UM MÉTODO PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES E EXTERIORES BARREIRA LOGARÍTMICA MODIFICADA COM ESTRATÉGIAS DE EXTRAPOLAÇÃO CÚBICA E CONVERGÊNCIA GLOBAL.

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1 Blucher Mechacal Egeerg Proceedgs May 4, vol., um. UM MÉODO PRIMAL-DUAL DE PONOS INERIORES E EXERIORES BARREIRA LOGARÍMICA MODIFICADA COM ESRAÉGIAS DE EXRAPOLAÇÃO CÚBICA E CONVERGÊNCIA GLOBAL. R. B. N. Phero, A. R. Balbo. Programa de Pós-Graduação em Egehara Elétrca, Faculdade de Egehara de Bauru FEB/UNESP, Bauru-SP (rbeop@hotmal.com). Departameto de Matemátca, Faculdade de Cêcas FC/UNESP, Bauru-SP. Resumo. Neste trabalho apresetamos um método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e exterores barrera logarítmca modfcada com estratégas de extrapolação cúbca e covergêca global (MPIBLMCG-EX). Na defção do algortmo proposto, a fução barrera logarítmca modfcada exste e auxla o método em sua calzação com potos váves que pertecem à regão de vabldade relaxada (amplada). Porém, a vabldade pode ocorrer em potos que ão estão próxmos à frotera relaxada ou ão perteçam a esta regão, cosequetemete, mplcado a ão exstêca da fução barrera logarítmca modfcada. Para suprr essa dfculdade uma extrapolação cúbca, que preserva as dferecas de prmera e seguda ordem as proxmdades da frotera, é aplcada ao método o procedmeto prevsor, são realzadas atualzações do parâmetro de barrera os resíduos das restrções de complemetardade, cosderado aproxmações de ª. ordem do sstema de dreções de busca, equato que o procedmeto corretor, cluímos os termos quadrátcos ão-leares dos resíduos ctados, que foram desprezados o procedmeto prevsor. Cosderamos também a estratéga de covergêca global para o método, a qual utlza uma varate do método de Leveberg-Marquardt para atualzar a matrz dual ormal da fução lagragaa caso esta ão sea defda postva. Neste caso, esta matrz é redefda para restrções prmas, de gualdade, desgualdade e varáves caalzadas, corporado varáves duas e matrzes dagoas relatvas às restrções de complemetardade. Uma mplemetação deste método, realzada em Matlab 6., mostrou-se efcete quado aplcada em problemas de FPO, da área de Sstema Elétrco de Potêca (SEP) em Egehara Elétrca, cua fução obetvo e o couto de restrções são fuções ão-leares e ão-covexas. Neste trabalho apresetamos os resultados da aplcação do método em destaque para o sstema elétrco IEEE- 8. Palavras-chave: Método de poto teror, extrapolação cúbca, covergêca global.

2 O MÉODO PREVISOR-CORREOR PRIMAL-DUAL DE PONOS INERIORES BARREIRA LOGARÍMICA MODIFICADA (MPIBLM). Para a defção do método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores barrera logarítmca modfcada (MPIBLM), cosderamos o segute modelo geral de otmzação ãolear com restrções de gualdade, de desgualdades caalzadas e de varáves caalzadas: ( x) M f s. a : g ( x) = u h( x) u l x l (.) em que: x R, f ( x) : R R é a fução obetvo, g( x) : R R e h( x) : R R são fuções de classe C e a codção de qualfcação de restrções é a aquela proposta por (Magasara, et al., 976). O problema (.) é trasformado em problema de otmzação ãolear rrestrto e equvalete, de acordo com [] a qual utlza a fução barrera modfcada apresetada por [], a segur: m r M L = f z z = = m µ ( δ 3 ) l ( z3 ) µ ( 4 ) l δ ( z4 ) + ( λ ) g t t ( x) + = = t= r + ( λ ) ( h ( ) + ( u ) + ( z ) ) + ( λ ) ( h ( ) ( u ) + ( z ) ) + x x r r ( ω) ( x) µ ( δ ) l ( ) µ ( δ ) l ( ) = ( λ3 ) ( x ( l ) ( z3 ) ) ( λ4 ) ( x ( l ) ( z4 ) ) = (.) + ode: µ R * é o parâmetro de barrera δ, δ R e δ3, δ4 R são vetores estmadores dos multplcadores de Lagrage restrções de gualdade * m r + λ R é o vetor de multplcador de Lagrage referete às r + λ,λ R são os vetores de multplcadores de Lagrage referete às + restrções fucoas caalzadas λ, λ R são os vetores de multplcadores de lagrage 3 4 referete às varáves caalzadas z, z R e z, z R são varáves de folga z ( z ) = + µ, z ( z ) = + µ, z3 ( z3 ) = + z e ( z 4 4 ) = + são as varáves µ µ prmas defdas pela relaxação das restrções de desgualdade de (.) em relação às varáves de folga z >, z >, z3 > e z4 > tas que: z > µ, z > µ, z 3 > µ e z 4 > µ r 3 4 +

