Um estudo comparativo entre as funções de validação para agrupamento nebuloso de dados

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1 IV Cogresso Braslero de Coputação CBCop 004 Itelgêca Artfcal U estudo coparatvo etre as fuções de valdação para agrupaeto ebuloso de dados Lela R. S. da Slva, Medaera, Mestre, CEFET-PR, Ferado Gode. Capas, Doutor, Ucap Abstract Ths paper presets a coparso of the a clusterg valdty dces adopted fuzzy clusterg. Fuzzy clusterg as at fdg a fuzzy partto of data sets expressed va a ebershp atrx to characterze a group structure, that s, a partto of a fte data set. Here the ebershp atrx s foud usg two clusterg algorths, Gustafso-Kessel (GK) ad Partcpatory Learg (AP), respectvely. Coparso of valdty dces s ade two crcustaces. The frst uses represetatve sythetc data sets suggested the lterature ad the secod the well-ow Irs Data. Idex Ters -- cluster valdty dces, fuzzy clusterg, partcpatory learg, usupervsed clusterg. I. INTRODUÇÃO problea de agrupaeto de dados é ecotrado e Outos cotextos por pesqusadores das as dversas áreas, refletdo a portâca de explorar e aalsar dados para se obter foração. As aplcações de téccas de agrupaeto de dados clue áreas coo coucação hoe áqua, recoheceto autoátco de objetos, edca, trasporte, geoprocessaeto, recursos aturas (agrcultura, florestas, geologa, eo abete), dústras (teste, speção e cotrole de qualdade e otage, odelage e cotrole de processos) [9]. Cotudo, os étodos de agrupaeto exstetes possue ltações e restrções de aplcação, coo é observado e [6], ode se ecotra ua coparação etre algortos de agrupaeto. O resultado do algorto de agrupaeto é ua partção do cojuto de dados. Esta partção pode ser ou rígda, co valores de fuções de pertêca e {0,} ou ebulosa, co valores de fuções de pertêca o tervalo [0,]. Para obter esta partção utas vezes presue-se a exstêca de c grupos. Surge, portato, a ecessdade de forular crtéros ou étodos quattatvos para ua avalação objetva dos resultados dos algortos de agrupaeto. Crtéros e étodos quattatvos se traduze e ídces que auxla a valdação dos agrupaetos realzados pelos algortos. O deal é obter u algorto de agrupaeto que seja capaz de corporar u ídce de valdação. Cotudo, este ada ão é o caso da grade aora dos algortos de agrupaeto. O objetvo deste trabalho é apresetar ua coparação das prcpas fuções (alteratvaete, ídces) de L. R. S. da Slva, (e-al: lela@d.cefetpr.br) F. Gode. (e-al: gode@dca.fee.ucap.br) valdação. Estas fuções são utlzadas para avalar as atrzes de pertêca de dos algortos de agrupaeto ebuloso de dados, Gustafso-Kessel (GK) e Apredzage Partcpatva (AP). Estes algortos fora escolhdos por ecotrare os grupos desejados para os cojutos de dados cosderados este trabalho e por forecere as partções a fora de ua atrz de pertêca ebulosa. Os algortos de agrupaeto GK e AP ão serão descrtos por estare fora do escopo deste artgo. Detalhes são forecdos e [4] e [0], respectvaete. Este artgo possu a segute orgazação: Após esta trodução, a Seção II resue as prcpas fuções de valdação propostas a lteratura. A Seção ΙΙΙ apreseta os resultados proporcoados pelas fuções de valdação a avalação das partções forecdas pelos