CVT: Coeficiente de Variação de Thorndike CVQ: Coeficiente Quartílico de Variação MEDIDAS DE ASSIMETRIA

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1 SUMARIO 2 MÉTODO ESTATÍSTICO A ESTATÍSTICA FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO FERRAMENTAS DE CÁLCULO PARA O ESTUDO DA ESTATÍSTICA FRAÇÃO Adção e subtração Multplcação de frações Dvsão de frações Potecação de Frações PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM REGRAS DE ARREDONDAMENTO SOMATÓRIO ÍNDICES OU NOTAÇÃO POR ÍNDICES NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO NÚMERO DE TERMOS DO SOMATÓRIO(NT) PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM CASUAL OU ALEATÓRIA SIMPLES: AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA SÉRIES ESTATÍSTICAS Dagramas Estereogramas Pctogramas DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO Méda Geométrca MÉDIA HARMÔNICA Propredades da méda harmôca MODA MEDIANA...32 SEPARATRIZES DECIS PERCENTIL ou CENTIL Dspersão ou Varabldade: MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA Desvo quartl Desvo médo absoluto Desvo médo para Dados Tabulados DESVIO PADRÃO VARIÂNCIA MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA CVP: Coefcete de Varação de Pearso...44

2 2.2.2 CVT: Coefcete de Varação de Thordke CVQ: Coefcete Quartílco de Varação MEDIDAS DE ASSIMETRIA Coefcete de assmetra MEDIDAS DE CURTOSE Coefcete de curtose

3 INTRODUÇÃO ESTATÍSTICA: ramo da matemátca aplcada. ANTIGUIDADE: os povos já regstravam o úmero de habtates, ascmetos, óbtos. Fazam "estatístcas". IDADE MÉDIA: as formações eram tabuladas com faldades trbutáras e bélcas. SEC. XVI : surgem as prmeras aálses sstemátcas, as prmeras tabelas e os úmeros relatvos. SEC. XVIII : a estatístca com feção cetífca é batzada por GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas fcam mas completas, surgem as prmeras represetações gráfcas e os cálculos de probabldades. A estatístca dexa de ser uma smples tabulação de dados umércos para se torar " O estudo de como se chegar a coclusão sobre uma população, partdo da observação de partes dessa população (amostra)". 2 MÉTODO ESTATÍSTICO MÉTODO: é um meo mas efcaz para atgr determada meta. MÉTODOS CIENTÍFICOS: destacamos o método expermetal e o método estatístco. MÉTODO EXPERIMENTAL: cosste em mater costate todas as causas, meos uma, que sofre varação para se observar seus efetos, caso exstam. Ex: Estudos da Químca, Físca, etc. MÉTODO ESTATÍSTICO: date da mpossbldade de mater as causas costates(as cêcas socas), admtem todas essas causas presetes varado-as, regstrado essas varações e procurado determar, o resultado fal, que fluêcas cabem a cada uma delas. Ex: Quas as causas que defem o preço de uma mercadora quado a sua oferta dmu? Sera mpossível, o mometo da pesqusa, mater costates a uformdade dos saláros, o gosto dos cosumdores, ível geral de preços de outros produtos, etc. 2. A ESTATÍSTICA É uma parte da matemátca aplcada que forece métodos para coleta, orgazação, descrção, aálse e terpretação de dados e para a utlzação dos mesmos a tomada de decsões. A coleta, a orgazação, a descrção dos dados, o cálculo e a terpretação de coefcetes pertecem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, equato a aálse e a terpretação dos dados, assocado a uma margem de certeza, fcam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, também chamada como a medda da certeza ou métodos que se fudametam a teora da probabldade. 3

4 2.2 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA : Saber exatamete aqulo que se pretede pesqusar é o mesmo que defr corretamete o problema. 2º - PLANEJAMENTO : Como levatar formações? Que dados deverão ser obtdos? Qual levatameto a ser utlzado? Cestáro? Por amostragem? E o croograma de atvdades? Os custos evolvdos? etc. 3º - COLETA DE DADOS : Fase operacoal. É o regstro sstemátco de dados, com um objetvo determado. Dados prmáros: quado são publcados pela própra pessoa ou orgazação que os haja recolhdo. Ex: tabelas do ceso demográfco do IBGE. Dados secudáros: quado são publcados pro outra orgazação. Ex: quado determado joral publca estatístcas referetes ao ceso demográfco extraídas do IBGE. OBS: É mas seguro trabalhar com fotes prmáras. O uso da fote secudára traz o grade rsco de erros de trascrção. Coleta Dreta: quado é obtda dretamete da fote. Ex: Empresa que realza uma pesqusa para saber a preferêca dos cosumdores pela sua marca. A coleta dreta pode ser : cotíua (regstros de ascmeto, óbtos, casametos, etc.), peródca (receseameto demográfco, ceso dustral) e ocasoal (regstro de casos de degue). Coleta Idreta: É feta por deduções a partr dos elemetos cosegudos pela coleta dreta, por aaloga, por avalação,dícos ou proporcoalzação. 4º - APURAÇÃO DOS DADOS : Resumo dos dados através de sua cotagem e agrupameto. É a codesação e tabulação de dados. 5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS : Há duas formas de apresetação, que ão se excluem mutuamete. A apresetação tabular, ou seja é uma apresetação umérca dos dados em lhas e coluas dstrbuídas de modo ordeado, segudo regras prátcas fxadas pelo Coselho Nacoal de Estatístca. A apresetação gráfca dos dados umércos costtu uma apresetação geométrca permtdo uma vsão rápda e clara do feômeo. 6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS : A últma fase do trabalho estatístco é a mas mportate e delcada. Está lgada essecalmete ao cálculo de meddas e coefcetes, cuja faldade prcpal é descrever o feômeo (estatístca 4

5 descrtva). Na estatístca dutva a terpretação dos dados se fudametam a teora da probabldade. 3 FERRAMENTAS DE CÁLCULO PARA O ESTUDO DA ESTATÍSTICA Para um melhor apredzado remos revsar algus cálculos mportates como frações, porcetages, arredodametos e somatóros que serão de extrema mportâca o estudo da Estatístca. 3. FRAÇÃO È uma parte do todo ou seja um par ordeado ode o segudo úmero é dferete de zero. a/b, com a Є IN e b Є IN*. ( a pertece ao cojuto dos úmeros aturas e b pertece ao cojuto dos úmeros aturas ão ulos(com exclusão do zero). Fração Própra é aquela ode o umerador é meor que o deomador como por exemplo: 3/5, 2/7, 3/7, etc. Fração mprópra é aquela ode o umerador é gual ou maor que o deomador. Exemplo: 7/2, 4/4, 2/4 etc. Fração aparete é a fração ode o umerado é múltplo do deomador. Exemplo 2/4 represeta o úmero 3 pos 2:4 = 3 ; se o umerador é zero, a fração apreseta o úmero zero. Assm 0/5 = 0; todo úmero atural pode ser apresetado por uma fração com deomador. Assm 7 pode ser apresetado por 7/. Frações Equvaletes duas frações são equvaletes quado os produtos do umerador de um pelo deomador das outra são guas. Exemplo: para /2 e 2/4 ode temos: X 4 = 2 X 2 Smplfcação de frações basta dvdr ambos os termos por um dvsor comum. Exemplo : 3/6 = 3:3 e 6:3 = /2 Fração rredutível é aquela que os úmeros são prmos etre s (sto é, ão possuem outro dvsor comum a ão ser o úmero ). Exemplo: 7/7 é uma fração rredutível, pos 7 e 7 são úmeros prmos etre s. Comparação de frações Para compararmos duas ou mas frações devemos reduz-la ao mesmo deomador e lembrar que, de duas frações com o mesmo deomador, a maor é aquela que cotém o maor umerador. 3.. Adção e subtração a) Frações homogêeas coserva-se o deomador e adcoam-se ou subtraem os umeradores. Exemplo: 2/5 + 7/5 = 9/5 ou 7/3 2/3 = 5/3 b) Frações heterogêeas reduzem-se as frações ao mesmo deomador, obtedo-se dessa forma frações homogêeas. Exemplo: 4/5 + 2/3 = 2+0/5 = 22/5 5

