9 Medidas Descritivas

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1 1 9 Meddas Descrtvas Vmos aterormete que um cojuto de dados pode ser resumdo através de uma dstrbução de freqüêcas, e que esta pode ser represetada através de uma tabela ou de um gráfco. Se o cojuto refere-se a uma varável QUANTITATIVA há uma tercera maera de resum-lo: as Meddas de Sítese. As Meddas de Sítese, também chamadas de Estatístcas ou Meddas Descrtvas, dvdem-se em Meddas de Posção (Meddas de Tedêca Cetral), Meddas de Dspersão e Separatrzes. As Meddas de Posção obtém um valor umérco que represete a tedêca do cojuto (valor típco ). As mas mportates são: Méda, Medaa, e Moda. As Meddas de Dspersão obtém uma mesuração da dsposção dos dados o cojuto, da sua varabldade (se estão cocetrados em toro de um valor, se dstrbuídos, etc). As mas mportates são: Itervalo, Varâca, Desvo Padrão e Coefcete de Varação. As Separatrzes são meddas que dvdem o cojuto em um certo úmero de partes guas: Quarts (4 partes), Decs (10 partes), Cets (100 partes). 9.1 Meddas de Posção As Meddas de Posção procuram caracterzar a tedêca cetral do cojuto, um valor umérco que represete o cojuto. Esse valor pode ser calculado levado em cota todos os valores do cojuto ou apeas algus valores ordeados. Méda A méda artmétca é smbolzada por x (lea-se x barra) e cosste a soma de todas as observações x do grupo, dvdda pelo úmero "" de observações do grupo. x x x 1 x... x 1 x Ex: A tabela abaxo refere-se às otas fas de três turmas de estudates. Calcular a méda de cada turma: Ao somar os valores em cada turma teremos o mesmo resultado: 48. Como cada turma tem 8 aluos as três turmas terão a mesma méda: 6. No exemplo acma as três turmas têm a mesma méda (6), etão se apeas essa medda fosse utlzada para caracterzá-las poderíamos ter a mpressão que as três turmas têm desempehos dêtcos. Será? Observe atetamete a tabela acma. Na prmera turma temos realmete os dados dstrbuídos regularmete em toro da méda, com a mesma varação tato abaxo quato acma. Já a seguda vemos uma dstorção maor, embora a maora das otas sejam altas algumas otas baxas puxam a

2 méda para um valor meor. E o tercero grupo há apeas uma ota baxa, mas seu valor é tal que realmete cosegue dmur a méda do cojuto. Um dos problemas da utlzação da méda é que, por levar em cota TODOS os valores do cojuto, ela pode ser dstorcda por valores dscrepates ( outlers ) que ele exstam. É mportate etão terpretar corretamete o valor da méda.o valor da méda pode ser vsto como o poto cetral de cada cojuto de dados, ou seja o poto de equlíbro do cojuto: se os valores do cojuto fossem pesos sobre uma tábua, a méda é a posção em que um suporte equlbra esta tábua. Utlzado um dagrama aproprado vejamos como as otas dos aluos, de cada turma se dstrbuem etoro da méda. A méda dos três cojutos (Turmas) é a mesma, mas observe as dferetes dsposções dos dados. O prmero grupo (Turma A) apreseta os dados dstrbuídos de forma smétrca em toro da méda. No segudo grupo (Turma B) a dstrbução já é mas rregular, com valores mas dstates a parte de baxo, e o tercero grupo (Turma B) é claramete assmétrco em relação à méda (que fo dstorcda pelo valor dscrepate 0). Portato muto cudado ao caracterzar um cojuto apeas por sua méda Outro aspecto mportate a ressaltar é que a méda pode ser um valor que a varável ão pode assumr. Isto é especalmete verdade para varáves quattatvas dscretas, resultates de cotagem, como úmero de flhos, quado a méda pode assumr um valor "quebrado", 4,3 flhos, por exemplo. É extremamete comum calcular médas de varáves quattatvas a partr de dstrbuções de freqüêcas represetadas em tabelas: smplesmete multplca-se cada valor (ou o poto médo da classe) pela freqüêca assocada, somam-se os resultados e

