8. INFERÊNCIA PARA DUAS POPULAÇÕES

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1 8 INFERÊNCIA PARA UA POPULAÇÕE 8 Populações depedetes co dstrbução oral População População, L, Y, L,Y ~ N, σ Y ~ N, σ σ σ Y ~ N, Obs e a dstrbução de e/ou Y ão for oral, os resultados são váldos aproxadaete

2 Blateral, : À dreta : À esquerda : : : : > < sedo que é ua costate cohecda valor de teste) correspode à gualdade das duas édas Testes de hpóteses sobre,, é ua aostra aleatóra de taaho de ua população co dstrbução oral co éda e varâca σ Y,,Y é ua aostra aleatóra de taaho de ua população co dstrbução oral co éda e varâca σ As duas populações são depedetes ) Forulação das hpóteses: 4 ) Estatístca de teste a) e σ σ cohecdas: ), ~ sob N Y Z σ σ b) σ σ σ descohecda:, ~ sob p t Y T ) ) e que p é a varâca cobada pooled varace), Y Y ) e ) Testes de hpóteses sobre c) σ σ, abas descohecdas: ete, aproxada, ~ sob t g Y T ) / ) / que e g dstrbução t de tudet co gl)

3 Testes de hpóteses sobre ) Regão crítca para u ível de sgfcâca α escolhdo: : < : > : R Z ) c R T ) c { Z < c} { T < c} { Z c} R Z ) c > { T c} R T ) c > { Z c} { T c} R Z ) c > R T ) c > v) e Z R C ou T R C, rejeta-se o ; caso cotráro, ão se rejeta Obs Nas regões crítcas co Z e T o valor de c ão é o eso 5 IC para Estador potual para : Y e fora aáloga ao Cap 7, u tervalo de cofaça IC) de α)% para é dado por a) b) c) IC [ L ; U ] [ Y E; Y E], sedo que E é o erro áxo do IC σ σ σ e σ cohecdas: E z / σ σ σ α descohecda: E tα /, p σ σ, abas descohecdas: E t g α /, Cálculo de g a lâa 4 6

4 IC para e testes de hpóteses O teste da hpótese : cotra : a u ível de sgfcâca α pode ser efetuado utlzado u IC co coefcete de cofaça gual a α Costruíos o IC de -α)% para, dado por [ L ; U ] [ Y E; Y E], sedo que o cálculo do erro áxo E) utlzaos a lâa 6 e IC, rejetaos ; caso cotráro, ão rejetaos 7 8 Populações depedetes co dstrbução oral População População Pares :, Y ),, Y ), L,, Y ) fereça: Y co E Y) E) EY) e var) σ Calculaos Y,, Y, Y e s ) strbução: ~ σ N, Obs e a dstrbução de ão for oral, o resultado é váldo aproxadaete 8

5 Testes de hpóteses sobre,, é ua aostra aleatóra de taaho de ua população co dstrbução oral co éda e varâca σ ) Forulação das hpóteses: : : < 443 À esquerda : : > 443 À dreta : :, Blateral sedo que é ua costate cohecda valor de teste) correspode à gualdade das duas édas ) ) Estatístca de teste: T s t sob ) ~ dstrbução t de tudet co gl) 9 Testes de hpóteses sobre ) Regão crítca para u ível de sgfcâca α escolhdo: : < : > : R c { T < c} R c { T > c} R { T c } c > v) e T R C, rejeta-se o ; caso cotráro, ão se rejeta Obs Cohecdo coo teste t pareado ou eparelhado pared t test)

6 IC para Estador potual para : Y e fora aáloga ao Cap 7, u tervalo de cofaça IC) de α)% para é dado por IC [ L ; U ] [ E; E], sedo que E é o erro áxo do IC: E t α /, s IC para e testes de hpóteses O teste da hpótese : cotra : a u ível de sgfcâca α pode ser efetuado utlzado u IC co coefcete de cofaça gual a α Costruíos o IC de -α)% para, dado por [ L ; U ] [ E; E], sedo que o cálculo do erro áxo E) utlzaos a lâa e IC, rejetaos ; caso cotráro, ão rejetaos

7 83 Populações depedetes co dstrbução Beroull,, L Y, L,Y p p) p ~ N p,, aproxadaete p p) p ~ N p,, aproxadaete p p) p p) p p ~ N p p,, aproxadaete, e que p e p Y são as proporções aostras de sucesso 3 Testes de hpóteses sobre p p,, é ua aostra aleatóra de taaho de ua população co dstrbução Beroull co probabldade de sucesso p Y,,Y é ua aostra aleatóra de taaho de ua população co dstrbução Beroull co probabldade de sucesso p As duas populações são depedetes ) Forulação das hpóteses: : p p : p : p < p 443 À esquerda : p > p 443 À dreta p : p : p p 443 Blateral p ) Estatístca de teste: Z p p N p p) Y p p e que p ~ sob,), aproxada ete, 4

