Palavras-chave: Problemas de corte e empacotamento, carregamento de contêineres com múltiplos destinos, otimização combinatória, modelagem matemática.

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1 1 ABORDAGENS PARA PROBEMAS DE CARREGAMENTO DE CONTÊINERES COM CONSIDERAÇÕES DE MÚTIPOS DESTINOS eoardo Juquera Realdo Morabto Dese Sato Yaashta Departaeto de Egehara de Produção Uversdade Federal de São Carlos Resuo: Neste trabalho apresetaos u odelo de prograação lear tera sta 0-1 e abordages baseadas este odelo para tratar probleas de carregaeto de caxas retagulares detro de u cotêer ou cahão, cosderado restrções prátcas de últplos destos. E partcular, estaos teressados apeas o arrajo da carga detro do cahão, assudo que o rotero que este deve percorrer já é cohecdo a pror e que a carga cabe detro do eso. O objetvo, portato, é deterar o elhor padrão de epacotaeto, garatdo que as caxas ão se sobrepoha uas às outras detro do cahão, e cosderado a orde e que elas deve ser descarregadas, se que para sso seja ecessáro u auseo adcoal. Testes coputacoas co as abordages propostas fora realzados utlzado o aplcatvo GAMS/CPEX e exeplos gerados a partr de dados aleatóros. Os resultados ostrara que o odelo e as abordages são coeretes e represeta adequadaete as stuações tratadas, ebora esteja ltados a resolver otaete apeas probleas de taaho be oderado. No etato, o odelo e as abordages pode ser útes para otvar pesqusas futuras para tratar probleas aores e as realstas a prátca, ass coo para tratar o caso cobado deste problea co o problea de roteaeto e prograação de veículos. Palavras-chave: Probleas de corte e epacotaeto, carregaeto de cotêeres co últplos destos, otzação cobatóra, odelage ateátca. 1. Itrodução Os probleas de carregaeto de cotêeres deve satsfazer bascaete duas cosderações: () as caxas deve ser epacotadas copletaete detro dos cotêeres, e () as caxas epacotadas ão deve se sobrepor, sto é, ão deve ocupar u eso lugar

2 2 detro do cotêer. Os preros trabalhos a tratar probleas de carregaeto de cotêeres tha coo eta coteplar estas duas cosderações (George e Robso, 1980; Ha et al., 1989; Bschoff e Marrott, 1990; Haessler e Talbot, 1990; Dowslad, 1991). Outros estudos são ecotrados e Morabto e Areales (1994, 1997), s et al. (2002), Myazawa e Waabayash (2000), Slva e Soa (2003), Ceclo e Morabto (2004) e Araujo e Aretao (2007). No etato, co o avaço das pesqusas, outras cosderações (exgêcas) prátcas tabé passara a ter u apelo aor ao tratar estes probleas. Bschoff e Ratclff (1995) apreseta doze exgêcas prátcas que pode ser levadas e cosderação quado se deseja odelar probleas de carregaeto de cotêeres as realstas. Cosderações tas coo establdade, eplhaeto, fragldade, últplos destos, lte de peso, dstrbução de peso detro do cotêer, etre outras, são uto cous e portates a prátca. E trabalho recete, Juquera et al. (2009) apresetara odelos de prograação lear tera 0-1 para tratar probleas de carregaeto de cotêeres cosderado restrções de establdade e de eplhaeto do carregaeto. Os odelos tabé pode ser utlzados para probleas trdesoas de carregaeto de caxas retagulares sobre paletes, e que as caxas ão precsa ser arrajadas e caadas horzotas sobre o palete. Neste trabalho estaos teressados e tratar probleas de carregaeto de u cotêer ou cahão co cosderações de últplos destos, alé de establdade do carregaeto. Nestes probleas, caxas a sere etregues para dferetes cletes (destos) deve ser poscoadas próxas uas das outras detro do cahão (coo é as cou a prátca), e deve ser carregadas de odo a cosderar o rotero a ser percorrdo pelo cahão e a orde e que elas serão descarregadas. Não exste utos trabalhos a lteratura que trata probleas de carregaeto de cotêeres cosderado últplos destos. Exeplos aparece e Bschoff e Ratclff (1995), Schethauer et al. (1996), a et al. (1998), Tero et al. (2000), J et al. (2004), Moura e Olvera (2005, 2007), Araujo (2006), et al. (2006), Gedreau et al. (2006), Ior et al. (2007), Capos (2008), Chrstese e Rousøe (2009) e Moura e Bortfeldt (2009). Estas cosderações pode ser tratadas de duas aeras: a prera, assue-se que o rotero que o cahão deve percorrer já é cohecdo a pror, restado apeas ecotrar o elhor arrajo da carga detro do cahão; a seguda, o rotero ada ão está defdo, o que leva a ua abordage cobada do roteaeto dos cahões co o arrajo da carga detro dos esos. Neste trabalho, e partcular, estaos teressados a prera stuação, e que se supõe que a carga cabe detro do cahão, e o objetvo do problea é bascaete deterar o elhor padrão de epacotaeto, garatdo que as caxas ão se sobrepoha