6 3..2 Multplcação de frações Produto de umeradores por umeradores e deomadores por deomadores. Exemplo: 3/7 X 4/3 = 3 X 4 = 2 e 7 X 3 = 2 o que resulta em 2/2. O processo da multplcação pode ser facltado usado a smplfcação pelo cacelameto dos fatores comus dos umeradores e dos deomadores. Exemplo: 2/3 X 3/5 esse caso é possível smplfcar 3 por 3 ou seja 3:3 = fcado dessa forma 2 X = 2 e X 5 = 5 o que resulta em / Dvsão de frações Produto da prmera pelo verso da seguda. Exemplo: /2 : 3/7 = /2 X 7/3 = 7/ Potecação de Frações Devemos elevar o umerador e o deomador a esse expoete. Exemplo: (2/5)² = 2²/5² = 4/ PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM Deomamos razões percetuas as razões cujos coseqüetes sejam guas a 00. Exemplo : 30/00(trta por ceto) ; 20/00 (vte por ceto) 30/00 correspode a 30% e 20/00 correspode a 20%. Exemplo: ) Em uma classe de 30 aluos, 5 fora aprovados. Qual a taxa percetual de aprovação? x 30x = 00 X 5 => 30x = 500 => x = 500/30 = 50% 2) Ao comprar um lvro, obtve um descoto de R$ 3. Qual o preço do lvro sabedo que a taxa de descoto fo de 5%? 3 5 x - 00 => 5x = 300 => x = 300/5 = REGRAS DE ARREDONDAMENTO Mutas vezes, é coveete suprmr udades ferores às de determada ordem. Esta técca é deomada arredodameto de dados ou valores. De acordo com a resolução 886/66 do IBGE: ) < 5 (ou seja 0,,2,3,4) o últmo algarsmo a permaecer fca alterado exemplo: se quser arredodar para o mas próxmo décmo (uma casa após a vírgula) o segute 6

7 úmero 53,24, podemos observar que abadoaremos o 4 que é meor que 5 portato osso arredodameto fcará 53,2; se desejar arredodar para o mas próxmo cetésmo 53,242 abadoaremos o dos, logo 53,24; Obs: tero 53,2-53 2) >5 (ou seja 6,7,8,9) o últmo úmero a permaecer aumetará em uma udade exemplo : 53,26 logo abadoamos o 6 (>5) 53,3 (quado décmo), desejado arredodar para o cetésmo mas próxmo 53,267 53,27; obs: tero 53,6-54 3) = 5 Se o 5 for o últmo algarsmo ou se ao 5 só segurem zeros, o últmo algarsmo a permaecer só será aumetado se for ímpar. exemplo : arredodar para o mas próxmo décmo 53,25 abadoamos o cco e o dos como úmero par permaecerá 53,2, se caso fosse 53,35 o três como úmero ímpar sera aumetado em uma udade ou seja 53,4 e essa regra se sucede com cetésmos. 3.4 SOMATÓRIO As operações de somatóro são de grade mportâca para a Estatístca por facltar a dcação e formulação de meddas, bem como algumas operações algébrcas ÍNDICES OU NOTAÇÃO POR ÍNDICES O símbolo X (lê-se X ídce ) represeta qualquer um dos valores, X, X 2,...,X, assumdos pela varável X, a amostra ou o cojuto de dados. Exemplo: Seja X a varável peso de 0 coelhos abatdos com 90 das: X X 2 X X 0 2,4 2,4 2,5 2,5 2,5 2,6 2,6 2,6 2,6 2, NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO Para desgar o somatóro utlza-se a letra grega sgma maúsculo ( Σ ), que deve ser X = ldo SOMATÓRIO ou SOMA DE. O símbolo, é usado para represetar a soma de todos os valores X desde = até =, ou seja por defção: X = +...+X, lê-se da segute maera: somatóro de X, com varado de a. Vamos utlzar o exemplo do peso dos coelhos. 0 = X = X +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 +X 7 +X 8 +X 9 +X 0 = X + X 2 7

8 0 = 0 = X = 2,47+2,49+2,56+2,56+2,59+2,6+2,62+2,62+2,62+2,7 X = 25, NÚMERO DE TERMOS DO SOMATÓRIO(NT) Correspode ao úmero de termos que farão parte da soma. Tem-se duas formas de calcular o NT: resposavél NT = Ls L + (sem restrção) NT = Ls L + - r (com restrção). Em que, Ls = lmte superor do somatóro; L = lmte feror do somatóro; r = úmero de restrções o somatóro(ou seja, úmero de termos que ão farão parte da soma Ex.: SEM RESTRIÇÃO 0 = X = X +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 +X 7 +X 8 + X 9 +X 0 = 25,84 NT = 0-+ = 0 Ex.: COM DUAS RESTRIÇÕES(r=2) 0 =,3 X = X2 +X 4 +X 5 +X 6 +X 7 +X 8 + X 9 +X 0 = 20,8 NT = = PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO ª) K = NT. K, sedo K uma costate e NT=úmero de termos. = 0 Ex.: 2 = (0-+).2 = 0.2 = 20 = 2ª) K. X = K X = = Ex.: 0 = 0 2. X = 2. X = 2.( X +X X 0 ) = 2. 25,84 = 5,68 = 8

9 3ª) = = = ± = ± j j Y X Y X ) ( ) ( ) ( EX.: Cosderado duas varáves X e Y, em que: X = 2 X 2 = 4 X 3 = 6 Y = 2 Y 2 = 4 Y 3 = 6 = = = + = + j j Y X Y X ) ( =(X +X 2 +X 3 )+(Y +Y 2 +Y 3 )=(2+4+6)+ (3+5+9)=2+7=29 4ª) = = = ± = ± j K X K X ) ( = = ± X ) ( NT.K 5ª) = = = j j Y X X Y EX.: Cosderado duas varáves X e Y, em que: X = 2 X 2 = 4 X 3 = 6 Y = 2 Y 2 = 4 Y 3 = 6 X Y = =X Y +X 2 Y 2 +X 3 Y 3 = = =80 = = j X Y =(X +X 2 +X 3 ).(Y +Y 2 +Y 3 )=(2+4+6).(3+5+9)=2.7=204. Logo Ao X Y = dá-se o ome de SOMA DE PRODUTOS e ao = = j X Y dá-se o ome de PRODUTO DA SOMA. 6ª) 2 2 = = X I X EX.: = X I 2 = X X X =(2,47) 2 +(2,49) (2,70) 2 = 66,8 2 = X = (25,84) 2 = 667,7 9

