3- Autovalores e Autovetores.

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - Autovalores e Autovetores..- Autovetores e Autovalores de ua Matrz..- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz. Cotuação da Técca.- Ecotrar aproadaete o aor autovalor e valor absoluto e seu autovetor se epadr o deterate.

2 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Técca.- Ecotrar aproadaete o aor autovalor e valor absoluto e seu autovetor se epadr o deterate Caso. Etre todos os autovalores este apeas u (se ultplcdade) co aor valor absoluto (Aula ateror). A Caso. O autovalor co aor valor absoluto de te ultplcdade s. = = = = > s s+ De fora slar ao Caso, costruíos a sucessão de terações Ay, A y,, y A y c e o cocete = + c = c = y c c = = = y c c = = cotua y y +.

3 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz y c + + c + c + + c s s s+ s+ s+ = c + + css + s+ s+ s y c c s + c + + c s s + cs s c y = y s + c + + css + cs s c = Se c + + c s s 0 podeos trasforar a epressão ateror a fora: + + cs s s c y c + + c s s c + + c s s = y cs s + + s+ c + + c + + c s s c + + css

4 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Lebrado que l = 0 porque s á que e o aor autovalor de. < > A Cosequeteete, se passaos ao lte o processo teratvo obteos: + + cs s s c y c + + c s s c c s s l l + + =, y = cs+ s+ s+ c + + c + c s s c c s s y + s+ y = + O ou (,,, ). ( ) = y y

5 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Se o úero de terações é sufceteete grade, o processo teratvo () proporcoa o autovalor de aor valor absoluto da atrz A, co a precsão deseada. Para fazer sto deveos escolher o vetor cal y. Nos casos que a escolha de y ão é adequada o processo teratvo () pode ão covergr. Esta ão covergêca pode ser observada quado os valores do cocete oscla. Neste caso deveos fazer ua ova escolha do vetor cal y. Note que a este autovalor co ultplcdade s estão assocados s autovetores learete depedetes. U destes autovetores pode ser aproado por y = A y. E geral, se udaos o vetor cal y podeos obter dferetes vetores learete depedetes assocados ao autovalor. Etretato, esta técca ão garate que deveos ecotrar o couto de todos os s autovetores asscocados ao autovalor.

6 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz s = c = c + c = = = s+ A y s = c + c + + cs + c = s+ A y c c c s s A y = c c c s c = + c cs s Coo l = 0 > l A y = c c c c c s ou A y c s c c Ou sea, para ua teração sufceteete grade A y pode s aproar u dos autovetores,,,. ( )

7 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Técca.- Ecotrar aproadaete o segudo aor autovalor e valor absoluto e seu autovetor se epadr o deterate Caso. Os dos autovalores co aor valor absoluto ão te ultplcdade. > > Caso 4. O segudo aor autovalor te ultplcdade. O étodo que será estudado a segur para o caso pode ser esteddo para o caso 4. > = = = > s s+ Supoha o caso, ou sea, os dos aores autovalores da atrz A são dferetes. Usareos u étodo seelhate ao usado o caso. Costruíos ua seqüêca de terações tas que: y = A y = c = c + c + + c () =

8 e.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz + + c = = = c + c + + c + = y A y. (4) Elado destas duas equações o tero que possu segue: (4) () A y A y = c ( ) + + c ( ) + Slarete teos y y = A y A y = c ( ) + + c ( ) y Costrudo o cocete para cada copoete do vetor y y c ( )( ) + + c ( )( ) y y c c + = ( )( ) + + ( )( ) Se c 0, ( ) 0 e as copoetes do autovetor ( ) 0 lebrado que l = 0 > obteos:

9 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz c ( )( ) ( )( c ) + ( )( + + ) ( )( c c ) y + y y y = (5) c ( )( ) c ( )( ) + c ( ) + + ( ) c ( )( ) Co (5) podeos ecotrar aproadaete o segudo aor autovalor da atrz A (aproação grossera do autovalor). Na pratca, se deve escolher o úero de terações para ecotrar o segudo autovalor feror ao úero de terações usadas para deterar o prero autovalor (ao fazer a dfereça etre úeros uto próos podeos perder precsão). E geral, se e valor absoluto todos os autovalores da atrz são dferetes podeos usar u algorto slar a (5) para ecotrar todos os autovalores.