3 3 dvde-se o somatóro pelo úmero de observações do cojuto. Na realdade trata-se de uma méda poderada pelas freqüêcas de ocorrêca de cada valor da varável. Ode k é o úmero de valores da varável dscreta, ou o úmero de classes da varável agrupada, e x é um valor qualquer da varável dscreta, ou o poto médo de uma classe qualquer. Ea: Calcular a méda do úmero de resdetes para os dados do, Quadro 1, úmero de resdetes em 40 domcílos. Observe que NENHUMA resdêca pode ter 4,3 pessoas. Assm, ão se esqueça de que a méda pode assumr valores que a varável ão pode assumr. Eb: Calcular a méda das taxas de desemprego em mucípos brasleros. Classes (Taxas de mortaldade) f.f 9, ,6 9 14,6 18,34 18, ,34 13,98 98,74 7, , ,7 1,9 36, , ,4 161,68 44, ,5 0 49, , , 1 57,85 57,85 Total ,51 Quado os dados ão estão grupados (Ea) o resultado será dêtco ao que sera obtdo smplesmete somado todos os valores e dvddo o somatóro pelo úmero de valores. Cotudo, se a tabela estver agrupada em classes (Eb) TODAS as meddas (ão somete a méda) serão apeas estmatvas dos valores reas, pos as meddas serão

4 4 calculadas usado os potos médos (que são os represetates das classes) e ão mas os valores orgas. No caso do Eb a méda real vale 5,39. Atualmete com as facldades computacoas dspoíves ão se calcula mas a méda (ou qualquer outra medda) a partr de uma tabela agrupada em classes se os dados orgas estão dspoíves: os programas calculam as meddas usado os dados orgas e as tabelas são apresetadas apeas para dar uma déa da varação dos dados. Medaa (Md) A medaa é o poto que dvde o cojuto em duas partes guas: metade dos dados têm valor meor do que a medaa e a outra metade têm valor maor do que a medaa. Pouco afetada por evetuas valores dscrepates exstetes o cojuto (que costumam dstorcer substacalmete o valor da méda). A medaa de um cojuto ordeado de valores, aotada por Md, é defda como sedo o valor que separa o cojuto em dos subcojutos do mesmo tamaho. Assm se (úmero de elemetos) é ímpar a medaa é o valor cetral do cojuto. Caso cotráro a medaa é a méda dos valores cetras do cojuto. Tem-se: Calcular a medaa das fas de três turmas de estudates (Ex). Posção medaa = ( + 1)/ = (8+1)/ = 4,5 sgfca que o valor da medaa será calculado através da méda etre os valores que estverem a 4 a e a 5 a posção do cojuto. Turma A: Md = (6 + 6)/ = 6 Turma B: Md = (6 + 6)/ = 6 Turma C: Md = (7 + 7)/ = 7 Calcular a medaa para o grupo a segur: Posção medaa = ( + 1)/ = (9+1)/ = 5a como o cojuto tem um úmero ímpar de valores o valor da medaa será gual ao valor que estver a 5ª posção. Md = 15 ; x = 0,89 Observe que este caso méda e medaa são dferetes, pos a méda fo dstorcda pelos valores mas altos 35 e 60, que costtuem uma mora. Neste caso a medda de posção que melhor represetara o cojuto sera a medaa. Se a méda é dferete da medaa a dstrbução da varável quattatva o cojuto de dados é dta ASSIMÉTRICA. Calcule a medaa para a taxa de desemprego em mucípos brasleros.