algortos de agrupaeto. Na Seção IV, dscute-se e copara-se os resultados da seção ateror. A Seção V falza o artgo resudo suas prcpas coclusões e trabalhos futuros. II. FUNÇÃO DE VALIDAÇÃO Quado u algorto de agrupaeto ão cosdera u crtéro de valdação e sua estrutura, utlza-se de étodos para deterar o úero de grupos e a partção as adequada detre aquelas ecotradas. Estes étodos basease e fuções de valdação aplcadas sobre a partção. As fuções de valdação pode ser vstas coo dcadores da qualdade da partção va ídces de valdação. Estes ídces são os valores das fuções e dspoblza u odo de avalar resultados de agrupaeto. Os crtéros para defr ua partção acetável basea-se os três requstos ctados abaxo [7]:. Clara separação etre grupos resultates;. Ua deterada cocetração (coesão) de potos e toro do cetro de u grupo. 3. Meor úero de grupos possível, desde que tabé obedecedo aos requstos aterores. A segur resue-se os as portates ídces de valdação utlzados para avalar partções ebulosas. Observado que µ deota o grau de pertêca de x X, X={x...x }, ao -éso grupo represetado pelo seu cetro v. A atrz de pertêca [ µ ] defe ua partção de X.. deota ora Eucldaa. A. Partção etrópca - PE Ídce de partcoaeto etrópco (Parttog etropy) [3][]: 66

2 IV Cogresso Braslero de Coputação CBCop 004 c PE( U, c) = µ log a µ, < a <, () = = ode a é ua base logarítca. O ídce PE possu valores o tervalo [0, log a c], e é do tpo zadora, sto é, o valor de PE tede para 0 quado se tê grupos be defdos e X, sedo X u cojuto fto de dados {x...x }, e o úero de eleetos de X. U valor próxo do lte superor do tervalo (log a c), dca a ausêca de estruturas de grupos o cojuto de dados ou a capacdade do algorto de obtê-las. B. Xe-Be - XB Ídce de Xe-Be [6]: A fução de valdação XB pretede detfcar a copactação e a separação das classes de odo a ecotrar u úero óto de grupos. Etão a copactação de ua partção ebulosa é defda por (). c Cop = µ v x. () = = Se os cojutos de dados possuíre u baxo ídce de copactação, etão todas as classes são copactas e separadas uas das outras. A separação ou a edda de dstâca etre os cetros das classes de ua partção ebulosa é: Sep = v x. (3) A fução de valdação XB é defda coo a razão etre a copactação e a separação da partção ebulosa, sto é, defe-se XB =Cop/Sep. Logo, u valor pequeo para XB reflete u valor pequeo de copactação, pos µ será grade quado a dstâca v x for pequea. O valor óto de c é obtdo pela zação XB sobre c {, 3,..., c ax }. Assue-se que ao eor valor de XB correspode o úero acetável (alteratvaete, desejável) de classes. C. Fuuyaa-Sugeo - FS O Ídce de Fuuyaa-Sugeo [7][] é defdo coo: FS = c = = ( x v v v ) µ, (4) ode v é o cetro do vetor de X e A é ua atrz sétrca defda postva. Quado A = I, a dstâca será o quadrado da dstâca Eucldaa. Para copactar e separar be as classes espera-se valores pequeos para FS. O prero tero etre parêteses refere-se à copactação das classes, equato que o segudo refere-se à dstâca etre as classes. D. Coefcete de Partção - CP Ídce ou coefcete de partcoaeto (Parttog coeffcet) [3][]: c CP( U, c) = µ. (5) = = O valor de CP está o tervalo [/c, ], ode c é o úero de classes. Quado µ =/c, o ídce atge o seu eor A A