3. ANPEC Questão 15 Ainda em relação à questão anterior pode-se concluir que, exceto por erro de arredondamento:

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1 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados. ANPEC 99 - Questão 8 A capacdade de produção stalada (Y), em toeladas, de uma frma, pode ser fução da potêca stalada (X), em kw, ou da área costruída (Z) em m. Dados: X = 38, Y = 8, Z =, X = 8 Y = 736, Z = 48 XY = 36, YZ = 848 Sedo =, pode-se afrmar que: () Ao fazer uma regressão da capacdade de produção stalada em fução da potêca stalada (Y = + X) obtém-se como estmatvas de e,,4 e,5, respectvamete. () O R da regressão em () é de,9. () Ao fazer uma regressão da capacdade de produção stalada em fução da área costruída (Y = + Z) obtém-se como estmatvas de e, -, e,, respectvamete. (3) O R da regressão em () é de,9. (4) Pode-se dzer que o melhor (porque tem maor correlação) usar a potêca stalada (X), do que a área costruída (Z) para estmar a capacdade de produção.. ANPEC 99 - Questão 4 O lucro Y de uma empresa em fução do tempo, X, tem dstrbução ormal com méda segudo a estrutura lear de regressão + X e varâca, por pressuposção, costate. Ajustado-se esse modelo por mímos quadrados a uma sére de 5 aos obtveram-se os somatóros abaxo: X = 5, Y = 38, X = 55, Y = 36, XY = 4. Pode-se afrmar que, exceto por erro de arredodameto, () A estmatva do termo costate é -,5. () O quadrado do coefcete de correlação múltpla R é 8%. () A estmatva do coefcete de X é,4. (3) A estmatva da varâca do erro estocástco é,. (4) A soma dos quadrados explcada pelo modelo é 85,6. 3. ANPEC 99 - Questão 5 Ada em relação à questão ateror pode-se coclur que, exceto por erro de arredodameto: () O erro padrão da estmatva de é gual a,77. () O erro padrão da estmatva de é gual a,. () A prevsão do lucro para X = é 6,5 mlhões de cruzeros. (3) O coefcete do tempo é altamete sgfcatvo produzdo um valor observado da estatístca t de Studet de 7. (4) A estatístca F de adequação do modelo é 79.

2 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 4. ANPEC 99 - Questão 3 O custo total, C, de uma dústra e sua produção, X, têm uma relação lear do tpo C X. Para se ajustar esse modelo por mímos quadrados ordáros é precso assumr certas hpóteses como: () A varável depedete X seja aleatóra. () Os erros teham méda zero. () A varâca dos erros ão seja costate. (3) Os erros sgam uma dstrbução ormal. (4) A varável depedete X seja depedete do temo erro. 5. ANPEC 99 - Questão 4 Cosdere o modelo Y X u, estmado pelo método dos Mímos Quadrados Ordáros. Pode-se dzer que: () Se o coefcete estmado for gual a um ( ), a correlação lear etre X e Y será perfeta. () A sgfcâca de será testada tato por meo de teste t quato do teste F. () Se o R estmado for meor que %, o modelo deverá ser abadoado. (3) Se for troduzda mas uma varável explcatva o modelo, o R certamete ão dmurá. (4) Se o coefcete estmado for feror à udade ( ), a reta passará pela orgem. 6. ANPEC Questão 3 Supoha que se teha usado dados de platações para estmar a fução de produção: Y =, +,3 X (,3) (,8) em que Y é meddo em toeladas de café por hectare de X em ceteas de qulo de fertlzate por hectare. O erro-padrão das estmatvas s b e s b são dados etre parêteses. Pode-se afrmar que: () Ao ível de 5% ambas estmatvas são sgfcates. () Se o desvo-padrão da varável X ( s X ) é e o desvo-padrão da varável Y (s Y ) é etão o coefcete de correlação etre X e Y, r, é,3. () Para fazer a aálse de varâca dessa regressão precsa-se cohecer apeas a varação explcada pela regressão um vez que os graus de lberdade já são cohecdos. (3) Se o café custar $5 por toelada e o fertlzate $3 por qulos, ão vale a pea ao fazedero usar mas fertlzate para aumetar a produção, pos o custo margal excede a receta margal. (4) Um aumeto de qulos de fertlzate provoca um aumeto de,4 toeladas a produção de café.

3 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 7. ANPEC Questão 4 Quato ao modelo de regressão lear smples da forma Y a bx u em que Y represeta a produção de parafusos; X a quatdade de trabalho, medda em homes/hora de trabalho; e u a perturbação aleatóra; podemos afrmar que: () O valor da varável Y uca pode ser prevsto exatamete devdo à preseça da perturbação ocasoada pela varável depedete X. () Para cada valor de X, temos como pressuposto báscos que o correspodete u tem dstrbução ormal com méda zero. () O pressuposto de homocedastcdade sgfca que cada perturbação tem a mesma varâca cujo valor é descohecdo. (3) Pelos seus pressupostos báscos, as perturbações u são ão correlacoadas e estatstcamete depedetes. 8. ANPEC Questão 5 Supoha que, um modelo de regressão lear smples, o regressor (varável depedete) seja correlacoado com o termo erro. Sobre o estmador de MQO, podemos afrmar: () É, em geral, vesado. () Não é possível de ser obtdo. () É ão vesado, porém ão é efcete. (3) É cosstete. 9. ANPEC - Questão Cosdere o segute modelo de regressão lear clássco, relacoado as varáves quatdade demadada (Q) e preço do produto (P). Admta que as duas varáves sejam meddas em Reas, e que a estmação será efetuada por MQO (l é logartmo atural) lq = + lp + u =,,...,. É correto afrmar que: () Varado-se o preço em %, a quatdade demadada varará %, ceters parbus. () Igorado-se o termo aleatóro, se o preço ultrapassar determado lmte, será possível obter quatdades demadadas egatvas. () Se mudarmos as udades de Q e P para dólares amercaos, etão a estmatva de a ova equação será gual a sua estmatva obtda a equação em Reas. (3) Se a varável l Y (Y = reda) for acrescetada ao modelo o coefcete R desta ova regressão será maor ou gual ao coefcete R da regressão orgal. (4) Se o coefcete R ajustado da regressão com a varável l Y for maor do que o coefcete R ajustado da regressão orgal, etão ecessaramete, o coefcete de l Y é estatstcamete sgfcate, ao ível de sgfcâca de 5%, em um teste b-lateral. 3