3 m+ 5+ 4r ω = ( x,z,λ,λ ) R * é o vetor de varáves da fução lagragaa aumetada teror L( ω ). As codções de KK são recuperadas ao aplcarmos a codção ecessára de otmaldade L( ω) =. Essas codções são apresetadas a segur: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xl = f x + g x λ + h x λ λ λ 3 + λ4 = L = = λ g x L = + + = λ h x u z L = + = λ h x u z λ L = x + l + = 3 z3 L( ω) = L = x l + z = λ δ λ4 4 z L = Z µ = z L = Z µ = z L = Z 3 µ = λ δ λ δ z L = Z 4 µ = λ δ (.3) R são, respectvamete, as matrzes acobaas dos Z = dag ( + z ), =,..., 4. Em cada equação do sstema ão- ω learzaremos por um aproxmate de aylor de prmera ordem. Assm, temos o sstema lear a segur: m r ode: g( x) R e h( x) fucoas g( x ) e h( x ) e ( µ ) lear L( ) = ode: A d = b (.4) ω

4 A ( ) ( ) ( ) I I Κ g x h x h x g ( x ) h( x ) Ir h( x ) Ir = I I (.5) I I Λ Z Λ Z Λ3 Z 3 Λ4 Z 4 m r em que: Κ = f ( ) + ( λ ) gt ( ) + ( λ λ ) h ( ) detdade de ordem ( ),,..., 4 ω x z λ λ d = d,d,d,d = e b x x x I é a matrz t t= = I r é a matrz detdade de ordem r e dag ( λ ) b é o vetor resdual defdo por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + f x g x λ h x λ λ + λ λ t : g x t : h x z u t : h x z u t 3 : x z l 3 = t 4 : x z + l 4 Zλ + µ δ D d z λ Z λ + µ δ D d z λ Z 3λ3 + µ δ3 D d z λ 3 3 Z λ + µ δ D d 3 4 Λ = z λ 4 4 (.6)

5 em que: D = dag ( d ), =,..., 4. Para a defção do procedmeto prevsor, desprezamos os z z resíduos ão-leares D d, =,..., 4, sto é, a pror defmos esses resíduos como ulos, z λ pos descohecemos essas dreções. Essa estratéga é uma varate do método prevsor-corretor de [3], dferecado-se do procedmeto defdo por esses autores, pos cosderamos o parâmetro de barrera, defdo as codções de complemetardade apresetadas em (.3), o procedmeto prevsor, para o cálculo das dreções de busca. Assm, com procedmetos algébrcos, defmos, a segur, o quadro de dreções prmas e duas: ode: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) f ( ) d = g x θ g x g x θ x + c + µ φ + t λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d x c φ g x λ g x d x = θ f + + µ + + λ z = + x d h x d t z x d = h x d + t z3 x 3 d = d + t z4 x 4 d = d + t λ = Z Λ + µ Z z d d δ λ d λ d µ Z z δ λ = Z Λ + λ = Z 3 Λ 3 + µ Z 3 3 z3 3 3 d d δ λ λ = Z 4 Λ 4 + µ Z 4 4 z4 4 4 d d δ λ h( x ) ( ) h( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) : θ R Κ + Z Λ + Z Λ + Z Λ + Z Λ : Z Λ Z Λ + Z 3 Λ3 Z 4 3 Λ4 4. (.7) (.8) c R h x t t t t (.9) : Z + Z Z Z 4 4 φ R h x δ δ δ δ. (.) Com as dreções do procedmeto prevsor calculadas, ca-se o procedmeto corretor cosderado os resíduos ão-leares D d, =,..., 4, pos agora cohecemos essas dreções. z λ O quadro de dreções do procedmeto corretor é aálogo ao do procedmeto corretor. A dfereça está a complemetação de expressões algébrcas sobre o vetor c, em que, para dstgu-lo do procedmeto prevsor, o defremos por c apresetado a segur:

6 ( ) ( Z Z D Z Z D z λ ) z λ c = h x Λ t + d Λ t d t d z λ t d z λ Z Λ + Z D Z Λ Z D (.) ( ),,..., 4 ω x z λ λ Com as dreções corrgdas d = d,d,d,d = calculadas, defmos o cálculo do tamaho do passo prmal apresetada a segur: α p e do passo dual α d pela regra apresetada em [4]. Esta é z m, m, ( ) ( ) ( ) z ( ) ( > e dz < dz z > e dz ) < ( dz ) =,..., r α p = m ( z3 ) ( z4 ),..., m, m, = ( ) ( ) ( ) z ( ) ( 3 > e dz3 < dz3 z4 > e dz4 ) < ( dz 4 ) ( z ) ( λ ) ( ) λ m, m, ( ) ( ) ( ) λ ( ) ( ' > e dλ < dλ λ > e dλ ) < ( dλ ) =,..., r α d = m. ( λ3 ) ( λ4 ),..., m, m, = ( ) ( ) ( ) λ ( ) ( 3 > e dλ3 < dλ3 λ4 > e dλ4 ) < ( dλ 4 ) Etão, a expressão que defe + ω é defda por: ( ) (.) (.3) + = ω ω + α d. (.4) Dado um escalar ε > sufcetemete pequeo, verfcamos se o crtéro de parada do + MPIBLM é satsfeto se a segute codção está satsfeta: L ( ω ) ω ε. Caso o crtéro ão sea satsfeto, atualzamos o parâmetro de barrera µ por uma heurístca defda por: em que α (,) µ de Lagrage + = µ (.5) µ α µ R é defdo prevamete atualzamos os estmadores dos multplcadores δ pela segute regra: + + e recamos o procedmeto prevsor-corretor. δ = λ, =,..., 4 (.6)

7 A ESRAÉGIA DE CONVERGÊNCIA GLOBAL. ( ω ) L Uma vez que θ = é smétrca e defda postva, etão a Decomposção de x x Cholesy (DC) é possível de ser realzada. Caso a DC ão sea possível uma estratéga, que pode ser ecotrada em [5]e em [6], é aplcada ao método. Essa estratéga é uma perturbação sobre a matrz θ a qual é defda da segute maera: θ = θ + β I (.7) ode β R + é deomado por parâmetro de dampg ou parâmetro de amortecmeto do método de Leveberg-Marquardt, o qual fo desevolvdo para a resolução de problemas de quadrados mímos. Assm, equato a DC ão for satsfeta, a perturbação (.7) é aplcada, sto é, essa estratéga trasforma o MPIBLM de tal forma a determar e garatr uma sequêca de dreções de descda para a determação de ovos potos, covertedo-o em um método prmal-dual com estratéga de covergêca global (CG), sto é, o MPIBLM trasforma-se em MPIBLMCG. O parâmetro β flueca tato a dreção quado o tamaho do passo, assm, o procedmeto de Leveberg-Marquardt ão ecessta de uma busca lear para descobrr o tamaho do passo a ser dado em cada dreção de busca em uma teração qualquer. Sea lm o úmero de terações ecessáras para torar a matrz θ em defda postva, etão temos o processo teratvo defdo a segur: β ( ) = β µ µ lm lm µ µ + (.8) em que µ = µ lm e β é defdo por β = β +. Para uma teração que passa do procedmeto corretor para o procedmeto prevsor, ou sea, para uma teração +, podemos atualzar o valor de β de acordo com as defções a segur, que propõe uma modfcação a defção do parâmetro de amortecmeto em relação àquela ecotrada em [5]: + ω ω <, etão β é atualzado pela heurístca: ) Se L( ) L ( ), 5 + ) Se L( ) L ( ) >,5 ) Se L( ) L( + ) β β + = (.9) 3 ω ω, etão β é atualzado pela heurístca (.8) (.), 5 ω ω,75, etão β ão será alterado. (.)

