6.1 - PROCEDIMENTO DE AVALIAÇÃO DE INCERTEZA EM MEDIÇÕES DIRETAS

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1 7 6 - PROCEDIMENTO DE AVALIAÇÃO DE INCERTEZA EM MEDIÇÕES DIRETAS A medção dreta é aquela cuja dcação resulta aturalmete da aplcação do sstema de medção sobre o mesurado Há apeas uma gradeza de etrada evolvda 6 - Idetfcaçào das fotes de certeza Cada fote de certeza deve ser claramete detfcada Recomeda-se o uso de termos smples e que evtem terpretações ambgüas Se coveete, um símbolo pode ser assocado à fote de certezas Recomeda-se também explctar a udade em que os valores relatvos à fote de certezas serão expressos Se esta udade dfere da udade do mesurado, recomeda-se que seja também dcada o fator multplcatvo que coverte o efeto da fote de erro em termos de alteração da dcação do sstema de medção Se esta relação ão for lear, deve ser claramete apresetada o memoral de cálculo 6 - Estmatva dos efetos sstemátcos Devem ser quatfcados os efetos sstemátcos de cada fote de certezas O desvo da gradeza de fluêca em relação ao seu valor deal pode ser apresetado a sua udade atural, mas a correção decorrete deste efeto sstemátco sobre a dcação do sstema de medção deve ser covertda e apresetada a udade do mesurado Opcoalmete, se as fluêcas dos efetos sstemátcos ão são cohecdas, ou delberadamete são descosderadas, estas devem ser dexadas em braco 6 - Estmatva dos efetos aleatóros Cada fote de erro flu de forma sstemátca e aleatóra sobre o erro de medção Após compesar a parcela sstemátca, restará ada a parcela aleatóra a ser cosderada Para quatfcar a parcela aleatóra é comum estmar expermetalmete sua dspersão por meo do desvo padrão Como defdo a certeza padrozada de uma fote de erro é a faxa de dspersão em toro do valor cetral equvalete a um desvo padrão A certeza padrozada deve ser estmada para cada fote de erro evolvda É mportate fazer uma aálse crítca do processo de medção para detfcar as fotes sgfcatvas de erros e quatfcar os valores correspodetes das respectvas certezas padrozadas de cada compoete A aálse do cojuto destas certezas padrozadas levará à estmatva da certeza combada a- Avalação da certeza padrozada tpo A O procedmeto tpo A para estmar a certeza padrozada basea-se em parâmetros estatístcos, estmados a partr de valores de observações repettvas do mesurado Seja q uma varável aleatóra Sejam q k (para k =,,, ) valores depedetemete obtdos para a varável q

2 Sua méda pode ser estmada por: 8 q k k = q = (6) O desvo padrão expermetal da varável q, represetado por s, é estmado por: s( q) = k = q k q (6) Deve ser lembrado que, para que a estmatva de s(q) pela equação (6) seja cofável, é ecessáro evolver um úmero sufcetemete grade de observações depedete (é recomedável pelo meos > 0) Quado é utlzado o valor médo das dcações, obtdo a partr da méda de um cojuto de m dcações de q, o desvo padrão expermetal da méda de q é estmado por: ( ) s q s q = (6) m Neste caso, a certeza padrozada assocada à varável q, represetada por u(q), é estmada pelo desvo padrão da méda das m observações efetuadas Assm: u( q) = s q (64) Quado ão são evolvdas médas de dcações, mas apeas um úco valor da dcação, a certeza padrozada cocde com o desvo padrão expermetal s(q), que já deve ter sdo determado a pror O úmero de graus de lberdade evolvdos ( ) υ a determação u(q) é dado pelo úmero de medções depedetes efetuadas meos um, sto é: b- Avalação da certeza padrozada tpo B υ = Nem sempre é possível ou ecoomcamete vável quatfcar a fluêca de certas fotes de certezas em uma medção a partr da aállse de observações repettvas Etretato, ada assm, é ecessáro estmar a fluêca de cada fote de certezas para estmar a certeza combada da medção A determação tpo B da certeza padrão de uma fote de certeza é realzada por meos ão estatístcos Em geral outras formações cohecdas a pror são cosderadas: medções aterores, certfcados de calbração, especfcações do strumeto, de mauas téccos e outros certfcados e mesmo estmatvas baseadas em cohecmetos e experêcas aterores do expermetalsta

