MAE0229 Introdução à Probabilidade e Estatística II

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1 Exercíco Cosdere a dstrbução expoecal com fução de desdade de probabldade dada por f (y; λ) = λe λy, em que y, λ > 0 e E(Y) = /λ Supor que o parâmetro λ pode ser expresso proporcoalmete aos valores de uma varável X, sto é λ = βx Para uma amostra aleatóra de tamaho das varáves aleatóras (Y; X) ecotre o estmador de mímos quadrados de β Sugestão: mmzar a quatdade S(β) = {Y E(Y )} 2, supodo λ = βx, =,, Lembre que d dx x = x 2 Se o teresse é estmar µ = µ Y com base uma amostra aleatóra Y, Y 2,, Y O estmador de mímos quadrados é obtdo mmzado a fução: S ( µ ) = (Y E (Y )) 2 () Assm, cosderado a relação λ = β X para =,,, a expressão acma, assume a forma S ( β ) = ( Y ) 2, β X a qual deve ser mmzada Logo, dferecado com relação a β, obtemos d S ( β ) [{ = 2 Y } ] dβ β X β 2 = 2 X β 2 Y X β X 2 (2) Agora, tomado ds ( β ) = 0 e deduzdo que β 0 (pos λ = βx e λ > 0), obtemos dβ 2 β 2 Y X β X 2 = 0 Y X β X 2 = 0 Y β X 2 = X β = X 2 Y X Por fm, para garatr que β é o estmador de mímos quadrados de β, é ecessáro provar que S ( β ) é covexa ou que β é um mímo global de S ( β ) Etão, ote que d 2 S ( β ) dβ 2 = 4 β 3 Y X + 6 β 4 X 2 (3) Pága de 6 gapaula/cursosgradhtm

2 e ão podemos coclur ada da covexdade de S ( β ) Um procedmeto alteratvo para coclur que β é um estmados de mímos quadrados de β ou equvaletemete que β é o mímo global de β é por meo da prmera dervada de ds ( β ) /dβ cojutamete com d 2 S ( β ) /dβ 2 O procedmeto é lustrado como segue Veja que, dado que λ > 0 etão β e X devem ter a mesma sal Ou seja, eles são postvos ou egatvos Se eles são postvos, de (2), temos que d S ( β ) > 0 dβ d S ( β ) = 2 dβ β 2 Y X β X 2 > 0 β > β β > X 2 Y X Ou seja S ( β ) é crescete quado β > β e decrescete o caso cotraro Se β e X são egatvos, um procedmeto aálogo leva à mesma coclusão 2 De ovo, assumdo β e X postvos e usado (3), obtemos que 4 β 3 Y X + 6 β 4 d 2 S ( β ) dβ 2 > 0 > 0 X 2 β < 3 2 β Logo, S ( β ) é covexa quado β < 3 2 β, sempre que X > 0 Um processo smlar prova que se X < 0, S ( β ) é covexa quado β > 3 2 β Nesse caso, somete o fato de cohecer quado é crescete ou decrescete da garata que β é o mímo global de S ( β ), ou seja β é o estmador de mímos quadrados de β Em geral, devemos usar também o tem 2, mas esse caso, fo sufcete com o tem No etato, lembre que devem ser usadas as duas dervadas Além dsso, ote do tem 2, que a covexdade de S ( β ) o fo garatda, e mesmo assm fo possível provar que β é o estmador de mímos quadrados de β, a partr do comportameto de S ( β ) Exercíco 2 Cosdere uma varável aleatóra bára tal que P(X = 0) = θ 2 e P(X = ) = θ 2 0 < θ < 2 Para uma amostra aleatóra de tamaho ecotre em que Pága 2 de 6 gapaula/cursosgradhtm

