SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

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1 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR COM PARÂMETROS FUZZY Luza Aala Pto Catão Akebo Yaaka DT FEEC UNICAMP CP: Capas SP Brasl {luzaakebo}@dt.fee.ucap.br Resuo Apresetaos aqu alguas odfcações os étodos de Prograação Não-Lear para a zação de probleas vsado tratar aqueles co fuções objetvo co certeza e seus coefcetes caracterzados coo parâetros fuzzy úeros fuzzy). Para sso estabeleceos alguas propredades báscas tas coo: defção de fução covexa fuzzy dferecabldade e ío de fuções fuzzy e falete suas codções de otaldade. Algus étodos para probleas rrestrtos e restrtos de Prograação Não-Lear Fuzzy são propostos tas coo:. Probleas Irrestrtos: étodos de busca udesoal co e se dervadas e os étodos de busca ultdesoal co e se dervadas;. Probleas Restrtos: étodo de fução pealdade e fução barrera e étodo de dreções váves. Falete apresetaos aplcações e algus probleas clásscos e as aálses de seus resultados. Palavras chave: Prograação Não-Lear Fuzzy Prograação Mateátca Fuzzy Parâetros Fuzzy. Abstract I ths paper we preset soe odfcatos the Nolear Prograg ethods for the zato of probles wth ucerta coeffcets o the objectve fucto.e. the coeffcets are fuzzy paraeters fuzzy ubers). For ths purpose we establsh soe basc propertes such as: defto of fuzzy covex fuctos dfferetablty ad u the fuzzy fraework ad fally the optalty codtos. Soe ethods of Nolear Prograg for both ucostraed ad costraed probles are proposed such as:. Ucostraed Proble: lear search wth ad wthout dervatves ultdesoal search wth ad wthout dervatves;. Costraed Probles: Pealty ad Barrer fuctos ad ethod of feasble drectos. Fally soe classcal probles were solved ad ther results are aalysed. Key Words: Fuzzy Nolear Prograg Fuzzy Matheatcal Prograg Fuzzy Paraeters.

2 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ. Itrodução A proposta da Prograação Mateátca é a de resolver probleas reas ode sua odelage utas vezes basea-se e dados certos. A teora Fuzzy ajuda-os a odelar esses probleas probleas co certeza e algus aspectos de sua odelage. Estas certezas pode ocorrer de fora qualtatva pertdo a volação do cojuto de restrções g ) x 0 =... ) coo aquela apresetada e [tl-988] e/ou a fora quattatva ode os coefcetes dados) do problea são certos caracterzados por parâetros fuzzy úeros fuzzy). Os coefcetes fuzzy pode ocorrer soete a fução objetvo soete os coefcetes das restrções ou e abos os casos. A proposta deste trabalho é a de desevolver ferraetas teórcas e prátcas para probleas de Prograação Não-Lear co parâetros fuzzy a fução objetvo. Aqu os parâetros fuzzy presetes os coefcetes da fução objetvo são tratados coo úeros fuzzy. Cada úero fuzzy a F ode F é o cojuto de úeros fuzzy sobre R está assocado a ua fução de pertêca tragular deotada por µ a : R [0] ode: x a se x [ a a] a a a x µ a = se x [ a a] a a 0 caso cotráro. Os úeros fuzzy serão caracterzados por tervalos de cofaça e por seus -cortes µ { µ } ) a = x / a : a = [ a a ] = [ a + a a) a a a) ] ode a e a são os ltes à esquerda e à dreta do valor odal de a respectvaete. Note que o valor odal de u úero fuzzy a é aquele ode a fução de pertêca assocada te o seu valor áxo ou seja µ a =. As fuções a e a represeta as fuções versas da fução de pertêca tragular à dreta e à esquerda do valor odal respectvaete. A represetação do úero fuzzy zero será: 0 = [ ε ) ε ) ] sedo ε ε os ltes à esquerda e à dreta de 0. Ass u problea de Prograação Não Lear co parâetros fuzzy pode ser forulado da segute aera: f ) S. a x S sedo f a ; : F R ) R F a F R ) x R e S o cojuto de soluções váves para o problea rrestrto S R ) e o cojuto de restrções para o problea restrto S = { x X / g 0 h = 0}). O problea ) apla o espectro da otzação ão lear ao possbltar a trodução das certezas aturalete presetes e dversas odelages; apresetareos etão os resultados teórcos e coputacoas relatvos à solução uérca deste tpo de problea. Na seção abordareos fuções covexas fuzzy dferecabldade de fuções fuzzy dervada drecoal fuzzy e ío de fuções fuzzy. Estes resultados teórcos fora a base ecessára para a defção das codçoes de otaldade fuzzy. Na seção 3 apresetareos as odfcações propostas para algus étodos clásscos de otzação de fora a aprovetá-los a resolução uérca de probleas do tpo ). Falete a seção 4 os resultados de aplcações dos algortos propostos a probleas testes são aalsados.