10 X I = Ao 2 dá-se o ome de SOMA DE QUADRADOS e ao de QUADRADO DA SOMA. = X 2 dá-se o ome 4 DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA FENÔMENO ESTATÍSTICO: é qualquer eveto que se preteda aalsar, cujo estudo seja possível da aplcação do método estatístco. São dvddos em três grupos: Feômeos de massa ou coletvo: são aqueles que ão podem ser defdos por uma smples observação. A estatístca dedca-se ao estudo desses feômeos. Ex: A ataldade a Grade Vtóra, O preço médo da cerveja o Espírto Sato, etc. Feômeos dvduas:são aqueles que rão compor os feômeos de massa. Ex: cada ascmeto a Grade Vtóra, cada preço de cerveja o Espírto Sato, etc. Feômeos de multdão:quado a s característcas observadas para a massa ão se verfcam para o partcular. DADO ESTATÍSTICO: é um dado umérco e é cosderado a matéra-prma sobre a qual remos aplcar os métodos estatístcos. POPULAÇÃO: é o cojuto total de elemetos portadores de, pelo meos, uma característca comum. AMOSTRA: é uma parcela represetatva da população que é examada com o propósto de trarmos coclusões sobre a essa população. PARÂMETROS: São valores sgulares que exstem a população e que servem para caracterzá-la.para defrmos um parâmetro devemos examar toda a população.ex: Os aluos do 2º ao da SEPLAN têm em méda,70 metros de estatura. ESTIMATIVA: é um valor aproxmado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra. ATRIBUTO: quado os dados estatístcos apresetam um caráter qualtatvo, o levatameto e os estudos ecessáros ao tratameto desses dados são desgados geercamete de estatístca de atrbuto. Exemplo de classfcação dcotômca do atrbuto: A classfcação dos aluos da SEPLAN quato ao sexo. atrbuto: sexo...classe: aluos da SEPLAN dcotoma: duas subclasses ( masculo e femo) 0

11 Exemplo de classfcação polcotômca do atrbuto: Aluos da SEPLAN quato ao estado cvl. atrbuto: estado cvl...classe: aluos da SEPLAN dcotoma: mas de duas subclasses ( soltero, casado, dvorcado, vúvo, etc.) VARIÁVEL: É, covecoalmete, o cojuto de resultados possíves de um feômeo. VARIÁVEL QUALITATIVA: Quado seu valores são expressos por atrbutos: sexo, cor da pele,etc. VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quado os dados são de caráter tdamete quattatvo, e o cojuto dos resultados possu uma estrutura umérca, trata-se portato da estatístca de varável e se dvdem em : VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA: Seus valores são expressos geralmete através de úmeros teros ão egatvos. Resulta ormalmete de cotages.ex: Nº de aluos presetes às aulas de trodução à estatístca ecoômca o º semestre de 997: mar = 8, abr = 30, ma = 35, ju = 36. VARIÁVEL CONTÍNUA: Resulta ormalmete de uma mesuração, e a escala umérca de seus possíves valores correspode ao cojuto R dos úmeros Reas, ou seja, podem assumr, teorcamete, qualquer valor etre dos lmtes. Ex.: Quado você va medr a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúro o que ocorre é o segute: O flete de mercúro, ao dlatar-se, passará por todas as temperaturas termedáras até chegar a temperatura atual do seu corpo. 5 AMOSTRAGEM É uma técca especal para recolher amostras, que garatem, tato quato possível, o acaso a escolha. 5. AMOSTRAGEM CASUAL OU ALEATÓRIA SIMPLES: É equvalete a um sorteo lotérco. Pode ser realzada umerado-se a população de a e sorteado-se, a segur, por meo de um dspostvo aleatóro qualquer, x úmeros dessa seqüêca, os quas correspoderão aos elemetos pertecetes à amostra. Exemplo: Vamos obter uma amostra, de 0%, represetatva para a pesqusa da estatura de 90 aluos de uma escola: º - umeramos os aluos de a 90. 2º - escrevemos os úmeros dos aluos, de a 90, em pedaços guas de papel, colocamos a ura e após mstura retramos, um a um, ove úmeros que formarão a amostra.

12 OBS: quado o úmero de elemetos da amostra é muto grade, esse tpo de sorteo tora-se muto trabalhoso. Neste caso utlza-se uma Tabela de úmeros aleatóros, costruída de modo que os algarsmos de 0 a 9 são dstrbuídos ao acaso as lhas e coluas. 5.2 AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA Quado a população se dvde em estratos (subpopulações), covém que o sorteo dos elemetos da amostra leve em cosderação tas estratos, daí obtemos os elemetos da amostra proporcoal ao úmero de elemetos desses estratos. Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcoal estratfcada, de 0%, do exemplo ateror, supodo, que, dos 90 aluos, 54 sejam meos e 36 sejam meas. São portato dos estratos (sexo masculo e sexo femo). Logo, temos: SEXO POPULACÃO 0 % AMOSTRA MASC. 54 5,4 5 FEMIN. 36 3,6 4 Total 90 9,0 9 Numeramos etão os aluos de 0 a 90, sedo 0 a 54 meos e 55 a 90, meas e procedemos o sorteo casual com ura ou tabela de úmeros aleatóros. 5.3 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Quado os elemetos da população já se acham ordeados, ão há ecessdade de costrur o sstema de referêca. São exemplos os protuáros médcos de um hosptal, os prédos de uma rua, etc. Nestes casos, a seleção dos elemetos que costturão a amostra pode ser feta por um sstema mposto pelo pesqusador. Exemplo: Supohamos uma rua com 900 casas, das quas desejamos obter uma amostra formada por 50 casas para uma pesqusa de opão. Podemos, este caso, usar o segute procedmeto: como 900/50 = 8, escolhemos por sorteo casual um úmero de 0 a 8, o qual dcara o prmero elemeto sorteado para a amostra; os demas elemetos seram perodcamete cosderados de 8 em 8. Assm, supohamos que o úmero sorteado fosse 4 a amostra sera: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc. 6 SÉRIES ESTATÍSTICAS É qualquer tabela que apreseta a dstrbução de um cojuto de dados estatístcos em fução da época, do local ou da espéce. TABELA: É um quadro que resume um cojuto de dados dspostos segudo lhas e coluas de maera sstemátca. 2

13 De acordo com a Resolução 886 do IBGE, as casas ou células da tabela devemos colocar : um traço horzotal ( - ) quado o valor é zero; três potos (... ) quado ão temos os dados; zero ( 0 ) quado o valor é muto pequeo para ser expresso pela udade utlzada; um poto de terrogação (? ) quado temos dúvda quato à exatdão de determado valor. Séres Homógradas: são aquelas em que a varável descrta apreseta varação dscreta ou descotíua. Podem ser do tpo temporal, geográfca ou específca. a) Sére Temporal: Idetfca-se pelo caráter varável do fator croológco. O local e a espéce (feômeo) são elemetos fxos. Esta sére também é chamada de hstórca ou evolutva. ABC VEÍCLULOS LTDA. Vedas o º bmestre de 996 * Em ml udades PERÍODO UNIDADES VENDIDAS * JAN/96 20 FEV/96 0 TOTAL 30.b) Sére Geográfca: Apreseta como elemeto varável o fator geográfco. A época e o fato (espéce) são elemetos fxos. Também é chamada de espacal, terrtoral ou de localzação. ABC VEÍCLULOS LTDA. Vedas o º bmestre de 996 * Em ml udades FILIAIS UNIDADES VENDIDAS * SÃO PAULO 3 RIO DE JANEIRO 7 TOTAL 30 3

