Apostila de Estatística. Volume 1 Edição Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

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1 Apostla de Estatístca Volume 1 Edção 007 Curso: Pscologa Amostragem, Séres Estatístcas, Dstrbução de Freqüêca, Méda, Medaa, Quartl, Percetl e Desvo Padrão Prof. Dr. Celso Eduardo Tua 1

2 Capítulo 1 - Itrodução Estatístca 1.1 Hstórco A estatístca é um ramo da matemátca aplcada. A partr do século XVI começaram a surgr as prmeras aálses sstemátcas de regstros dversos como os de ascmeto, óbtos, rquezas, casametos. Esses regstros eram utlzados para prcpalmete cobrar mpostos. No século XVIII, Godofredo Achewall batzou esses estudos como uma ova cêca com o ome de Estatístca. Surgram tabelas mas complexas, represetações gráfcas e cálculo de probabldade. Formou-se a ferrameta que através da observação de partes (amostras) chega-se a coclusões sobre um todo (população). 1. Método Estatístco Método é o cojuto de procedmetos dspostos ordeadamete para se chegar a um desejado fm. Dos métodos cetífcos pode-se destacar: Método Expermetal: cosste em mater costates todas as causas (fatores, compoetes, varáves), meos uma, e varar essa últma para descobrr seus efetos, caso exstam. Método Estatístco: date da mpossbldade de mater as causas costates, regstram-se os resultados dessas varações procurado determar a fluêca (os efetos) de cada uma delas. 1.3 Estatístca A Estatístca é parte da Matemátca Aplcada que forece métodos de coleta, orgazação, descrção, aálse e terpretação de dados, útes as tomadas de decsão. Estatístca Descrtva: coleta, orgazação e descrção dos dados. Estatístca Idutva ou Iferecal: aálse e terpretação dos dados. Permte obter coclusões que trascedam os dados obtdos calmete, objetvo essecal da Estatístca. Probabldade: útl para aalsar stuações que evolvem o acaso. Ex: a decsão de parar de muzar pessoas com mas de vte aos cotra determada doeça. 1.4 Método Estatístco (Pesqusa) Exemplos: - Idústras realzam pesqusa etre os cosumdores para o laçameto de um ovo produto - As pesqusas eletoras forecem elemetos para que os caddatos drecoem a campaha - Emssoras de tevê utlzam pesqusas que mostram a preferêca dos espectadores para orgazar sua programação - A pesqusa do desempeho dos atletas ou das equpes em uma partda ou em um campeoato terfere o plaejameto dos treametos A pesqusa é composta bascamete de 5 fases

3 1 a Coleta de Dados Após plaejameto e determação das característcas mesuráves do objeto em estudo, ca-se a coleta de dados. Esta pode ser dreta ou dreta. A coleta dreta é feta sobre regstros dversos: ascmeto, casameto, óbtos, mportação, regstros escolares; ou ada quado os dados são coletados dretamete pelo pesqusador através de questoáros (ex: ceso). A coleta dreta pode ser: cotíua; peródca (cesos); ocasoal A coleta dreta é uma coleta feta sobre dados colhdos de uma coleta dreta (ex: mortaldade fatl) a Crítca dos Dados Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e mperfeções, a fm de ão causarem erro os resultados. Exemplo 1 : Pergutas tedecosas. Fo realzada a segute pesqusa: O tráfego cotrbu em maor ou meor grau do que a dústra para a polução atmosférca? Resposta: 45 % para o tráfego e 3 % para a dústra. A dústra cotrbu em maor ou meor grau do que o tráfego para a polução atmosférca? Resposta: 4 % para o tráfego e 57 % para a dústra. Exemplo : Preservação da auto-magem. Em uma pesqusa telefôca 94 % dos etrevstados dsseram que lavam as suas mãos após usar o bahero, mas a observação em baheros públcos esse percetual ca para 68 %. Exemplo 3: Más Amostras. As pessoas devem ser escolhdas aleatoramete para a pesqusa, como por exemplo, uma pesqusa de opão a rua, deve-se etrevstar somete quem psou em uma determada marca pré-determada a calçada. Exemplo 4. Más pergutas. A perguta deve coter o lguajar própro do etrevstado. Geralmete, se o etrevstado ão eteder a perguta, ele respoderá qualquer cosa, pos tem vergoha de pergutar. 3 a Apuração dos Dados É o processameto dos dados obtdos 4 a Exposção dos Dados Através de tabelas ou gráfcos, torado mas fácl seu exame e aplcação de um cálculo estatístco 5 a Aálse dos Resultados Através de métodos de estatístca dutva ou ferecal obtêm-se coclusões e prevsões de um todo através do exame de apeas uma parte desse todo. 3