3 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ. Covexdade Fuzzy e Codções de Otaldade Nesta seção abordareos calete covexdade fuzzy sua defção e alguas propredades. Posterorete abragereos as codçoes de otaldade para probleas co fução objetvo fuzzy.. Covexdade de Fuções co Parâetros Fuzzy A fução fuzzy abordada aqu segue a esa defção da fução objetvo do problea ). Defção: Ua fução co parâetros fuzzy é covexa se: f λx + λ) x ) λf x ) + λ) f ) x sedo x x R x x a F R ) e λ [0]. A dervada de ua fução co parâetros fuzzy deve satsfazer as segutes codções coo e [ka-987] e [db-98]:. Noralzação: x 0 R tal que µ y) = ; f x0 ). Cotudade: µ y) é cotíuo; f 3. Suporte-ltado: Exste u tervalo x ] tal que Supp µ ) [ x x ] sedo [ x f Supp µ ) = { x R / µ > 0} ; f f 4. Covexdade: µ y) é covexo. f Para o resultado segute assua a defção de fução co parâetros fuzzy dferecável dada por [ka-987] ode verfca-se tabé a prova do teorea que segue. Teorea: [ka-987] Seja f a ; : F R ) R F co a F R ) e x R ua fução dferecável. Deote [ ; ) ; ) f a x = f a x f ] [0 ]. Etão f e f são f ' = f ' f ' ). dferecáves e [ ] [ ] x Agora podeos defr dervada drecoal de fuções covexas co parâetros fuzzy co base e [bs-993] que relacoa dreções ao coportaeto da fução. Defção: Seja S F R ) R u cojuto ão-vazo e seja f a ; : S F. Seja x R e d u vetor ão-ulo tal que x + λd para λ > 0 e sufceteete pequeo. A dervada drecoal de f e x a dreção d é defda quado os ltes dcados abaxo exste e são guas: f x + λd) f l λ + λ 0 e f a ; f x + λd) l. λ + λ 0 Teorea: Cosdere a segute fução fuzzy f para qualquer poto x R e ua dreção ão-ula d F R ) R ; seja ν λ) = f x + λd) ua fução fuzzy de λ R. Etão f é covexa se e soete se ν é covexa para todo x e d ão-ulo e F R ) R. O próxo teorea pertrá verfcar a covexdade de fuções co parâetros fuzzy duas vezes dferecáves. Note tabé que o teorea é váldo se o cosderaros para todos os eleetos de a ou seja para a a ode 0. a represeta o -corte de a e [ ]

4 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ Teorea: Seja S F R ) R u cojuto covexo ão-vazo e aberto e seja f a ; : S F ua fução co dervadas parcas de prera e seguda orde cotíuas. Etão as segutes afrações são equvaletes:. f é covexa para qualquer x S ;. f f + f ' x para cada x S ; 3. A atrz de dervadas parcas de seguda orde de f é se-defda postva para todo x S.. Codções de Otaldade para Probleas co Fução Objetvo Fuzzy Agora defreos ío de fuções covexas co parâetros fuzzy e codções de otaldade para probleas de prograação ão-lear fuzzy. Vale ecoar aqu que x S sepre será u úero ordáro a déa é a de propor étodos que gere ua solução ordára usado a precsão da fução objetvo para obter ua solução elhor. Defção: Seja f a ; : F R ) R F co a F R ) e x R. Cosdere o problea ) coo u problea rrestrto S R ). Seja x S ua solução vável para o problea. Se f f para x S etão x é u ío global. Se exste u ε R + ão-ulo tal que f f para x S satsfazedo x x < ε etão x é u ío local. Teorea: Seja f a ; : F R ) R F co a F R ) e x R ua fução covexa fuzzy. Cosdere o problea ) coo rrestrto S R ). Supoha que x S é ua solução óta local para o problea etão x é ua solução óta global. Teorea: Supoha que f a ; : F R ) R F co a F R ) e x R seja duas vezes dferecável e x.. Se exste u vetor d tal que ; T d f a 0 etão exste u δ > 0 tal que f