8 3 A ESRAÉGIA DE EXRAPOLAÇÃO CÚBICA. Na defção do algortmo proposto, a pealzação logarítmca modfcada exste e auxla o MPIBLMCG em seu procedmeto com potos váves que pertecem à regão de vabldade relaxada (amplada ou aumetada). Porém, a vabldade pode ocorrer em potos que estão próxmos ou que ão perteçam à regão relaxada, cosequete, mplcado a ãoexstêca da fução barrera logarítmca modfcada. Para suprr essa dfculdade, uma extrapolação cúbca, que preserva as dferecas de prmera e de seguda ordem, é aplcada ao MPIBLMCG. Essa extrapolação é uma varate do auste quadrátco para fuções barreras modfcadas que pode ser ecotrado em [7] e, com mas detalhes, em [8]. Por smplcdade, z z z ou z 4. R : o parâmetro de proxmdade da varável de folga z à frotera teror defremos por z uma compoete qualquer dos vetores,, 3 Sea τ (,) relaxada. Se z τµ, etão a fução barrera modfcada ( z) Ψ é defda por: z Ψ ( z) = l+. Caso cotráro, se z < τµ, uma extrapolação cúbca é defda pelo µ polômo a segur: q3 3 q Ψ ( z) = z + z + q z + q 6 (.) em que: 3 τ 5τ + 6τ q = l ( τ ) + 3 6( τ ) ( 3τ 3τ + ) q = 3 µ ( τ ) (.3) 3τ q = 3 µ ( τ ) q3 = 3 3 µ ( τ ) Quado há a ecessdade de extraplação, a matrz q3 Ψ '( z ) = dag z + q z + q. + O parâmetro de barrera µ é atualzado, se L ( ω ) e faça-se o teste: se para todo z obtermos que Caso cotráro, se para algum z obtermos Z é defda por > ε, da segute maera: µ + =, 68 µ (.4) + + z τµ + +, a heurístca (.4) permaece. z < τµ, µ + recebe o segute cremeto: µ + =,38 µ (.5)

9 e rece o procedmeto prevsor-corretor. Com a estratéga de extrapolação cúbca (EX) defda e aplcada sobre o método MPIBLMCG, temos o método MPIBLMCG-EX. 4 O MPIBLMCG-EX APLICADO AO PROBLEMA DE FLUXO DE POÊNCIA ÓIMO REAIVO. Aplcamos, através de uma mplemetação costruída em MALAB 6., o MPIBLMCG- EX ao problema de fluxo de potêca ótmo reatvo (FPO-Reatvo). O FPO-Reatvo é um feômeo observado e estudado o âmbto da egehara elétrca em uma subárea deomada por sstemas de potêcas. Esse feômeo é modelado matematcamete como um problema de otmzação ão-lear cua regão de vabldade é ão-covexa e o obetvo é o de mmzar as perdas de potêca atva a trasmssão e que ateda aos segutes crtéros: ) às les de Krchoff (restrções fucoas de gualdade) ) aos geradores que cotém o cotrole reatvo (restrções fucoas de desgualdade) ) às magtudes dos fasores de tesão e âgulo em cada barra, em que a tesão é cotrolada por um lmtate mímo e máxmo (varáves caalzadas) e os âgulos são rrestrtos. O Modelo de um FPO-Reatvo é defdo, segudo [9], a segur: ( ) NL M f f g V V V V = s. a : l V bar bar l bar γ bar ( x) = ( V, γ) = ( ) + cos( γ γ ) m m m m ( ( γ γ ) ( γ γ )) esp Pt P V G V Vm Gm m Bm m m Ω esp Qt Q ( ( ) ( )) V B V Vm Gm γ γ m Bm γ γ m m Ω ( se ( ) cos( )) cr + m m γ γ m m γ γ m cr m Ω = cos + se = = + se cos = u V B V V G B u (.6) em que: f ( x ) : é a fução obetvo, que represeta as perdas de trasmssão de potêca atva a trasmssão a rede NL: é o úmero de lhas de trasmssão que compõe o sstema V R : é o vetor de tesões, tal que, NB é o úmero de barras do sstema γ NB : Vetor de âgulos V : é a tesão a barra a coectar γ : é o âgulo da tesão da barra a coectar V m : é a tesão a barra m a ser coectada γ m : é o âgulo da tesão da barra m a ser coectada g : é a codutâca da lha a qual coecta as barras e m P t : é a equação de balaço ( ) m NB