3 3 uas às outras detro do cahão, e cosderado a orde e que elas serão descarregadas, se que para sso seja ecessáro u auseo adcoal. Cofore ecoado, osso objetvo este trabalho é apresetar u odelo de prograação lear tera sta 0-1 e abordages baseadas este odelo para tratar probleas de carregaeto de u cotêer ou cahão, cosderado restrções prátcas de últplos destos. Não teos coheceto de outros trabalhos que apresetara ua forulação ateátca cosderado explctaete restrções de establdade do carregaeto e de carga fracoada e últplos destos. O odelo e as abordages pode ser faclete esteddos para cosderar outras restrções, tas coo eplhaeto, fragldade e lte de peso. Para verfcar a coerêca do odelo e das abordages e aalsar seus desepehos coputacoas, eles fora codfcados a lguage de odelage GAMS e resolvdos utlzado-se o aplcatvo CPEX. Este trabalho está orgazado da segute aera. Na seção 2 descreveos resudaete probleas de carregaeto de cotêeres que cosdera carga fracoada e últplos destos. Na seção 3 apresetaos u ovo odelo ateátco para estes probleas, cosderado o rotero do veículo coo defdo a pror e, adcoalete, a establdade do carregaeto. Na seção 4 apresetaos alguas abordages de solução baseadas o odelo apresetado a seção 3. Na seção 5 aalsaos os resultados dos testes coputacoas co as abordages propostas, utlzado o aplcatvo GAMS/CPEX e exeplos gerados a partr de dados aleatóros. Falete, a seção 6 dscutos as coclusões deste trabalho e alguas perspectvas para pesqusa futura. 2. Descrção do Problea A carga fracoada e últplos destos trata stuações e que u cotêer (ou cahão, coo é as cou a prátca) está carregado co caxas co produtos ecoedados por dferetes cletes (destos), que estão espalhados por ua regão. O cahão deve etão percorrer u rotero de etrega, sado de u depósto (ode ele é carregado) e passado pelos dferetes destos. E cada desto, as caxas co produtos ecoedados por aquele clete deve ser descarregadas. Após realzar todas as etregas, o cahão pode retorar, vazo, para o depósto. A questão que surge é coo plaejar o carregaeto do cahão de odo a cosderar, a edda do possível, a orde e que as caxas deve ser descarregadas, para evtar desperdícos de tepo descarregado e recarregado as caxas dos destos reaescetes. A Fgura 1 lustra u cahão que parte (carregado) de u depósto e é descarregado ao logo de cco destos, retorado (vazo) para o depósto de partda (sto é, o rotero depósto depósto).

4 4 Fgura 1. Cahão sedo descarregado ao logo de cco destos. Note que este problea, versaete, pode ser vsto coo o problea de u cahão de coleta que sa do depósto vazo, e, e cada desto do seu rotero, as caxas são carregadas detro do cahão se descarregar as caxas já carregadas dos destos aterores do rotero. Note que o rotero de coleta é o verso do rotero de etrega (sto é, o rotero depósto depósto a Fgura 1). A Fgura 2 lustra coo e algus casos é possível, co u sples rearrajo das caxas detro do cahão, evtar que desperdícos de tepo seja corrdos a desova dos destos. Fgura 2. Exeplos de carregaetos co e se auseo adcoal. 3. Modelo Mateátco Cosderado Carga Fracoada e Múltplos Destos