4 Capítulo - População e Amostra.1 Varável Varável é o cojuto de resultados possíves de um feômeo. A varável pode ser qualtatva, quado seus valores são expressos por atrbutos (ex: sexo, cor), ou pode ser quattatva, quado seus valores são expressos em úmeros. A varável quattatva pode ser cotíua, quado assume qualquer valor etre dos lmtes (ex: peso, altura, medções), ou pode ser dscreta, quado só pode assumr valores pertecetes a um cojuto eumerável (ex: úmero de flhos, cotages em geral, úmeros teros).. Precsão A precsão da medda será automatcamete dcada pelo úmero de decmas com que se escrevem os valores da varável. Ex: 1,80 m dca uma medção com precsão de cetésmos..3 Arredodameto De acordo com resolução do IBGE Quado o prmero algarsmo a ser abadoado é 0, 1,, 3, ou 4, fca alterado o últmo algarsmo a permaecer. Ex: 53,4 passa a 53, ; 17,345 passa a 17,3 Quado o prmero algarsmo a ser abadoado é 6, 7, 8, ou 9, aumeta-se de uma udade o últmo algarsmo a permaecer. Ex: 4,87 passa a 4,9 ; 5,08 passa a 5,1; 53,99 passa a 54,0 Quado o prmero algarsmo a ser abadoado é 5, há duas soluções: a) Se ao 5 segur em qualquer casa um algarsmo dferete de 0, aumeta-se de uma udade o últmo algarsmo a permaecer. Ex:,35 passa a,4 ; 5,6501 passa a 5,7. b) Se o 5 for o últmo algarsmo ou se ao 5 só se segurem zeros, o últmo algarsmo a ser coservado só será aumetado de uma udade se for ímpar. Ex: 4,75 passa a 4,8 ; 4,65 passa a 4,6 ; 4,7500 passa a 4,8 ; 4,6500 passa a 4,6 Exercícos. Arredode dexado úmero tero:,38 4,65 0,351 4,4 38,35,97 6,89 5,55 89,99 Exercícos. Arredode dexado uma casa decmal:,38 4,65 0,351 4,4 38,35,97 6,89 5,55 89,99 4

5 .4 População e Amostra População é o cojuto de portadores de, pelo meos, uma característca comum. Amostra é um subcojuto fto de uma população. A amostra é escolhda através de processos adequados que garatam o acaso a escolha.5 Amostragem É o processo de colher amostras. Nesse processo, cada elemeto da população passa a ter a mesma chace de ser escolhdo. Detre os processos de amostragem pode-se destacar três: amostragem casual ou aleatóra smples, amostragem proporcoal estratfcada e amostragem sstemátca. a) Amostragem casual ou aleatóra smples: É um sorteo, por exemplo, para retrar uma amostra de 9 aluos de uma sala de 90 aluos, utlzase um sorteo com todos os úmeros dos aluos escrtos em papés detro de um saco. Para amostras grades utlza-se a Tabela de Números Aleatóros (Pága 40). Assm para o exemplo da sala de aula, utlzado dos algarsmos, através da letura da prmera lha (escolhda através de sorteo), obtém-se: Como a população va de 1 a 90 escolhe-se os 9 prmeros úmeros detro dessa faxa: b) Amostragem proporcoal estratfcada: É comum termos populações que se dvdam em subpopulações (estratos) e como cada estrato pode ter um comportameto dferete do outro, a amostra deve cosderar a exstêca desses estratos e a sua proporção em relação à população. Exemplo: supodo que uma sala de aula seja composta de 54 meos e 36 meas. Determe uma amostra de 9 pessoas: Sexo População Cálculo Proporcoal Amostra Regra de três smples Masculo x 9 / 90 5,4 5 Femo x 9 / 90 3,6 4 Total Posterormete, utlza-se a tabela de úmeros aleatóros para escolher 5 meos e 4 meas. Verfca-se que fo realzado um arredodameto dos úmeros 5,4 e 3,6. Esse arredodameto é efetuado utlzado as regras de arredodameto. 5

6 Exercíco: Em uma escola exstem 50 aluos, dstrbuídos em séres coforme a tabela. Obteha uma amostra de 40 aluos e preecha a tabela. Séres População Cálculo Proporcoal Amostra 1 a 35 a 3 3 a 30 4 a 8 5 a 35 6 a 3 7 a 31 8 a 7 Total c) Amostragem sstemátca É quado a amostragem é feta através de um sstema possível de ser aplcado pos a população já se ecotra ordeada. Exemplo 1: em uma lha de produção, a cada 10 tes fabrcados, retra-se 1 para speção, tem-se uma amostra de 10 % da população. Exemplo : em uma rua com 900 prédos, deseja-se uma amostra de /50 18 (50 grupos de 18 prédos cada). Faz-se um sorteo etre 1 e 18, por exemplo 4, etão pesqusaríamos o 4 o prédo da rua, o o, o 40 o, 58 o, assm por date. Exercícos de População e Amostra 1) Uma uversdade apreseta o segute quadro relatvo aos seus aluos do curso de Matemátca. Obteha uma amostra proporcoal estartfcada de 100 aluos. Sére Qtde Amostra 1 a 85 a 70 3 a 80 4 a 75 Total 100 6