3 9 A estmatva tpo B geralmete depede de grade experêca prátca e pode ser tão cofável quato a do tpo A 64- Icerteza combada Além de estmar a fluêca dvdual de cada fote de erro sobre o desempeho do processo de medção aalsado, é ecessáro chegar a um úco úmero que estme a certeza combada destas váras fotes de erro Se as váras fotes de erro agem de forma depedete, este úmero ão pode ser obtdo pela smples soma de cada certeza Aspectos estatístcos devem ser levados em cota Duas varáves aleatóras são dtas estatstcamete depedetes se suas varações se comportam de forma totalmete desvculadas, sto é, ão há ehuma relação etre o crescmeto de uma e o crescmeto (ou decrescmeto) da outra Do poto de vsta estatístco estas varáves são dtas ão correlacoadas, e seu coefcete de correlação é zero É a stuação mas comumete presete etre as fotes de erro em medções dretas Duas varáves aleatóras são dtas estatstcamete depedetes se suas varações se dão de forma vculadas, sto é, há uma relação tdamete defda etre o crescmeto de uma e o crescmeto da outra de forma proporcoal à prmera Do poto de vsta estatístco estas varáves são dtas correlacoadas, e seu coefcete de correlação é utáro e postvo (+) Há ada o caso em que o crescmeto da prmera está tdamete atrelado ao decrescmeto proporcoal da seguda Neste caso estas varáves são ada dtas correlacoadas, e seu coefcete de correlação é também utáro porém egatvo (-) Dfclmete fotes de erros estatstcamete depedetes estão presetes em medções dretas Freqüetemete a medção dreta os efetos assocados às váras fotes de certeza se mafestam sobre a dcação do sstema de medção de forma adtva É como se houvesse uma soma dos efetos de váras varáves aleatóras Assm, este caso, a certeza combada (u c ) da fluêca das váras fotes de certeza pode ser estmada a partr das certezas padrozada de cada fote de erro por: u = u + u + + u (65) c É ecessáro que as certezas padrozada de cada fote de erro sejam expressas a mesma udade do mesurado A expressão (65) só é válda para estmar a certeza combada se todas as fotes de certeza se combem de forma adtva e sejam mutuamete estatstcamete depedetes A ação combada dos efetos sstemátcos pode ser estmada através da smples adção algébrca da correção atrbuída a cada fote de certezas Também este caso a correção para cada fote de erro deve estar expressa a mesma udade do mesurado Obtém-se assm a correção combada (C c ) que, deverá ser cosderada para o cálculo do resultado da medção 65 - Icerteza Expadda