4 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados. ANPEC - Questão 5 Ao testar a sgfcâca do coefcete agular ß de um modelo de regressão lear smples ecotrou-se valor-p = 3x 3. Pode-se afrmar que: () O erro tpo II será gual a 3x 3. () A probabldade de o verdadero valor do parâmetro ecotrar-se o tervalo ˆ S é 99,7%. () O mas baxo ível de sgfcâca ao qual a hpótese ula pode ser rejetada é 3x 3 (3) O coefcete é sgfcate a 99% de cofaça. (4) A potêca do teste é defda por (,3). ˆ.. ANPEC - Questão 9 A partr de uma amostra de elemetos, fo estmada uma regressão lear smples, pelo método de mímos quadrados, obtedo-se os resultados: ˆ ˆ ˆ ˆ Yt X t K R A segur, a mesma regressão fo estmada sabedo-se que a reta de regressão da população passa pela orgem das coordeadas (termo costate = ), obtedo-se os resultados: ˆ ˆ Yt X t Pode-se afrmar que: K R () ˆ = ˆ () s (desvo padrão de ) s (desvo padrão de ) () A reta ˆ X passa pelo poto médo da amostra ( X, Y ) (3) (K / K ) > (4) A soma dos resíduos de mímos quadrados de ambas equações estmadas é zero.. ANPEC 5 - Questão Um pesqusador estma o segute modelo de regressão smples: Y X e. Outro pesqusador estma o mesmo modelo, mas com escalas dferetes para Y e X. O segudo modelo é: * * * * * Y X e, em que: Y * wy, X * w X e w e w são costates maores que zero. * * () Os estmadores de Mímos Quadrados Ordáros de e são guas aos de e. * * * () Se ˆ é a varâca estmada de e e ˆ é a varâca estmada de e, etão ˆ w ˆ. 4

5 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados () As varâcas dos estmadores dos parâmetros do prmero modelo são maores do que as varâcas dos estmadores do segudo modelo. (3) Os coefcetes de determação são guas os dos modelos. * * (4) A trasformação de escala de ( Y, X ) para ( Y, X ) ão afeta as propredades dos estmadores de Mímos Quadrados Ordáros dos parâmetros. 3. ANPEC - Questão 5 Cosdere o segute modelo de regressão: e Ode y = β + β x + u, Supoha que x é ão estocástco e que Cosdere os dos estmadores alteratvos de β : x x e y =,..., E[u ] =, E[u ²] = σ², E(u, u j ) = para todo j y ˆ b x y x x x y y x x são as médas amostras de x e y respectvamete. É correto afrmar que: O b em geral é um estmador ão vesado de β. ˆ é um estmador ão vesado de β se e somete se β =. ˆ é mas efcete do que b se β =. 3 b é um estmador ão vesado de β se, para qualquer amostra de tamaho, x. 4 b é um estmador ão vesado de β se, para qualquer amostra de tamaho, y. 4. ANPEC - Questão 3 Cosdere o segute modelo de regressão lear clássco em que as varáves são expressas como desvos em relação às respectvas médas: y = αx + u, =,..., e E[u ] =, E[u ²] = σ², E(u, u j ) = para todo j Supoha, por smplcdade, que x é um regressor escalar ão estocástco. Propõe-se estmar α através da razão etre as médas amostras de y e x : y x Calcule a varâca de. Multplque o resultado por. (Sabe-se que σ² =, = e x x / 5 ). 5

6 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 5. ANPEC - Questão Cosdere o segute modelo de regressão: y = β + β x + ε Em que β e β são parâmetros estmados pelo método dos mímos quadrados ordáros e ε represeta o erro do modelo. Julgue as segutes afrmatvas: O A hpótese de que E[y x ]= assegura que a soma dos resíduos da regressão é gual a zero. Nesse modelo, a soma dos quadrados total é gual a soma dos quadrados explcada mas a soma dos quadrados dos resíduos da regressão. A covarâca amostral etre a varável depedete x e os resíduos da regressão é zero se a hpótese de que E[y x ]= for verdadera. 3 Neste modelo, a covarâca amostral etre os valores predtos pela regressão,, e os resíduos da regressão é sempre gual a zero. 4 Para verfcar quão bom é o ajuste da regressão podemos usar o R, que é gual ao quadrado do coefcete de correlação etre y o observado e o predto,. 6. ANPEC 3 - Questão 4 Um pesqusador tem dados de 5 países das segutes varáves: N, úmero médo de joras comprados durate um ao; Y, PIB per capta meddo em dólares. Ele roda a segute regressão (desvos padrões etre parêteses, RSS = soma dos quadrados dos resíduos, F = estatístca F para a equação, R² = coefcete de determação): (,) (,) Supoha que você rode a mesma regressão com Y meddo em reas. Assuma, por smplcdade, que a taxa de câmbo seja dos reas por dólar. É correto afrmar que: O A estmatva do coefcete de Y permaecerá alterada. A estmatva do tercepto permaecerá alterada. RSS permaecerá alterado. 3 A estmatva do desvo padrão do coefcete de Y permaecerá alterada. 4 R² permaecerá alterado. 6