14 c) Sére Específca: O caráter varável é apeas o fato ou espéce. Também é chamada de sére categórca. ABC VEÍCLULOS LTDA. Vedas o º bmestre de 996 * Em ml udades MARCA UNIDADES VENDIDAS * FIAT 8 GM 2 TOTAL 30 SÉRIES CONJUGADAS: Também chamadas de tabelas de dupla etrada. São apropradas à apresetação de duas ou mas séres de maera cojugada, havedo duas ordes de classfcação: uma horzotal e outra vertcal. O exemplo abaxo é de uma sére geográfca-temporal. ABC VEÍCLULOS LTDA. Vedas o º bmestre de 996 * Em ml udades FILIAIS Jaero/96 Feverero/96 SÃO PAULO 0 3 RIO DE JANEIRO 2 5 TOTAL GRÁFICOS ESTATÍSTICOSGGG São represetações vsuas dos dados estatístcos que devem correspoder, mas uca substtur as tabelas estatístcas. Característcas: Uso de escalas, sstema de coordeadas, smplcdade, clareza e veracdade. Gráfcos de formação: São gráfcos destados prcpalmete ao públco em geral, objetvado proporcoar uma vsualzação rápda e clara. São gráfcos tpcamete 4

15 expostvos, dspesado cometáros explcatvos adcoas. As legedas podem ser omtdas, desde que as formações desejadas estejam presetes. Gráfcos de aálse: São gráfcos que prestam-se melhor ao trabalho estatístco, forecedo elemetos útes à fase de aálse dos dados, sem dexar de ser também formatvos. Os gráfcos de aálse freqüetemete vêm acompahados de uma tabela estatístca. Iclu-se, mutas vezes um texto explcatvo, chamado a ateção do letor para os potos prcpas revelados pelo gráfco. Uso devdo de Gráfcos: Podem trazer uma déa falsa dos dados que estão sedo aalsados, chegado mesmo a cofudr o letor. Trata-se, a realdade, de um problema de costrução de escalas..classfcação dos gráfcos: Dagramas, Estereogramas, Pctogramas e Cartogramas. 7. Dagramas São gráfcos geométrcos dspostos em duas dmesões. São os mas usados a represetação de séres estatístcas. Eles podem ser :.- Gráfcos em barras horzotas..2- Gráfcos em barras vertcas ( coluas ). Quado as legedas ão são breves usa-se de preferêca os gráfcos em barras horzotas. Nesses gráfcos os retâgulos têm a mesma base e as alturas são proporcoas aos respectvos dados. A ordem a ser observada é a croológca, se a sére for hstórca, e a decrescete, se for geográfca ou categórca..3- Gráfcos em barras compostas..4- Gráfcos em coluas superpostas. 5

16 Eles dferem dos gráfcos em barras ou coluas covecoas apeas pelo fato de apresetar cada barra ou colua segmetada em partes compoetes. Servem para represetar comparatvamete dos ou mas atrbutos..5- Gráfcos em lhas ou leares. São freqüetemete usados para represetação de séres croológcas com um grade úmero de períodos de tempo. As lhas são mas efcetes do que as coluas, quado exstem tesas flutuações as séres ou quado há ecessdade de se represetarem váras séres em um mesmo gráfco. Quado represetamos, em um mesmo sstema de coordeadas, a varação de dos feômeos, a parte tera da fgura formada pelos gráfcos desses feômeo é deomada de área de excesso..5- Gráfcos em setores. Este gráfco é costruído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a partcpação do dado o total. O total é represetado pelo círculo, que fca dvddo em tatos setores quatas são as partes. Os setores são tas que suas áreas são respectvamete proporcoas aos dados da sére. O gráfco em setores só deve ser empregado quado há, o máxmo, sete dados. Obs: As séres temporas geralmete ão são represetadas por este tpo de gráfco. 7.2 Estereogramas São gráfcos geométrcos dspostos em três dmesões, pos represetam volume. São usados as represetações gráfcas das tabelas de dupla etrada. Em algus casos este tpo de gráfco fca dfícl de ser terpretado dada a pequea precsão que oferecem. 6

17 7.3 Pctogramas São costruídos a partr de fguras represetatvas da tesdade do feômeo. Este tpo de gráfco tem a vatagem de despertar a ateção do públco lego, pos sua forma é atraete e sugestva. Os símbolos devem ser auto-explcatvos. A desvatagem dos pctogramas é que apeas mostram uma vsão geral do feômeo, e ão de detalhes mucosos. Veja o exemplo abaxo: 7.4 Cartogramas São lustrações relatvas a cartas geográfcas (mapas). O objetvo desse gráfco é o de fgurar os dados estatístcos dretamete relacoados com áreas geográfcas ou polítcas. 7

18 8 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA É um tpo de tabela que codesa uma coleção de dados coforme as freqüêcas (repetções de seus valores). Tabela prmtva ou dados brutos:é uma tabela ou relação de elemetos que ão foram umercamete orgazados. É dfícl formarmos uma déa exata do comportameto do grupo como um todo, a partr de dados ão ordeados. Ex : 45, 4, 42, 4, 42 43, 44, 4,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 5 ROL:É a tabela obtda após a ordeação dos dados (crescete ou decrescete). Ex : 4, 4, 4, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 5, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 Dstrbução de freqüêca sem tervalos de classe: É a smples codesação dos dados coforme as repetções de seu valores. Para um ROL de tamaho razoável esta dstrbução de freqüêca é coveete, já que exge muto espaço. Veja exemplo abaxo: Dados Freqüêca

19 Total 20 Dstrbução de freqüêca com tervalos de classe:quado o tamaho da amostra é elevado é mas racoal efetuar o agrupameto dos valores em város tervalos de classe. Classes Freqüêcas Total 20 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA (com tervalos de classe): CLASSE: são os tervalos de varação da varável e é smbolzada por e o úmero total de classes smbolzada por k. Ex: a tabela ateror k=5 e é a 3ª classe, ode =3. LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O meor úmero é o lmte feror de classe (l) e o maor úmero, lmte superor de classe(l). Ex: em l3= 49 e L3= 53. O símbolo represeta um tervalo fechado à esquerda e aberto à dreta. O dado 53 do ROL ão pertece a classe 3 e sm a classe 4 represetada por AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtda através da dfereça etre o lmte superor e feror da classe e é smbolzada por h = L - l. Ex: a tabela ateror h= = 4. Obs: Na dstrbução de freqüêca c/ classe o h será gual em todas as classes. AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a dfereça etre o lmte superor da últma classe e o lmte feror da prmera classe. AT = L(max) - l(m). Ex: a tabela ateror AT = 6-4= 20. AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a dfereça etre o valor máxmo e o valor mímo da amostra (ROL). Ode AA = Xmax - Xm. Em osso exemplo AA = 60-4 = 9. Obs: AT sempre será maor que AA. 9