x +λ d) f para cada λ 0 δ ) ode d é ua dreção de descda de f e x ;. Se x é u ío local etão ; ) f a x = 0 e H é se-defda postva. A prova dos teoreas aqu elaborados são slares aos apresetados e [bs-993]. Os resultados até aqu apresetados copõe a parte teórca dos étodos de otzação rrestrta. Cosdere agora os segutes probleas restrtos co parâetros fuzzy a fução objetvo: M. f M. f M. f h [ l].b) S. a 0 S. a g 0 [ ].a) S. a = 0 g [ ].c) x X x X h = 0 [ l] X x Na seção 3 vereos étodos que trabalha co probleas do tpo.a) do tpo.b) e do tpo.c). Cotudo para aor pratcdade abragereos a parte teórca para probleas restrtos cosderado o tpo.c). Vale lebrar que e cada u destes probleas podeos ecotrar restrções leares e restrções ão-leares.

5 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ Cosdere abaxo as segutes defções que serão usadas a apresetação dos resultados obtdos depedeteete por Karush 939) e por Kuh ad Tucker 95) as codções de otaldade de KKT. Defções:. Ua restrção de desgualdade g 0 se dz atva e u poto x se g = 0 ; o cojuto de ídces para as restrções atvas é dado por I = { : g = 0}.. U poto x satsfazedo g 0 para [ ] e h = 0 para [ l] se dz regular se os vetores gradetes g para I e h para [ l] são learete depedetes. 3. A fução Lagragaa co parâetros fuzzy assocada ao problea.c) é dada por: l L x; ν ρ) = f + ν g + ρ h ode ν e ρ são os ultplcadores de Lagrage para as restrções de desgualdade e de gualdade respectvaete. 4. Ua restrção atva se dz ão-degeerada se os correspodetes ultplcadores de Lagrage são estrtaete postvos. Cosdere agora as extesões das Codções de KKT para probleas de prograação ãolear co parâetros fuzzy. Codções Necessáras de a orde de KKT: Seja x u poto regular para as restrções do problea.c) e supoha que as fuções f g para [ ] e h para [ l] do problea.c) seja dferecáves. Se x é u poto de ío local do problea.c) etão exste ultplcadores de Lagrage ν 0 para [ ] e ρ para [ l] tas que: l L x; ν ρ) = f + ν g + ρ h = 0 3.a) = ν g = 0 [ ]. 3.b) Codções Necessáras de a orde: Supoha que a fução f a ; : F R ) R F e as fuções g R : R para [ ] e h R : R para [ l] são duas vezes dferecáves e seja x u poto regular para as restrções do problea.c). Se x é u poto de ío local para o problea.c) etão exste ultplcadores de Lagrage ν 0 para [ ] e ρ para [ l] tas que as codções e 3) se verfca e a atrz Hessaa: l L x ν ρ) = f + v g + ρ h 4) I = t é se-defda postva fuzzy logo y L x ν ρ) y 0 para y M e t t { 0: g y 0 para I h = 0 para = K l} M = y y. = = Codções Sufcetes de a orde: Seja x u poto regular para as restrções do problea.c). Supoha que exsta ultplcadores de Lagrage ν 0 para [ ] e ρ para [ l] tas que as codções e 3) se verfca e que a atrz Hessaa 4) seja sedefda postva fuzzy. Etão x é u poto de ío local para.c). Os resultados desta seção copõe a parte teórca dos étodos de otzação apresetados a seção 3. =