7 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 7. ANPEC 4 - Questão Neste exemplo, queremos prever o peso do dvíduo usado somete sua altura, Y X, o qual Y é o peso do dvíduo e X a altura. Assummos que 4 4 E[ X ], Var [ X ], E [ X ], E[ u ] e Var peso e altura de dvíduos, obtemos a segute tabela: Y N, X [ X ] é uma amostra aleatóra,. Após coletar a formação de N Y N X N N Y Y N X X Y Y X X Estmado o modelo por Mímos Quadrados Ordáros, calcule o valor da estmatva obtda para ˆ. Multplque o resultado por. 8. ANPEC 5 - Questão 8 Cosdere o modelo de regressão abaxo: Cosdere os segutes estmadores de β: É correto afrmar que: O é um estmador ão tedecoso de ; Se é um estmador cosstete de ; Se ão é um estmador cosstete de ; 3 é um estmador ão tedecoso de ; 4 Se. 9. ANPEC 5 - Questão 3 O govero gostara de estmar o efeto do Programa Saúde da Famíla sobre a taxa de teração por dftera das craças etre e 4 aos de dade. Para sso, ele gostara de estmar o segute modelo de regressão: o qual é a taxa de teração do mucípo, é uma varável bára que é gual a, se o mucípo partcpa do programa, e, caso cotráro. Usado os dados para o Brasl em 3, temos os segutes 7

8 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados resultados:. Neste caso, é a méda da taxa de teração para os mucípos que partcparam do Programa e é a méda da taxa de teração para os mucípos que ão partcparam do Programa. Além dsso, 7% dos mucípos brasleros partcpam do Programa Saúde da Famíla. Você estma o modelo acma por Mímos Quadrados Ordáros. Qual o valor obtdo para o coefcete assocado a?. ANPEC 6 - Questão Um ecoomsta deseja avalar o cosumo de care bova em estados brasleros: Ro Grade do Sul (RS) e Ro Grade do Norte (RN). Para tato, ele selecoa uma amostra de 5. udades de cosumo, 35. localzadas o Ro Grade do Sul (prmera sub-amostra) e 5. o Ro Grade do Norte (seguda subamostra). Icalmete, o ecoomsta preferu trabalhar com as sub-amostras em separado. Para as duas sub-amostras ele estma a Curva de Egel para o cosumo de care bova pelo método de Mímos Quadrados Ordáros. Os resultados das regressões estão abaxo, em que os erros-padrão estão etre parêteses: [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útl saber que se Z tem dstrbução ormal padrão, etão P( Z >,645)=, e P( Z >,96)=,5] (,5) (,4) R² =,45 e =35. (,65) (,7) R² =,38 e =5. em que l(cosumo) é o logartmo atural do cosumo de care bova, em qulogramas, e l(reda) é o logartmo atural da reda total do domcílo, em mlhares de reas. Todas as suposções usuas acerca do modelo de regressão lear clássco são satsfetas. 8

9 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados Com base os resultados acma, e supodo que a amostra é sufcetemete grade para que aproxmações asstótcas sejam váldas, é correto afrmar que: O Na equação (), matedo os preços costates, com um aumeto de % a reda das udades de cosumo, o cosumo de care bova terá um aumeto esperado de,5%; De acordo com os resultados das regressões, para um ível de reda gual a R$,, o cosumo de care o Ro Grade do Sul será maor do que o Ro Grade do Norte, matedo todas as demas codções costates; É possível afrmar, ao ível de sgfcâca de %, que o Ro Grade do Norte a care bova depede exclusvamete do ível de reda, portato, ão é um bem de prmera ecessdade; 3 É possível afrmar, com % de sgfcâca, que a demada de care bova o estado do Ro Grade do Sul é superor a do Ro Grade do Norte em 67%, para um ível de reda méda gual R$.,; 4 O ecoomsta decdu trabalhar apeas com a amostra completa, agregado as formações dos dos estados e dcado a localzação da udade de cosumo por meo de uma varável dummy, os parâmetros em que dca o estado do Ro Grade do Sul. Dado um aumeto de % a reda a dfereça méda de cosumo de care bova etre as udades localzadas o Ro Grade do Sul e o Ro Grade do Norte será a dfereça etre os dos parâmetros da l(reda) das equações () e ().. ANPEC 6 - Questão 8 Foram obtdos os segutes resultados va aálse de regressão lear: com R² =,5 (5,45) (-9,6) Na pressa, o pesqusador se esqueceu de clur a estatístca F os resultados. Este pesqusador precsa verfcar se a regressão é sgfcate. Ajude-o, calculado o valor da estatístca F do teste a ser empregado. Marque somete a parte tera. 9

10 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados. ANPEC 7 - Questão 6 Cosdere o modelo de regressão lear smples: Para uma amostra de observações são ecotrados os segutes resultados: Sedo o estmador de Mímos Quadrados Ordáros de, calcule o valor da estmatva de usado os resultados da amostra.

11 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados. ANPEC Questão 5 Em relação ao modelo de regressão múltpla Y X X X e,,, k k Pode-se afrmar que: () O método, dos mímos quadrados ordáros (MQO), usado para estmar os coefcetes j, j,,, k exge que o erro teha dstrbução ormal. () Se adcoarmos um ovo regressor X k à equação acma etão o coefcete de determação, R pode ou ão aumetar. () Os estmadores de MQO dos coefcetes j, j,,, k são ão vcados (ou ão vesados). (3) Os coefcetes j, j,,, k podem ser terpretados como as elastcdades etre os regressores X j e a varável Y.. ANPEC Questão 5 Em um modelo clássco de regressão lear múltpla: () Uma das hpóteses estabelece que as varáves explcatvas são learmete depedetes. () Os testes t e F ão são equvaletes. () A comparação do poder explcatvo de modelos evolvedo úmero dferete de varáves explcatvas deve ser feta com base o R ajustado. (3) Cada uma das varáves explcatvas tem dstrbução ormal. (4) A varâca da varável depedete é gual à varâca do termo aleatóro. 3. ANPEC Questão 5 Uma mplemetação empírca do modelo de captal humao é feta com a segute especfcação: 3 ly = XPR XPR S, ode Y represeta a reda do trabalho do -ésmo dvíduo, S o úmero total de aos de sua escolardade, A sua dade medda em aos, e, XPR = A S, sua experêca de trabalho, medda pela dfereça etre sua dade e o total de aos de escolardade. Falmete, é um dstúrbo aleatóro do modelo de regressão assocado ao -ésmo dvíduo de uma amostra de N dvíduos. Pode-se afrmar que: () se os erros são depedetes e detcamete dstrbuídos, a razão etre os estmadores de mímos quadrados ordáros dos s e seus respectvos desvos-padrão têm dstrbução asstótca Normal. () o sal do coefcete dca a preseça de retoros decrescetes ou crescetes à experêca de trabalho. () mesmo em preseça de heterocedastcdade a estrutura de erros, o estmador de mímos quadrados ordáros é cosstete. (3) mesmo em preseça de heterocedastcdade a estrutura de erros, o estmador de mímos quadrados ordáros é relatvamete efcete. 4. ANPEC Questão 5