5 5 Cosdere u cahão co carrocera de copreto, largura W e altura H, que deve percorrer u rotero co destos. Para cada desto ( 1,..., caxas, de u total de b caxas do tpo ( 1,..., ), co copreto l, largura ), te-se que b w e altura h, deve ser carregadas (descarregadas) o cahão (ote que pode-se ter b 0 para algu e ). Adte-se que as desões das caxas são úeros teros, que elas só pode ser epacotadas ortogoalete (sto é, co os seus lados paralelos aos lados do cahão), e que as suas oretações são fxas (sto é, as caxas ão pode grar e toro de ehu de seus exos). Esta últa suposção pode ser faclete relaxada o odelo, e é aqu atda apeas por splcdade de apresetação das forulações. Cové otar que 1 se refere ao cojuto de caxas que são carregadas prero e descarregadas por últo. Coseqüeteete, se refere ao cojuto de caxas que são carregadas por últo e descarregadas prero. Adotado-se u sstea de coordeadas cartesaas co orge o cato feror frotal esquerdo do cahão, seja ( pqr,, ) a posção ode o cato feror frotal esquerdo de ua deterada caxa é colocado. As possíves posções, ao logo do copreto, da largura W e da altura H do cahão, ode cada caxa pode ser colocada, pode ser defdas por eo dos cojutos: X { p 0 p ( l ) e tero, 1,..., } (1) Y { q 0 q W ( w ) e tero, 1,..., } (2) Z { r 0 r H ( h ) e tero, 1,..., } (3) Herz (1972) e Chrstofdes e Whtloc (1977) observara que e u dado padrão de epacotaeto (ou de corte), cada caxa epacotada pode ser ovda para baxo e/ou para frete e/ou para esquerda, até que sua face feror, lateral da frete e lateral esquerda fque adjacetes às deas caxas ou ao própro cahão. Estes padrões, chaados padrões oras ou cobações côcas, perte, se perda de geeraldade, reduzr os cojutos X, Y e Z para: X { p p l, 0 p ( l ), 0 b e tero, 1,..., } (4) 1 1 Y { q q w, 0 q W ( w ), 0 b e tero, 1,..., } (5) 1 Z { r r h, 0 r H ( h ), 0 b e tero, 1,..., } (6)

6 6 Seja ada os subcojutos defdos coo a segur: X { p X 0 p l } 1,..., (7) Y { qy 0 q W w } 1,..., (8) Z { r Z 0 r H h } 1,..., (9) Defe-se [0,1] coo o parâetro de establdade e relação ao exo z (ou parâetro de establdade vertcal). Este parâetro é cou a lteratura de carregaeto de cotêeres (Eley, 2002) e dca o percetual de establdade vertcal que se deseja para todas as caxas. E u extreo, 1 dca que as faces ferores de todas as caxas deve estar 100% suportadas pelas faces superores de ua ou as caxas colocadas edataete abaxo delas, e, o outro extreo, 0 dca que ão há exgêcas quato à establdade das caxas e relação ao exo z (por exeplo, as caxas pode estar apeas parcalete apoadas, ou eso flutuado detro do cahão). Seja ada o parâetro [0, ], relatvo ao alcace do operador resposável por fazer o carregaeto do cahão. Estado as caxas de u deterado desto carregadas detro do cahão, as caxas do próxo desto pode ser carregadas aprovetado espaços vazos evetualete crados pelas caxas de destos aterores. Isto é, este parâetro dca o quato, para alé da frotera atural etre as caxas dos dferetes destos, o operador pode adetrar para arrajar ua caxa. A Fgura 3 lustra à esquerda esta frotera atural (e tracejado) dexada por caxas de u desto ateror (1). A partr desta frotera, o operador é pertdo adetrar até udades para carregar caxas do próxo desto (2). Por sua vez, as caxas do próxo desto (2), ua vez carregadas, dexa ua ova frotera atural, até udades alé da qual caxas de u próxo desto podera ser epacotadas (Fgura 3 à dreta). Fgura 3. Alcace áxo do operador.