7 ) Uma cdade X apreseta o segute quadro relatvo às suas escolas de 1 o grau: Escola Homes Mulheres Total Amostra Homes Mulheres Total A B C D E F Total 10 Obteha uma amostra proporcoal estratfcada de 10 estudates 7

8 3) Utlzado a tabela de úmeros aleatóros, obteha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de aula com 85 aluos, utlze a 10 a e a 11 a colua para começar o sorteo. 4) Ordee uma amostra de 15 elemetos de uma população ordeada formada por 10 elemetos, sabedo que o elemeto de ordem 149 a ela pertece? 8

9 Capítulo 3 - Séres Estatístcas 3.1 Séres Estatístcas Sére estatístca é toda tabela que apreseta a dstrbução de um cojuto de dados estatístcos em fução da época, do local, ou da espéce. Pode-se classfcar em: hstórca, geográfca, específca a) Séres hstórcas (croológcas, temporas) - descrevem os valores da varável, em determado local, em fução do tempo Exemplo: Tabela Aalfabetsmo a faxa de 15 aos ou mas - Brasl /000 População de 15 aos ou mas Ao Total(1) Aalfabeta(1) Taxa de Aalfabetsmo , , , , , , , , ,6 Fote: IBGE, Ceso Demográfco. Nota: (1) Em mlhares b) Séres geográfcas (espacas, terrtoras ou de localzação) - descrevem os valores da varável, em um determado state, em fução da regão Exemplo: População Mudal Em mlhões de pessoas Caadá 30,5 Argeta 36,1 Japão 16, Rússa 147,4 Brasl 165,8 Idoésa 06,3 EUA 74 Ída 98, Cha 155,6 Fote: O Estado de São Paulo, 01/01/000 9

10 População Mudal em , 155,6 em mlhões ,5 36,1 16, 147,4 165,8 06,3 74 Argeta Brasl EUA Cha c) Séres Específcas (categórcas) - descrevem os valores da varável, em um determado state e local, segudo especfcações. Custo médo das campahas eletoras em 1998, segudo estmatva dos caddatos em mlhões de reas. Fote: TSE Presdete 5 Goverador 6 Seador 3,5 Deputado Federal 1,5 Deputado Estadual 0,5 10

11 Custo médo das campahas eletoras em 1998, segudo estmatva dos caddatos em mlhões de reas. Fote: TSE Mlhões de Reas ,5 1,5 0,5 Presdete Goverador Seador Deputado Federal Deputado Estadual d) Séres Cojugadas - Tabela de Dupla Etrada É a uão de duas séres em uma só tabela Exemplo: População Mudal - em mlhões de pessoas País Caadá 30,5 4,3 Argeta 36,1 54,5 Japão 16, 104,9 Rússa 147,4 11, Brasl 165,8 44, Idoésa 06,3 311,8 EUA ,3 Ída 98, 158,8 Cha 155,6 1477,7 Fote: O Estado de São Paulo, 01/01/000 O exemplo acma é uma sére geográfca-hstórca Podem também exstr séres cojugadas de três ou mas etradas, fato mas raro, pos dfculta a terpretação dos dados. 11

12 População Mudal - em mlhões de pessoas Mlhões de pessoas Argeta Brasl EUA Cha 3. - Dstrbução de freqüêca Será tratado em capítulo a parte devdo a sua mportâca. Exemplo: Idade a morte causada por arma de fogo Idade a Morte Freqüêca Dados Absolutos e Dados Relatvos Dados Absolutos: são resultates de uma coleta dreta, sem outra mapulação seão a cotagem Dados Relatvos: são resultates de comparações, há um tratameto matemátco dos dados para uma melhor terpretação. 1

13 As percetages a) Cosdere a sére: Idade a morte causada por arma de fogo Idade a Morte Freqüêca Calculado a percetagem das pessoas em cada faxa etára, pode-se preecher uma ova colua Idade a Morte Freqüêca % Total Pode-se agora trar uma melhor coclusão e também costrur um gráfco de setores (pzza). Idade da Morte causada por arma de fogo % % % % % % % 13

14 Os ídces Os ídces são razões etre duas gradezas depedetes. Ex: Relação caddato vaga Qtde de caddatos / Qtde de vagas Desdade demográfca população / área de uma superfíce Reda per capta reda total de uma população / população Os Coefcetes Os coefcetes são razões etre o úmero de ocorrêcas e o úmero total. É a porcetagem expressa a forma utára. Ex: Coefcete de evasão escolar o de aluos evaddos / o cal de aluos Coefcete de aprovetameto escolar o de aluos aprovados/ o fal de aluos As Taxas As taxas são os coefcetes multplcados por uma potêca de 10, 100, 1000, etc para torar o resultado mas telgível (claro) Ex: Taxas de mortaldade coefcete de mortaldade x 1000 ( lê-se mortes a cada 1000 habtates) Taxa de evasão escolar coefcete de evasão escolar x 100 Exercícos: Exercíco 1 - Cosdere a tabela abaxo: Ao Qtde de Aalfabetos o Brasl acma de 15 aos em mlhares de hab. % de aumeto Complete a tabela com uma colua de percetagem de aumeto de um período para o outro. Não utlze casas decmas, apeas úmeros teros. 14