6 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ 3. Métodos de Prograação Não-Lear co Parâetros Fuzzy Nesta seção apresetareos as odfcações propostas e algus étodos clásscos de prograação ão-lear para fuções co parâetros fuzzy a fução objetvo. Ass fora pleetados étodos de otzação rrestrta étodos de busca udesoal e ultdesoal) e étodos de otzação co restrção étodo de fução pealdade e fução barrera e étodo de dreções váves). 3. Métodos de Prograação Não-Lear Irrestrta Apresetaos aqu duas classes de étodos: étodos de busca udesoal e ultdesoal. Para cada classe fora pleetados étodos de busca se o uso de dervadas e co o uso de dervadas baseado-se os algortos dados e [bs-993]. 3.. Métodos de Busca Udesoal Os preros étodos de busca udesoal pleetados fora aqueles que ão usa dervadas: Dcotôco Seção Áurea e Fboacc. Para esta classe de étodos a úca ferraeta fuzzy usada fo a coparação etre fuções fuzzy úeros fuzzy pos cada fução retora u úero fuzzy). Usaos o Prero Ídce de Yager coo e [bd-985] para efetuar tal coparação. Ipleetaos tabé étodos que usa as dervadas das fuções a sere otzadas e seus algortos: étodo da Bssecção étodo de Newto e da Falsa Posção. No étodo da Bssecção usou-se dos tpos de crtéros de parada: o taaho do tervalo de certeza e o caso ordáro f ' = 0. O últo crtéro evolve ua coparação fuzzy sto é ' ; ) f a x = 0. Neste caso o algorto pára quado f ') [ ε ε ] para algu [0] e ε sufceteete pequeo. Nos étodos de Newto e da Falsa Posção a coparação fuzzy é desecessára durate a execução do algorto. Poré o poto x k tora-se u úero fuzzy durate sua atualzação devdo ao tpo de aproxação usada veja [bs-993] e [lu-989]). A f de evtar a propagação fuzzy usaos u étodo de busca se o uso de dervadas para obter x k ordáro. Dado x k fuzzy este pode ser deotado por tervalos de cofaça e seus -cortes coo e [kg-99] ode x k = [ xk xk ]. Ass usado u étodo de busca se dervada coo ecoado aca otzaos o segute sub-problea: p f a ; y) sujeto a y x k. O parâetro p é cohecdo coo -preferêca e usa-se oralete o valor de Métodos de Busca Multdesoal Para esta classe de probleas pleetaos soete u étodo se o uso de dervadas o étodo de Rosebrock coo e [bs-993]. Este étodo slar aos étodos de busca udesoal usa soete a coparação etre úeros fuzzy coo ferraeta adcoal para otzação de fuções ultdesoas fuzzy pos retora ua solução x k ordára. Etre os étodos de busca ultdesoal que usa dervadas pleetaos: étodo de Newto Máxa Descda e Gradete Cojugado. A teração do étodo de Newto coo o caso udesoal retora x k fuzzy. Novaete o trasforareos e u valor ordáro. A atualzação de x k é dada por x k+ = xk + d k ode d ; ) k = H a xk f xk ). Note que d k é u vetor co copoetes fuzzy. Para splfcar a otação deotaos d coo tervalos de cofaça e seus -cortes coo e k

7 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ [kg-99]: d = [ d d ] para [0]. Ass d k pode ser dscretzado usado o algorto abaxo se o passo e odfcado o passo 3 para: x = = + [ ] k+ x j xk d j : f x j ). j J Nos étodos de Máxa Descda e Gradete Cojugado x k é atualzado por xk+ = xk + λkdk ode λ k é a solução do problea: f xk + λd k ) e d k é ua dreção de λ descda. Cada u destes étodos é caracterzado por dferetes aeras de se obter d k coo pode ser verfcado e [bs-993]. Novaete estes étodos forece d k coo u vetor co copoetes fuzzy e o dscretzaos usado o algorto abaxo. Algorto : Dscretzação da Dreção de Descda d Icalzação: d δ = para = 0 e J Ν u úero aor que zero. J Para j = 0 até = J faça Passo : Para cada eleeto de d k calcule d j = d + δ j) para = 0. Passo : Mze f xk + λd j ) sujeto a λ R. Passo 3: Seja x = = + [ ] k+ x j xk λ d j : f x j ). j J 3. Métodos de Prograação Não-Lear Restrta Para étodos de Prograação Não-Lear Restrta fora pleetados: étodo de Fução Pealdade