Regressao Simples. Parte II: Anova, Estimação Intervalar e Predição

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1 egressao Smples Parte II: Aova, Estmação Itervalar e Predção

2 Aálse de Varâca Nem todos os valores das amostras estão cotdos a reta de regressão, e quato mas afastados estverem por, a reta represetará a relação etre as amostras. A reta obtda pelo método dos quadrados mímos é um resumo útl da tedêca etre as varáves, pos ão eplca perfetamete os dados. Quão útl é a reta de regressão obtda pelo procedmeto apresetado? Testar a sgfcâca do modelo por aalsado a varabldade. Aova: É baseada o partcoameto da varabldade total a varável resposta

3 Aálse de Varâca Vamos supor que escolhemos como modelo de regressão a reta de regressão horzotal y ˆ y, a equação que represeta a méda da varável depedete y. Nesse caso, o coefcete b da reta de regressão é gual a zero e, coseqüetemete, o coefcete de correlação também é ulo. Embora a reta da méda pouco eplque, ela é um poto mportate de partda para medr varações. Aalsado a reta de regressão com os coefcetes a e b, pode-se ver que a maora dos valores das amostras está dspersa ao redor da reta, como mostra a fgura do slde segute para um par de valores fora da reta.

4 Aálse de Varâca yˆ ˆ β ˆ β

5 Aálse de Varâca Varação total é o resultado da soma dos quadrados dos desvos dos valores y com relação à méda: SQT Varação eplcada é o resultado da soma dos quadrados dos desvos dos valores estmados com relação à méda: SQM Varação ão-eplcada é o resultado da soma dos quadrados dos desvos de y com relação aos valores projetados: ( y y ( yˆ y SS ( y yˆ

6 Aálse de Varâca Varação total é o resultado da soma dos quadrados dos desvos dos valores y com relação à méda: ( y y ( y yˆ ( yˆ y SQT SSM SS SST tem - graus de lberdade; um grau de lberdade é perddo devdo a restrção de que a soma dos desvos em toro da méda é zero. De outra forma: um grau de lberdade é perddo porque a méda da amostra é usada para estmar a méda populacoal. SS tem - graus de lberdade. Dos graus de lberdade são perddos pos dos parâmetros são estmados para obter Y(chapéu. SSM tem grau de lberdade pos os graus de lberdade são adtvos. Isto é - (-

7 Aálse de Varâca Soma de quadrados Graus de lberdade Méda de Soma de Quadrados F egressão esdual Total SSM SS SST ( yˆ y ( y yˆ ( y y - - M ( yˆ y ( y yˆ M

8 Aálse de Varâca SS/σ tem dstrbução qu-quadrado com - graus de lberdade. SSM/σ tem dstrbução qu-quadrado com grau de lberdade. SS e SSM são depedetes. Por defção, F segue uma dstrbução F-Sedecor com e - graus de lberdade. Se F é grade etão coefcete β é dferete de zero. Hpoteses: H : β H : β ejeta H, se F > F-Sedecor com e - graus de lberdade. Obs: Se ão rejeta H sso ão pode sgfcar que e y ão estão relacoados. Isto pode sgfcar que o rage dos valores de ão é adequado ou que a varabldade do processo de medção fo sufcete para epressar a relação.

9 Estmação Itervalar: β Se os erros são ormalmete dstrbuídos, etão ˆ (, ND β σ / S β ˆ β β σ Z e (, / S N com varâca cohecda e o tervalo de cofaça é. α / α / Se a varâca é descohecda ˆ β z / S β ˆ β z / S t ˆ β β t / S ˆ β t ˆ / S, α / / S β β t, α /

10 Estmação Itervalar: β Se os erros são ormalmete dstrbuídos com varâca cohecda, etão ˆ β ND ( β, σ (/ / S Tpcamete a varâca ão é cohecda ˆ (, (/ ND β / S β e o tervalo de cofaça é. ( / / S β ˆ β t ( / / S ˆ t, α /, α / β

11 Estmação Itervalar:σ Se os erros ão ormalmete dstrbuídos Etão σ ( χ ( χ α /, σ ( χ α /,

12 Estmação tervalar: Méda da varável resposta Sabemos que e deseja-se IC para a méda da varável resposta. Um estmador ão evesado é ecotrado como O estmador acma é uma varável aleatóra ormalmete dstrbuída pos ele é uma combação lear das observações y. E a varâca é IC / ( y E β β ˆ ˆ / ( ˆ y E β β S Var y E Var ( ˆ ˆ ( / ˆ( ( σ β β S t y E S t y E, /, / ( / ˆ(, ( / ˆ( α α

13 Predção Se é uma observação de teresse, etão a predção para a méda de y Eˆ ( y / ˆ β ˆ β

14 Predção tervalar Cosdere obtedo uma estmatva tervalar para uma observação futura de y. Essa estmatva tervalar para o parametro E(y/ ão é aproprado. y Seja Eˆ ( y / φ y ŷ yˆ ˆ β ˆ β ormalmete dstrbuída com méda zero e varâca ( Var( φ Var( y yˆ σ S yˆ ± t α /, uma varável aleatóra ( S

15 Predção tervalar A dfereça etre estmar uma resposta méda, E(y / e fazer a predção de uma ova observação, y, é que o prmero caso estmamos a méda da dstrbução de Y. Agora, vamos predzer uma resposta dvdual da dstrbução de Y. A predção tervalar de ova observação é sempre maor que o IC para a reposta méda

16 Cosderações Autores de lvros recomedam que uca devemos usar valores de que etrapolem do rage dos valores orgas. O erro ou o modelo pode prejudcar a predção. Através da equação do IC para a méda da varável resposta, pode-se verfcar que para valores remotos de o desvo produz uma estmatva mas varável da méda de y dado. Egeheros e ecoomstas fazem etrapolação com um ou mas períodos o futuro. Cotudo deve se tomar cudado com o mpacto dsso os resultados.