1 e S3 c) A sére S3 mostra evolução de preços dstta das séres S1 e S d) A sére S1 mostra evolução de preços dstta das séres S e S3 e) As três séres ão podem ser comparadas pos têm períodos-base dsttos TESTE 49 O ídce de flação o mês de juho fo 10% e se mateve costate esse ível em julho e agosto. Assale a opção que mas se aproxma da desvalorzação da moeda esse período. a) 33% b) 30% c) 5% d) 0% e) 10% TESTE 50 A tabela abaxo dá os valores dos preços P t e quatdades Q t de quatro tes de cosumo A, B, C e D os tempos t 1 < t. Os preços estão em reas e as quatdades em udades apropradas. Item P t1 P t Q t1 Q t A B 9 11,5 5 4 C D 5 6,5 3 Assale a opção que dá o valor mas próxmo do ídce de preços de Paasche o tempo t com base em t 1. a) 136 b) 137 c) 138 d) 139 e) 136,5 TESTE 51 A tabela abaxo dá a evolução os tempos t1 e t dos preços, em reas e das quatdades, em udades apropradas, de três produtos A, B e C. Assale a opção que correspode ao ídce de preços de Paasche com base em t1, com duas casas decmas. a) 131% b) 0% c) 19% d) 186% e) 154% 38

39 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 5 A tabela abaxo apreseta a evolução de preços e quatdades de cco produtos. Ao 1960 (ao base) Preço (po) Quat. (qo) Preço (p1) Preço (p) Produto A 6, , 9,3 Produto B 1, ,3 47, Produto C 7,9 7,7 4,6 Produto D 4,0 55 4,9 1,0 Produto E 15, , 64,7 Totas Σpo qo 9009,7 Σp1 qo 14358,3 Σp qo 376,0 Assale a opção que correspode aproxmadamete ao ídce de Laspeyres para 1979 com base em a) 415,1 b) 414,4 c) 398,6 d) 416,6 e) 413,6 TESTE 53 Marque a opção que represeta os ídces de Laspeyres de preços, o período de 1993 a 1995, tomado por base o ao de 1993: Quatdades (1000t) Preços (R$/t) Artgos a) 100,00; 141,; 19,5 b) 100,00; 141,4; 19,8 c) 100,00; 141,9; 193,1 d) 100,00; 14,3; 193,3 e) 100,00; 14,8; 193,7 TESTE 54 A A Marque a opção que represeta os ídces de Paasche de preços, o período de 1993 a 1995, tomado por base o ao de 1993: a) 100,00; 141,3; 19,3 b) 100,00; 141,6; 19,5 c) 100,00; 141,8; 19,7 d) 100,00; 14,0; 193,3 e) 100,00; 14,4; 193,6 TESTE 55 A tabela abaxo apreseta a dstrbução de freqüêcas relatvas da varável tempo, em segudos, requerdo para completar uma operação de motagem: Sabedo-se que essa tabela todas as classes têm a mesma ampltude e que segudos é o tempo que é exceddo por 75% das motages, o valor de a é: a) 0 b) 18,5 c) 17,8 d) 17, e) 16 Ateção: Para resolver as questões de úmeros 56 e 57 cosdere o resultado abaxo: O hstograma represeta a dstrbução de saláros () dos 500 fucoáros da frma A, o mês de agosto de 004, expressos em úmeros de saláros mímos (SM). TESTE 56 5% Tempo (Seg.) Freüêca relatva a b 0,5 b c 0,5 c d 0,5 d ,5 Total 1,00 40% 18% 17% x O valor de que separa os 35% dos fucoáros que gaham meos é: a) 3,5 SM b) 4 SM c) 4, SM d) 4,5 SM e) 4,8 SM TESTE 57 Em setembro de 004 todos os saláros receberam um aumeto de 4% sobre os de agosto. A medaa de em setembro passou a ser gual a: a) 4,5 SM b) 4,4 SM c) 4,50 SM d) 4,65 SM e) 4,8 SM 39

