6. Medidas de assimetria e curtose

Transcrição

1 6. Meddas de assetra e curtose 0

2 6.. Meddas de assetra Ua varável aleatóra cotíua X te dstrbução sétrca (syetrc) e relação a u valor 0 se f( 0 a) f( 0 + a), para todo a. Dstrbuções sétrcas: f() f() Obs. M 0. Moda e éda ão ecessaraete são guas a 0. f() f()

3 Dstrbuções assétrcas: f() f() f() f()

4 Relação etre oda, edaa e éda Supoos que a dstrbução é uodal e que a éda este. Dstrbução sétrca: oda edaa éda.

5 Relação etre oda, edaa e éda Dstrbução assétrca à dreta ou assétrca postva (rght skewed ou postve skewed): éda > edaa > oda. Cauda dreta (rght tal) é as loga.

6 Relação etre oda, edaa e éda Dstrbução assétrca à esquerda ou assétrca egatva (left skewed ou egatve skewed): éda < edaa < oda. Cauda esquerda (left tal) é as loga. Obs. Depededo do autor, há troca de esquerda por dreta.

7 U cojuto de dados,,..., é sétrco e relação a 0 se para todo j este k tal que j 0 - ( k 0 ), j k. Desta fora, Pela setra, M 0. ( ) 0. Logo, 0 0 Eeplo. (, 6, 6,, 0, 60, 68, 7, 7, 76) é sétrco e relação a Meddas de assetra. Quatfcação da falta de setra de,,...,. Redução (drástca) de observações a u só valor. Assue valores reas. Medda 0: dcatvo de setra. Obs. Dados obtdos de ua varável aleatóra X sétrca ão ecessaraete são sétrcos..

8 Assetra e cojutos de dados Aproadaete sétrco Assetra postva Desdade Desdade Assetra egatva Desdade Desdade

9 6... Medda de assetra de Pearso Utlza a relação etre oda, edaa e éda e dstrbuções uodas. g Mo s Requer o cálculo da oda (Mo). É adesoal. Moetos. Dados:,,...,.. Moeto de orde k e relação à orge ou oeto ão cetral (raw ou crude oet): k k, k 0,,,..., Moeto cetral de orde k (cetral oet): k ( ) k, k 0,,,..., sedo que 0 e sedo que e 0 0.

10 Obs. ( ) s /. Relação etre os oetos:. 6 e, e, Se ua varável aleatóra X te dstrbução sétrca, seus oetos cetras de orde k ípar, se estre, são todos ulos: E[(X - µ)] k 0, sedo que µ E(X). Sedo ass, podeos utlzar o o oeto cetral para propor ua edda de assetra. Obs. E[(X - µ)] 0 ão plca que a dstrbução de X é sétrca.

11 6... Assetra (skewess). ) ( ) ( / / g Propredades. () g é adesoal e () g é u úero real. 6.. Meddas de curtose E dstrbuções uodas, a curtose (kurtoss) está assocada ao achataeto da dstrbução. Característca do pco da dstrbução (degree of peakedess). No caso de ua varável aleatóra cotíua uodal, a curtose dz respeto à fora de f() e toro de sua oda (que pode cocdr co a éda e a edaa).

12 Dstrbuções sétrcas co édas e varâcas guas: f() Dfereças quato ao afastaeto e relação à éda, as que ão são captadas pela varâca. Este fato sugere utlzaros o o oeto cetral para quatfcar estas dfereças.

13 Dstrbuções platcúrtcas, esocúrtcas e leptocúrtcas Platcúrtca (platykurtc): caudas curtas ou leves (short ou lght ou th). Leptocúrtca (leptokurtc): caudas logas ou pesadas (log ou heavy ou thck ou fat). Fote. Buler, M. G. (979), Prcples of Statstcs, Dover: New York. Mesocúrtca (esokurtc): caudas eutras (e curtas e e logas).

14 . ) ( ) ( g Curtose (kurtoss) Propredades. () g é adesoal e () g > 0. Obs. Se X ~ N(µ, σ ), etão E[(X µ) ] / {E[(X µ) ]} E[(X µ) ] / σ. Mutas vezes a curtose é epressa coo g e g (ecess). Platcúrtca: g e < 0. Mesocúrtca: g e 0. Leptocúrtca: g e > 0.

15 Dstrbuções sétrcas co édas e varâcas guas: f() Platcúrtca (< 0) Mesocúrtca (0) Leptocúrtca (> 0) 6 8 0

16 Moetos e R Pacote oets > lbrary(oets) Eeplo., 0,,7, -, e são os oetos cetras até orde de u cojuto de dados co éda,8. > oc c(, 0,.7, -., ) > b.8 > (o0 cetralraw(oc, b)) [] (oetos ão cetras) Fução rawcetral: coverte oetos ão cetras e cetras. > o0 c(.0,.5,., 8., 7.0) > (oc rawcetral(o0)) [] (oetos cetras)

17 Moetos e R 0 observações c(.88,.6,.8, 5.9, 9.7,.50, 6.5,.09,.6, 9.79,.6, 9.9, 9.,.7,.8,.75, 8.77, 0.8, 0.5, 8., 8.7, 0.5, 0.60, 9.99,.56, 5.59, 0.66,.76,.5,.77,.5, 0.5, 0.0,.5, 7.69,.8,.0,.97, 0.8,.78) > boplot(, horzotal TRUE, lab "X") > rug() Moeto ão cetral de orde : > oet(, order, cetral FALSE) [] Moetos cetras até orde : Qual o resultado de ea(^)? > (o all.oets(, order.a, cetral TRUE))

18 Assetra e curtose e R Pacote oets > skewess() [] Qual o resultado de o[] / o[]^.5? > kurtoss() [].08 Qual o resultado de o[5] / o[]^? > kurtoss() - [] 0.08 > hst(, a "", lab "", freq FALSE, ylab "Desdade") > rug() > les(desty(), col "blue") Desdade

19 Dados faltates (ssg data) e R Observações dspoíves por algu otvo. E R: NA (ot avalable). 0 (?) observações c(.88, NA,.8, 5.9, 9.7,.50, 6.5,.09,.6, 9.79,.6, 9.9, 9.,.7,.8,.75, NA, 0.8, 0.5, 8., 8.7, 0.5, 0.60, 9.99,.56, 5.59, 0.66,.76,.5, NA,.5, 0.5, 0.0,.5, 7.69,.8,.0,.97, 0.8,.78) > suary() > whch(s.a()) [] 7 0 > ea() [] NA > kurtoss() [] NA > ea(, a.r TRUE) [].5568 > kurtoss(, a.r TRUE) [].897 Substtução dos faltates pela éda: > s.a() ea(, a.r TRUE)