15 Exercíco - Cosderado que o Brasl, em 000, apresetou: População: 164 mlhões de habtates Superfíce: km Nascmetos: 6, mlhões Óbtos: 3,8 mlhões Calcule: a) o ídce de desdade demográfca b) a taxa de ataldade c) a taxa de mortaldade Exercíco 3 - Em certa eleção mucpal foram obtdos os segutes resultados Caddato % do total de votos Número de votos A 6 B 4 C Bracos e ulos 196 Determe o úmero de votos obtdo pelo caddato vecedor. Exercíco 4 : A tabela abaxo apreseta a varação percetual das vedas dustras de aparelhos doméstcos, comparado o período de julho e agosto de 003 com o período de julho e agosto de 004. Vedas dustras de aparelhos doméstcos Varação percetual jul/ago 003 e jul/ago 004 Refrgeradores 15,06 Freezers vertcas 4,97 Freezers horzotas 4,61 Lavadoras automátcas - 18,18 Fogões - 0,17 Codcoadores de ar 83,45 Supodo que o período de jul/ago de 003 teham sdo veddas lavadoras automátcas, determe o úmero de udades veddas o mesmo período de

16 Capítulo 4 - Dstrbução de Freqüêca 4.1 Tabela Prmtva e Rol Tabela prmtva - elemetos da varável ada ão foram umercamete orgazados Ex: Total de potos (acertos) obtdos por 40 aluos em um teste de 175 questões Rol - é a tabela prmtva ordeada (crescete ou decrescete). Ex: Dstrbução de freqüêca Com sso pode-se costrur uma tabela deomada Dstrbução de Freqüêca, sedo a freqüêca o umero de elemetos relacoados a um determado valor da varável. Ex: Potos Freqüêca Potos Freqüêca Potos Freqüêca total 40 Para uma melhor vsualzação e ecooma de espaço, agrupam-se os valores em tervalos de classe. Ex: Total de potos (acertos) obtdos em um teste de 175 questões por 40 aluos Total de potos Freqüêca Total 40 Para a cofecção dessa tabela pode-se pular o passo ateror, ou seja, do rol já partr para a tabela de dstrbução de freqüêcas com tervalos de classe. 16

17 4.3 Elemetos de uma dstrbução de freqüêca a) Classes de freqüêca: são os tervalos de varação da varável, represetados por, sedo 1,,3,4,...,k, ode k é o úmero total de classes. Em osso exemplo k 6 b) Lmtes da classe: são os extremos de cada classe. Lmte superor L Lmte feror l O símbolo l - L sgfca clusão de l e exclusão de L l 154 e L 158 c) Ampltude de um tervalo de classe (h) é a medda do tervalo que defe a classe h L - l h d) Ampltude total da dstrbução (AT) é a dfereça etre o lmte superor da ultma classe (lmte superor máxmo) e o lmte feror da prmera (lmte feror mímo). AT L(max) - l (m) AT Deve-se otar que AT/h k 4/4 6 e) Ampltude amostral (AA) : é a dfereça etre o valor máxmo e o valor mímo da amostra AA x(máx) - x(mí) AA f) Poto médo de uma classe (x) : é o poto que dvde o tervalo de classe em duas partes guas x (l+l)/ x ( )/ 156 f) Freqüêca smples ou absoluta: é o úmero de observações correspodetes a essa classe ou a esse valor f 1 4 f 9 f 3 11 f 4 8 f 5 5 f 6 3 k 6 f 1 f Número de Classes, Itervalos de Classe Determação do úmero de classes: utlza-se a regra de Sturges (obs: ão é obrgatóro, é apeas uma oretação) k 1+ 3,3 log ode, k é o úmero de classes e é o umero total de dados. Esta fórmula os permte obter a segute tabela 17

18 k Para determação do tervalo de classe h aplca-se AA h Quado o resultado ão é exato, deve-se arredodá-lo para mas. k h 3,8, ou seja, 6 classes de tervalo 4. 6 No caso 4 Exercíco:.As otas obtdas por 50 aluos de uma classe foram: Complete a dstrbução de freqüêca abaxo Notas x f Total Tpos de freqüêcas a) Freqüêca Smples ou Absoluta (f ) : é o valor que represeta o úmero de dados de uma classe, ode : k f 1 18

