Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 6 (montgomery)

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1 Cotrole Estatístco de Qualdade Capítulo 6 (motgomery)

2 Gráfcos de Cotrole para Atrbutos Itrodução Mutas característcas da qualdade ão podem ser represetadas umercamete. Nestes casos, classfcamos cada tem specoado como coforme ou ão-coforme Tas característcas são chamadas de atrbutos. Exemplos: Haste empeada, Chps que ão fucoam, Embalages com defetos. Os gráfcos de atrbutos ão são tão formatvos quato o de varáves. Uma medda umérca retém mas formação do que uma classfcação: coforme ou ão-coforme

3 Gráfcos de Cotrole para Atrbutos Itrodução Por outro lado, esses gráfcos tem aplcações mportates: Na dústra de servços ou a melhora da qualdade fora da dústra mutas característcas ão são mesuradas em escala umérca. Por exemplo: Satsfação com um servço. Iremos estudas 3 gráfcos para atrbutos Gráfco p: aalsa a fração de tes ão-coformes Gráfco c: aalsa o úmero de defetos ou ão-coformes Gráfco u: aalsa o úmero de defetos por udade produzda

4 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Itrodução Fração ão coforme: defda como a razão etre o úmero de tes ão-coformes em uma população e o total de tes aquela população; Um tem pode ter váras característcas da qualdade que são examadas. Se ao meos uma ão satsfaz o padrão, ele é classfcado como ãocoforme; Os prcípos estatístcos para costrução do Gráfco p se baseam a dstrbução Bomal.

5 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Suposções p probabldade de que uma udade (tem) ão esteja detro dos padrões de especfcação As sucessvas udades produzdas são depedetes Logo, cada udade produzda segue uma dstrbução de Beroull (p) Se uma amostra aleatóra de udades é selecoada e se D é o úmero de udades ão coformes, etão D ~ Bomal (, p)

6 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Logo ode E(D) p e Var(D) p(1-p)., 0,1,, ) (1 ) ( x p p x x D P x x K

7 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Suposções Fração amostral ão-coforme: razão etre o úmero de udades ão-coformes a amostra (D) e o tamaho da amostra () D p ˆ Da aproxmação da Bomal para Normal, temos que p(1 p) pˆ ~ Normal p,

8 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Desevolvmeto e Operação Supoha que a verdadera fração ão-coforme (p) é cohecda ou especfcada. Logo, a lha cetral e os lmtes de cotrole do Gráfco p são defdos por p(1 p) LSC p + 3 LM p p(1 p) LIC p 3 O desvo padrão do processo é dado por p( 1 p) σ p

9 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Desevolvmeto e Operação No etato, ormalmete a fração ão-coforme (p) ão é cohecda e precsa ser estmada a partr dos dados observados. A operação deste gráfco cosste em: Tomada de amostras subsequetes de tamaho ; Calculo da fração amostral ão coforme ; pˆ Marcação de o gráfco; Verfcar se o processo se ecotra sob cotrole (dêtco ao gráfco para varáves). pˆ

10 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Estmado a fração ão coforme (p) Seleção de m amostras prelmares (20 a 25), cada uma de tamaho.. Se há D udades ão coformes a amostra, calculamos a fração ão coforme a -ésma amostra como, 1, K, m. e a méda dessas frações como p pˆ m D m. D m 1 1 m pˆ

11 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Estmado a fração ão coforme (p) p A estatístca estma a fração ão coforme descohecda p p(1 p) LSC p + 3 LM p p(1 p) LIC p 3 Lembre que esses lmtes são, calmete, os lmtes tetatvos de cotrole e devem ser valdados (dêtco ao gráfco para varáves).

12 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Gráfco p: Cálculo do tamaho de amostra Abordagem 1: Escolher tal que a probabldade de ecotrar ao meos 1 udade defetuosa seja pelo meos γ P(D 1) γ Exemplo: supoha p 0,01 e que P(D 1) 0,95. Usado a aproxmação da Posso para Bomal (λp), ou seja, D agora será P( D k) e λ k λ k!