10 de potêca atva. O sstema cotém ( NB ) equações atva gerada e a Potêca atva cosumda a barra Q t esp P : é a dfereça etre a Potêca : é a equação de balaço de potêca reatva. O sstema cotém NBC equações, ode NBC é o úmero de barras de carga dfereça etre a Potêca reatva gerada e a Potêca reatva cosumda a barra esp Q : é a cr : é o úmero de barras de cotrole de reatvos ( NBCR ) bar : é o úmero de barras do sstema Ω : é o couto de todas as barras vzhas à barra Ym = Gm + Bm, = : é a matrz de Admtâca das lhas as quas coecta com m Ω. Neste trabalho, o âgulo da barra de referêca, cohecda como barra slac, ão será fxado em zero equato o MPIBLMCG-EX está em procedmeto. Após o crtéro de covergêca do MPIBLMCG-EX ser satsfeto, se defrmos por γ slac ao âgulo correspodete à barra slac, cada compoete γ, =,...,, do vetor γ é redefdo com a operação ( γ γ ) 8 slac π, assm, o âgulo γ está defasado em relação ao âgulo zero defdo pela barra slac e a gradeza é apresetada em graus os taps dos trasformadores são todos fxos e, a exstêca de tap em uma lha de trasmssão, utlzamos o verso umérco desse valor para a costrução da matrz Y m utlzamos a potêca de base p. u. equvale a MW. megawatts ( MW ), sto é, udade ( ). Resultados para o sstema IEEE-8. O baco de dados do sstema IEEE-8 barras pode ser ecotrado em []. O sstema IEEE-8 barras cotém 64 são barras de carga, 54 barras geradoras com cotrole de reatvo e 86 lhas de trasmssão. O sstema cotém 8 restrções de gualdade, detre as quas, 7 são do tpo P e 54 são do tpo Q, e 54 restrções de desgualdades caalzadas em que as caalzações das tesões e âgulos são defdas respectvamete por,95 V, e -99 γ 99. Icamos o método com V e γ defdos pelo baco de dados cada compoete dos vetores dos estmadores dos multplcadores de Lagrage δ =,..., 4, é defda por, p. u, µ =, β =,, τ =, 45. Utlzamos (.3) para obtermos z e λ, =,...,4, e =,...,4. A dmesão do vetor ω é 577, sto é, esse cotém 577 varáves. A precsão utlzada é ε = p. u. para a verfcação das codções de KK é o crtéro de parada do método. A matrz θ cotém elemetos, detre os quas 3968 são ão-ulos, sto é, a matrz cotém 7,4% de elemetos ão-ulos. A matrz ( ) θ ( ) elemetos, detre os quas 376 são elemetos ão-ulos. g x g x cotém 376

11 O método covergu em 4 terações. As perdas de potêca atva a trasmssão são * f x MW, a magem pela fução lagragaa está avalada avaladas em ( ) =7, ω * em L( ) =7, MW, as avalações as restrções de gualdades são avaladas 3 em: max ( P) = 4,9366 p. u. e ( Q) max = 6,66338 p. u. a avalação do gap 5 dual (codções de complemetardade) é avalada em ( gap) precsão da solução ótma é avalada em L( ω ) * max = 5,968 p. u. a = 4,9366 p. u. Os parâmetros µ e β são avalados em 5, e,76, respectvamete. A tabela apreseta os cotroles de reatvos ótmos. Destacamos as barras 5, 34, 36, 6, 65, 66, 74, 85, 9 e 5, pos essas estão operado em seus lmtates ferores ou superores. Por serem restrções atvas em * x, seus respectvos multplcadores de Lagrage são ão-ulos. Esses estão avalados, em p. u., respectvamete por:,47967,66784,748,7997,3367, ,68488,385, e, abela : Os cotroles de reatvos ótmos para o sstema IEEE-8 obtdos pelo método MPIBLMCG-EX. Barra AVALIAÇÃO DOS CONROLES DE REAIVOS (em p. u. ) * u ( ) -,5-3, -,3-3, -,47 -,35 -, -,6 -,8-3, -,47 -, -3, -3, -,4 -,8 -,8-3, -3, -, -,85-3, -,8 -,8 h x u, , , , , , , ,353688, , ,47 -, , , , ,83 -,8, , , , , ,74436, ,5 3,,5 3,,,,3,5,4 3,,4, 3, 3,,4,4,4 3, 3,,, 3,,3,5