8 Exeplo A regão crítca para α,5 é obtda cosultado a tabela da dstrbução t de tudet co g 6 gl: R c { T >,} Calculaos Y 3,8 3,63 T, 97,4,9 Coo T,97 R c, rejetaos Coclusão e acordo co os dados coletados e co u ível de sgfcâca de 5%, verfcaos que há dfereça etre os volues édos evasados pelas duas áquas 5 Testes de hpóteses sobre p p ) Regão crítca para u ível de sgfcâca α escolhdo: : p < p : p > p : p p R c { Z < c} R c { Z > c} R c { Z > c} v) e Z R C, rejeta-se o ; caso cotráro, ão se rejeta 6

9 IC para p p Estador potual para p p : p p e fora aáloga ao Cap 7, u tervalo de cofaça IC) aproxado de α)% para p p é dado por E IC [ L ; U ] [ p p E; p p sedo que E é o erro áxo do IC: z α / E p p) p p) ], 7 IC para p p e testes de hpóteses O teste da hpótese : p p cotra : p p a u ível de sgfcâca α pode ser efetuado utlzado u IC co coefcete de cofaça gual a α Costruíos o IC de -α)% para p p, dado por [ L ; U ] [ Y E; Y E], sedo que o cálculo do erro áxo E) utlzaos a lâa 6 e IC, rejetaos ; caso cotráro, ão rejetaos 8

10 Exeplo uas áquas são utlzadas para evasar u líqudo e frascos de plástco Co o objetvo de verfcar se há dfereça etre os volues édos evasados, duas aostras de e frascos fora selecoadas Os volues e l) fora eddos resultado os segutes valores : Máqua :3,9, 3,9, 3,8, 3,7, 3,9, 3,6, 3,8, 3,9, 3,7, 3,9, 3,7 e 3,; Máqua : 3,8, 3,9, 3,7, 3,5, 3,5, 3,6, 3,7, 3,3, 3,6 e 3,7 Utlzado os dados coletados, qual o resultado da verfcação Adote α 5% olução Problea evolve duas édas de varáves cotíuas efos e Y coo sedo os volues evasados pelas áquas e, tas que E), var) σ, EY) e vary) σ póteses: : cotra : ou seja, ) 9 Exeplo Aálse exploratóra:

11 Exeplo Estatístca de teste varâcas dferetes e descohecdas): T Y Utlzado os dados coletados calculaos 369,8 Y 3,8 l, Y 36,3 Y ) Y Y ) g / ) / ) Y 3,8 ) 3,63 ),4,9,4 /),9 /),4,9 6 l 3,63 l, l, e Exeplo os tpos de solução de poleto estão sedo avalados para possível uso a fabrcação de letes tra-oculares Trezetas letes fora poldas usado a prera solução de poleto e, desse úero 7 ão apresetara defetos causados pelo poleto Outras 5 letes fora poldas usado a seguda solução de poleto, sedo que 6 letes fora cosderadas satsfatóras á otvo para acredtar que as duas soluções dfere quato aos defetos causados quado usadas e poletos? Adote α, olução Problea evolve duas proporções Ua peça ão apresetar defetos causados pelo poleto é o eveto sucesso efos se ocorre sucesso quado a solução é usada;, caso cotráro, co P ) p,,, 3) efos Y se ocorre sucesso quado a solução é usada; Y, caso cotráro, co PY ) p,,, 5) póteses: : p p cotra : p p

12 Exeplo Estatístca de teste: Pelo eucado, 7 Y 6 Y,73, p,648 e p p 3 5 Z,73,648,689,689 ) 3 5, de odo que Z p p p p) A regão crítca para α, é obtda cosultado a tabela da dstrbução oral padrão: R c { Z >,58} Coo Z,9 R c, ão rejetaos,689, Coclusão e acordo co os dados coletados e co u ível de sgfcâca de %, ão há otvo para acredtar que as duas soluções dfere quato aos defetos causados quado usadas e poletos 3 84 Probabldade de sgfcâca valor-p) No exeplo lâa 8) a regão crítca é da fora R c { T > c}, sedo que, se for verdadera, T te dstrbução t de tudet co 6 gl Co os dados coletados calculaos Y e adotaros c T,97 obteos R c { T >,97} e a probabldade do erro tpo I é P T >,97; verdadera) P T >,97; ),9,9% E Excel: ITT,97; 6; ),9 é chaado de probabldade de sgfcâca, ível descrtvo, valor-p pvalue) ou p T, 97 4