19 b) Freqüêca Relatva (fr ): é a porcetagem etre a freqüêca smples e a freqüêca total: fr k f 1 No exemplo: fr 3 11/40 0,75 x 100 7,5 % k fr 100% É obvo que: 1 f [ ] 100 % O propósto das freqüêcas relatvas é o de permtr a aálse e facltar comparações. c) Freqüêca Acumulada (F ): é o total das freqüêcas de todos os valores ferores ao lmte superor do tervalo de uma dada classe. k F f + f + f + + f F k 1 3 k ou k f 1 No exemplo F 3 f 1 + f + f , o que sgfca que exstem 4 aluos com estatura feror a 16 cm (lmte superor do tervalo da tercera classe) d) Freqüêca Acumulada relatva (Fr ): é a porcetagem etre a freqüêca relatva acumulada da classe e a freqüêca total da dstrbução. Fr k F 1 f [ ] 100 % No exemplo temos Fr 3 4/40 0,6 60 %, o que sgfca que 60 % dos aluos acertaram meos de 16 questões Pode-se etão motar a segute tabela: Total de Potos x f fr (%) F Fr (%) , , , , , , , , , , , ,00 Total 40 1,000 Que os ajuda a respoder: 1) Quatos aluos acertaram etre 154, clusve, e 158 questões? Resp. 9 aluos ) Qual a percetagem de aluos com total de potos feror a 154? Resp. 10% 3) Quatos aluos acertaram meos que 16 questões? Resp. 4 aluos 4) Quatos aluos obtveram um total de potos ão feror a 158? Resp aluos 19

20 4.6 Dstrbução de Freqüêca sem Itervalo de Classe Quado se trata de varável dscreta de varação relatvamete pequea, cada valor pode ser tomado como um tervalo de classe, tomado a segute forma: Os resultados de um laçameto de um dado 50 vezes foram os segutes: resultados f fr F Fr Total 50 1,000 Exercíco: Complete a tabela abaxo e respoda: Horas de estudo por semaa x f fr F Fr Total 1,000 Qual a porcetagem de pessoas que estudam meos de 15 horas? Qual a porcetagem de pessoas que estudam 0 ou mas horas? 0

21 4.7 Represetação Gráfca de uma Dstrbução de Freqüêca Pode-se ser represetado bascamete por um hstograma, por um polígoo de freqüêca ou por um polígoo de freqüêca acumulada. a) Hstograma: O hstograma é formado por um cojuto de retâgulos justapostos, cujas bases se localzam sobre o exo horzotal, de tal modo que seus potos médos cocdam com os potos médos dos tervalos de classe. Seja o exemplo: Total de x f F Potos Total 40 1 Hstograma 10 Frequêcas f Total de Potos b) Polígoo de freqüêca: É um gráfco em lha, sedo as freqüêcas marcadas sobre perpedculares ao exo horzotal, levatadas pelos potos médos dos tervalos de classe f Total de Potos Estaturas [cm] 1

22 c) Polígoo de freqüêca acumulada: É traçado marcado-se as freqüêcas acumuladas sobre perpedculares ao exo horzotal, levatadas os potos correspodetes aos lmtes superores dos tervalos de classe. F Total Estaturas de potos [cm] 10 8 f Estaturas [cm] Total de Potos A Curva de Freqüêca. Curva Polda Polígoo de freqüêca com o hstograma O polígoo de freqüêca os forece uma magem real e a curva uma magem tedecal. A curva polda de uma amostra lmtada se assemelha mas a curva resultate de um grade úmero de dados, do que o polígoo de freqüêca obtdo da mesma amostra lmtada. Utlza-se uma ova freqüêca, deomada calculada (fc). fc f ( + f + f 1) 4 (+ 1)

23 No exemplo ateror tem-se: Total de Potos x f F fc (0+*0+4)/ (0+*4+9)/4 4, (4+*9+11)/4 8, (9+*11+8)/4 9, (11+*8+5)/ (8+*5+3)/4 5, (5+*3+0)/4, (3+*0+0)/4 0,75 Total ,75 8 8,5 8 fc 6 4 4,5 5,5,75 1 0, Total Estaturas de Potos [cm] Exercíco - Costrua o hstograma, o polígoo de freqüêca, o polígoo de freqüêca acumulada e a curva polda da segute dstrbução. 0 Total de Faltas de uma sala com 60 aluos x f fc F

24 Capítulo 5 - Meddas de Posção 5.1 Itrodução Até agora os estudos de dstrbução de freqüêca efetuados os permte localzar a maor e meor cocetração dos valores de uma dada dstrbução. No etato, para destacar as tedêcas característcas ecessta-se de elemetos típcos da dstrbução que são as: Meddas de posção Meddas de varabldade ou dspersão Meddas de assmetra Meddas de curtose As meddas de posção os oreta quato a posção da dstrbução em relação ao exo horzotal. As meddas mas mportates são as meddas de tedêca cetral (os dados tedem a se agrupar em toro de valores cetras). Detre elas destacam-se: A méda artmétca A medaa A moda Outras meddas de posção são as separatrzes que são: A medaa Os quarts Os percets 5. Meda Artmétca ( x ) x 1 ode x são os valores da varável e o úmero de valores. a) Desvo em relação a méda (d ) d x x d 0 b) Propredades: 1 A soma algébrca dos desvo em relação a méda é ula Somado-se (ou subtrado-se) uma costate (c) de todos os valores de uma varável, a méda do cojuto fca aumetada (ou dmuída) dessa costate. Multplcado-se (ou dvddo-se) uma costate (c) de todos os valores de uma varável, a méda do cojuto fca multplcada (ou dvdda) por essa costate. x 4

