Números Complexos. 2. (IME) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição z 2n 1, onde n é um número inteiro positivo.

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1 Números Complexos. (IME) Cosdere os úmeros complexos Z se α cos α e Z cos α se α ode α é um úmero real. Mostre que se Z Z Z etão R e (Z) e I m (Z) ode R e (Z) e I m (Z) dcam respectvamete as partes real e magára de Z.. (IME) Seja um úmero complexo de módulo utáro que satsfa a codção ode é um úmero tero postvo. Demostre que é um úmero real. (IME) Dado Z calcule as partes real e magára de Z. 7. (IME) Faça o que se pede. a) Calcule o argumeto do segute úmero complexo ( ); b) Escreva sob forma trgoométrca o úmero complexo Z. 5. (IME ) Prove que Z Z Z Z ode Z Z C. 6. (IME) Determe a expressão da soma a segur ode é um tero múltplo de.... ( ) 7. (IME) Sejam a a rs e a (r s) (r s) ( > ) termos de uma seqüêca. Determe em fução de os valores de r e s que toram esta seqüêca uma progressão artmétca sabedo que r e s são úmeros reas e. 8. (IME) Determe as raíes de Z 0 e locale-as o plao complexo sedo. 9. (IME) Dos úmeros complexos e ão ulos são tas que Mostre que é magáro puro. 0. (IME) Sabe-se que Prove que e são ortogoas. e 0 sedo e úmeros complexos dferetes de ero. Obs.: úmeros complexos ortogoas são aqueles cujas represetações gráfcas são perpedculares etre s e é o úmero complexo cojugado de.

2 . (IME) Sejam as somas S 0 e S defdas por S 0 C 0 C C 6 C 9 [ /]...C S C C C 7 C 0 [() /]...C Calcule os valores de S 0 e S em fução de sabedo que [r] represeta o maor tero meor ou gual ao úmero r. Sugestão: utle o desevolvmeto em bômo de Newto de ( cs ).. (IME) Sedo a b e c úmeros aturas em progressão artmétca e um úmero complexo de módulo utáro determe um valor para cada um dos úmeros a b c e de forma que eles satsfaçam a gualdade: b c a. (IME) Dos úmeros complexos são ortogoas se suas represetações gráfcas forem perpedculares etre s. Prove que dos úmeros complexos Z e Z são ortogoas se e somete se: Obs. Z dca o cojugado de um úmero complexo Z. Z Z Z Z 0. (IME) Determe os parâmetros α β γ e δ da trasformação complexa W ; - para W : ; 0 respectvamete bem como. Z para W ode. 9 α Z β que leva os potos Z 0 : - γ Z δ 5. (IME) Sejam w 0. w j. w j as raíes cúbcas da udade o plao complexo (cosdere w o úmero de módulo e argumeto ). Sabedo que se c C a rotação R em toro do poto c e ampltude gual a R() j j c. C {c} pede-se: é dada por a) determar as relações exstetes etre a b c j j ode a b C de modo que o trâgulo a b c seja equlátero; b ) determar para que o trâgulo seja equlátero. Dado:. 6. (IME) Cosdere os úmeros complexos x y. e w y x. cujos módulos são tas que e w. x e w e. y ode e é base dos logartmos eperaos. Obter a forma polar de. 7. (IME) Resolva a equação 5 ode é o cojugado de úmero complexo.

3 8. (IME) Mostre que todas as raíes da equação ( ) pertecem a uma mesma reta paralela ao exo magáro. 9. (IME) Cosdere os segutes cojutos de úmeros complexos: A { C Im () > 0} B { C Re () Im () > 0} ode Re () e Im () são as partes real e magára do úmero complexo respectvamete. a) Mostre que para cada A o úmero pertece a B. b) Mostre que cada ω B pode ser escrto da forma para algum A. 0. (IME) Mostre que todas as raíes da equação ( ) pertecem a uma mesma reta paralela ao exo magáro.. (IME) Sejam e complexos de raos vetores OP e OP respectvamete.mostre que OP e OP são perpedculares se e somete se é um magáro puro. Notação: é o cojugado de.. (IME) Quas as relações etre os coefcetes reas a b c d da equação x (a b)x c d 0 de modo que ela seja satsfeta para um valor real x? Obs:.. (IME) Seja S a ode os a são complexos. Os módulos dos a estão em progressão geométrca. Os argumetos dos a estão em progressão artmétca. São dados: a ;5( ) Calcule o lm S. a

4 Gabarto: ( ) ( ) Z cs b) Z arg a) s r 8- ou cos se S cos S 0 - c b a - - γ δ β α 5-6- e ± cs ou 0

5 c a e d ab ( ) ( )