13 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Gráfco p: Cálculo do tamaho de amostra Temos que λ P( D 1) 1 P( D 0) 1 e 0,95 λ λ 1 e 0,95 0,05 e λ l( 0,05) λ 2,99 l(0,05) λ Lembrado que pela aproxmação da Posso para Bomal, λp, etão 3 p λ 0, ,00

14 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Gráfco p: Cálculo do tamaho de amostra Abordagem 2 (Duca 1986): Escolher de modo que uma mudaça de tamaho δ a fração ão coforme dque que o processo está fora de cotrole. Logo, basta escolher de modo que a mudaça δ a fração ão coforme cocda com o lmte de cotrole Assm, δ L L δ p( 1 2 p(1 p) p)

15 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Gráfco p: Cálculo do tamaho de amostra Abordagem 2 (Duca 1986) Exemplo: p 0,01 L 3 δ 0,04 (mudaça de p 0 0,01 p 1 0,05) 2 L p(1 p) δ 3 0,04 2 0,01(1 0,01) 56

16 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Gráfco p: Cálculo do tamaho de amostra Abordagem 3: Escolher grade o bastate para que LIC seja postvo (maor que zero) Isso garate que remos vestgar um úmero mímo de tes ão coformes LIC p L p(1 p) > 0 Logo > (1 p) p L 2

17 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Gráfco p: Cálculo do tamaho de amostra Abordagem 3 Exemplo: p 0,05 L 3 ( 1 p) 2 (1 0,05) 2 > L (3) p 0,05 171

18 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Cosderações O Gráfco p ão é um modelo uversal para motorar dados sobre fração de ão coformes; Lembre-se que o Gráfco p basea-se o modelo Bomal Probabldade de ocorrêca de uma udade ão coforme é costate As udades de produção sucessvas são depedetes O Gráfco p ão é váldo quado, por exemplo, Probabldade de uma udade ão coforme depede da udade ateror ter sdo ão coforme (ou ão)

19 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Cosderações Deve-se ter cautela ao aalsar potos que se localzam abaxo do lmte feror de cotrole. Tas potos podem ão represetar melhora real a qualdade do processo. Segudo Motgomery, sso pode ocorrer devdo Erros o processo de speção Ispetores adequadamete treados ou experetes Equpametos de speção adequadamete calbrados Omssão de udades ão coformes por spetores

20 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Exemplo Suco de Laraja é embalado em caxas de papelão. O vazameto do suco devdo a uma falha de vedação a caxa caracterza-se como uma característca da qualdade. Deseja-se estabelecer um gráfco de cotrole para melhorar a fração de embalages ão-coforme produzdas por uma máqua. Cosdere que foram selecoadas 30 amostras, com 50 embalages cada.

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22 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não Coformes (Gráfco p) Exemplo p m D 347 (30)(50) 1 m 0,2313 p(1 LSC p + 3 LM p 0,2313 p) 0, ,2313(1 0,2313) 50 0,4102 LIC p 3 p(1 p) 0, ,2313(1 0,2313) 50 0,0524

23 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) 0.5 P Chart 1 Novo Materal 1 Novo Operador 0.4 UCL Proporto _ P LCL Sample Revsão dos Lmtes Tetatvos Retrado os Potos Fora de Cotrole

24 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) P Chart Novo Materal 1 1 Novo Operador UCL Proporto _ P LCL Sample Na amostra 21 ão fo detfcada causa atrbuível. Assm, o poto será coservado e esses lmtes serão usados para motorar o processo.

25 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Tamaho de Amostra Varável Exstem três abordages para costrução de um gráfco de cotrole com tamaho de amostra varável. Abordagem 1 Essa abordagem leva um cosderação o tamaho da amostra em cada subgrupo ( ). p(1 p) m LSC p + 3 p 1 m 1 D LM LIC p p 3 p(1 p)

26 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Tamaho de Amostra Varável Abordagem 2 Tamaho Médo de Amostra Essa abordagem leva um cosderação o tamaho médo das amostras Pode ser teressate caso os futuros tamahos de amostras ão sejam muto dferetes m 1 m LSC p + 3 LIC p 3 p(1 p) p(1 p)

27 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Tamaho de Amostra Varável Abordagem 3 Gráfco de Cotrole Padrozado Neste gráfco, teremos LSC 3 LM 0 LIC -3 A varável plotada o gráfco será p Z pˆ p(1 p) p (ou p, caso seja dado um valor padrão) é a fração ãocoforme do processo sob cotrole.