25 Exemplo: Seja a ota de 10 aluos: 8, 9, 7, 6, 10, 5,5, 5, 6,5, 7,5, 8, , ,5 + 7,5 + 8,5 A méda é x 7, 3 10 Desvos: 8-7,3 0,7 9-7,3 1,7 7-7,3-0,3 6-7,3-1,3 10-7,3,7 5,5-7,3-1,8 5-7,3 -,3 6,5-7,3-0,8 7,5-7,3 0, 8,5-7,3 1, Total 0,0 c) para dados agrupados (dstrbução de freqüêca sem tervalos de classe) Seja a segute dstrbução: o de flhos (x ) f f. x que se deseja ter Total x,94 ~ 34 tem-se etão:, 3 x (f 1 1 d) para dados agrupados (dstrbução de freqüêca com tervalos de classe). Adota-se o segute: todos os valores cluídos em um determado tervalo de classe cocdem com o seu poto médo. Seja a segute dstrbução: x Total de x f f. x potos Total f ) 5

26 6440 tem-se etão: x 161potos 40 Exercíco 1 - Complete a tabela e calcule a méda artmétca da dstrbução. Qtde de cursos de extesão realzados por ao (x ) pelos aluos do 3 o Mat f f. x Exercíco - Complete a tabela e calcule a méda artmétca da dstrbução. Saláro Mesal dos aluos do 3 o Mat [R$] x f f. x Total e) Processo breve Há uma mudaça de varável x por outra y, tal que: x y x h 0 6

27 x 0 é uma costate escolhda coveetemete etre os potos médos da dstrbução, de preferêca o de maor valor de freqüêca, e h é o tervalo de classe. A méda etão é calculada por: x 1 x0 + ( f y ) 1 f h Exemplo: Escolhedo x e como h 4 Total de Potos x f y f. y Total Etão: x potos 40 Exercíco 3: Pelo processo breve, calcule a méda artmétca da dstrbução. Saláro Mesal dos aluos do 3 o Mat [R$] x f y f. y Total 7

28 Exercíco 4: Pelo processo breve, calcule a méda artmétca da dstrbução. Valor da hora aula de profssoas da educação [R$] x f y f. y Total 5.3 A Moda (Mo) Deoma-se moda o valor que ocorre com maor freqüêca em uma sére de valores. Caso 1) Dados ão agrupados. Basta procurar o valor que mas se repete. Ex: 3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9 A sére tem moda gual a 6 (valor modal 6) Pode acotecer também uma sére sem valor modal. Ex: 1,,3,4,5,6,7,8,9 sére amodal Pode acotecer também uma sére com mas de uma moda. Ex: 1,,,,3,4,5,6,6,6,7,8,9 a sére tem duas modas ( e 6) - sére bmodal Caso ) Dados agrupados. a) sem tervalos de classe. Basta detfcar o valor da varável que possu maor freqüêca. Ex: Seja a segute dstrbução: Mo 3 o de flhos (x ) que se deseja ter f Total 34 b) com tervalos de classe. A classe com maor freqüêca é deomada classe modal, o cálculo da moda bruta é semelhate ao do poto médo do tervalo de classe. Mo x + L 8

29 Ex: Seja a dstrbução: Total de potos x f Total 40 Etão: a classe modal é 3, logo Mo 160 potos Exercíco: Calcule a moda da segute dstrbução: Saláro Mesal dos aluos do 3 o Mat [R$] Total 64 f 5.4 Medaa (Md) A medaa é o úmero que se ecotra o cetro de uma sére de úmeros, ou seja, separa os valores em dos subcojutos de mesmo úmero de elemetos. Caso 1 ) Dados ão agrupados Dada uma sére de valores: 5,13,10,,18,15,6,16,9 Deve-se etão ordeá-los:,5,6,9,10,13,15,16,18 Determa-se etão o valor cetral que é 10 (4 valores para cada lado) Md 10 Se a sére tver úmero par de valores, a medaa é a méda dos dos valores cetras:,5,6,9,10,15,16,18 Md (9+10)/ 9,5 9

30 Caso ) Dados agrupados No caso de dstrbução de freqüêca deve-se prmeramete determar a freqüêca acumulada. Determa-se etão, o valor que dvde a dstrbução em duas partes guas. Aplca-se etão: f a) sem tervalos de classe. Dada a sére: o de flhos (x ) f F que se deseja ter Total 34 f 34 Etão: 17 A meor freqüêca acumulada que supera esse valor é 18, que correspode ao valor da varável. No caso de f F Md acotecer, a medaa será dada por: x + x 1 Md +. Exemplo: f F3, etão: Md, 5 o de flhos (x ) f F que se deseja ter Total 36 Exercícos: 1) Calcule a medaa das segutes dstrbuções: Qtde de aos de f F estudo (x ) Total 30