5 5 Classes (Taxas de mortaldade) f x.f F 9, ,6 9 14,6 18, , ,34 13,98 98,74 7, , ,7 1,9 9 36, , ,4 161, , ,5 0 49, , , 1 57,85 57,85 34 Total ,51 Procedmetos Calcula-se a posção Md: P Md = = = 17. A Md estará localzada a classe ode F P Md ; Classes f x.f F 3. 18, ,34 13,98 98, Para ecotrar o valor da medaa aplca-se a segute equação: Fateror. h Md L f ( Md) Ode: Md = medaa L = lmte feror da classe da medaa; (18,6) = tamaho da amostra; (34) F = freqüêca acumulada ateror a classe da Md; (9) h = ampltude da classe da Md; (8,7) f = freqüêca smples a classe da Md. (13) 17 9 Md 18,6 8,7 13 Md 3,3 Novamete o valor acma é apeas uma estmatva, a medaa real vale: Como é par a medaa Md = 3,6 Moda (Mo) A moda é o valor da varável que ocorre com maor freqüêca o cojuto. É a medda de posção de obteção mas smples, e também pode ser usada para varáves qualtatvas, pos apeas regstra qual é o valor mas freqüete, podedo este valor ser tato um úmero quato uma categora de uma varável omal ou ordal. Um cojuto dedados pode ter apeas uma Moda, váras Modas ou ehuma Moda. Ecotre a moda das otas das três turmas.

6 6 A turma A tem 3 modas: os valores 5, 6 e 7 ocorrem duas vezes cada. A turma B tem duas modas: os valores 6 e 10 ocorrem duas vezes cada. A turma C tem uma moda apeas: o valor 7 ocorre 3 vezes. Para dados agrupados em classes a moda é calculada utlzado a equação 1 Mo ( Mo). h ode; 1 f f 1 Mo Mo at f f ; post Mo = moda L = lmte feror da classe modal f Mo = freqüêca smples a classe modal f at = freqüêca smples ateror a classe modal f post = freqüêca smples posteror a classe modal Classe modal = classe de maor f. Calcule a moda para a taxa de desemprego em mucípos brasleros do Exemplo do Eb. Classes (Taxas de mortaldade) f x.f F 9, ,6 9 14,6 18, , ,34 13,98 98,74 7, , ,7 1,9 9 36, , ,4 161, , ,5 0 49, , , 1 57,85 57,85 34 Total , Mod 18,6.8,7 = 18,6.8,7, e Aalsado o cojuto orgal dos verfcamos que o cojuto de dados é amodal desta forma este valore apeas uma estmação.

7 7 Podemos apresetar uma breve comparação das meddas de posção. Fote: REIS, M. M. & LINO, M. de O., Meddas de Dspersão O objetvo das meddas de dspersão é medr quão próxmos us dos outros estão os valores de um grupo ou meddo a dspersão de um grupo de dados em toro da sua méda. Fgura 10 - Desvatagem do uso do tervalo como medda de dspersão. Observa-se claramete que os dados da turma A apresetam uma dspersão bem mas uforme do que os da turma B, embora ambos os cojutos teham o mesmo tervalo. O tervalo ão permte ter déa de como os dados estão dstrbuídos ENTRE os extremos (ão permte detfcar que o valor 8 a turma B é um valor dscrepate). Varâca (S ) A varâca é uma das meddas de dspersão mas mportates. É a méda artmétca dos quadrados dos desvos de cada valor em relação à méda: proporcoa uma mesuração da dspersão dos dados em toro da méda.

8 8 S 1 Amostra N População Ode x é um valor qualquer do cojuto. Se os dados referem-se a uma POPULAÇÃO usa-se N (tamaho da população) o deomador da expressão. A razão da utlzação de 1 o deomador é dspesável para que a varâca da varável a amostra possa ser um bom estmador da varâca da varável a população. A maora dos programas computacoas, porém, costuma calcular o desvo padrão supodo que os dados são proveetes de uma população. Em algumas plalhas eletrôcas há fuções pré-programadas para ambos os casos. A udade da varâca é o quadrado da udade dos dados (e portato o quadrado da udade da méda) causado dfculdades para avalar a dspersão: se por exemplo temos a varável peso com méda de 75 kg em um cojuto e ao calcular a varâca obtemos 1 kg a avalação da dspersão tora-se dfícl. N Quato maor a varâca mas dspersos os dados estão em toro da méda (maor a dspersão do cojuto) Para fs de Aálse Exploratóra de Dados caracterzar a dspersão através da varâca ão é muto adequado. Costuma-se usar-se a raz quadrada postva da varâca, o desvo padrão. Desvo padrão (S) É a raz quadrada postva da varâca, apresetado a mesma udade dos dados e da méda, permtdo avalar melhor a dspersão. S 1 Amostra N População As mesmas observações sobre população e amostra fetas para a varâca são váldas para o desvo padrão. É prátca comum ao resumr através de meddas de sítese um cojuto de dados referete a uma varável quattatva apresetar a méda e o desvo padrão desse cojuto, para que seja possível ter uma déa do valor típco e da dstrbução dos dados em toro dele. Tal como o caso da méda pode haver teresse em calcular o desvo padrão de varáves quattatvas a partr de dstrbuções de freqüêcas represetadas em tabelas. Tal como o caso da méda os valores da varável (ou os potos médos das classes), e os quadrados desses valores, serão multplcados por suas respectvas freqüêcas: S f. f 1 Ex: Calcule o desvo padrão dos dados sobre a taxa de desemprego em mucípos brasleros N