7 7 O uso deste parâetro é de partcular portâca a prátca para ajudar a preservar a tegrdade da carga, pos ele evta que o operador se apóe ou eso suba as caxas de destos aterores (já arrajadas) para colocar ou retrar algua caxa do próxo desto, o que podera acarretar e alterações a fora da ebalage protetora e, coseqüete, possível avara dos produtos detro dela. Note ada que este parâetro tabé pode ser represetatvo do alcace do braço do operador, ou eso de algu equpaeto utlzado para carregar/descarregar as caxas, coo ua paletera, por exeplo. Seja as varáves de decsão x pqr defdas coo: 1, se ua caxa do tpo pertecete ao desto é epacotada co seu cato feror frotal x esquerdo a posção (,, ), tal que 0, 0 e 0 ; pqr p q r p l q W w r H h 0, caso cotráro. Seja ada as varáves de decsão relatvas ao copreto ecessáro para epacotar todas as caxas dos destos 1,2,...,, e M u úero sufceteete grade. O problea de carregaeto de caxas detro de u úco cahão, cosderado a establdade do carregaeto e a carga fracoada e últplos destos, pode ser forulado coo ua extesão dreta do odelo de prograação lear tera 0-1 proposto e Juquera et al. (2009): (10) Sujeto a: xpqr 1 s X, t Y, u Z (11) 1 1 { px sl 1 ps}{ qy tw 1 qt}{ rz uh 1 ru} xpqr b 1,...,, 1,..., px qy rz (12) { j1,..., rhj 0} 1{ p X j pl j 1 p pl 1}{ q Y j qwj 1 q qw 1} [2] co j ( p l, p l j ) ax( p, p ) W [2] (, ) ax(, ) j q w q wj q q W x l w x [2] [2] j j j p q ( rhj ) pqr 1,...,, 1,..., /{0} (13) pqr ( p l ) x 1,...,, 1,..., (14)

8 8 1 p xpqr (1 xpqr ) 1,...,, 2,..., M (15) 1 2,..., (16) 0 1,..., (17) x {0,1} pqr 1,...,, 1,..., (18) e que X, Y, Z, X, Y e objetvo (10) vsa zar o copreto Z são defdos cofore (4)-(9). No odelo (10)-(18), a fução ecessáro para epacotar todas as caxas dos destos, as restrções (11) garate que ão haja sobreposção etre as caxas detro do cahão, as restrções (12) garate que o úero de réplcas da caxa do tpo seja gual ao valor b requerdo pelo desto (clete) (e que b 1 b ), as restrções (13) garate que ua fração ía das faces ferores de todas as caxas deve estar suportadas pelas faces superores de ua ou as caxas colocadas edataete abaxo delas (ote esta restrção que as caxas de u deterado desto deve ser epacotadas ou sobre caxas do eso desto ou sobre caxas de destos aterores, para que ão se coproeta o auseo das caxas), as restrções (14) garate que as caxas do desto ão tere de ser epacotadas alé do copreto ecessáro, as restrções (15) garate que as caxas do desto ão coece a ser epacotadas udades aqué do copreto ecessáro 1, as restrções (16) garate que o copreto ecessáro para epacotar as caxas do desto 1 ão esteja alé do copreto ío ecessáro para epacotar as caxas do desto, e as restrções (17) e (18) defe o doío das varáves de decsão. 4. Abordages Cosderado Carga Fracoada e Múltplos Destos Co base o odelo (10)-(18) apresetado a seção 3, podeos desevolver alguas abordages para tratar probleas de carregaeto de cotêeres cosderado carga fracoada e últplos destos. E partcular, estas abordages estão dretaete relacoadas ao parâetro, relatvo ao alcace do operador resposável por fazer o carregaeto do cahão. Para as abordages propostas adte-se que o cahão te u copreto sufceteete grade para epacotar todas as caxas de todos os destos. 4.1 Caso e que 0

9 9 Esta stuação represeta u prero caso extreo, e que o operador ão é pertdo adetrar para alé da frotera atural etre as caxas dos dferetes destos, sto é, o operador ão pode aprovetar ehu dos espaços vazos evetualete crados pelas caxas de destos aterores para epacotar as caxas do próxo desto. Isto os perte decopor, se perda de geeraldade, o problea (10)-(18) de zar o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas de todos os destos, e probleas depedetes. Cada u destes probleas cosste e zar o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas de cada desto, e a solução fal obtda é ua coposção das soluções ótas. Note que esta abordage, ebora ão aprovete os espaços vazos evetualete crados, faclta o auseo das caxas a desova dos destos. Pelo fato de o problea poder ser decoposto, é possível redefr as possíves posções (1), (2) e (3), ao logo do copreto, da largura W e da altura H do cahão, ode cada caxa pode ser colocada, agora para cada desto, por eo dos cojutos: X { p 0 p ( l ) e tero, M } 1,..., (19) Y { q 0 q W ( w ) e tero, M } 1,..., (20) Z { r 0 r H ( h ) e tero, M } 1,..., (21) e que M { 1,..., b 0}, sto é, o subcojuto de tpos de caxas que deve ser descarregadas o desto. Estes subcojutos pode ser reduzdos, se perda de geeraldade, aos padrões oras ou cobações côcas: X { p p l, 0 p ( l ), 0 b e tero, M } 1,..., (22) M Y { q q w, 0 q W ( w ), 0 b e tero, M } 1,..., (23) M Z { r r h, 0 r H ( h ), 0 b e tero, M } 1,..., (24) M Seja ada os cojutos defdos coo a segur: X { p X 0 p l } M, 1,..., (25) Y { qy 0 q W w } M, 1,..., (26) Z { r Z 0 r H h } M, 1,..., (27)