Itelgêca Artfcal valor. U valor do ídce próxo de /c dca a ausêca de grupos o cojuto X cosderado. Os ídces CP e PE tê algus coveetes [3] tas coo:. Depede do úero de classes. O valor para CP é versaete proporcoal ao úero de classes e para o PE, o valor é dretaete proporcoal;. São sesíves ao parâetro, coo é o caso do algorto GK;. Não possue coexão dreta co os dados, vsto que estes ídces ão utlza o cojuto X. E. Partção pela Desdade Méda - AD Ídce de partção por desdade éda (Average partto desty) [][7][3]. A desdade éda é calculada de acordo co o segute: c S AD =, (6) c = [ det( F )] ode S é cohecda coo a "soa dos ebros dos cetros", calculada coo: T { x ( x v ) F ( x v ) < } S = µ, x (7) = ode o hpervolue da -ésa classe é deterado por h =[det (F )] /, sedo F, a atrz de covarâca relacoada ao cetro, sto é: l l l [ µ ] ( x v )( x v ) = F =, =,,..., c. N l [ µ ] = 0 Outros étodos de valdação de agrupaeto são estudados e [] [] [8] [] [3] [6]. Deve-se efatzar que, apesar dos avaços e das dferetes propostas a lteratura vsado ua avalação de grupos objetva e be deterada, preseteete ehu dos ídces de valdação é aceto co uadade. A próxa seção apreseta os ídces de valdação testados e cojuto de dados stétcos e e u cojuto de dados real. III. RESULTADOS No caso deste artgo, as fuções de valdação avalara as partções forecdas pelos algortos GK e AP. Estes algortos detera ua atrz de pertêca para cada cojuto de dados. Os algortos fora calzados aleatoraete. Para o algorto AP que é u algorto ão supervsoado, sto é, detera o úero de grupos, fo ecessáro ajustar o parâetro τ, de odo que, o úero de grupos desejado fosse ecotrado pelo algorto. A segur serão apresetados os ídces forecdos pelas fuções de valdação para os respectvos cojutos de dados. : é o valor que odula o quão ebulosa é a partção obtda. T (8) 67

3 IV Cogresso Braslero de Coputação CBCop 004 A. Cojuto dados (a) O prero cojuto de dados, Fg., fo sugerdo e [4] e costtu u caso co baxo grau de dfculdade. Devdo a esta característca, este cojuto é utlzado para verfcar se o algorto de agrupaeto e a fução de valdação estão coeretes. Parte-se do prcípo que qualquer algorto e fução possa ecotrar e valdar apropradaete os grupos cotdos este cojuto de dados.,00 0,80 0,60 0,40 0, o. de grupos Itelgêca Artfcal PC GK CP AP AD GK AD AP Fg.. Ídces das fuções de valdação (ax) para o cojuto de dados (a). Fg.. Cojuto de dados orgal e os respectvos grupos. TABELA I RESULTADO DAS FUNÇÕES DE VALIDAÇÃO PARA O CONJUNTO DE DADOS (a) o. Algortos Fução Grupos GK AP valor de τ Legeda: ax PE XB FS CP ax AD ax 0,09 0,09 0, 3 0,05 0,05 0,05 4 0, 0,4 0,05 5 0,7 0,8 0,0 0,3 0,5 3 0,0 0,0 4 0,43 0,0 5 0,43 0,0 0,85,38 3-8,6-8,5 4-6,85 -,9 5-5,9-7,67 0,89 0,88 3 0,96 0,96 4 0,88 0,64 5 0,79 0,36 790,06 70, ,65 587, ,7 89, ,8 34,8 : za fução; : axza fução; : úero de grupos desejado. A Fg. e Fg. apreseta grafcaete a Tabela I. Isto é, todos os ídces para as dferetes atrzes de pertêca deteradas pelos algortos de agrupaeto. Nestes gráfcos é possível vsualzar os úeros de grupos dcados pelas fuções de valdação para o cojuto de dados (a).,00 0,80 0,60 0,40 0, o. de grupos 5,00-5, ,00 - PE GK XP GK PE AP XB AP FG GK