3 (a) o estmador de máxma verossmlhaça ˆθ MV (b) I(θ) (a) A fução desdade de probabldade da varável aleatóra por ser expressa como ( ) θ x ( P (X = x) = θ ) x, x = 0, 2 2 Agora, para uma amostra de tamaho, temos que a fução de verossmlhaça assume a forma ( ) θ s ( l (θ) = θ ) s, 2 2 em que s é el úmero de sucessos Para ecotrar o estmador de máxma verossmlhaça, podemos trabalhar com o logartmo da fução de verossmlhaça defda acma Ou seja ( ) ( θ L (θ) = log {l (θ)} = ( s) log + s log θ ) 2 2 Assm, temos que e cosderado U (θ) = 0, tem-se que U (θ) = U (θ) = s θ + s θ 2 ( s) (θ 2) + s θ θ (θ 2) Além dsso, dado que > s temos que = 0 ( s) (θ 2) + s θ = 0 pues 0 < θ < 2 d 2 L (θ) dθ 2 θ + 2 s 2 = 0 = s θ 2 θ MV = 2 ( s) ou seja L (θ) é côcava e podemos garatr que θ MV = verossmlhaça para θ s (θ 2) 2 < 0, (b) A formação de Fsher I (θ) é defda por ( d 2 ) L (θ) I (θ) = E dθ 2 Por tato temos que ( d 2 ) ( L (θ) I (θ) = E dθ 2 = E s ) s θ 2 (θ 2) 2 2 ( s) = s θ 2 + é o estmador de máxma s (θ 2) 2 Pága 3 de 6 gapaula/cursosgradhtm

4 Exercíco 3 Cosdere uma amostra aleatóra de tamaho de uma dstrbução cotíua com fução desdade de probabldade dada por θx θ se 0 < x < f (x; θ) = 0 caso cotráro, em que θ > 0 Ecotre (a) o estmador de mometos para θ, (b) o estmador de máxma verossmlhaça para θ Lembre que x a = xa+ a+ para a (a) Lembre que para uma amostra aleatóra X,, X referete a uma varável aleatóra X, o r-ésmo mometo amostral m r é defdo por m r = X r, r =, 2, Além dsso, deotado por µ r o r-ésmo mometo populacoal da varável aleatóra X, temos que estmadores de mometos dos q prmeros mometos populacoas podem ser obtdos resolvedo o segute sstema de equações µ r = m r, para r =,, q Coforme a defção, remos calcular o prmero mometo populacoal E(X) E(X) = 0 xθx θ dx = θ 0 x θ dx = Igualado E(X) com o prmero mometo amostral m = θ ( ) x θ+ θ + = θ 0 θ + X = X obtemos θ θ + = X (4) Isolado X de (4) obtemos o estmador de mometos para θ, o qual é dado a segur ˆθ M = (b) A fução de verossmlhaça fca dada por X X l(θ) = f (x ; θ) f (x ; θ) = θx θ θx θ = θ x θ, Pága 4 de 6 gapaula/cursosgradhtm

5 como l(θ) é dferecável cosderamos L(θ) = log{l(θ)} = log(θ) + (θ ) Se dervamos L(θ) com respeto a θ obtemos Fazedo U(θ) = 0 temos que U(θ) = dl(θ) dθ log(x ) = θ + log(x ) ˆθ MV = log(x ) Note que d2 L(θ) = < 0 Portato, ˆθ dθ 2 θ 2 MV = log(x ) verossmlhaça para θ é o estmador de máxma Exercíco 4 Cosdere uma amostra aleatóra de tamaho de uma dstrbução X N(θ, 2) Ecotre (a) o estmador de máxma verossmlhaça ˆθ MV (b) I(θ) (a) vamos supor que x,, x é uma amostra aleatóra de X N(θ, 2),etão { f (x ; θ) = exp } 2π(2) 2(2) (x θ) 2 Logo, a fução de verossmlhaça fca expressa da segute forma: l(θ) = f (x ; θ) f (x ; θ) { = exp } 2π(2) 2(2) (x θ) 2 ( ) /2 = exp 4π (x θ) 2 4 Como l(θ) é dferecável podemos cosderar dervamos L(θ) em relação a θ L(θ) = log{l(θ)} = 2 log(4π) 4 U(θ) = dl(θ) dθ = 2 4 (x θ) = 2 { exp } 2π(2) 2(2) (x θ) 2 (x θ) 2 (x θ) Pága 5 de 6 gapaula/cursosgradhtm

6 Fazedo U(θ) = 0 obtemos ˆθ MV = x Note que d2 L(θ) = dθ 2 2 < 0 Portato, ˆθ MV = X é o estmador de máxma verossmlhaça para θ (b) A formação de Fsher fca dada por = x { } I(θ) = E d2 L(θ) dθ 2 = 2 Pága 6 de 6 gapaula/cursosgradhtm