12 ,6 -, -, -,67 -,67-99, -, -, -, -,6 -,8 -, -,65 -,8 -, -, -3, -, -,3 -, -,5 -,5 -,8 -,8 -, -,8 -, -, -, -, -, , , -, , , , , , , , , , ,3, , , , ,9 -, , , , ,8 -, , , , , , ,8 3,,,, 99,,3,,,9,3,7,8,3, 3, 3,,,9,,55,4,3,3,,3,,,, A fgura apreseta a sequêca de soluções das tesões obtdas pelo método ao logo das terações.

13 Fgura : Sequêca dos potos V obtdos pelo método MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE- 8. Notamos a fgura que as tesões V 4, V 9, V 5, V 37, V 66, V 69, V 8, V 87, V 89 e V estão operado em seus lmtes máxmos. Por serem restrções atvas em V, seus respectvos multplcadores de Lagrage são ão-ulos. Esses estão avalados, em p. u., respectvamete por:,35,87749,343878,7394,653443,65799,59597,553,48648 e, *

14 Fgura : As tesões ótmas determadas pelo MPIBLMCG-EX em seus lmtes de defção para o sstema IEEE-8. A fgura 3 apreseta * γ, em graus: Fgura 3: Os âgulos ótmos determados pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-8.

15 A fgura 4 apreseta a sequêca de multplcadores de Lagrage método: λ gerados pelo Fgura 4: Sequêcas de potos λ gerados pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-8. A fgura 5 apreseta a sequêca de multplcadores de Lagrage λ, =,..., 4, geradas pelo método. Fgura 5: Sequêcas de potos λ, =,..., 4, geradas pelo método MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-8.

16 A fgura 6 apreseta a sequêca de valores da fução obetvo obtda pelo método em cada teração. Fgura 6: Sequêca de valores da fução obetvo gerados pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-8. A fgura 7 apreseta a evolução do parâmetro de amortecmeto terações. β ao logo das

17 Fgura 7: Evolução do parâmetro de amortecmeto β gerado pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-8. Na fgura 7 observamos que a θ ecesstou de um salto o amortecmeto para torá-la defda postva, a ª teração. O método, a partr dessa teração, utlzado-se dos crtéros apresetados em (.9) a (.), gerou uma sequêca decrescete para o parâmetro de amortecmeto até a 5ª teração. Esta sequêca apreseta osclações de baxa ampltude etre as terações 6 a 8 até se establzar, em um valor fto em toro de,76, a partr da 9ª teração. Esse valor os mostra quão mal codcoada ou quão stável é a matrz θ para uma sutl mudaça de dreção de busca quado x x *, pos β ão tede para zero, sto é, algum autovalor da matrz hessaa tora-se egatvo e a Decomposção de Cholesy ão é possível. O autovalor que causa essa stabldade pertece à lha e colua da matrz D de autovalores de θ o qual é avalado, segudo o comado eg( θ ) do MALAB, em, Após a aplcação da estratéga global, apresetada a seção, esse autovalor é avalado em 7,63 e, assm, o MPIBLMCG-EX tem codções sufcetes de gerar uma ova dreção de descda. 5 CONCLUSÕES. Neste trabalho apresetamos um método prevsor-corretor prmal dual de potos terores e exterores barrera logarítmca modfcada, com estratégas de extrapolação cúbca e de covergêca global (MPIBLMCG-EX). O método fo efcete devdo aos segutes aspectos: ) ao procedmeto prevsor-corretor, por cosderar todos os resíduos codzetes às vabldades prmal, dual e codção de complemetardade. Portato, esse cotrbuu ao