12 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados Foram ecotrados os segutes resultados para estmar uma regressão lear com duas varáves explcatvas para uma amostra de tamaho. Varáves predtoras Coefcete Desvo padrão Estatístca t p-valor Costate 3,3 54,8,88,4 X -,6,863 -,5,7 X -,3 3,3 -,3,75 R = 8,%; R ajustado = 76,%; Valor calculado da estatístca F=5, Podemos afrmar que: () A equação de regressão estmada é Y 3, 3, 6. X, 3. X. () A um ível de sgfcâca de 5% podemos afrmar que a regressão exste. Porém, após elaborarmos os testes de hpóteses para os coefcetes dvduas, acetamos a hpótese (a um ível de sgfcâca de %) de que o coefcete para a varável X é zero. () O coefcete de determação dca que 8,b% da varação amostral de Y podem ser atrbuídos as varações de X e X. (3) O valor estmado para Y quado X = 5 e X = 8 é. (4) Os valores teórcos das estatístcas t utlzadas para testar os coefcetes das varáves explcatvas devem ser calculados para 7 graus de lberdade. 5. ANPEC - Questão É correto afrmar a respeto do modelo de regressão lear clássco multvarado: Y X, com observações e k > varáves explcatvas, cludo-se o tercepto. () Os coefcetes de clação ão se alteram quado se modfcam as udades de medda de Y e X multplcado-os por uma costate, por exemplo, trasformado-se seus valores de reas para dólares. () Se o modelo for estmado com apeas k- varáves explcatvas (mas matedo o tercepto), os coefcetes estmados poderão ser vesados e cosstetes. () Quado os coefcetes s estmados forem altamete sgfcatvos, dvdualmete, mas a estatístca F e o R dcarem que o modelo como um todo tem um baxo poder explcatvo, pode-se descofar da preseça de multcoleardade. (3) Para testar a hpótese cojuta de que..., pode-se utlzar o teste 3 k R ( k ) F ;( k ),( k ), em que R é o coefcete de determação do modelo. [( R )( k)] (4) Sempre que o modelo tver pelo meos duas varáves explcatvas além do tercepto, o R será maor ou gual ao R ajustado.

13 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 6. ANPEC 3 - Questão 6 Cosdere o modelo de regressão lear múltpla para dados seccoas y x x k xk u,,,. É correto afrmar que: () para que os estmadores de mímos quadrados sejam os melhores estmadores leares ão-tedecosos é ecessáro que os erros sejam ormalmete dstrbuídos; () a hpótese que Var( u x, x,, xk ),,,, ão é ecessára para que os estmadores de mímos quadrados sejam cosstetes; () a clusão de uma ova varável explcatva o modelo reduzrá o coefcete de determação R ; (3) para que as estatístcas t e F sejam váldas asstotcamete é ecessáro que os erros sejam ormalmete dstrbuídos; (4) se Cov x, x ),, os estmadores de mímos quadrados ordáros da regressão ( 3, y x x k xk u,,,, serão tedecosos. 7. ANPEC 3 - Questão 7 O método dos mímos quadrados ordáros fo empregado para estmar o modelo de regressão abaxo, cujo objetvo é explcar as varações de reda etre 56 dvíduos: log( reda),47,97sexo,8educ,9exper,58exper (,99) (,36) (,7) (,5) (,) u, R,44, 56, em que sexo é uma varável dcotômca (valor, se for homem e, caso cotráro), educ é o úmero de aos de escolardade, exper é experêca profssoal, também medda em aos. Os úmeros etre parêteses são os erros-padrão das estmatvas ( s,,.,...,4) b. Com base os resultados acma, é correto afrmar: () a regressão ão é estatstcamete sgfcate pos o coefcete de determação é meor do que,5; () a dfereça de reda etre homes e mulheres ão é estatstcamete sgfcate; () um ao a mas de escolardade, matdos costates todos os demas fatores, aumeta em,8% a reda de um dvíduo do sexo femo; (3) a sgfcâca cojuta das varáves educ e exper ão pode ser medda por meo da estatístca t. Para sto, o teste F deve ser utlzado; (4) o modelo é capaz de captar dfereças os retoros da educação etre homes e mulheres. 3

14 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 8. ANPEC 4 - Questão Cosdere o modelo de regressão lear múltpla para dados seccoas: y x x k xk u,,,. É correto afrmar que: () Para que os estmadores de mímos quadrados sejam leares ão-tedecosos de meor varâca (BLUE) é ecessáro que os erros sejam homocedástcos. () A hpótese que Var( u x, x,, xk ),,,, é ecessára para que os estmadores de mímos quadrados sejam ão-tedecosos. () As estatístcas t e F cotuam váldas asstotcamete mesmo que os erros da regressão sejam heterocedástcos. (3) Se Cov x, x ),,, os estmadores de mímos quadrados ordáros da regressão ( 3, y x x 4x4 k xk u,,,, serão cosstetes. (4) Se Cov x, x ),, os estmadores de mímos quadrados ordáros da regressão ( 3, y x x 4x4 k xk u,,,, serão cosstetes. 9. ANPEC 4 - Questão 4 Um pesqusador estmou uma regressão múltpla com 5 varáves depedetes e = 56, mas a pressa, ão mprmu os resultados e aotou apeas o valor do R =,9, o coefcete de determação. Este pesqusador precsa verfcar se a regressão é sgfcate. Ajude-o, calculado o valor da estatístca do teste a ser empregado.. ANPEC 5 - Questão 4 Cosdere o segute modelo para a população: Y = + 4X 5Z + u, em que u é o termo aleatóro e E ( u X, Z) E( u). A partr de uma amostra de dvíduos, estmaram-se os parâmetros deste modelo, tedo, todava, sdo omtda a varável Z. Ou seja, o modelo estmado fo: ˆ ˆ ˆ X. Supoha ada que, para amostra em questão, teham sdo obtdos os segutes resultados: ( Z Z )( X X ),7, em que X ( X X ) Calcule E ˆ X. Multplque o resultado por. X e Z Z. Y 4