9 9 Classes (Taxas de mortaldade) f.f 9, ,6 9 14,6 18,34 03, ,184 18, ,34 13,98 98,74 58, ,045 7, , ,7 1,9 1004, ,3 36, , ,4 161, , , , ,5 0 49, , , , 1 57,85 57, , ,65 Total , ,1317 f. f 868, ,1317 S 34 = 10, Tal como a méda, o resultado do desvo padrão calculado através de uma tabela agrupada em classes será apeas uma estmatva do valor real (o valor com os dados orgas fo gual a 10,1. Coefcete de Varação (CV%) O coefcete de varação percetual é uma medda de dspersão relatva, pos permte comparar a dspersão de dferetes dstrbuções (com dferetes médas e desvos padrões). Ode S é o desvo padrão da varável o cojuto de dados, e é a méda da varável o mesmo cojuto. f Quato meor o coefcete de varação percetual, mas os dados estão cocetrados em toro da méda, pos o desvo padrão é pequeo em relação à méda. E: Calcular o coefcete de varação percetual para as otas das três turmas de estudates. A turma mas homogêea é a A, pos apreseta o meor coefcete de varação das três. Isso era esperado, uma vez que as otas da turma A estão dstrbuídas mas regularmete do que as das outras. No caso acma a comparação fcou ada mas smples pos as médas dos grupos eram guas, bastara avalar apeas os desvos padrões dos

10 10 grupos, mas para comparar a dspersão de dstrbuções com médas dferetes é mprescdível a utlzação do coefcete de varação. O coefcete de varação para os dados do úmero de resdetes o domcílo correspode a: 1,45 CV % ,7% 4,3 Para os dados da para a taxa de mortaldade em mucípos do oeste de SC o coefcete de varação correspode a: 1,19 CV % 100 4,66% 5,54 9. Meddas de Separatrzes As separatrzes são valores que dvdem a dstrbução em um certo úmero de partes guas: a medaa dvde em partes guas, os quarts dvdem em 4 partes guas, os decs em 10 partes guas e os cets em 100 partes guas. O objetvo das separatrzes é proporcoar uma melhor déa da dspersão do cojuto, prcpalmete da smetra ou assmetra da dstrbução. Vamos os lmtar aos quarts. 0% 5% 50% 75% 100% Q1 Q =Md Q3 Dstrbução por poto: Ex: Calcular o prmero e o tercero quartl do úmero de resdetes o domcílo a partr do exemplo do Quadro 1. Procedmeto: Calcula-se a posção do quartl através da fórmula: PQ = ; 4 O quartl será o valor de correspodete à prmera F PQ. Cálculo do prmero quartl: 40 PQ = = 1 = Iterpretado: 5% das resdêcas possuem até 3 moradores e 75% possuem mas do que 3 moradores. Cálculo do tercero quartl: PQ = = = 30 4