4 0 A certeza combada, estmada através da equação (65), reflete a fluêca da ação combada das váras fotes de erros cosderados O valor obtdo represeta uma faxa de valores em toro do valor médo, detro do qual, com uma probabldade estatstcamerte defda, espera-se ecotrar o erro de medção Tpcamete u c correspode a uma probabldade de equadrameto em toro de 68% e apreseta dstrbução ormal Na egehara é comum trabalhar com íves da cofaça de 95% Para atgr aproxmadamete 95%, u c deve ser multplcado por um coefcete umérco deomado de fator de abragêca, calculado-se a deomada certeza expadda (U) Assm: U = k u c (66) O úmero de graus de lberdade efetvos (υ ef ) através da equação de Welch-Satterthwate (equação 5): 4 uc υef = N 4 u = υ ode: u c é a certeza combada; u é a certeza padrozada assocada à -ésma fote de certeza; υ é o úmero de graus de lberdade assocado à -ésma fote de certeza; N é o úmero total de fotes de certezas aalsadas O valor de k para ível da cofaça de 95% pode etão ser obtdo Assm, falmete a certeza expadda pode ser calculada por: U 95 = k 95 u c (67) 6 - PROCEDIMENTO DE AVALIAÇÃO DE INCERTEZA EM MEDIÇÕES INDIRETAS A medção dreta evolve a determação do valor assocado ao mesurado a partr da combação de duas ou mas gradezas por meo de expressões matemátcas O procedmeto é para estmar a certeza assocada à medção em casos ode o valor do mesurado ão pode ser determado dretamete a partr da dcação vda de um úco strumeto de medção, mas deve ser calculada por uma equação que relacoa dversas gradezas de etrada meddas depedetemete 6 Gradezas de etrada estatstcamete depedetes No caso em que há depedêca estatístca etre as varáves de etrada, a varação aleatóra assocada a cada gradeza de etrada poderá estar agdo da mesma maera sobre as respectvas dcações Para estmar a certeza da combação de duas ou mas gradezas de etrada estatstcamete depedetes, deve ser levado em cota que estas podem assumr, ao mesmo tempo, valores extremos detro de suas respectvas faxas de certeza O valor estmado geralmete represeta os lmtes da varação máxma possível

5 a - Caso Geral A estmatva da certeza combada para o caso geral ode as gradezas de etrada se relacoam através de uma expressão matemátca qualquer pode ser efetuada através da aplcação de uma expressão geérca Sua demostração matemátca é baseada a expasão da expressão em termos de sére de Taylor e ão será tratada este texto Seja, por exemplo, uma gradeza G calculada em fução de dversas gradezas de etrada relacoadas por: G = f(x, x, x, x 4, ) Após a expasão em sére de Taylor, elmação de termos de ordes mas altas e redução de termos semelhates chega-se a: u ( f G ) = x u( x ) + f x u( x ) + f x u( x ) + f x u( x ) + 4 (68) ode: u(g)- represeta a certeza padrozada da gradeza G u(x ), u(x ), u(x ), u(x 4 ), - represetam as certezas padrozadas assocadas às gradezas de etrada x, x, x, x 4, respectvamete Embora exsta uma expressão geral para a estmatva da certeza assocada à combação de gradezas de etrada estatstcamete depedetes, há casos partculares, freqüetemete presetes a prátca, ode as equações são drastcamete smplfcadas A soma e subtração e a multplcação e dvsão são dos grupos de operações ode são possíves smplfcações cosderáves b - Soma e Subtração Na soma ou subtração de qualquer úmero de gradezas de etrada estatstcamete depedetes, a certeza padrão combada do resultado pode ser estmada pela soma algébrca das certeza padrozada dvduas de cada gradeza evolvda c - Multplcação e Dvsão ( ) ( ) ( ) ( ) u x ± x ± x ± = u x + u x + u x + (69) Na multplcação e/ou dvsão de váras gradezas de etrada estatstcamete depedetes, a certeza padrão relatva combada é obtda pela soma das certezas padrozadas relatvas de cada gradeza de etrada evolvda 4 ( ) u( x ) u( x ) u( x ) u x x x x x x = x x x ( / / /) u( x ) u( x ) u( x ) u x x x x / x / x = x x x (60) 6 Gradezas de etrada estatstcamete depedetes