10 10 Ass, co base o odelo (10)-(18), e usado os cojutos X, Y, Z, X, Y e Z defdos cofore (22)-(27), é possível reescrever ua forulação alteratva, exclusva para cada desto, detro do segute procedeto teratvo e : Para 1,...,, resolva a forulação (28)-(34): (28) Sujeto a: xpqr 1 s X, t Y, u Z (29) 1 { px sl 1 ps}{ qy tw 1 qt}{ rz uh 1 ru} xpqr b 1,..., px qy rz { j1,..., rhj 0}{ p X j pl j 1 p pl 1}{ q Y j qwj 1 q qw 1} W x l w x [2] [2] j j jp q ( rhj ) pqr (30) [2] co j ( p l, p l j ) ax( p, p ) W [2] (, ) ax(, ) j q w q wj q q pqr ( p l ) x 1,..., /{0} 1,..., (31) (32) 0 (33) x {0,1} pqr 1,..., * * * Retore 1, 2,..., (.e., os copretos ótos as terações 1,2,..., ) Se * 1, etão a solução é factível. (34) Note que o ídce está fxo e cada teração e, portato, que a fução objetvo (28) vsa zar o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas apeas do desto (e ão de todos os destos 1,2,...,, coo o odelo (10)-(18)). ogo, as restrções (15) e (16) do odelo (10)-(18) ão aparece o odelo (28)-(34). E outras palavras, cada odelo (28)-(34) e é depedete dos deas e 1,2, 1, 1,...,. Ass, espera-se que seja be as fácl de resolver o odelo (28)-(34) o procedeto aca, do que o odelo (10)- (18) da seção ateror, de desões uto aores. A Fgura 4 lustra ua possível dsposção, utlzado este procedeto, de caxas de três destos dferetes. Observe que é crada ua espéce de corta dvsóra (agára) etre as caxas de dos destos

11 11 cosecutvos detro do cahão. De fato, a cração de subdvsões (copartetos) é ua prátca que aparece o carregaeto de cahões e alguas trasportadoras. Fgura 4. Exeplo de epacotaeto das caxas a abordage co Caso e que Esta stuação represeta u segudo caso extreo, e que o operador é pertdo adetrar totalete para alé da frotera atural etre as caxas dos dferetes destos, sto é, o operador pode aprovetar quasquer espaços vazos evetualete crados pelas caxas de destos aterores para epacotar as caxas do próxo desto. Isto vola a cosderação de carga fracoada e últplos destos, pos ão pede que o operador teha que descarregar

12 12 ua parte das caxas que ão precse ser descarregadas e u deterado desto, para alcaçar ua caxa que precse. Isto os perte reduzr o problea (10)-(18) de zar o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas de todos os destos, ao clássco Strp Pacg Proble (co cosderações adcoas de establdade do carregaeto), cujo objetvo é zar o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas dspoíves, depedeteete de elas pertecere à dferetes destos. Note que esta abordage, ao cotráro da ateror, ebora aprovete os espaços vazos evetualete crados, dfculta o auseo das caxas a desova dos destos. Co base sso, e redefdo-se a varável de decsão e (10) splesete coo para o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas dspoíves, é possível reescrever o odelo (10)-(18) de odo a represetar o problea de carregaeto de caxas detro de u cahão, cosderado apeas a establdade do carregaeto: (35) Sujeto a: xpqr 1 s X, t Y, u Z (36) 1 { px sl 1 ps}{ qy tw 1 qt}{ rz uh 1 ru} xpqr b 1,..., px qy rz { j1,..., rhj 0}{ p X j pl j 1 p pl 1}{ q Y j qwj 1 q qw 1} W x l w x [2] [2] j j jp q ( rhj ) pqr (37) [2] co j ( p l, p l j ) ax( p, p ) W [2] (, ) ax(, ) j q w q wj q q ( p l ) x pqr 1,..., /{0} 1,..., (38) (39) 0 (40) x {0,1} pqr 1,..., (41) e que X, Y, Z, X, Y e a fução objetvo vsa zar o copreto Z são defdos cofore (4)-(9). Note o odelo (35)-(41) que ecessáro para epacotar todas as caxas dspoíves, que o ídce desaparece de todas as restrções, be coo tabé desaparece as restrções (15) e (16) do odelo (10)-(18). A Fgura 5 lustra ua possível dsposção