20 PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o poto que dvde o tervalo de classe em duas partes guas....ex: em o poto médo x3 = (53+49)/2 = 5, ou seja x3=(l3+l3)/2. MÉTODO PRÁTICO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA DIST. DE FREQUÊNCIAS C/ CLASSE: º - Orgaze os dados brutos em um ROL. 2º - Calcule a ampltude amostral AA. No osso exemplo: AA =60-4 =9 3º - Calcule o úmero de classes através da Regra de Sturges: Fórmula de Sturges: K = + 3,3. log 0 N ode: N = Número de observações K = Número de classes = º de classes Obs: Qualquer regra para determação do º de classes da tabela ão os levam a uma decsão fal; esta va depeder, a realdade de um julgameto pessoal, que deve estar lgado à atureza dos dados. No osso exemplo: = 20 dados, etão, a prcípo, a regra sugere a adoção de 5 classes. 4º - Decddo o º de classes, calcule etão a ampltude do tervalo de classe h > AA/. No osso exemplo: AA/ = 9/5 = 3,8. Obs: Como h > AA/ um valor lgeramete superor para haver folga a últma classe. Utlzaremos etão h = 4 5º - Temos etão o meor º da amostra, o º de classes e a ampltude do tervalo. Podemos motar a tabela, com o cudado para ão aparecer classes com freqüêca = 0 (zero). 20

21 No osso exemplo: o meor º da amostra = 4 + h = 45, logo a prmera classe será represetada por As classes segutes respetarão o mesmo procedmeto. O prmero elemeto das classes segutes sempre serão formadas pelo últmo elemeto da classe ateror. 9 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO.Hstograma, Polígoo de freqüêca e Polígoo de freqüêca acumulada Em todos os gráfcos acma utlzamos o prmero quadrate do sstema de exos coordeados cartesaos ortogoas. Na lha horzotal (exo das abscssas) colocamos os valores da varável e a lha vertcal (exo das ordeadas), as freqüêcas..hstograma: é formado por um cojuto de retâgulos justapostos, cujas bases se localzam sobre o exo horzotal, de tal modo que seus potos médos cocdam com os potos médos dos tervalos de classe. A área de um hstograma é proporcoal à soma das freqüêcas smples ou absolutas. freqüêcas smples ou absolutas: são os valores que realmete represetam o úmero de dados de cada classe. A soma das freqüêcas smples é gual ao úmero total dos dados da dstrbução. freqüêcas relatvas: são os valores das razões etre as freqüêcas absolutas de cada classe e a freqüêca total da dstrbução. A soma das freqüêcas relatvas é gual a (00 %)..Polígoo de freqüêca: é um gráfco em lha, sedo as freqüêcas marcadas sobre perpedculares ao exo horzotal, levatadas pelos potos médos dos tervalos de classe. Para realmete obtermos um polígoo (lha fechada), devemos completar a fgura, lgado os extremos da lha obtda aos potos médos da classe ateror à prmera e da posteror à últma, da dstrbução..polígoo de freqüêca acumulada: é traçado marcado-se as freqüêcas acumuladas sobre perpedculares ao exo horzotal, levatadas os potos correspodetes aos lmtes superores dos tervalos de classe. freqüêca smples acumulada de uma classe:é o total das freqüêcas de todos os valores ferores ao lmte superor do tervalo de uma determada classe. freqüêca relatva acumulada de um classe:é a freqüêca acumulada da classe, dvdda pela freqüêca total da dstrbução....classe.....f......x......fr......f......fr ,00 4 0, , ,325 2

22 , , , , , , ,075 40,000 Total 40,000 Com base a tabela acma: Sedo f= freq. smples; x= poto médo de classe; fr= freq. smples acumulada; F= freq. relatva e Fr= freq. relatva acumulada. Costrua o hstograma, polígoo de freqüêca e polígoo de freq. acumulada: Obs: uma dstrbução de freqüêca sem tervalos de classe é represetada grafcamete por um dagrama ode cada valor da varável é represetado por um segmeto de reta vertcal e de comprmeto proporcoal à respectva freqüêca..a Curva de freqüêca ( Curva polda): Equato o polígoo de freqüêca os dá a magem real do feômeo estudado, a curva de freqüêca os dá a magem tedecal. O polmeto (geometrcamete, correspode à elmação dos vértces da lha polgoal) de um polígoo de freqüêca os mostra o que sera tal polígoo com um úmero maor de dados em amostras mas amplas. Cosegue-se sso com o emprego de uma fórmula bastate smples: fc = ( fat + 2f + fpost ) / 4...ode: fc = freqüêca calculada da classe cosderada (freq. polda) f = freqüêca smples da classe cosderada fat = freqüêca smples da classe ateror à da classe cosderada fpost = freqüêca smples da classe posteror à da classe cosderada. Com base a tabela ateror, costrua o gráfco da curva polda a partr das freqüêcas calculadas: 0 MEDIDAS DE POSIÇÃO Itrodução São as estatístcas que represetam uma sére de dados oretado-os quato à posção da dstrbução em relação ao exo horzotal do gráfco da curva de freqüêca. 22

23 As meddas de posções mas mportates são as meddas de tedêca cetral ou promédas (verfca-se uma tedêca dos dados observados a se agruparem em toro dos valores cetras). As meddas de tedêca cetral mas utlzadas são: méda artmétca, moda e medaa. Outros promédos meos usados são as médas: geométrca, harmôca, quadrátca, cúbca e bquadrátca. As outras meddas de posção são as separatrzes, que eglobam: a própra medaa, os decs, os quarts e os percets. 0. Méda Artmétca É gual ao quocete etre a soma dos valores do cojuto e o úmero total dos valores..dados ão-agrupados:...ode x são os valores da varável e o úmero de valores. Quado desejamos cohecer a méda dos dados ão-agrupados em tabelas de freqüêcas, determamos a méda artmétca smples. Exemplo: Sabedo-se que a veda dára de arroz tpo A, durate uma semaa, fo de 0, 4, 3, 5, 6, 8 e 2 klos, temos, para veda méda dára a semaa de:.= ( ) / 7 = 4 klos Desvo em relação à méda: é a dfereça etre cada elemeto de um cojuto de valores e a méda artmétca, ou seja:.. d = X - No exemplo ateror temos sete desvos:... d = 0-4 = - 4,...d2 = 4-4 = 0,...d3 = 3-4 = -,...d4 = 5-4 =,... d5 = 6-4 = 2,... d6 = 8-4 = 4...e... d7 = 2-4 = Propredades da méda ª propredade: A soma algébrca dos desvos em relação à méda é ula. No exemplo ateror : d+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0 2ª propredade: Somado-se (ou subtrado-se) uma costate (c) a todos os valores de uma varável, a méda do cojuto fca aumetada ( ou dmuída) dessa costate. 23

24 Se o exemplo orgal somarmos a costate 2 a cada um dos valores da varável temos: Y = / 7 = 6 klos ou Y =.+ 2 = 4 +2 = 6 klos 3ª propredade: Multplcado-se (ou dvddo-se) todos os valores de uma varável por uma costate (c), a méda do cojuto fca multplcada ( ou dvdda) por essa costate. Se o exemplo orgal multplcarmos a costate 3 a cada um dos valores da varável temos: Y = / 7 = 42 klos ou Y = x 3 = 4 x 3 = 42 klos.dados agrupados: Sem tervalos de classe Cosderemos a dstrbução relatva a 34 famílas de quatro flhos, tomado para varável o úmero de flhos do sexo masculo. Calcularemos a quatdade méda de meos por famíla: Nº de meos freqüêca = f total 34 Como as freqüêcas são úmeros dcadores da tesdade de cada valor da varável, elas fucoam como fatores de poderação, o que os leva a calcular a méda artmétca poderada, dada pela fórmula:..x...f...x.f. 24