6 No caso em que as gradezas de etrada ão apresetam depedêcas estatístca etre s, dfclmete as varações aleatóras assocadas a cada gradeza de etrada estarão agdo scrozadamete e da mesma maera sobre todas estas gradezas A estmatva da certeza padrozada combada de duas ou mas gradezas de etrada estatstcamete depedetes deve levar em cota aspectos probablístcos O valor estmado para a certeza padrozada combada geralmete é cosderavelmete meor do que o valor obtdo se as gradezas de etrada fossem tratadas como estatstcamete depedetes a - Caso Geral Há uma expressão geérca que permte estmar a certeza padrozada combada para o caso geral ode apeas gradezas de etrada estatstcamete depedetes se relacoam através de uma expressão matemátca Seja, por exemplo, uma gradeza G calculada em fução de dversas gradezas de etrada relacoadas por : G = f(x, x, x, x 4, ) A certeza combada da gradeza G pode ser estmada por: ode: u f G x u x f f f ( ) = ( ) u( x) u( x) u( x4) x x + (6) x4 u(g) - represeta a certeza padrozada da gradeza G u(x ), u(x ), u(x ), u(x 4 ), - represetam as certezas padrozada assocadas às gradezas de etrada x, x, x, x 4, respectvamete Embora, também este caso, exsta uma expressão geral para a estmatva da certeza padrozada assocada à combação de gradezas de etrada estatstcamete depedetes, há casos partculares, freqüetemete presetes a prátca, ode as equações são drastcamete smplfcadas b - Soma e Subtração Na soma e subtração de váras gradezas de etrada estatstcamete depedetes, o quadrado da certeza padrozada combada é obtda pela soma dos quadrados das certezas padrozadas de cada gradeza de etrada evolvda u (x ± x ± x ± ) = u (x ) + u (x ) + u (x ) + ( 6) c - Multplcação e dvsão Na multplcação e dvsão de váras gradezas de etrada estatstcamete depedetes, o quadrado da certeza padrozada relatva combada é obtda pela soma dos quadrados das certezas padrozadas de cada gradeza de etrada evolvda Seja G a gradeza de teresse calculada por multplcações e/ou dvsões de váras gradezas de etrada (x, x, x, )

7 A certeza relatva combada pode ser estmada por: u( G) u( x ) u( x ) = G + x + x (6) 6 Depedêca estatístca parcal Há casos mas complexos ode as terações etre gradezas de etrada que compõem uma medção dreta ão podem ser realstcamete modeladas como sedo completamete estatstcamete depedetes e em depedetes Pode haver depedêca estatístca parcal A forma de quatfcar a depedêca estatístca lear parcal é através do coefcete de correlação lear etre cada par de gradezas de etrada evolvdas Haverá depedêca parcal se o coefcete de correlação for um úmero ão tero a) Combação de gradezas estatstcamete depedetes e depedetes Será calmete abordado o caso ode apeas combações de gradezas de etrada estatstcamete depedetes e depedetes são evolvdas Sejam por exemplo as gradezas a, b e c ode sabe-se, a pror, que: a e b são estatstcamete depedetes (r(a,b) = ) a e b e b e c são estatstcamete depedetes etre s (r(a,c) = 0 e r(b,c) = 0) A certeza padrozada combada da gradeza G dada por G= f(a, b, c) pode ser estmada por: u f G a u a f b u b f ( ) = ( ) + ( ) + c u ( c ) (64) b) Caso Geral A expressão usada para estmar a certeza padrozada combada de uma gradeza G=f(x, x, x,, x ) cosderado que pode haver depedêca estatístca parcal etre cada par das gradezas de etrada x, x, x,, x, é dada por: u f f f ( G) = u ( x x x x u x u x r x x ) + ( ) ( j ) (, j ) = = j= + j (65) ode r(x, xj) é o coefcete de correlação etre as gradezas de etrada x e xj 64 Icerteza Expadda Recomeda-se que a certeza assocada à medção dreta seja estmulada através das estmatvas das certezas padrozada de cada gradeza de etrada Somete após obter a certeza padrozada combada da medção dreta, determa-se a correspodete certeza expadda Também este caso, a certeza expadda é estmada pela multplcação da certeza padrozada combada pelo fator de abragêca O fator de abragêca é determada em fução do úmero de graus de lberdade efetvo, obtdo a partr da equação de Welch-Satterthwate