problea.c)) étodo de Fução Barrera problea.a)) e falete o étodo de Dreções Váves de Topks e Veott problea.a)) baseados e [bs-993]. No prero étodo usaos a segute fução pealdade: co y ) = [ ax{ 0 y} ] p = g ) + Ψ h )) Ρ x ) = Φ x p Φ e Ψ y ) = y sedo as fuções pealdade das restrções de desgualdade e gualdade respectvaete. Otzaos o problea: f η Ρ sujeto a x X ode η k é o parâetro de pealdade. Resolveos o problea pealzado usado o étodo de Gradetes Cojugados coo dscutdo a seção ateror zação de fuções ultdesoas co coefcetes fuzzy). l = + k No étodo da fução Barrera usaos a fução Β x ) = l[ ] g e otzaos: = f + ϑ k Β sujeto a x X ode ϑ k é o parâetro de barrera e aalogaete ao étodo de fução Pealdade usaos o étodo de Gradetes Cojugados para fuções co coefcetes fuzzy a resolução do problea barrera. Nos étodo de Topks e Veott o cálculo de d k é feto através da resolução do segute problea de Prograação Lear PL): M. z Sujeto a f a ; T d z 0 T g d z g para = K d para = K l j 5)

8 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ A restrção f a ; T d z 0 é dscretzada e calculada coo os passos de Icalzação e passo do algorto. Para resolver o problea 5) dscretzado usaos o software LP Solve versão 3. vde [be-999]) e etão toaos xk+ = xk + λkdk coo aquele que as za o problea ou seja x = = + [ ] k+ x j xk λ d j : f x j ). Obteos λ k resolvedo: f x + λd k ) j J λ sujeto a 0 λ λax sedo λ ax = sup{ λ: g 0 para = K }. O algorto é falzado quado z = Resultados e Coetáros Fora pleetados os algortos apresetados a seção 3 e para este propósto desevolveos ua classe e C++ que odela o coceto de úeros fuzzy be coo as operações artétcas correspodetes baseado-se e [kg-99]. Apresetareos a segur os probleas testes e seus respectvos resultados através de tabelas. A colua f x ) ostra o valor da fução objetvo fuzzy calculada o poto x e coo este resultado é u úero fuzzy o prero úero apresetado é seu o valor odal o segudo e o tercero valores são os seus ltes feror e superor respectvaete. Para os étodos de busca udesoal usaos o segute problea: { x [ 9]: f ) x = ax b x + c a = b = c = 3} ode cada coefcete fuzzy teve ua perturbação de %. A tabela ostra os resultados obtdos sedo que as três preras lhas obteos os resultados para os étodos de busca se o uso de dervadas e estes atvera-se seelhates ao caso ordáro e as três últas lhas os resultados para os étodos de busca co o uso de dervadas obtedo ass resultados as precsos. Métodos Mío de f x f Iterações ) Dcôtoco ; ) 7 Seção Áurea ; ) 5 Fboacc ; ) 4 Bssecção 4 ; ) 03 Newto 4 ; ) 0 Falsa Posção ; ) 0 Tabela : Resultados obtdos para étodos de Busca Udesoal. Para os étodos de busca ultdesoal usaos três fuções para os testes: 4 f x ) = x ) + x x ) f3 x ) = x x ) + 00 x ) esta é ua varação da fução de 4 4 Rosebrock) e f 4 x ) = x + 0x ) + 5 x3 x4 ) + x x3) + 0 x x4 ) a fução de Fletche- Powell estas fuções fora obtdas de [h-97]). Os coefcetes fuzzy de f f 3 e f 4 tvera ua perturbação de 0%. As tabelas 3 e 4 ostra os resultados obtdos. Métodos x cal x Mío de f x f Iterações ) Rosebrock -. ) ; ) ; ) 0 Máx. Descda ) ; ) 04 Newto ) ; ) 07 Grad. Cojugado ) ; ) 0 Tabela : Resultados obtdos para os étodos de Busca Multdesoal para f. x