15 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados. ANPEC 6 - Questão 9 O método dos mímos quadrados ordáros fo empregado para estmar o modelo de regressão abaxo, cujo objetvo é explcar as varações de reda etre 56 dvíduos de uma amostra aleatóra: l(reda) =,36+,94 educ +,4 exper,78 sexo, exper x sexo + u (,8) (,8) (,) (,58) (,) R =,368 = 56 em que sexo é uma varável dcotômca (valor, se for mulher e, caso cotráro), educ é o úmero de aos de escolardade ( educ 7), exper são aos de experêca profssoal ( exper 4) e u é a estmatva do erro. Os úmeros etre parêteses são os erros-padrão das estmatvas, robustos à heterocedastcdade. Com base os resultados acma, é correto afrmar: () Ao ível de sgfcâca de 5%, o efeto de um ao a mas de experêca profssoal para dvíduos do sexo masculo é estatstcamete maor do que o efeto para mulheres. () Para um dvíduo com aos de escolardade, ao adcoal de estudo acarreta um aumeto da reda de aproxmadamete 9%. () O efeto a reda de um aumeto de ao a experêca profssoal para as mulheres é % meor do que para os homes. (3) Pela speção dos resultados da estmação fca claro que os erros do modelo são heterocedástcos. (4) Se a um ível de sgfcâca de 5%, o valor crítco do teste F para a regressão for,37, os coefcetes agulares serão cojutamete dferetes de zero.. ANPEC 7 - Questão 8 Julgue as afrmatvas: O Heterocedastcdade ocorre quado o erro aleatóro em um modelo de regressão é correlacoado com uma das varáves explcatvas. Quado o erro aleatóro em um modelo de regressão é correlacoado com alguma varável explcatva, os estmadores de mímos quadrados ão são cosstetes. Na preseça de heterocedastcdade, estmadores de mímos quadrados ordáros são efcetes. 3 Os testes t e F usuas ão são váldos a preseça de heterocedastcdade. 4 Na preseça de heterocedastcdade, estmadores de mímos quadrados ordáros são ão vesados, mas são cosstetes. 3. ANPEC 7 - Questão 5 A regressão abaxo fo estmada com o objetvo de explcar a dfereça de saláros etre homes e mulheres. As segutes varáves foram utlzadas: sal = saláro médo por hora, em Reas; homecas = se homem e casado; =, caso cotráro; mulhcas = se mulher e casada; =, caso cotráro; mulhsol = se mulher e soltera; =, caso cotráro; edu = úmero de aos de educação formal; exper = úmero de aos de experêca profssoal; empre = úmero de aos com o atual empregador. 5

16 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados Etre parêteses, ecotram-se os erros-padrão calculados por Mímos Quadrados Ordáros (MQO). log (ˆsal) =,3+,homecas,mulhcas,mulhsol +,8edu +,exper +,3empre (,) (,55) (,5) (,5) (,6) (,5) (,6) Supoha que um dvíduo do sexo masculo, com 5 aos de experêca profssoal, se case. Ceters parbus, qual a varação percetual esperada o seu saláro dos aos após seu casameto em relação ao seu saláro de soltero? Supoha que o úmero de aos de educação formal do dvíduo ão se teha alterado e que ele ão teha trocado de emprego. 4. ANPEC 8 - Questão 6 Um ecoometrsta estmou o segute modelo de regressão para explcar a reda de 56 dvíduos: R =,44, = 56 log(reda) =,5,3 geero +,8 educ +,3 exper, exper + u, (,99) (,36) (,3) (,5),) em que geero é uma varável dcotômca ( = se mulher, =, caso cotráro), educ é o úmero de aos gastos com educação, exper é a experêca profssoal do dvíduo, medda em aos. Os desvos padrões dos coefcetes estão etre parêteses. Com base esses resultados, julgue as afrmatvas: O O efeto de um ao a mas de experêca profssoal a reda méda de um dvíduo do sexo masculo é,,3 udades moetáras. As mulheres recebem saláros 3% mas baxos que os dos homes, em méda. De acordo com o modelo estmado e, a hpótese de que o efeto médo de um ao a mas de educação a reda dos dvíduos seja dferete de % é rejetada ao ível de sgfcâca de 5%. 3 Se V(u geero, educ, exper) = a + b educ, etão os estmadores de mímos quadrados são tedecosos. Nota: V(u X) é a varâca de u codcoada a X, a e b são parâmetros. 4 Em uma regressão do resíduo u em fução de educação e gêero, o R será zero. 5. ANPEC 8 - Questão 7 Cosdere a regressão múltpla: y = β + β x + β x + β 3 x 3 + u cujos parâmetros teham sdo estmados pelo método dos mímos quadrados ordáros. Julgue as afrmatvas: O Se E(u x, x, x3)= e o modelo ão é perfetamete colear, etão os estmadores ão são vesados. Se o R =, etão y é uma combação lear de x, x e x 3. O R ajustado aumeta ao se clur uma varável adcoal, caso tal varável seja sgfcatva ao ível de 5%. 3 Se o modelo satsfaz as hpóteses do teorema de Gauss-Markov, etão ˆ é o estmador lear ão vesado de β com meor varâca possível. 4 Se omtrmos x 3 da regressão, os estmadores de β, β e β podem ser vesados. 6