18 refameto das dreções de busca, ao tratameto da esparsdade da matrz dos coefcetes do sstema (.5) e também por explctar as equações de cada uma das dreção de busca ) ao procedmeto barrera logarítmca modfcada, pos esse possblta que covergêca do método para potos pertecetes à frotera da regão vável do problema (.) de forma exata e ão-assstótca, equato que, o procedmeto barrera logarítmca clássca de [], a covergêca, se ocorrer, é asstótca só possblta a obteção de potos da frotera de forma aproxmada. ) à estratéga de covergêca global, a qual é uma varate do método de Leveberg- Marquardt que austa os autovalores dagoas da matrz hessaa θ, torado-os postvos de tal forma que θ tora-se dagoalmete domate e é trasformada em defda postva. Essa estratéga é teressate, pos ão utlzamos procedmeto de busca lear para o cálculo do passo, mesmo que a regão de vabldade é ão-covexa e por garatr que a matrz hessaa é ão-sgular a medda que ω ω *, sto é, a estratéga também evtou a stabldade umérca, se o crtéro de parada cosderarmos ε > muto pequeo v) à estratéga de extrapolação cúbca ou de auste cúbco, a qual auxlou ao MPIBLMCG em ocasões extremas em que uma varável de folga vesse a traspor a regão de vabldade relaxada ou ão ateder o crtéro de que z τµ. Esta extrapolação é defda através de um polômo que preserva as dferecas de prmera e de seguda ordem do logartmo o poto z = τµ. Essa estratéga os permtu a aplcação de uma ova heurístca para a atualzação do parâmetro de barrera em problemas de programação ão-lear e ãocovexo, de tal forma a cremetar esse parâmetro a terações em que o auste cúbco fosse ecessáro e reduz-lo a uma taxa α µ superor a,5. Observamos que, em problemas de FPO- Reatvo, para α µ >,5 a possbldade de que o logartmo modfcado ão estea defdo para algum z < µ, uma teração. Cosderado-se aos aspectos apresetados acma, o MPIBLMCG-EX, o qual fo aplcado ao problema de FPO-Reatvo, que é um problema de otmzação ão-lear e ãocovexo, sobre o sstema elétrco de potêca de 8 barras, mostrou-se robusto por resolvê-lo e efcete pelo fato de que foram ecessáras 4 terações para obtermos a solução ótma do problema de maera que o crtéro de parada fosse satsfeto em relação à precsão 4 ( ) L ω. A

19 6 REFERÊNCIAS. [] Sousa V. A., "Resolução do Problema de Fluxo de Potêca Ótmo Reatvo Va Método da Fução Lagragaa Barrera Modfcada". ese (Doutorado), São Carlos: Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, 6. [] Polya, R., Modfed barrer fuctos. Mathematcal Programmg, vol. v.54,., p. 77, 99. [3] Wu, Y., Debs, A. S., Marste. R. E., A Drect Nolear Predctor- Corrector Prmal-Dual Iteror Pot Algorthm for Optmal Power Flow, IEEE rasactos o Power Systems, vol. 9, pp , 994. [4] Gravlle, S., Optmal Reactve Dspatch hrough Iteror Pot Methods, IEEE rasactos o Power Systems, vol. 9, pp , 994. [5] Bazaraa, M. S., Sheral, H. D., Shetty, C. M., Nolear Progremmg: heory ad Algorthms, 3 ed., New Jersey: Wley Iterscece, 6. [6] Beso, H. Y., Shao, D. F., Vaderbe, R. J., Iteror-Pot Methods for ocovex olear programmg: Jammg ad comparatve umercal testeg, Operatos Research ad Facal Egeerg,. [7] Perera, A. A., "O método da fução lagragaa barrera modfcada/pealdade." Dssertação (mestrado), São Carlos: Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, 7. [8] Matol, L., "Uma ova metodologa para costrução de fuções de pealzação para algortmos de lagrageao aumetado".ese (Doutorado), Floraópols, Sata Catara: Programa de Pós-Graduação em Egehara de Produção, Uversdade Federal de Sata Catara,. [9] Motcell, A., "Fluxo de carga em redes de eerga elétrca", São Paulo: Edgard Blücher, 983. [] Uversty Washgto Electrcal Egeerg. [Ole]. Avalable: [Acesso em 6 Março ]. [] Frsch, K. R., he Logarthmc Potetal Method for Covex Programmg, 955. }