13 13 utlzado este procedeto. Observe que as caxas dos dferetes destos pode estar sturadas. Fgura 5. Exeplo de epacotaeto das caxas a abordage co. 4.3 Caso e que 0 Esta stuação represeta u caso teredáro etre as duas abordages aterores, e que o operador é pertdo adetrar parcalete para alé da frotera atural etre as caxas dos dferetes destos, sto é, o operador pode aprovetar algus espaços vazos evetualete crados pelas caxas de destos aterores para epacotar as caxas do próxo desto. Note que esta abordage vsa aprovetar os espaços vazos evetualete crados se prejudcar o auseo. Defdo-se a varável de decsão para o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas dos destos 1,2,...,, cofore o odelo (10)-(18), e usado-se os cojutos X, Y, Z, X, Y e procedeto teratvo e : Z defdos cofore (4)-(9), é possível escrever o segute Faça 1 e resolva a forulação (42)-(49): (42) Sujeto a: x 1 pqr,, 1 1{ px sl 1 ps}{ qy tw 1 qt}{ rz uh 1 ru} xpqr b 1,..., px qy rz s X t Y u Z (43) (44)

14 14 { j1,..., rhj 0} 1{ p X j pl j 1 p pl 1}{ q Y j qwj 1 q qw 1} [2] co j ( p l, p l j ) ax( p, p ) W [2] (, ) ax(, ) j q w q wj q q pqr ( p l ) x W x l w x [2] [2] j j j p q ( rhj ) pqr 1,..., /{0} 1,..., 1 p xpqr (1 xpqr ) 1,..., M (45) (46) (47) 0 (48) x {0,1} pqr 1,..., (49) Fxe as varáves x * pqr 1 e * referetes à solução do odelo (42)-(49) para o desto. Faça 1 e resolva o odelo aca e, co as varáves x pqr e para 1,2,..., 1. Repta este procedeto para todos os destos. Retore o últo Se * * obtdo., etão a solução é factível. aca fxadas, Note que o ídce está fxo e cada teração e, portato, que a fução objetvo (42) vsa zar o copreto ecessáro para epacotar todas as caxas dos destos 1,2,...,, e que as soluções do odelo (42)-(49) as terações aterores 1,2,..., 1 estão fxadas e x * pqr 1 e e * a teração. Note tabé que as restrções (16) do odelo (10)-(18) ão aparece o odelo (42)-(49), e fução do procedeto ser teratvo (portato, ). Etretato, ote que este procedeto é dferete do procedeto do caso e que 0, porque cada odelo (42)-(49) fxo e depede dos aterores e 1, 2,...,1. Cové observar que este procedeto realza ua otzação íope para as caxas de cada desto, dado que as caxas de u desto, ua vez fxadas a teração, ão pode as ser rearrajadas, o que pode plcar a perda da solução óta global, ao cotráro de quado se cosdera de ua só vez a otzação de todas as caxas de todos os destos. A Fgura 6 lustra ua possível dsposção, utlzado este procedeto co 3, de caxas de três destos dferetes. Observe que o aspecto crado pelo padrão de epacotaeto lebra ua versão trdesoal do jogo Tetrs (Tetrs, 2009),

15 15 desevolvdo os aos 80, e cujo objetvo é ecaxar peças bdesoas (polós) de dversos foratos que desce do topo de ua tela de coputador. Quado ua lha a tela é copletada, esta desaparece e potos extras são dados ao jogador. O jogo tera quado as lhas copletas se eplha até o topo da tela. De fato, a grade desvatage do procedeto descrto esta seção, e relação ao odelo apresetado a seção 3, é que o prero descohece quas são as próxas caxas que deve ser carregadas detro do cahão, e, portato, assue ua postura gaacosa (gulosa) e relação às caxas do desto atual. Para u estudo relacoado, veja, por exeplo, Azevedo et al. (2009). Fgura 6. Exeplo de epacotaeto das caxas a abordage co 3.