40 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 58 As realzações auas dos saláros auas de uma frma com empregados produzram as segutes estatístcas: 1 e R$30.000,00 S 1 ( ) R$1.000,00 Seja P a probabldade de empregados com saláros fora do tervalo [R$7.500,00;R$3.500,00]. Assale a opção correta. a) P é o máxmo 5% b) P é o mímo 5% c) P é o máxmo 16% d) P é o mímo 16% e) P é o máxmo 5% TESTE 59 As realzações auas dos saláros auas de uma frma com empregados produzram as estatístcas 1 R$8.000,00 S 1 ( ) Se P a proporção máxma de empregados com saláros fora do tervalo [R$ 5.500,00; R$ ,00] for 16%, o valor de S será em reas: a) 800 b) 1000 c) 100 d) 1600 e) 000 TESTE 60 As realzações auas dos saláros auas de uma frma com empregados produzram as estatístcas 1 R$8.000,00 S 1 ( ) Se P a proporção máxma de empregados com saláros fora do tervalo [R$ 5.500,00; R$ ,00] for 5%, o valor de S será em reas: a) 800 b) 1000 c) 100 d) 150 e) 1500 TESTE 61 As realzações auas dos saláros auas de uma frma com empregados produzram as segutes estatístcas: 1 e R$15.800,00 S 1 ( ) R$1.800,00 Seja P a probabldade de empregados com saláros o tervalo [R$13.400,00;R$18.00,00]. Assale a opção correta. a) P é o máxmo 7/16 b) P é o mímo 7/16 c) P é o máxmo 9/16 d) P é o mímo 9/16 e) P é o máxmo 1/,5 As questões de úmero 6 até 63 referem-se ao eucado abaxo: O dagrama de ramos e folhas abaxo correspode às observações (,,3,4,5,...,78) de uma amostra com cem elemetos do atrbutos. Coforme os dados da amostra observamos que 4900 e

41 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 6 Assale a opção que dá o valor da medaa amostral de. a) 44,5 b) 48,0 c) 48,5 d) 49,0 e) 50,0 TESTE 63 Assale a opção que dá o valor da moda amostral de. a) 48,0 b) 50,0 c) 53,0 d) 54,0 e) 55,0 TESTE 64 Assale a opção que dá o valor aproxmado da varâca amostral de. a) 186,4 b) 188,3 c) 190,3 d) 199,3 e) 5,0 TESTE 65 Assale a opção que dá o valor aproxmado do prmero coefcete de assmetra de Pearso amostral de. a) 0,07 b) 0,078 c) 0,08 d) 0,089 e) 0,091 TESTE 66 Deseja-se costrur um ídce de preços, com base em 001, utlzado a técca de Laspeyres, para o cojuto de produtos {A,B,C}. Produtos UdadesCosumdas Preços Utáros o Ao Base A B C Assale a opção que dá o valor do ídce para 003. a) 170,00 b) 168,60 c) 166,00 d) 169,00 e) 167,00 As questões 67 e 68 dzem respeto ao eucado segute: Cosdere a tabela de freqüêcas segute correspodete a uma amostra da varável. ão exstem observações cocdetes com os extremos das classes. Classes Freqüêcas Acumuladas(%) TESTE 67 (ESAF-AFRF-003) Assale a opção que correspode à estmatva do valor x da dstrbução amostral de que ão é superado por cerca de 80% das observações. a) b) c) d) e) TESTE 68 (ESAF-AFRF-003) Assale a opção que correspode ao valor do coefcete de assmetra percetílco da amostra de, baseado o 1º, 5º e 9º decs. a) 0,04 b) 0,300 c) 0,010 d) - 0,300 e) - 0,08 41

42 DISCIPLIA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SATOS DA SILVA - joselas@uol.com.br TESTE 69 As questões de 71 a 76 referem-se a esses esaos. (ESAF-AFRF-003) Dadas as três séres de ídces de preços abaxo, assale a opção correta. a) As três séres mostram a mesma evolução de preços. b) A sére S mostra evolução de preços dstta das séres S1 e S3. c) A sére S3 mostra evolução de preços dstta das séres S1 e S. d) A sére S1 mostra evolução de preços dstta das séres S e S3. e) As três séres ão podem ser comparadas pos têm períodos-base dsttos. TESTE 70 (ESAF-AFRF-003) O atrbuto Z (-)/3 tem méda amostral 0 e varâca amostral,56. Assale a opção que correspode ao coefcete de varação amostral de. a) 1,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,% e) 10,0% TESTE 71 (ESAF-AFRF-00-1) Em um esao para o estudo da dstrbução de um atrbuto facero () foram examados 00 tes de atureza cotábl do balaço de uma empresa. Esse exercíco produzu a tabela de freqüêcas abaxo. A colua Classes represeta tervalos de valores de em reas e a colua P represeta a freqüêca relatva acumulada. ão exstem observações cocdetes com os extremos das classes. TESTE 71 Assale a opção que dá o valor médo amostral de. a) 140,10 b) 115,50 c) 10,00 d) 140,00 e) 138,00 TESTE 7 (ESAF-AFRF-00-1) Assale a opção que correspode à estmatva do quto decl da dstrbução de. a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 TESTE 73 (ESAF-AFRF-00-1) Seja S o desvo padrão do atrbuto. Assale a opção que correspode à medda de assmetra de como defda pelo prmero coefcete de Pearso. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 TESTE 74 (ESAF-AFRF-00-1) Assale a opção que correspode à estmatva da freqüêca relatva de observações de meores ou guas a 145. a) 6,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 4