FG AP Fg. 3. Ídces das fuções de valdação () para o cojuto de dados (a). B. Cojuto de dados (b) O segudo cojuto apresetado a Fg. 4. ostra u cojuto de dados sugerdo e [5] que possu dos grupos dstates e co ua grade dfereça de desdade etre eles. O cojuto possu 3 potos, dvddos e 30 potos para o prero grupo e potos para o segudo. Este cojuto de dados te por prcpal objetvo avalar o coportaeto das fuções de valdação segudo a varação a desdade dos dados etre os grupos. Fg. 4. Cojuto de dados orgal e os respectvos grupos. TABELA II RESULTADO DAS FUNÇÕES DE VALIDAÇÃO PARA O CONJUNTO DE DADOS (B) o. Algortos Fução Grupos GK AP valor de τ PE XB FS 0,0 0,0 0,05 3 0,8 0, ,8 0, ,35 0,9 4 0,0 0,0 3 0,9 0,9 4 0, 0,6 5 0,54 0,0-5,68-5,3 3-7,9-7,5 68

4 IV Cogresso Braslero de Coputação CBCop 004 CP ax AD ax 4-8,35-8,5 5-8,34 -,33 0,99 0,99 3 0,74 0,73 4 0,64 0,64 5 0,58 0,4 39,3 905, ,77 538, , , ,89 853, C. Cojuto de dados (c) A Fg. 5. ostra u cojuto de dados uto seelhate ao sugerdo por [4]. Este cojuto de dados fo crado para verfcar o coportaeto das fuções de valdação date de u cojuto de dados que possua ua dstrbução quase elpsodal e grupos que teha ua sobreposção de potos. Ua observação portate a ser feta aqu cosste o fato de que abos os algortos de agrupaeto de dados escolhdos este artgo são capazes de ecotrar os grupos desejados cofore sugerdo pela Fg. 5. Itelgêca Artfcal D. Cojuto de dados Irs A Fg. 6. apreseta u cojuto de dados real (Írs [5]). Este cojuto é freqüeteete utlzado e testes de algortos de agrupaeto e de classfcação. O cojuto possu as eddas, e cetíetros, do copreto e da largura das sépalas e das pétalas, para 50 flores das espéces: Setosa, Verscolor e Vrgca. Nesta fgura apeas são apresetados os atrbutos as represetatvos, sto é, o prero e o tercero atrbuto, respectvaete. Este cojuto de dados possu duas classes que ão são learete separáves. Novaete aqu, os dos algortos de agrupaeto cosderados este artgo fora capazes de ecotrar os grupos desejados cofore sugerdo pela Fg. 6. Fg. 6. Cojuto de dados real e os respectvos grupos. Fg. 5. Cojuto de dados orgal e os respectvos grupos. TABELA III RESULTADO DAS FUNÇÕES DE VALIDAÇÃO PARA O CONJUNTO DE DADOS (c) o. Algortos Fução Grupos GK AP valor de τ PE XB FS CP ax AD ax 0, 0, 0,04 3 0,3 0,7 0,0 4 0,6 0, ,8 0,7 5 0,0 0, 3 0,0 0,5 4 0,6 0,34 5 0,78 0,73-0,35 0,55 3-8,57-0, 4-3,67-8,9 5-7,64-6,0 0,84 0,84 3 0,7 0,78 4 0,80 0,68 5 0,78 0,80 95,64 895, 3 806,9 38, , 086, ,3 3364,4 TABELA IV RESULTADO DAS FUNÇÕES DE VALIDAÇÃO PARA O CONJUNTO DE DADOS REAL o. Algortos Fução Grupos GK AP valor de τ PE XB FS CP ax AD ax 0,09 0,08 0,04 3 0,4 0,6 0,0 4 0, 0, 8 5 0,8 0,4 5 0,05 0,04 3 0,7 0,44 4 0,7 0,5 5 0,68 0,3-6,68-7,3 3-7,98-7,0 4-8, -7,34 5-6,99-5,89 0,88 0,89 3 0,8 0,79 4 0,75 0,73 5 0,66 0,47 79, , ,53 974, , , , ,6 IV. DISCUSSÃO SOBRE OS RESULTADOS A Tab. V resue os resultados, ou seja, os valores dos ídces obtdos a partr das fuções de valdação durate a avalação das partções (grupos, caracterzados pela atrz de pertêca) geradas pelos algortos de agrupaeto GK e 69