28 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Tamaho de Amostra Varável Exemplo Abordagem 1

29 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Exemplo Abordagem 1 p m m 1 D 0,096 LSC p + 3 LM LIC p(1 p) p 0,096 p(1 p) p 3 0, , ,096(0,904) 0,096(0,904)

30 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) P Chart SL Proporto 0.1 P SL Sample Number Amostra 11 ecotra-se acma do LSC Revsar os Lmtes Tetatvos

31 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Exemplo Abordagem 3 Z Z pˆ p(1 p) pˆ p 0,096 0,096(0,904)

32 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) 4 Gráfco de Cotrole Padrozado 3 2 Escore Z Subgrupo Amostra 11 ecotra-se acma do LSC

33 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Cosderações Aplcações ão-dustras O gráfco p pode ser aplcado em váras característcas da qualdade em ambetes ão dustras Ex: Número de etregas fetas fora do prazo.

34 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não Coformes (Gráfco p) Fução Característca de Operação Será uma vsualzação gráfca da probabldade de erro tpo II versus a fração ão coforme do processo. A probabldade de erro tpo II é dada por β β β P( LIC < pˆ < LSC p) P( pˆ < LSC p) P( pˆ LIC p) P( D < LSC p) P( D LIC p) Como D ~ Bomal (,p), β pode ser calculado a partr da dstrbução bomal acumulada.

35 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não Coformes (Gráfco p) Fução Característca de Operação Exemplo Cosdere um gráfco de cotrole para fração ão coforme com LIC , LSC , p 0.20 e 50 β P( D < (50)(0.3697) p) P( D (50)(0.0303) p) β P( D < p) P( D 1.52 p) β P( D 18 p) P( D 1 p)

36 Gráfcos de Cotrole para Fração de Não-Coformes (Gráfco p) Fução Característca de Operação p P(D<18) P(D<1) Beta

37 Curva CO (p_barra0.2; LIC e LSC0.3697) Beta p

38 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Itrodução Depededo de sua atureza e gravdade, é possível que um tem coteha város defetos de fabrcação (ão coformdades) Há váras stuações prátcas ode é preferível trabalhar com o úmero de defetos ao vés da fração ão coforme Exemplo: º de soldas com defetos em 100m de oleoduto, º de defetos em um equpameto eletrôco, etc.

39 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Itrodução É possível costrur gráfcos de cotrole tato para o úmero total de defetos em uma udade, quato para o úmero médo de defetos por udade. Uma udade de speção pode ser um subgrupo (de tamaho costate) de tes 5 rádos 1 TV Uma área de 4m 2

40 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Suposções Esses gráfcos supõem que o úmero de defetos por udade de speção é bem modelado pela dstrbução de Posso Além dsso, O úmero de locas potecas para defetos deve ser grade Probabldade de ocorrêca de um defeto em qualquer local é a mesma (costate) A udade de speção deve ser a mesma para cada amostra

41 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Suposções Cosdere que X úmero de defetos em uma udade de speção, segue a dstrbução Posso com parâmetro c c x e c P( X x), x 0,1,2,K x! Sabe-se que, E(X) c e Var(X) c

42 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Desevolvmeto e Operação Supoha cohecdo ou especfcado o verdadero úmero de defetos. Logo, a lha cetral e os lmtes (*) de cotrole do Gráfco c são defdos por LSC c + 3 LM c LIC c 3 c c (*) O rsco α ão é gualmete alocado para LIC/LSC já que a dstrbução de Posso é assmétrca. Algus autores sugerem o uso de lmtes probablístcos.