13 84 Probabldade de sgfcâca valor-p) Coo o ível de sgfcâca é a probabldade de u erro tpo I rejeção de verdadera), quato eor for valor-p, as forteete rejetaos Quato eor for valor-p, as evdêca cotra e vce-versa) No exeplo lâa ) a regão crítca é da fora R c { Z > c}, sedo que Z te dstrbução N,), se for verdadera Co os dados coletados calculaos Z,9 Neste caso, valor-p P Z >,9) PZ <,9),87,574 Escolheos o ível de sgfcâca α) Calculaos o valor-p e valor-p < α, rejetaos ; se valor-p α, ão rejetaos No exeplo, se α 5% o resultado do teste sera coclusvo 5 Exeplo 3 E u teste de dureza ua esfera de aço é pressoada cotra a superfíce de u bloco de ateral a ua carga padrão Mede-se o dâetro e ) da cavdade produzda, que está relacoado à dureza do ateral da superfíce Na realzação do teste duas esferas A e B) estão dspoíves uspeta-que a esfera A gera cavdades co dâetro édo co dfereça superor a, e relação à esfera B As duas esferas fora utlzadas e blocos ) obtedo-se os dados abaxo: âetro das cavdades ) Bloco Esfera A 7,5 4,6 5,7 4,3 5,8 3, 6, 5,6 3,4 6,5 B 5, 4, 4,3 4,7 3, 4,9 5, 4,4 5,7 6, fereça,3,5,4 -,4,6 -,7,9, -,3,5 O que os dados perte coclur sobre a suspeta forulada? Adote α 5% 6

14 Exeplo 3 olução Problea evolve duas édas de varáves cotíuas efos e Y coo sedo os dâetros das crateras produzdas pelas esferas A e B, tas que E) e EY) Coo os dados são pareados, utlzaos Y co E Y) E) EY) e var) σ póteses: :, cotra : >, ou seja,,) Estatístca de teste: ) T A regão crítca para α,5 é obtda cosultado a tabela da dstrbução t de tudet co 9 gl ) e p %: R c { T >,833} s 7 Exeplo 3 Calculaos 5,,5, ),5),5 ),5,) e T,599 Coo T,599 R,5 c, ão rejetaos s Coclusão e acordo co os dados coletados e co u ível de sgfcâca de 5%, ão se cofra a suspeta de que a esfera A gera cavdades co dâetro édo superor a, e relação à esfera B Obs R c { T > c}, sedo que, se for verdadera, T te dstrbução t de tudet co 9 gl Neste caso, valor-p PT >,599),8 Não rejetaos, pos valor-p α E Excel: ITT,599; 9; ) 8

15 Exeplo 4 Estudos aterores dca que a vda e horas) de u teropar produzdo e ua dústra é ua varável aleatóra co dstrbução aproxadaete oral U grade coprador suspeta que o tepo de vda édo é feror a 56 h E ua aostra aleatóra de 5 teropares adqurdos fora eddos os tepos de vda e h) 553, 55, 567, 579, 55, 54, 537, 553, 55, 546, 538, 553, 58, 539 e 59 O que os dados perte coclur sobre a suspeta do coprador? Adote α 5% olução Problea evolve ua população co dstrbução oral efos coo sedo o tepo de vda e h) de u teropar, co E) e var) σ Pelo eucado, ~ N, σ ), σ descohecda póteses: : 56 cotra : < 56 ou seja, 56) Estatístca de teste: T ) s 9 Exeplo 4 A regão crítca para α,5 é obtda cosultado a tabela da dstrbução t de tudet co 4 gl ) e p %: R c { T <,76} Calculaos ,3 h, ) 55,3) 4,8 h ) 555,3 56) e T,66 s 4,8 Coo T,66 R c, rejetaos Coclusão e acordo co os dados coletados e co u ível de sgfcâca de 5%, cocluíos que a vda éda dos teropares é feror a 56 h 3

16 Exeplo 4 Obs R c { T < c }, sedo que T te dstrbução t de tudet co 4 gl, se for verdadera Neste caso, valor-p PT <,66),99 Rejetaos, pos valor-p < α E Excel: ITT,66; 4; ) 3 Exeplo 5 e & Peg ), The pact of forato techology use o plat structure, practces, ad perforace: A exploratory study, Joural of Operatos Maageet 6, 44 6 Ths study exaes the pact of forato techology IT) use o the structure, practces, ad perforace of aufacturg plats O pacto de ua varável sobre outra é quatfcado por u coefcete b) É de teresse verfcar a sgfcâca do coefcete : b versus : b ) E u prero oeto ão é ecessáro saber que teste fo utlzado Resultados PC has a argally postve assocato wth the total uber of plat eployees b 6, p 8) ad wth plat sales b 6, p 74) The PC varable s ot sgfcatly related to ay of the productvty easures at the level Ou seja, α % estudo exploratóro) e o problea evolvesse a coparação de dos étodos de edção e que se pretede substtur u dos étodos por outro elhor, o ível de sgfcâca sera eor PC s egatvely related to wllgess to troduce ew products b 393, p ) Itegrato tellgece oly exhbts a weak postve relatoshp wth developg uque practces b, p 77) 3