10 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz O autovetor correspodete ao autovalor pode ser aproado coo + c( ) y y = c ( ) + + c( ) + ( y y ) ( y y ) ( y y ) ( y y ) e ass sucessvaete! Etretato os resultados deste étodo pode ser bastate precsos. Este outros étodos as precsos para deterar autovalores se que sea ecessáro epadr o deterate. Etre eles ecoaos o Método da Eaustão, ver o Lvro de Teto Dedovch.

11 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Note que = +Δ e cosequeteete y y + y y Δ 0 c ( )( ) + c ( )( ) + + c ( )( ) c ( )( ) + c ( )( ) + + c ( )( ) c ( )( ) c( )( ) c( )( ) c( )( ) c ( )( ) c( )( ) c ( )( ) c ( )( ) c ( )( ) c( )( ) c( )( ) c( )( ) c ( )( ) c( )( ) c ( )( ) c ( )( ) = = =

12 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Eeplo: (Pag. 44 Dedovch) Ecotre os autovalores e autovetores da atrz ( A E ) = Solução Aproada: A = T 4.46 = [ ] 0 0 T.59 = [ ] T 0.95 = [ ]

13 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Técca.- Ecotrar aproadaete os autovalores e autovetores de ua atrz sétrca postva defda Para este caso sabeos que: - as raízes da equação característca são úeros reas postvos. - os autovetores pode ser reas e são ortogoas etre s. ( ), = 0 = k k, ode, e O sstea para deterar o prero autovetor é ou a fora epadda: k = ( A E ) = 0

14 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz O sstea para deterar o prero autovetor é ( a ) + a + + a = 0 a + ( a ) + + a = 0 a + a + + ( a ) = 0 ou (6) = ( ) = ( ) a a a a a a = a + a + + a ( ) ( a a a ) = + + +

15 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Coo as coordeadas dos autovetores são deteradas a eos de u fator de proporcoaldade costate, etão ua das coordeadas poderá ter valor arbtráro que podeos far. Por eeplo,. O sstea (6) pode ser resolvdo pelo = Método da Iteração escolhedo adequadaete u valor cal, 0 0 para, e fado = o processo teratvo para (6) é:, k +, k = (,,, ) k a + a = = k +, k + = a + a ( k = 0,,, ) = Logo Pode ser usado o Método de Sedel! k,,, e k k k T

16 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Para deterar o segudo autovalor e o segudo autovetor escreveos o sstea ( A E ) = 0 ou = a + a ( =,,, ) ( 7 ) = E usaos a propredade de ortogoaldade etre os autovetores para elar ua das coordeadas do segudo autovetor. Por eeplo,. ( ), = 0= k k Co (7) e (8) obteos o sstea (9) = a ( =,,, ) =, ode, e (8) k = = a =

17 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Fado = podeos resolver (9) pelo Método da Iteração. (0), k +, k = (,,, ) k a = = k +, k + = a ( k = 0,,, ) = Ass deteraos aproadaete e, ode é deterada da codção de ortogoaldade (8). As restates raízes ( =,, ) e seus correspodetes autovetores pode ser ecotrado de aera slar.

18 .- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Eeplo: Pag. 447 Dedovch Ecotre os autovalores e autovetores da atrz ( A E ) = 0. Esta atrz é defda postva e é sétrca. Solução Aproada: * ( ) a se 0, u = A, = > 0. = = T [ ] T [ ] [ ] = = = T 4 A = 5 6

19 Frase do Da Although to peetrate to the tate ysteres of ature ad thece to lear the true causes of pheoea s ot allowed to us, evertheless t ca happe that a certa fctve hypothess ay suffce for eplag ay pheoea. Leohard Euler