17 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 6. ANPEC 9 - Questão Supoha que o modelo lear abaxo descreva as relações etre quatro varáves aleatóras escalares: y, X, Z e. E y X, Z X Z Equação X Z, E Z, X E Z E X E Equação,,, e Supoha ada que. Idque se cada umas das afrmações abaxo é verdadera ou falsa: () y Z Z. E y X E X Z. y Z () Seja Z u. Etão u X, Z () Z E. (3) Seja, em que e. Portato, E Z. (4) Cosdere uma amostra de observações das varáves aleatóras y, X e Z. O estmador Z Z y Z Z T é um estmador ão-tedecoso para o parâmetro. 7. ANPEC 9 - Questão 4 O método dos mímos quadrados ordáros fo empregado para estmar o modelo de regressão abaxo cujo objetvo é explcar as varações de reda etre 487 dvíduos: log reda,883,69geero,4educ,exp er,9exp er geero uˆ,73,59,3,, R, em que gêero é uma varável dcotômca (valor se for mulher e caso cotráro), educ é o úmero de aos de escolardade e exper é a experêca profssoal também medda em aos. Os úmeros etre parêteses são os erro-padrão das estmatvas. Com base os resultados acma, é correto afrmar: () A 5%, o efeto de uma ao a mas de escolardade para os dvíduos do sexo masculo é estatstcamete maor do que o efeto para as mulheres. () O efeto a reda de um ao a mas de experêca profssoal para as mulheres é,9% meor do que para os homes. () O modelo acma ão pode ser estmado por mímos quadrados, pos há uma teração etre as varáves exper e gêero. (3) Para um mesmo ível de escolardade e experêca profssoal, a reda méda dos homes é superor a das mulheres. (4) Para um dvduo com aos de escolardade, ao adcoal de estudo acarreta um aumeto da reda de aproxmadamete 4%. 8. ANPEC - Questão 7

18 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útl saber que se Z tem dstrbução ormal padrão, etão Pr( Z >,645)=, e Pr( Z >,96)=,5.] Cosdere as segutes estmatvas obtdas pelo método de mímos quadrados ordáros para o modelo de regressão abaxo (desvos-padrões etre parêteses): l(saláro) =,6+,75sdcato +,9sexo+,8educ+,3 exper,3 exper + û (,) (,) (,5) (,3) (,9) (,) R =,36 em que educ e exper deotam, respectvamete, o úmero de aos de estudo e o úmero de aos de experêca profssoal, sdcato é uma varável dummy que assume o valor se o trabalhador for sdcalzado e caso cotráro e sexo é uma varável dummy gual a se o trabalhador for do sexo masculo e gual a se for do sexo femo. O resíduo da regressão é o termo û. Todas as suposções usuas acerca do modelo de regressão lear clássco são satsfetas. É correto afrmar que: O Supodo que o tamaho da amostra seja grade o sufcete para que aproxmações asstótcas sejam váldas, é possível rejetar, ao ível de sgfcâca de 5%, a hpótese ula de que os saláros de trabalhadores sdcalzados e ão sdcalzados são guas. A hpótese alteratva é que os trabalhadores sdcalzados gaham mas do que os ão sdcalzados. Supodo que o tamaho da amostra seja grade o sufcete para que aproxmações asstótcas sejam váldas, é possível rejetar, ao ível de sgfcâca de 5%, a hpótese ula de que os saláros de homes e mulheres são guas. A hpótese alteratva é que os saláros de homes e mulheres são dferetes. Um ao adcoal de experêca eleva o saláro em 3,%. 3 Se clurmos um regressor adcoal etre as varáves explcatvas, o R² ão dmurá. 4 Supodo que os erros teham dstrbução ormal e que o tamaho da amostra seja 6, é possível rejetar, ao ível de sgfcâca de 5%, a hpótese de que os coefcetes da regressão, com exceção do tercepto, são smultaeamete guas a zero (F,95; 5, =.59). 9. ANPEC - Questão 3 Usado uma base de dados que têm formação de trabalhadores, queremos verfcar se exste desgualdade salaral etre os setores da ecooma. Cosderemos que a ecooma está dvdda em 4 setores: dústra, comérco, servços e costrução. Cada um dos trabalhadores está em um dos quatro setores e eles são mutuamete exclusvos. Seja Y o saláro mesal do trabalhador e defmos para cada setor uma varável bára que é gual a se o trabalhador está em determado setor e caso cotráro. Estmado um modelo lear de regressão, obtemos o segute resultado: = 4, +,educ +,3dade +,4homem -,5DI -,5DC,5Dcos (,) (,8) (,) (,5) (,) (,3) (,5) R =,83 em que educ represeta o úmero de aos de estudos de cada trabalhador, dade é medda em aos, homem é uma varável bára que assume valor gual a se é homem e caso cotráro, DI represeta a 8