25 total ode 78 / 34 = 2,3 meos por famíla Com tervalos de classe Neste caso, covecoamos que todos os valores cluídos em um determado tervalo de classe cocdem com o seu poto médo, e determamos a méda artmétca poderada por meo da fórmula:..ode X é o poto médo da classe. Exemplo: Calcular a estatura méda de bebês coforme a tabela abaxo. Estaturas (cm) freqüêca = f poto médo = x..x.f Total Aplcado a fórmula acma temos: / 40.= 6. logo... = 6 cm 0.2 Méda Geométrca É a raz -ésma do produto de todos eles. Méda Geométrca Smples: ou. Exemplo - Calcular a méda geométrca dos segutes cojutos de úmeros:e a) { 0, 60, 360 }... o excel : =(0*60*360)^(/3)...R: 60 b) { 2, 2, 2 }... o excel : =(2*2*2)^(/3)...R: 2 25

26 c) {, 4, 6, 64 }... o excel : =(*4*6*64)^(/4)...R: 8.Méda Geométrca Poderada : ou.. Exemplo - Calcular a méda geométrca dos valores da tabela abaxo:...x......f total 9 No excel...=(^2*3^4*9^2*27^)^(/9)...r: 3, Propredades da Méda Geométrca ª propredade: O produto dos quocetes de cada valor de um cojuto de úmeros pela méda geométrca do cojuto é =. Exemplo - Comprovar a ª propredade da méda geométrca com os dados { 0, 60, 360 } g = ode... 0/60 x 60/60 x 360/60 =.2ª propredade: Séres que apresetam o mesmo úmero de elemetos com o mesmo produto têm a mesma méda geométrca. Exemplo - Comprovar a 2ª propredade da méda geométrca com os dados: a = {8 e 2,5}...b = {2 e 50} ga = 0... gb = 0.3ª propredade: A méda geométrca é meor ou gual a méda artmétca. A desgualdade g <..sempre se verfca, quado os valores da sére forem postvos e em todos guas. Se etre eles houver um ou mas zeros, a méda geométrca será ula. 26

27 A gualdade g =..só ocorrerá quado todos os valores da sére forem guas..4ª propredade: Quato maor a dfereça etre os valores orgas maor será dfereça etre as médas artmétca e geométrca. Veja a tabela abaxo: cojuto méda artmétca méda geométrca X = {2, 2} 2 2 Y = {4, 6} 5 4,97 W = {8, 2} 0 9,8 Z = {2, 50} 26 0.Aplcações da Méda Geométrca a) Méda de Relações Empresa Captal líqudo Dívda Captal líqudo/dívda A ,5 B ,5 g = o excel...=(2,5*0,5)^(/2)...r:,80 Obs: Se, para uma determada empresa, se deseja estabelecer uma relação do tpo captal/dívda que seja depedete da dívda ou do captal das dferetes empresas evolvdas, é recomedável o uso da méda geométrca. Se o que se deseja saber é a relação captal/dívda de um certo úmero de empresas, após a cosoldação, a cfra correta será obtda através da méda artmétca. b) Méda em dstrbuções assmétrcas ( veremos em capítulo especal ) c) Méda de taxas de varação Exemplo: Supohamos que um dvíduo teha aplcado um captal de R$ 500,00 em 995. Após um ao de aplcação, essa mportâca chegou a R$ 650,00. Reaplcado essa últma quata, ao fal de mas um ao seu motate stuava-se em R$ 90,00. Qual a taxa méda de aumeto de captal? Período Taxa 995 a /500 =,3 996 a /650 =,4 A taxa méda será o excel..=(,3*,4)^(/2) ou a raz quadrada do produto de,3 e,4. Resposta:,349 27

28 0.3 MÉDIA HARMÔNICA É o verso da méda artmétca dos versos..méda Harmôca Smples:.(para dados ão agrupados).. ou Exemplo - Calcular a méda harmôca smples dos segutes cojutos de úmeros: a) { 0, 60, 360 }. Resp:.. 3/(/0+/60+/360) = 25,2 b) { 2, 2, 2, 2 }. Resp:.... 4/(/2+/2+/2+/2) = Méda Harmôca Poderada : (para dados agrupados em tabelas de freqüêcas).. Exemplo - Calcular a méda harmôca dos valores da tabela abaxo: classes...f......x......f/x /2 =, /4 =, /6 =, /8 = 0, /0 = 0,20 total 20 4,03 Resp: 20 / 4,03 = 4, Propredades da méda harmôca A méda harmôca é meor que a méda geométrca para valores da varável dferetes de zero. h < g.. e por extesão de racocío podemos escrever :.. h < g < 28

29 OBS: A méda harmôca ão aceta valores guas a zero como dados de uma sére. A gualdade g = h.=...só ocorrerá quado todos os valores da sére forem guas. OBS: Quado os valores da varável ão forem muto dferetes, verfca-se aproxmadamete a segute relação: g = (.+ h ) /.2 Demostraremos a relação acma com os segutes dados: z = { 0, ; 0, ; 0,2 ; 0,4 ; 0,5 } Méda artmétca = 5,3 / 5 = 0,2600 Méda geométrca = 0,2587 Méda harmôca = 5 / 0, = 0,2574 Comprovado a relação: 0, ,2574 / 2 = 0,2587 = méda geométrca.0.4 MÉDIA QUADRÁTICA É a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados Méda Quadrátca Smples: (para dados ão agrupados) Exemplo - Calcular a méda quadrátca smples do segute cojuto de úmeros: a = { 2, 3, 4, 5 }...Resp: 3,67.Méda Quadrátca Poderada: Quado os valores da varável estverem dspostos em uma tabela de freqüêcas, a méda quadrátca será determada pela segute expressão: Exemplo - Calcular a méda quadrátca dos valores da tabela abaxo: 29

30 classes...f......x f Total No excel...=( 2298/42 )^(/2)...Resp: 7,40 ou aplca-se a raz quadrada sobre 2298/42 OBS: Sempre que os valores de X forem postvos e pelo meos um dado dferete é válda a segute relação: q > > g > h A gualdade etre as médas acma se verfca quado os valores da varável forem guas (costates) A méda quadrátca é largamete utlzada em Estatístca, prcpalmete quado se pretede calcular a méda de desvos ( x -.), em vez de a méda dos valores orgas. Neste caso, a méda quadrátca é deomada desvo-padrão, que é uma mportate medda de dspersão. 0.5 MODA É o valor que ocorre com maor freqüêca em uma sére de valores. Mo é o símbolo da moda. Desse modo, o saláro modal dos empregados de uma fábrca é o saláro mas comum, sto é, o saláro recebdo pelo maor úmero de empregdos dessa fábrca..a Moda quado os dados ão estão agrupados A moda é faclmete recohecda: basta, de acordo com defção, procurar o valor que mas se repete. Exemplo: Na sére { 7, 8, 9, 0, 0, 0,, 2 } a moda é gual a 0. Há séres as quas ão exsta valor modal, sto é, as quas ehum valor apareça mas vezes que outros. Exemplo: { 3, 5, 8, 0, 2 } ão apreseta moda. A sére é amodal. 30