31 Qtde de dscplas em depedêca f Total F b) com tervalos de classe: segue-se os segutes passos: 1 o - Determa-se as freqüêcas acumuladas o - Calcula-se f 3 o - Marca-se a classe correspodete a freqüêca acumulada medatamete superor a (classe medaa) e emprega-se a fórmula: Md + f F( at) h f ode: é o lmte feror da classe medaa F(at) é a freqüêca acumulada da classe ateror a classe medaa h é a ampltude do tervalo da classe medaa f é a freqüêca do tervalo da classe medaa f Exemplo: Total de potos f F Total 40 f 40 0, logo classe medaa é F(at) 13 h 4 f 3 11 [ 0 13] 4 Md ,5 160,5 11 f No caso de F acotecer, a medaa será o lmte superor da classe correspodete. 31

32 Exercíco: Calcule a medaa das segutes dstrbuções: Saláro Mesal dos aluos do 3 o Mat [R$] Total 64 f F Valor da hora aula de profssoas da educação [R$] f F Total 5.5 Os Quarts Deoma-se quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. Portato, há três quarts. São mas aplcados em dstrbução de freqüêca com tervalos de classe. Prmero Quartl (Q 1 ) - 5 % dos dados são meores que ele e os 75 % restates são maores. Segudo Quartl (Q ) - cocde com a medaa, 50 % para cada lado. Tercero Quartl (Q 3 ) - 75 % dos dados são meores que ele e os 5 % restates são maores. Para o caso de dados agrupados, basta aplcar: Etão: Q f F f ( at) h Q 4 + k f, sedo k o úmero de ordem do quartl. 4 f F( at) h f Q f F( at) h f 3

33 Exemplo: Total de Potos f F Total 40 Prmero Quartl f 40 10, logo classe do 1 o Quartl é F(at) 4 h 4 f 9 [ 10 4] 4 Q ,66 156,66 156,7 9 Segudo Quartl Medaa f 40 0, logo classe do o Quartl é F(at) 13 h 4 f 3 11 [ 0 13] 4 Q Md ,5 160,5 11 Tercero Quartl 3 f , logo classe do 3 o Quartl é F(at) 4 h 4 f 4 8 [ 30 4] 4 Q Exercíco: Calcule os quarts da segute dstrbução: Saláro Mesal dos aluos do 3 o Mat [R$] f F Total 64 33

34 5.6 Os Percets Deoma-se percets os oveta e ove valores que separam uma sére em 100 partes guas. Idca-se da segute forma: P 1,P,P 3,...P 99 Note-se que: P 50 Md, P 5 Q 1 e P 75 Q 3 Calcula-se da mesma forma que os quarts, só que aplcado: k f F( at) h k f 100, sedo k o úmero de ordem do percetl. PK f Exemplo: Total de Potos f F Total 40 Tem-se para o otavo percetl: 8 f 8 40 k 8 > 3,, logo classe do 8 o Percetl é F(at) 0 h 4 f 1 4 [ 3, 0] 4 P , 153, 4 Exercíco: Calcule o percetl de ordem 0 da segute dstrbução: Saláro Mesal dos aluos do 3 o Mat [R$] Total 64 f F 34

35 Capítulo 6 - Meddas de Dspersão ou de Varabldade 6.1 Ampltude total (AT) a) a ampltude total é a dfereça etre o maor valor e o meor valor observado: AT x MÁX x MÍN Exemplo: 40, 45, 48, 5, 54, 6, e 70 AT Quato maor a ampltude total, maor será a dspersão dos valores da varável em toro da méda. 6. Varâca (s ) e Desvo Padrão (s) São mas estáves que a ampltude total, ão sofrem tato a terferêca de valores extremos. a) para dados ão agrupados A varâca é a méda artmétca dos quadrados dos desvos: s ( x x) ( x x) f A varâca é um úmero em udade quadrada em relação a méda, por sso, defu-se o desvo padrão como a raz quadrada da varâca. O desvo padrão é a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. Para evtar o acúmulo de erro por arredodameto, smplfca-se o cálculo do desvo padrão com a segute: que resulta em: ( x x) s x x ( x ) Obs: Quado calcula-se a varâca ou o desvo padrão de uma população através de uma amostra dessa, deve-se substtur o deomador por -1. Propredades: 1 a : Somado-se (ou subtrado-se) uma costate a (de) todos os valores de uma varável, o desvo padrão ão se altera. a.: Multplcado-se todos os valores de uma varável por uma costate (dferete de zero), o desvo padrão fca multplcado por essa costate. x 35