19 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados dummy para dústra, DC para o comérco e DCos para o setor de costrução. Etre parêteses ecotra-se o erro padrão. Baseado as formações acma julgue as segutes afrmatvas: [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útl saber que se Z tem dstrbução ormal padrão, etão Pr( Z >,645) =, e Pr( Z >,96) =,5.] O Com base os resultados acma, é possível rejetar ao ível de 5% de sgfcâca a hpótese ula de que o saláro do setor da dústra é gual ao saláro do setor de servços para trabalhadores com o mesmo ível educacoal, a mesma dade e do mesmo sexo. A hpótese alteratva é que os saláros estes setores sejam dferetes. Com base os resultados acma, é possível rejetar ao ível de 5% de sgfcâca a hpótese ula de que o saláro o setor de costrução é gual ao saláro o setor de comérco, matedo educação, dade e sexo fxos. A hpótese alteratva é que os saláros estes setores sejam dferetes. Com base os resultados acma, é possível rejetar ao ível de 5% de sgfcâca a hpótese ula de que o saláro os 4 setores da ecooma são guas, matedo costate educação, dade e sexo. 3 Os resultados do modelo acma permtem testar a hpótese de que o retoro salaral etre homem e mulher é dferete para cada ível educacoal, ao ível de 5% de sgfcâca. 4 Com base os resultados acma, podemos testar a hpótese de que o tercepto do modelo lear de saláro em fução da educação, dade e setor para homem é dferete do tercepto do mesmo modelo lear de saláro para mulher.. ANPEC - Questão Supoha que um pesqusador esteja teressado em vestgar os determates da delquêca juvel e teha acesso aos segutes dados proveetes de cdades de um dado país: A, o úmero de terações por adolescetes; P, o úmero de resdêcas por domcílos a cdade com reda abaxo da lha da pobreza; S, o úmero de resdêcas por domcílos a cdade com apeas um dos pas. O pesqusador estma a segute regressão: A = β + β P + β 3 S + u em que u é um termo de erro que satsfaz todas as hpóteses usuas do modelo de regressão. A correlação populacoal etre P e S é,96. Julgue as segutes afrmatvas: O A alta correlação populacoal etre P e S dará orgem ao problema cohecdo como multcolearedade. Multcolearedade ão tora vesados os estmadores de mímos quadrados ordáros dos coefcetes, mas faz com que eles sejam cosstetes. As estmatvas dos desvos padrões serão vesadas e provavelmete subestmarão os valores verdaderos. 3 Na preseça de multcolearedade, os testes t e F ão são váldos. 4 Se ao vés de uma alta correlação populacoal etre P e S, houvesse uma alta correlação populacoal etre A e P ou etre A e S, o problema de multcolearedade sera ada por.. ANPEC 3 - Questão 5 9

20 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados Usado uma base de dados que cotém formação sobre 437 frmas, estmamos uma fução de produção Cobb-Douglas: (,3) (,35) (,3) em que deota o produto (em logartmo), represeta o sumo trabalho (em logartmo) e, o sumo captal (em logartmo). Os úmeros etre parêteses represetam o erro-padrão assocado a cada coefcete. Baseado o resultado acma, julgue as afrmatvas: O Cosderado que o tamaho da amostra é grade o sufcete para que aproxmações asstótcas sejam váldas, é possível rejetar a hpótese de que o retoro margal do sumo captal, matedo o sumo trabalho costate, é gual a zero ao ível de sgfcâca de 5%. [Nesta questão, pode ser útl saber que a 5% de sgfcâca a estatístca é t =,645]. Matedo o captal em dado ível, um aumeto de para udades de trabalho causa um aumeto o produto de,99 +,64 = 63. Com base as formações acma, podemos testar a hpótese de retoros costates de escala, sto é, a hpótese ula de que 3 Com base os dados acma, costruímos um tervalo de 95% de cofaça para, [,4,,495]. Supodo que o tamaho da amostra seja grade o sufcete para que aproxmações asstótcas sejam váldas, com base este tervalo, podemos rejetar a hpótese ula de 5%. ao ível de sgfcâca de 4 Supoha que estmamos uma ova fução de produção que relacoa o produto com captal, trabalho e uma medda das codções clmátcas efretadas por cada frma. Podemos afrmar que R² deste modelo será maor que,9.. ANPEC 4 - Questão 4 Usado dados de uma amostra aleatóra da população com 8. dvíduos, é estmada uma regressão pelo método de Mímos Quadrados Ordáros. Os resultados dessa regressão são mostrados abaxo, em que os erros-padrão são mostrados etre parêteses: [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útl saber que se Z tem dstrbução ormal padrão, etão P( Z >,645)=, e P( Z >,96)=,5] l(saláro) =,3+, escol +,3 dade -,5 mulher,5(mulher x escol) (,) (,4) (,) (,3) (,5) R =,45 e =8., em que escol represeta o úmero de aos de estudo, dade é a dade do dvíduo em aos e mulher é uma varável dummy gual a se o trabalhador for do sexo femo e gual a se for do sexo

21 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados masculo. Todas as suposções usuas acerca do modelo de regressão lear clássco são satsfetas. Com base os resultados acma, e supodo que a amostra é sufcetemete grade para que aproxmações asstótcas sejam váldas, é correto afrmar que: O É possível rejetar, ao ível de sgfcâca de %, a hpótese ula de que o coefcete assocado a varável escol é gual a zero. A hpótese alteratva é a de que o coefcete assocado a varável escol é dferete de zero; A méda dos saláros dos homes é maor do que a méda dos saláros das mulheres; Cada ao adcoal de escolardade deve elevar os saláros em %; 3 O coefcete de teração (mulher x escol) é sgfcate (hpótese alteratva de que é dferete de zero) ao ível de %; 4 É possível rejetar, ao ível de sgfcâca de 5%, a hpótese ula de que o coefcete assocado a varável dade é gual a zero. A hpótese alteratva é que o coefcete assocado a varável dade é maor do que zero. 3. ANPEC 4 - Questão 6 Supoha que queremos estmar como a reda de um dvíduo vara ao logo do cclo de vda. Queremos testar a teora de que a reda do dvíduo cresce a partr do mometo que ele etra o mercado de trabalho até uma dade méda, e depos começa a decrescer até o fal do cclo de vda. Usado dados de uma pesqusa aual para trabalhadores, estmamos o segute modelo: em que Y X X 3 X 3 4 X, Y é o logartmo da reda mesal do dvíduo, varável bára que é gual se o dvíduo é homem e estudo do dvíduo. X é a dade do dvíduo, X é uma X 3 represeta o úmero de aos de Estmado o modelo por Mímos Quadrados Ordáros, obtemos o segute resultado, em que os valores em parêteses abaxo dos coefcetes represetam os erros-padrão: [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útl saber que se Z tem dstrbução ormal padrão, etão P( Z >,645)=, e P( Z >,96)=,5] Yˆ 49,66,45 X 9,55 X, X,6 X. (,67) (,8) (,46) (,8) 3 (,9) O Se a teora descrta acma é verdadera, esperamos que o sal de seja postvo e o sal de 4 egatvo; Neste modelo, o tercepto do modelo para homes é +, e o do modelo para mulheres é somete ;