5 IV Cogresso Braslero de Coputação CBCop 004 AP. TABELA V NÚMERO ÓTIMO DE GRUPOS PROPOSTOS PELOS ÍNDICES DE VALIDAÇÃO Ídce Dados (a) Dados (b) grupos Dados (c) Dados reas o. óto de grupos ( GK e AP) PE 3 3 XB FS CP 3 3 AD Todos os ídces sugerra três grupos para o cojuto de dados (a). Por outro lado, o ídce FS dca ua partção co quatro grupos para o cojuto de dados (b), e o ídce AD foreceu duas respostas dsttas para duas fuções de pertêcas avalado o eso cojuto de dados, ode os resultados desejados sera dos grupos. No caso do cojuto de dados (c), apeas os ídces XB e FS sugerra três grupos, cofore desejado, sedo que estes resultados se ltara apeas para o algorto GK, ão repetdo o eso sucesso para a avalação das atrzes de pertêca obtda pelo algorto AP. Para o cojuto de dados reas soete o ídce AD dcou três grupos, cofore desejado. V. CONCLUSÃO Cofore resultados e dscussões das seções V e IV, otase que os ídces forecdos pelas fuções de valdação são fluecados pelas foras (cocetração de potos, potos learete separáves, sobreposção de potos) dos cojutos de dados e pela própra estrutura dos algortos de agrupaeto e as correspodetes partções. Os algortos ão supervsoados, caso ode ão se cohece o úero de grupos a pror, possue o problea de ajuste de algus parâetros, coo é o caso do algorto AP que possu o parâetro τ. Estes parâetros pode ser aalsados e deterados co o auxílo de fuções de valdação apresetados a Seção II, pos estas fuções pode dcar u valor acetável para o úero de grupos e, portato, o valor adequado para τ, por exeplo. Alteratvaete, é possível utlzar algortos geétcos para se deterar u valor acetável para o parâetro τ. Cotudo, e abos os casos o resultado depederá da escolha da fução de valdação. Coo se observa, aalsado os resultados da Seção III, a deteração de ua fução de valdação é ua questão que erece aprofudaeto e peraece e aberto. Este trabalho, através de ua coparação de fuções de valdação, evdecou eleetos portates para a cotudade da pesqusa a área. VI. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA [] A. B. Geva, "Herarchcal-fuzzy clusterg of teporal-patters ad ts applcato for te-seres predcto." Patter Recogto Letters. 4 ed, vol. 0, pp , dez Itelgêca Artfcal [] A. B. Geva, Geva, Y. Steberg, S. Brucar, ad Ge Nahu, "A coparso of cluster valdty crtera for a xture of oral dstrbuted data." Patter Recogto Letters. 5 ed, vol., pp. 5-59, a [3] C. T. L ad C. S. G. Lee, Neural fuzzy systes: a euro-fuzzy syergs to tellget systes. Lodo: Pretce Hall, 995. p [4] D. E., Gustafso, W. Kessel, "Fuzzy clusterg wth a fuzzy covarace atrx." I: Proc IEEE CDC ja. 0-, 979, Sa Dego, CA, 979. pp ,. : Bezde ad Pal, 99. [5] E. Aderso, "The rses of the gaspé pesula." Bullet of the Aerca Irs Socety. 9, pp. -5, 935. 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She has bee wth Uguaçu ad curretly s wth CEFET-PR. Her a terest areas clude artfcal tellgece ad coputatoal tellgece. Ferado Gode was bor Vçosa, Mas Geras, Brazl August 9, 96. He s BSc Electrcal Egeerg, MSc Coputer Egeerg ad Autoato, ad PhD Systes Egeerg fro Case Wester Reserve Uversty, Clevelad, Oho, USA. Curretly he s professor of the Departet of Coputer Egeerg ad Autoato, Faculty of Electrcal ad Coputer Egeerg, State Uversty of Capas, Ucap, Capas, São Paulo. 70