31 .Em outros casos, pode haver dos ou mas valores de cocetração. Dzemos, etão, que a sére tem dos ou mas valores modas. Exemplo: { 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } apreseta duas modas: 4 e 7. A sére é bmodal..a Moda quado os dados estão agrupados a) Sem tervalos de classe Uma vez agrupados os dados, é possível determar medatamete a moda: basta fxar o valor da varável de maor freqüêca. Exemplo: Qual a temperatura mas comum medda o mês abaxo: Temperaturas freqüêca 0º C 3 º C 9 2º C 2 3º C 6 Resp: 2º C é a temperatura modal, pos é a de maor freqüêca. b) Com tervalos de classe A classe que apreseta a maor freqüêca é deomada classe modal. Pela defção, podemos afrmar que a moda, este caso, é o valor domate que está compreeddo etre os lmtes da classe modal. O método mas smples para o cálculo da moda cosste em tomar o poto médo da classe modal. Damos a esse valor a deomação de moda bruta. Mo = ( l* + L* ) / 2 ode l* = lmte feror da classe modal e L*= lmte superor da classe modal. Exemplo: Calcule a estatura modal coforme a tabela abaxo. Classes (em cm) freqüêca Resp: a classe modal é , pos é a de maor freqüêca. l*=58 e L*=62 Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor é estmado, pos ão cohecemos o valor real da moda). 3

32 .Método mas elaborado pela fórmula de CZUBER: Mo = l* + (d/(d+d2)) x h* l*= lmte feror da classe modal... e... L*= lmte superor da classe modal d= freqüêca da classe modal - freqüêca da classe ateror à da classe modal d2= freqüêca da classe modal - freqüêca da classe posteror à da classe modal h*= ampltude da classe modal Obs: A moda é utlzada quado desejamos obter uma medda rápda e aproxmada de posção ou quado a medda de posção deva ser o valor mas típco da dstrbução. Já a méda artmétca é a medda de posção que possu a maor establdade. 0.6 MEDIANA A medaa de um cojuto de valores, dspostos segudo uma ordem ( crescete ou decrescete), é o valor stuado de tal forma o cojuto que o separa em dos subcojutos de mesmo úmero de elemetos. Símbolo da medaa: Md.A medaa em dados ão-agrupados Dada uma sére de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 3, 9, 5, 0 } De acordo com a defção de medaa, o prmero passo a ser dado é o da ordeação (crescete ou decrescete) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 0, 3, 5 } O valor que dvde a sére acma em duas partes guas é gual a 9, logo a Md = 9. Método prátco para o cálculo da Medaa Se a sére dada tver úmero ímpar de termos: O valor medao será o termo de ordem dado pela fórmula :.( + ) / 2 Exemplo: Calcule a medaa da sére {, 3, 0, 0, 2, 4,, 2, 5 } º - ordear a sére { 0, 0,,, 2, 2, 3, 4, 5 } = 9 logo ( + )/2 é dado por (9+) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemeto da sére ordeada será a medaa A medaa será o 5º elemeto = 2 32

33 .Se a sére dada tver úmero par de termos: O valor medao será o termo de ordem dado pela fórmula :...[( /2 ) +( /2+ )] / 2 Obs: /2 e (/2 + ) serão termos de ordem e devem ser substtuídos pelo valor correspodete. Exemplo: Calcule a medaa da sére {, 3, 0, 0, 2, 4,, 3, 5, 6 } º - ordear a sére { 0, 0,,, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } = 0 logo a fórmula fcará: [( 0/2 ) + (0/2 + )] / 2 [( 5 + 6)] / 2 será a realdade (5º termo+ 6º termo) / 2 5º termo = 2 6º termo = 3 A medaa será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5. A medaa o exemplo será a méda artmétca do 5º e 6º termos da sére. Notas: Quado o úmero de elemetos da sére estatístca for ímpar, haverá cocdêca da medaa com um dos elemetos da sére. Quado o úmero de elemetos da sére estatístca for par, uca haverá cocdêca da medaa com um dos elemetos da sére. A medaa será sempre a méda artmétca dos 2 elemetos cetras da sére. Em um sére a medaa, a méda e a moda ão têm, ecessaramete, o mesmo valor. A medaa, depede da posção e ão dos valores dos elemetos a sére ordeada. Essa é uma da dfereças marcates etre medaa e méda ( que se dexa fluecar, e muto, pelos valores extremos). Vejamos: Em { 5, 7, 0, 3, 5 } a méda = 0 e a medaa = 0 Em { 5, 7, 0, 3, 65 } a méda = 20 e a medaa = 0 sto é, a méda do segudo cojuto de valores é maor do que a do prmero, por fluêca dos valores extremos, ao passo que a medaa permaece a mesma..a medaa em dados agrupados a) Sem tervalos de classe 33

34 Neste caso, é o bastate detfcar a freqüêca acumulada medatamete superor à metade da soma das freqüêcas. A medaa será aquele valor da varável que correspode a tal freqüêca acumulada. Exemplo coforme tabela abaxo: Varável x freqüêca f freqüêca acumulada total 35 Quado o somatóro das freqüêcas for ímpar o valor medao será o termo de ordem dado pela fórmula :. Como o somatóro das freqüêcas = 35 a fórmula fcará: ( 35+ ) / 2 = 8º termo = 3... Quado o somatóro das freqüêcas for par o valor medao será o termo de ordem dado pela fórmula :. Exemplo - Calcule Medaa da tabela abaxo: Varável x freqüêca f Freqüêca acumulada total 8 Aplcado fórmula acma teremos:[(8/2)+ (8/2+)]/2 = (4º termo + 5º termo) / 2 = (5 + 6) / 2 = 5,5 34

35 b) Com tervalos de classe Devemos segur os segutes passos: º) Determamos as freqüêcas acumuladas ; 2º) Calculamos ; 3º) Marcamos a classe correspodete à freqüêca acumulada medatamete superor à. Tal classe será a classe medaa ; 4º) Calculamos a Medaa pela segute fórmula:... l* + [( - FAA ) x h*] / f* l* = é o lmte feror da classe medaa. FAA = é a freqüêca acumulada da classe ateror à classe medaa. f* = é a freqüêca smples da classe medaa. h* = é a ampltude do tervalo da classe medaa. Exemplo: classes freqüêca = f Freqüêca acumulada total 40 = 40 / 2 = logo.a classe medaa será l* = FAA = 3... f* =... h* = 4 Substtudo esses valores a fórmula, obtemos: Md = 58 + [ (20-3) x 4] / = / = 60,54 OBS: Esta medaa é estmada, pos ão temos os 40 valores da dstrbução. Emprego da Medaa Quado desejamos obter o poto que dvde a dstrbução em duas partes guas. Quado há valores extremos que afetam de maera acetuada a méda artmétca. Quado a varável em estudo é saláro. 35