16 16 Coo observado aterorete, este procedeto realza ua otzação íope para as caxas de cada desto. No etato, podeos auxlar este procedeto a crar espaços vazos as acessíves, para que caxas de destos posterores seja al colocadas, respetado-se o lte dado pelo parâetro, relatvo ao alcace do operador. A déa cosste e adcoar u tero de desepate à fução objetvo (42), co u valor fracoáro etre 0 e 1, para que o padrão de epacotaeto obtdo prvlege carregaetos co as caxas de u desto epurradas o as para o fudo possível do cahão. Co sso, caxas de destos posterores tê as chaces de sere arrajadas, se prejudcar o auseo. Note, o etato, que esta fução objetvo odfcada (50) ão é as tegral. 1 1 px qy rz 1 1 px qy rz p x p 1 pqr (50) A Fgura 7 lustra ua possível dsposção, utlzado este procedeto co 3 e a fução de desepate, de caxas de três destos dferetes.

17 17 Fgura 7. Exeplo de epacotaeto das caxas a abordage co 3 e a fução de desepate. 5. Resultados Coputacoas Os procedetos apresetados a seção 4 fora pleetados a lguage de odelage GAMS (versão 22.7) e o solver CPEX 11.0 (co parâetros default) fo utlzado para resolvê-los. Todos os testes fora realzados e u crocoputador PC Petu D (3,2 GHz, 2,0 GB). A título de lustração, os odelos fora testados co oto exeplos gerados a partr de dados aleatóros, que fora dvddos de acordo co as segutes característcas:

18 18 Quatro quatdades dferetes de tpos de caxas: 1 (este caso, as caxas pode grar e toro de todos os seus exos), 5, 10 e 20 (estes três últos casos, as caxas tê oretação fxa). Duas aeras dferetes de gerar as desões das caxas: (A, 1, 5, 10 e 20 ) desões das caxas varado etre 25% e 75% das desões do cotêer, ou seja, l [0,25, 0,75 ], w [0,25 W, 0,75 W] e h [0,25 H, 0,75 H] ; (B, 1, 5, 10 e 20 ) desões das caxas varado etre 10% e 50% das desões do cotêer, ou seja, l [0,10, 0,50 ], w [0,10 W, 0,50 W] e h [0,10 H, 0,50 H]. Para o caso de 1, que lustra o problea trdesoal de carregaeto de paletes do produtor, fo crada ua varável de decsão adcoal para cada possível oretação da caxa, totalzado ses varáves de decsão, e os odelos evolvdos co os procedetos fora odfcados apropradaete para cosderar estas ovas varáves. Ua aera alteratva de se tratar este caso sera cosderar cada ua das ses possíves rotações de ua caxa splesete coo ses caxas dferetes, sto é, 6, e ltar o úero áxo de caxas epacotadas destes ses tpos artfcas as restrções (30), (37) e (44) dos odelos. Por splcdade, e apeas para a geração das desões das caxas e das quatdades das esas os exeplos, cosderaos cahões co W H 10. No etato, as desões do cahão cosderadas os testes coputacoas fora 15 e W H 10. A quatdade b de caxas do tpo fo defda coo b ( W H) ( l w h ) para os exeplos co 1, e uforeete sorteada o tervalo [1, l W w H h ] para os exeplos co 5,10 e 20, 1,...,. Por sua vez, para a obteção do úero b de caxas do tpo para cada desto, o úero de caxas presetes a solução óta obtda ao se resolver o odelo base apresetado e Juquera et al. (2009) fo uforeete sorteado etre os destos, tal que b 1 b, 1,..., e 1,...,. O valor do parâetro de establdade vertcal fo defdo coo sedo 1, sto é, as faces ferores de todas as caxas deve estar 100% suportadas pelas faces superores de ua ou as caxas colocadas edataete abaxo delas, ou pelo pso do cahão. Note que, cofore dscutdo e Juquera et al. (2009), a codção 1 as restrções (13), (31), (38) e (45) pode plcar a perda de soluções ótas ao se utlzar cobações côcas. Os valores do parâetro de alcace do operador fora arbtraraete escolhdos coo sedo 0, 1, 3, 5 e. Note que, os casos de 0, de 1, 3 e 5 e de abordages utlzadas são as descrtas as seções 4.1, 4.2 e 4.3., respectvaete, as