43 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Desevolvmeto e Operação O desvo padrão do processo é dado por σ c c Etretato, ormalmete o verdadero úmero de defetos (c) ão é cohecdo e precsa ser estmado. Seja c o úmero médo de defetos observado em uma amostra prelmar de udades de speção, temos que LSC c + 3 LM LIC c c 3 c c

44 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Desevolvmeto e Operação Tas lmtes são cosderados como lmtes tetatvos de cotrole. Deve-se examar as amostras prelmares para verfcar se o processo estava sob cotrole, ou seja, valdar os lmtes tetatvos.

45 Gráfco c Exemplo Cosdere o úmero de defetos observados em 26 amostras sucessvas de 100 placas de crcuto mpresso. (1 amostra 1 udade de speção) c ,85

46 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Exemplo Assm, os lmtes de cotroles tetatvos são dados por LSC c + 3 c 19, ,85 33,22 LM LIC O desvo padrão do processo pode ser estmado por ˆ c 19,85 σ c c 19,85 c 3 c 19, ,85 4,46 6,48

47 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) 40 C Chart 1 Cotrole de Temperatura 30 UCL33.22 Sample Cout 20 _ C LCL Erro de speção Sample Amostra 6 e 20 ecotram-se fora dos lmtes de cotrole Revsar os Lmtes Tetatvos

48 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) C Chart (wthout samples 6 ad 20) UCL32.97 Sample Cout t _ C Sample LCL6.36 Novos Lmtes Tetatvos Nehum padrão ão aleatóro fo detfcado

49 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) C Chart (20 ew samples) UCL32.97 Sample Cout t _ C Sample LCL6.36 Processo cotua sob cotrole. No etato, o úmero de defetos ada é alto. Necessára ação da gerêca para melhorar o processo.

50 Gráfcos de Cotrole para o Número de Defetos (Gráfco c) Aálse Adcoal Dados sobre defetos são mas formatvos que a fração ão coforme. É possível detfcar os dferetes tpos de defetos. Através de um Gráfco de Pareto ou Dagrama de Causa-Efeto pode-se detfcar a causa mas frequete. Tal formação é de grade utldade o desevolvmeto de plaos de ação que devem acompahar os gráfcos de cotrole

51 Gráfco u Itrodução Frequetemete o úmero de udades que compõem os subgrupos é varável. Nesses casos estamos teressados em cotrolar a taxa de defetos por udade e, o gráfco a ser utlzado será o Gráfco u.

52 Gráfco u Redefr o gráfco de cotrole, tomado como base o úmero médo de defetos por udade de speção Redefdo x total de defetos em uma amostra de udades de speção Etão, o úmero médo de defetos por udade de speção será u x

53 Gráfco u Note que u segue a dstrbução Posso. X ~ Posso (c), ode E(X) c e Var(X) c. X ~ Posso (c), ode E(X) c e Var(X) c. Seja u E c c x Var u Var c x E u E x u ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2

54 Gráfco u O desvo padrão do processo é dado por σ u E ( u ) No etato, ormalmete o verdadero úmero médo de defetos por udade E(u) ão é cohecdo e precsa ser estmado. Seja u o úmero médo amostral de defetos por udade, temos que u LSC u + 3 LM u LIC u 3 u

55 Gráfco u Exemplo u Número de defetos em 20 amostras de 5 computadores cada Temos que m 38, m u 1,93 Número da Tamaho da Não Cof. Amostra Amostra () por udade u , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0

56 Gráfco u Exemplo Assm, os lmtes de cotroles tetatvos são dados por u LSC u + 3 LM u 1,93 u 1,93 ˆ 5 σ u 1, ,93 5 u 1,93 LIC u + 3 1,93 3 0,07 5 O desvo padrão do processo pode ser estmado por 0,62 3,79

57 Gráfco u 4 U Chart UCL3,794 Sample Cout Pe er Ut _ U1,93 0 LCL0, Sample Nehum poto fora dos lmtes de cotrole Nehum padrão ão aleatóro fo detfcado

58 Tamaho de Amostra Varável O procedmeto é usar um gráfco u que terá lha cetral costate, etretato, os lmtes de cotrole rão varar versamete proporcoal a raz quadrada do tamaho da amostra u u m x 1 m 1 x LSC u LM LIC u u u u