9 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ Métodos x cal Mío de f 3 x ) f Iterações Rosebrock -. ).0008) ; ) 03 Máx. Descda ) ; ) 0 Newto ) ; -..) 03 Grad. Cojugado ) ; -..) 0 f. Métodos Tabela 3: Resultados obtdos para os étodos de Busca Multdesoal para 3 3 x Mío de f 4 x cal = -3-0)) x f ) Rosebrock ).84; ) 0 8 ) 6 Máx. Descda ).9893; ) 0 0 ) 0 Newto ).438; ) 0 5 ) 4 Grad. Cojugado ) ) 0 f. Tabela 4: Resultados obtdos para os étodos de Busca Multdesoal para 4 Nas tabelas 3 4 verfcaos que os étodos de busca ultdesoas forece soluções elhores e relação ao úero de terações e precsão quado coparados às respectvas fuções ordáras. Soete para o étodo de Newto obtveos u desepeho seelhate à fução ordára assocada. Para os étodos de fução Pealdade fução Barrera e Topks e Veott resolveos os probleas: p extraído de [h-97]) e p extraído de [bs-993]) coo segue abaxo. No étodo de fução Pealdade usaos: η 0 = e a cada teração atualzaos ηk+ = 0 ηk ; e a fução barrera usaos: ϑ 0 = 0 e a cada teração ϑk+ = 0. ϑk. f = x ) + x ) p = S. a x x 0 x + x 0 4 x It. p S. a = f = x + x x x + 5x x x x x x x 6x Métodos Prob. x cal Solução dos probleas It. x f x ) Fç. Pealdade p ) ) ; ) 03 Fç. Barrera p ) ).0006; ) 06 Topks e Veott p ) ).0049; ) 06 Tabela 5: Resultados obtdos para o problea p.

10 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de ovebro de 00 Ro de Jaero/RJ Métodos Prob. x cal Solução dos probleas It. x f x ) Fç. Pealdade p ) ) ; ) 03 Fç. Barrera p ) ) -6.68; ) 06 Topks e Veott p ) ) ; ) 04 Tabela 6: Resultados obtdos para o problea p. Nas tabelas 5 e 6 otaos que os resultados obtdos são copatíves e u úero eor de terações é obtdo e coparação ao caso ordáro assocado. Na tabela 6 o poto cal x cal ) para a fução Barrera é dferete dos deas étodos para garatr covergêca. Os resultados aqu apresetados ostra claraete que os algortos adaptados para a realdade fuzzy são efcetes para resolver probleas de prograação ão-lear co coefcetes fuzzy a fução objetvo. Estas téccas pode ser vstas coo ua poderosa ferraeta pos:. e algus probleas ão coheceos exataete os valores para algus ou para todos) coefcetes;. e probleas de dfícl resolução o processo de fuzzfcação dos coefcetes da fução ordára os forece u problea relaxado que os perte ecotrar ua solução de aera as fácl;. dada esta relaxação para algus probleas podeos ecotrar e fora ecotradas) soluções elhores quado coparadas à solução da fução ordára. Referêcas Bblográfcas [bd-985] Bortola G. e Dega R.. A revew of soe ethods for rakg fuzzy subsets Fuzzy Sets ad Systes 5: [be-999] Berkellar M. LP Solve 3. obtdo e ftp://ftp.cs.ele.tue.l/pub/lp_solve 999. [bs-993] Bazaraa M. S. Sherall H. D. e Shetty C. M.. Nolear Prograg: Theory ad Applcatos secod ed Joh Whley & Sos 993. [db-98] Dubos D. e Prade H.. Toward Fuzzy Dfferetal Calculus part 3: Dfferetato Fuzzy Sets ad Systes 83): [h-97] Helblau D. M.. Appled Nolear Prograg McGraw-Hll Book Copay 97. [ka-987] Kaleva O. Fuzzy Dfferetal Equatos Fuzzy Sets ad Systes 4: [kg-99] Kaufa A. e Gupta M. M. Itroducto to Fuzzy Arthetc: Theory ad Applcatos Va Nostrad Rehold 99. [lu-989] Lueberger D. G. Lear ad Nolear Prograg secod ed Addso-Wesley Publsh Copay 989. [pg-998] Pedrycz W. e Gode F.. A Itroducto to Fuzzy Sets: Aalyss ad Desg. A Bradford Book 998. [tl-988] Trappey J. F Lu C. R. e Chag T. T.. Fuzzy o-lear prograg: Theory ad applcatos aufacturg It. J. Prod. Res. 6 5):