22 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados O resultado dca que, matedo tudo mas costate, o aumeto de ao da dade do dvíduo aumeta a sua reda em 45%; 3 Temos evdêca de que a equação de saláros dos homes apreseta um tercepto dferete do modelo para mulheres; 4 Com os resultados do modelo, podemos afrmar que dade e educação têm um efeto cojuto sgfcatvo o logartmo do saláro, sto é, temos evdêca para rejetar a hpótese ula H,. : 3 4. ANPEC 5 - Questão 9 Julgue as segutes afrmatvas: O Coleardade quase perfeta a matrz de varáves explcatvas causa um vés o estmador de Mímos Quadrados Ordáros; Coleardade quase perfeta a matrz de varáves explcatvas causa um vés o estmador da varâca do estmador de Mímos Quadrados Ordáros; Coleardade quase perfeta a matrz de varáves explcatvas gera uma perda da propredade de efcêca do estmador de Mímos Quadrados Ordáros; 3 Coleardade quase perfeta faz com que o erro-padrão de algumas estmatvas dos coefcetes de Mímos Quadrados Ordáros seja grade; 4 Coleardade quase perfeta faz com que o estmador de Mímos Quadrados Ordáros dexe de ser lear. 5. ANPEC 6 - Questão Cosdere as segutes afrmatvas sobre os estmadores de Mímos Quadrados Ordáros em um modelo de regressão múltpla: O A preseça de coleardade mperfeta etre as varáves explcatvas gera estmadores vesados; Se a hpótese de homoscedastcdade for volada, os estmadores de MQO serão vesados; Assuma que todas as suposções de Gauss Markov foram satsfetas, etão os estmadores de MQO serão os melhores estmadores a classe dos leares; 3 Se o valor esperado dos erros estmados do modelo for dferete de zero, etão os estmadores de todos os parâmetros, clusve o tercepto, ão serão vesados;

23 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 4 As estmatvas de modelos cross-secto com a preseça de correlação seral geram estmadores vesados. 6. ANPEC 7 - Questão 5 Cosdere o modelo de regressão lear: Com base esse modelo, é correto afrmar: O A hpótese ão é ecessára para que o estmador de Mímos Quadrados Ordáros (MQO) de seja cosstete. Se, o estmador de MQO de tem dstrbução ormal. Se, o estmador de MQO de é tedecoso. 3 Se a correlação etre e é gual a,95, o estmador de MQO de ão é efcete. 4 Supoha que os parâmetros do modelo teham sdo estmados por MQO. Se, a estatístca t ão é válda para testar a sgfcâca dos parâmetros do modelo. 3

24 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados. ANPEC Questão 7 Cosderado o modelo de regressão múltpla pode-se afrmar que: Y X X X j j j k kj j () A aálse de varâca da regressão testa se todos os coefcetes estmados da regressão ( j ) são sgfcates smultaeamete. () O vetor de soluções para os parâmetros j é expresso por ( X ' X ) X ' Y. () Para estmar os parâmetros j da regressão é ecessáro que as varáves explcatvas sejam depedetes etre s. (3) O coefcete de determação múltpla corrgdo para graus de lberdade ( R ) pode ser egatvo.. ANPEC Questão 4 Cosdere o segute modelo de regressão, em forma matrcal, com T observações amostras e k regressores (X): y X, T Tk k T () com regressores ão-estocástcos, o estmador de mímos quadrados ordáros de é uma fução lear das observações amostras. () o estmador de máxma verossmlhaça de requer o pressuposto de méda zero e de varâca fta a estrutura de erros, dspesado a especfcação de uma dstrbução paramétrca da mesma. () o estmador de máxma verossmlhaça de é evesado mas cosstete. (3) os estmadores de mímos quadrados ordáros de e de máxma verossmlhaça de cocdem quado os erros são depedetes e detcamete dstrbuídos com dstrbução Normal. (4) caso teha dstrbução multvarada Normal, com méda zero, e matrz de covarâca dada por I T, o estmador de máxma verossmlhaça de é vesado para amostras ftas. 3. ANPEC Questão 4 Seja o segute modelo de regressão lear múltpla a forma matrcal: Y X., ode as dmesões das matrzes e dos vetores evolvdos são: Y => ( ); X => ( k); => (k ); e => ( ). Etão, podemos fazer as segutes afrmações: () Um dos pressupostos báscos do modelo é: Os elemetos da matrz X são estocástcos com valores fxados em amostras repetdas.

25 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados () Outro pressuposto básco é: ehuma das varáves depedetes deve estar perfetamete correlacoada com qualquer outra varável depedete ou com qualquer combação lear de outras varáves depedetes. () As equações ormas de mímos quadrados para o modelo dado podem ser apresetadas em otação matrcal como ( X' Y ) ( X' X) e a solução para será ( X' X) ( X' Y). (3) Quado testamos a exstêca do modelo de regressão, fazemos as segutes hpóteses sobre os coefcetes da regressão (admtdo que, ou seja, a regressão ão passa pela orgem): Hpótese ula => H :... k 3 Hpótese alteratva => H : Todos os, para =, 3,, k. (4) Os tervalos de cofaça dos coefcetes da regressão podem ser calculados da segute maera: ( t. s ; t. s ) k k ode = estmatva do coefcete ; t k = abcssa de uma dstrbução t com ( - k) graus de lberdade, fxado o grau de cofaça de tervalo; e s = erro padrão estmado de. 4. ANPEC - Questão 3 Cosdere a regressão y = Xβ + Supoha que tehamos uma amostra de tamaho 4 e que ; e. Compute a estmatva efcete de β. 5. ANPEC - Questão 4 Cosdere a segute regressão y = Xβ + em que y, X e são vetores de dmesão x e β é um escalar. Adcoalmete, supoha que e que E( X) =

26 Lsta de Exercícos #9 Ass uto: Aáls e de Re gres s ão Mé todo de Mímos Quadrados 5 7, ' y e X X E Compute a varâca codcoal em X do estmador de mímos quadrados ordáros de β. Multplque o resultado por.