59 Gráfco u Amostra varável Exemplo u Número de defetos a cada 50 metros m ,5 1 m x Número da Metros Não Cof. Nº udades Amostra por udade p/ 50m () u ,0 1, ,0 1, ,0 1, ,0 1, ,5 0, ,0 1, ,0 1, ,5 1, ,0 1, ,5 1, ,5 1,42

60 Gráfco u Amostra varável Exemplo Assm, os lmtes de cotroles tetatvos são dados por LSC u LM u + 3 1,42 u 1, ,42 LIC u + 3 u 1,42 3 1,42

61 Gráfco u Amostra Varável 3,0 U Chart (uequal sample szes) 2,5 UCL2,436 Sample Cout Pe er Ut 2,0 1,5 1,0 _ U1,423 0,5 LCL0,411 0, Sample Nehum poto fora dos lmtes de cotrole Nehum padrão ão aleatóro fo detfcado

62 Gráfco c e Gráfco u Fução Característca de Operação Tato para o Gráfco c quato para o Gráfco u, as curvas característcas de operação (CO) são obtdas da dstrbução de Posso. CO: Gráfco c Probabldade β vs verdadero úmero médo de defetos c β P( LIC β P( x ode X ~ Posso (c) < x < LSC c) < LSC c) P( x LIC c)

63 Gráfco c e Gráfco u Fução Característca de Operação Exemplo Cosdere o gráfco c com LIC 6,48 e LSC 33,22 β P( x < 33,22 c) P( x 6,48 c) β P( x 33 c) P( x 6 c) Lembrado que esses lmtes de cotrole foram obtdos de um exemplo ode c 19,85

64 Gráfco c e Gráfco u Fução Característca de Operação c P(X<33) P(X<6) Beta

65 Curva CO - Gráfco c (LIC6.48 e LSC33.22) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 Beta 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 c ,85 c

66 Gráfco c e Gráfco u Fução Característca de Operação CO: Gráfco u Para o gráfco u podemos gerar uma curva CO a partr de β β P( LIC < x < LSC u) P( LIC < x LSC u) [ LSC ] x LIC e u ( u) x! x ode X ~ Posso (u), dado que ux/, e LIC deota o meor tero maor ou gual que LIC.

67 Exercíco Um processo que produz aros de roda de ttâo para automóves com motores turbados deve ser cotrolado pelo uso do gráfco para a fração ão coforme. Icalmete, uma amostra de tamaho 150 é retrada a cada da, durate 20 das. a) Estabeleça um gráfco de cotrole para motorar a produção futura. b) Qual o meor tamaho de amostra que pode ser usado para esse processo e ada forecer um lmte feror de cotrole postvo para o gráfco? c) Trace a curva CO para esse gráfco de cotrole. d) Qual a probabldade a probabldade de se detectar uma mudaça a fração ão coforme para 0,03, a tercera amostra após a mudaça?

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69 Exercíco Os dados a segur represetam o úmero de ão coformdades por 1000 metros em cabos de telefoe. a) Quas são a lha cetral e os lmtes de cotrole para motorar a produção com base o úmero total de ão coformdades? Pela aálse desses dados, você coclura que o processo está sob cotrole estatístco? b) Quas são a lha cetral e os lmtes de cotrole para um gráfco de cotrole para a méda de ão coformdades por udade, usado para motorar a produção futura? c) Trace a curva da fução característca de operação (CO) para o úmero total de ão coformdades (Gráfco c).

70 Exercíco

71 Exercíco Um gráfco de cotrole dca que a fração correte de ão coformes do processo é 0,02. Se 50 tes são specoados a cada da, qual é a probabldade de se detectar uma mudaça a fração ão coforme para 0,04, o prmero da após a mudaça? E o tercero da após a mudaça?

72 Exercíco Ecotre os lmtes de probabldade de 0,999 e 0,001 para um gráfco c quado a méda do processo é gual a 16 ão coformdades. Compare com os lmtes utlzado a dstrbução ormal.