11 11 Iterpretado: 75% das resdêcas possuem até 5 moradores e 5% possuem mas do que 5 moradores. Dstrbução por tervalo: Ex: Calcular o prmero a partr dos dados sobre a taxa de desemprego em mucípos brasleros Classes (Taxas de mortaldade) f F 9, , , , ,34 13,98 3 7, , ,7 9 36, , , , ,5 0 49, , , 1 57,66 34 Total 34 Procedmeto: Calcula-se a posção do quartl através da fórmula: PQ = ; 4 O quartl estará localzado a classe ode, pela prmera vez, F PQ; e para ecotrar o seu valor, aplca-se a equação: PQ Fat. Q Lf. h ode, f L f = lmte feror da classe do quartl; h = ampltude de classe; P Q = posção do quartl ; F.at = freqüêca acumulada ateror a classe do quartl; f Q = freqüêca smples da calasse do quartl. Cálculo do prmero quartl: 34 PQ = = 1 = 8, O prmero quartl ocupa esta ocupado a otava posção correspodete a prmera classe. f F 9, ,6 9 14,6 9 Motado a equação para calcular o valor do prmero quartl PQ Fat. 8 0 Q Lf. h = 9,9 8,7 = 17,65 f 9 Q Iterpretado: 5% da taxa de desemprego equvale a ídces de até 17,65 e 75% da taxa equvale a ídces superores a 17,65 Q Exercícos

12 1 1) Dado o rol de 50 otas de dvíduos que cursaram a dscpla de estatístca. Costrur uma tabela de dstrbução de freqüêcas (com todos os elemetos já estudados), costrur um hstograma e polígoo de freqüêcas, calcular todas as meddas descrtvas ) Os preços do pacote de café, pesado 500g, obtdos em dferetes supermercados locas, são: R$3,50, R$,00, R$1,50 e R$1,00. Com base essas formações, julgue (justfcado) os tes que seguem: a) O preço médo do pacote de café de 500 g vale R$,00. b) Se todos os preços tverem uma redução de 50%, o ovo preço médo será de R$1,50. c) A varâca dos preços é guala 0,65. d) Se todos os preços tverem um acréscmo de R$1,00, o coefcete de varação ão se altera. e) Se todos os preços tverem um acréscmo de R$1,00,o coefcete de varação dos preços será aproxmadamete gual a 31,18%. f) Se todos os preços tverem um aumeto de 50%, a ova varâca será exatamete gual à ateror, pos a dspersão ão será alterada. g) A varâca fcará multplcada por,5 se todos os preços tverem um aumeto de 50%

13 13 6) Cosdere a dstrbução de freqüêcas a segur para respoder às questões de 6.1 a 6.3. Peso (Kg) N o de amas ) Marque a opção correta: a) 75% das observações têm peso ão feror a 4 Kg e feror a 10 Kg. b) Mas de 75% das observações têm peso maor ou gual a 4 Kg. c) Meos de 5% das observações têm peso gual a 4 Kg. a) A soma dos potos médos dos tervalos de classe é feror ao tamaho da amostra. e) 8% das observações têm peso o tervalo de classe ) A méda da dstrbução é gual a : a) 5,7 Kg; d) 5,19 Kg; b) 5,4 Kg; e) 5,30 Kg; c) 5,1 Kg; 6.3) A medaa da dstrbução é gual a : a) 5,30Kg; d) 5,10Kg; b) 5,00Kg; e) 5,0Kg; c) um valor feror a 5,00Kg; 7) O frgorífco Idustral Multcorte S. A. recebe de dos cradores propostas de vedas de bovos para abate. Etretato, ele exge do Departameto de Ispeção Satára que os amas a serem compredos passem por um exame. Cosdere as amostras segutes (em Kg), resultates da realzação do exame de bovos: Estatístcas Amostra Uvaradas Kote Êmo Méda Desvo-padrão Total de bos Perguta-se: a) Em qual das amostras houve maor varação absoluta os pesos dos amas? b) Em termos relatvos, quem está melhor em peso com relação a seu grupo, o bo Kote ou o bo Êmo? Bblografa BARBETTA, P. A. Estatístca Aplcada a Cêcas Socas. 5a. ed. Sata Catara: UFSC, 003. REIS, M. M. & LINO, M. de O. Notas de Aula: Itrodução e Aálse Exploratóra de Dados. UFSC. Ste: TRIOLA, M. F. Itrodução a Estatístca. 9a. ed. Ro de Jaero: LTC. 005.

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