36 SEPARATRIZES Além das meddas de posção que estudamos, há outras que, cosderadas dvdualmete, ão são meddas de tedêca cetral, mas estão lgadas à medaa relatvamete à sua característca de separar a sére em duas partes que apresetam o mesmo úmero de valores. Essas meddas - os quarts, os decs e os percets - são, jutamete com a medaa, cohecdas pelo ome geérco de separatrzes... QUARTIS Deomamos quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. Precsamos portato de 3 quarts (Q, Q2 e Q3 ) para dvdr a sére em quatro partes guas. Obs: O quartl 2 ( Q2 ) sempre será gual a medaa da sére. Quarts em dados ão agrupados O método mas prátco é utlzar o prcípo do cálculo da medaa para os 3 quarts. Na realdade serão calculadas " 3 medaas " em uma mesma sére. Exemplo: Calcule os quarts da sére: { 5, 2, 6, 9, 0, 3, 5 } O prmero passo a ser dado é o da ordeação (crescete ou decrescete) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 0, 3, 5 } O valor que dvde a sére acma em duas partes guas é gual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2. Temos agora {2, 5, 6 } e {0, 3, 5 } como sedo os dos grupos de valores guas proporcoados pela medaa ( quartl 2). Para o cálculo do quartl e 3 basta calcular as medaas das partes guas proveetes da verdadera Medaa da sére (quartl 2). Logo em { 2, 5, 6 } a medaa é = 5. Ou seja: será o quartl em {0, 3, 5 } a medaa é =3. Ou seja: será o quartl 3 Exemplo2: Calcule os quarts da sére: {,, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 0, 3 } A sére já está ordeada, etão calcularemos o Quartl 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5 O quartl será a medaa da sére à esquerda de Md : {,, 2, 3, 5, 5 } Q = (2+3)/2 = 2,5 36

37 O quartl 3 será a medaa da sére à dreta de Md : {6, 7, 9, 9, 0, 3 } Q3 = (9+9)/2 = 9 Quarts para dados agrupados em classes Usamos a mesma técca do cálculo da medaa, bastado substtur, a fórmula da medaa, E f / 2... por... k. E f / 4... sedo k o úmero de ordem do quartl. Assm, temos: Q =. l* + [(E f / 4 - FAA ) x h*] / f* Q2 =. l* + [(2.E f / 4 - FAA ) x h*] / f* Q3 =. l* + [(3.E f / 4 - FAA ) x h*] / f* Exemplo3 - Calcule os quarts da tabela abaxo: O quartl 2 = Md, logo: classes freqüêca = f Freqüêca acumulada total 40 = 40 / 2 = logo.a classe medaa será l* = FAA = 3... f* =... h* = 4 Substtudo esses valores a fórmula, obtemos: Md = 58 + [ (20-3) x 4] / = / = 60,54 O quartl : E f / 4 = 0 Q = 54 + [ (0-4) x 4] / 9 = ,66 = 56,66.O quartl 3 : 3.E f / 4 = 30 37

38 Q3 = 62 + [ (30-24) x 4] / 8 = = 65.2 DECIS A defção dos decs obedece ao mesmo prcípo dos quarts, com a modfcação da porcetagem de valores que fcam aquém e além do decl que se pretede calcular. A fórmula básca será : k.e f / 0 ode k é o úmero de ordem do decl a ser calculado. Idcamos os decs : D, D2,..., D9. Deste modo precsamos de 9 decs para dvdrmos uma sére em 0 partes guas. De especal teresse é o quto decl, que dvde o cojuto em duas partes guas. Assm sedo,o quto decl é gual ao segudo quartl, que por sua vez é gual à medaa. Para D5 temos : 5.E f / 0 = E f / 2 Exemplo: Calcule o 3º decl da tabela ateror com classes. k= 3 ode 3.E f / 0 = 3x40/0 = 2. Este resultado correspode a 2ª classe. D3 = 54 + [ (2-4) x 4] / 9 = ,55 = 57,55.3 PERCENTIL ou CENTIL Deomamos percets ou cets como sedo os oveta e ove valores que separam uma sére em 00 partes guas. Idcamos: P, P2,..., P99. É evdete que P50 = Md ; P25 = Q e P75 = Q3. O cálculo de um cetl segue a mesma técca do cálculo da medaa, porém a fórmula será : k.e f / 00 ode k é o úmero de ordem do cetl a ser calculado. Exemplo: Calcule o 8º cetl da tabela ateror com classes. k= 8 ode 8.E f / 00 = 8x40/00 = 3,2. Este resultado correspode a ª classe. P8 = 50 + [ (3,2-0) x 4] / 4 = ,2 = 53,2 2 Dspersão ou Varabldade: É a maor ou meor dversfcação dos valores de uma varável em toro de um valor de tedêca cetral ( méda ou medaa ) tomado como poto de comparação. 38

39 A méda - ada que cosderada como um úmero que tem a faculdade de represetar uma sére de valores - ão pode, por s mesma, destacar o grau de homogeedade ou heterogeedade que exste etre os valores que compõem o cojuto. Cosderemos os segutes cojutos de valores das varáves X, Y e Z: X = { 70, 70, 70, 70, 70 } Y = { 68, 69, 70,7,72 } Z = { 5, 5, 50, 20, 60 } Observamos etão que os três cojutos apresetam a mesma méda artmétca = 350/5 = 70 Etretato, é fácl otar que o cojuto X é mas homogêeo que os cojutos Y e Z, já que todos os valores são guas à méda. O cojuto Y, por sua vez, é mas homogêeo que o cojuto Z, pos há meor dversfcação etre cada um de seus valores e a méda represetatva. Cocluímos etão que o cojuto X apreseta dspersão ula e que o cojuto Y apreseta uma dspersão meor que o cojuto Z. 2. MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA 2.. Ampltude total : É a úca medda de dspersão que ão tem a méda o poto de referêca. Quado os dados ão estão agrupados a ampltude total é a dfereça etre o maor e o meor valor observado: AT = X máxmo - X mímo. Exemplo: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 a ampltude total será: AT = = 30 Quado os dados estão agrupados sem tervalos de classe ada temos : AT = X máxmo - X mímo. Exemplo: AT = 4-0 = 4 x f

40 Com tervalos de classe a ampltude total é a dfereça etre o lmte superor da últma classe e o lmte feror da prmera classe. Etão AT = L máxmo - l mímo Exemplo: Classes f AT = 0-4 = 6 A ampltude total tem o coveete e só levar em cota os dos valores extremos da sére, descudado do cojuto de valores termedáros. Faz-se uso da ampltude total quado se quer determar a ampltude da temperatura em um da, o cotrole de qualdade ou como uma medda de cálculo rápdo sem muta exatdão Desvo quartl Também chamado de ampltude sem-terquatílca e é baseada os quarts. Símbolo: Dq e a Fórmula: Dq = (Q3 - Q) / 2 Observações: - O desvo quartl apreseta como vatagem o fato de ser uma medda fácl de calcular e de terpretar. Além do mas, ão é afetado pelos valores extremos, grades ou pequeos, sedo recomedado, por cosegute, quado etre os dados fgurem valores extremos que ão se cosderam represetatvos. 2- O desvo quartl deverá ser usado preferecalmete quado a medda de tedêca cetral for a medaa. 3- Trata-se de uma medda sesível ã dstrbução dos tes meores que Q, etre Q e Q3 e maores que Q3. Exemplo: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 o desvo quartl será: Q = (45+40)/2 = 42,5 Q3 = (70+62)/2 = 66 Dq = (66-42,5) / 2 =, Desvo médo absoluto Para dados brutos 40

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