36 Exemplo: Calcule o desvo padrão da segute sére: x x s x x Total , ,56 b) para dados agrupados sem tervalos de classe: deve-se levar em cota as freqüêcas. Exemplo: (f x ) (f x) s s (f x ) (f x) Qtde de flhos que se f f. x f. x deseja ter (x ) Total ,5 4,41 1,04 Exercíco: Determe o desvo padrão. Qtde de cursos de extesão realzados por ao (x ) pelos aluos do 3 o Mat f f. x f. x Total 5 36

37 c) para dados agrupados com tervalos de classe: também leva-se em cota as freqüêcas e x é o poto médo do tervalo de classe. Exemplo: Total de Potos x f f x f x Total s (f x ) (f x ) ,57 Processo breve: Da mesma maera que o cálculo da méda, muda-se a varável X por outra Y, tal que: y x x 0 e h Exemplo: s s (f y ) h (f y) Total de Potos x f y f y f y Total , , , ,57 Resolva: Calcule o desvo padrão pelo processo breve. Saláro Mesal dos aluos do 3 o Mat [R$] x f y f y f y Total 64 37

38 Peso kg x f y fy fy Total Coefcete de Varação (CV) É a porcetagem do desvo padrão em relação a sua méda. s CV 100 x Exemplo: Para o exemplo ateror, das estaturas, tem-se méda de 161 cm e desvo padrão de 5,57 cm 5,57 CV 100 3,459 3,5% 161 Resolva: Calcule o CV dos dos últmos exercícos de cálculo de desvo padrão pelo processo breve. a) x 755 s 154 x 84,3 b) s 1,88 Coclusão: Quato maor o CV maor será a dspersão Quato meor o CV meor será a dspersão 38

39 Exercícos de Revsão: Os dados abaxo referem-se a dade das pessoas que compraram um determado produto ovo durate um da. Determe: Idade x f F y f y f y f x f x Total a) Méda; b) Desvo Padrão; c) Medaa d) Prmero Quartl e) Tercero Quartl f) P 40 39

40 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS:

41 Tamaho da Amostra para populações ftas z ( x / ) [ 1 ( x / ) ] N ( N 1) e + z ( x / ) [ 1 ( x / ) ] tamaho da amostra N tamaho da população e % de erro a forma utára z tervalo de cofaça, 1,96 para 95% de cofaça (valor usual),58 para 99% de cofaça. x/ proporção esperada. O valor de é máxmo para x/ 0,50 Resultado em: 1,96 0,50 [ 1 0,50] N ( N 1) e + 1,96 0,50 [ 1 0,50] 0,9604 N ( N 1) e + 0, 9604 Exemplo: erro % 0,0 z 1,96 x/ 0,5 População Amostra População Amostra População Amostra

42 População Amostra Cálculo do erro ( x / ) [ 1 ( x / ) ] e z para população descohecda ( x / ) [ 1 ( x / ) ] N e z para população cohecda N 1 para z 1,96 e x/ 0,50 tem-se: 1 e 0,98 para população descohecda e N 0,98 para população cohecda (N 1) População 100 Amostra Erro 10 0,30 0 0,0 30 0, ,1 50 0, , , , , ,00 Bblografa STEVENSON, W. J. Estatístca Aplcada à Admstração. São Paulo: Edtora HARBRA Ltda,

43 BIBLIOGRAFIA: COSTA NETO, P. L. de O. Probabldades. São Paulo: Edtora Edgard Blucher Ltda, COSTA NETO, P. L. de O. Estatístca. São Paulo: Edtora Edgard Blucher Ltda, 17 o ed CRESPO, A. A. Estatístca Fácl. São Paulo: Edtora Sarava, 17 o ed DANTE, L. R. Matemátca: Cotexto de Aplcações. São Paulo: Edtora Átca, DOWNING, D., CLARK, J. Estatístca Aplcada. São Paulo: Edtora Sarava, 000. KAZMIER, L. J. Estatístca Aplcada à Ecooma e Admstração. São Paulo: Edtora Makro books Ltda., 198. LAPPONI, J. C. Estatístca Usado Excel. São Paulo: Edtora Lappo, 000. LEVIN, J. Estatístca Aplcada a Cêcas Humaas, a edção. São Paulo: Edtora Harper & Row do Brasl Ltda, NICK, E., KELLNER, S. R. O. Fudametos de Estatístca para as Cêcas do Comportameto. Ro de Jaero: Edtora Rees, SIEGEL, S. Estatístca Não Paramétrca. São Paulo: Edtora McGraw-Hll do Brasl Ltda, STEVENSON, W. J. Estatístca Aplcada à Admstração. São Paulo: Edtora Harper & Row do Brasl Ltda, TRIOLA, M. F. Itrodução à Estatístca. Ro de Jaero: Lvros Téccos e Cetífcos Edtora S.A., 7 a ed

44 Amostragem 44

45 Dstrbução de Freqüêca 45

46 46

47 47