19 19 A Tabela 1 apreseta, para cada exeplo, o úero total de caxas que deve ser carregadas para todos os destos. Alé dsso, e para lustrar o taaho dos odelos gerados os grupos A e B, esta tabela tabé apreseta os taahos dos cojutos X, Y e Z para cada u dos oto exeplos, alé dos úeros de varáves e restrções dos odelos (28)-(34), (42)-(49) e (35)-(41) reportados pelo CPEX após o pré-processaeto para cada ua das abordages apresetadas a seção 4. Cové ressaltar que, o caso das abordages co 0 e 1,3 e 5, os úeros de varáves e restrções apresetados esta tabela se refere aos valores áxos obtdos etre os destos. Note tabé que, à edda que as cardaldades dos cojutos X, Y e Z cresce, os úeros de varáves e restrções tabé cresce, e as dfculdades para solução dos odelos aueta sgfcatvaete. Tabela 1. Núero de caxas e de padrões oras dos exeplos A e B. N o N o Padrões Noras N o Var. N o Res. Cx. X Y Z 0 1,3 e 5 0 1,3 e 5 A A A A B B B B Nos experetos a segur, o tepo coputacoal para resolver cada odelo fo arbtraraete ltado e 1 hora (3600 segudos) e os gaps de otaldade fora calculados coo: gap elhor ltate obtdo - elhor valor obtdo 100% elhor ltate obtdo Ass, quatro stuações são possíves de ocorrer quato à qualdade da solução obtda pelo aplcatvo GAMS/CPEX: () solução óta, co gap gual a zero; () solução factível (tera), co gap aor que zero e co o lte de tepo exceddo pelo CPEX; () se solução factível, se gap e co o lte de tepo exceddo pelo CPEX; (v) sufcêca de eóra do coputador para coplar o odelo pelo GAMS, se gap e se foração relevate sobre o tepo. Estas duas últas stuações estão represetadas as tabelas pelo síbolo. As tabelas 2 a 9 apreseta, para cada u dos oto exeplos, o gap de otaldade (e %) obtdo, e o tepo coputacoal (e segudos) utlzado. Para os odelos e (28)-(34) co 0, estes valores correspode à soa dos valores ecessáros para resolver os odelos para todos os destos. ebre-se que estes odelos são resolvdos

20 20 depedeteete para cada desto (veja seção 4.1). E seguda, são apresetados os copretos íos * ecessáros para epacotar as caxas de cada desto. Note que para os odelos e (42)-(49) co 1, 3 e 5, estes valores estão a fora agregada, sto é, são os copretos íos * ecessáros para epacotar todas as caxas do desto, as as caxas dos destos precedetes 1,2,..., 1. A título de coparação tabé apresetaos os resultados para os odelos e (35)-(41) co caso o carregaeto ão leva e cota os dferetes destos das caxas., lebrado que este Note que as soluções de todos os odelos fora coprovadaete ótas, co exceção do exeplo B 20 co. Note tabé que, coo esperado, o copreto total ecessáro para epacotar as caxas de todos os destos du à edda que aueta. Alé dsso, ote o quato a fução objetvo (50) (co o tero de desepate), quado utlzada co a abordage co 0, e geral ajuda a dur o copreto total ecessáro para epacotar todas as caxas de todos os destos. Tabela 2. Resultados obtdos co o exeplo A 1. Abordage gap Tepo * * * * (%) (s) ,000 3, co (42) 0,000 3, co (50) 0,000 12, co (42) 0,000 4, co (50) 0,000 9, co (42) 0,000 5, co (50) 0,000 12, ,000 1,73 10 Tabela 3. Resultados obtdos co o exeplo A 5. Abordage gap Tepo * * * * (%) (s) , , co (42) 0, , co (50) 0, , co (42) 0, , co (50) 0, , co (42) 0, , co (50) 0, , , ,16 10 Tabela 4. Resultados obtdos co o exeplo A 10. gap Tepo * * * * Abordage (%) (s) ,000 14, Co (42) 0,000 7, Co (50) 0,000 17, Co (42) 0,000 10,

21 21 Co (50) 0,000 19, Co (42) 0,000 8, Co (50) 0,000 18, ,000 2,77 10 Tabela 5. Resultados obtdos co o exeplo A 20. gap Tepo * * * * Abordage (%) (s) ,000 63, Co (42) 0,000 18, Co (50) 0,000 37, Co (42) 0,000 15, Co (50) 0,000 31, Co (42) 0,000 15, Co (50) 0,000 32, ,000 43,53 10 Tabela 6. Resultados obtdos co o exeplo B 1. gap Tepo * * * * Abordage (%) (s) , , Co (42) 0, , Co (50) 0, , Co (42) 0, , Co (50) 0, , Co (42) 0, , Co (50) 0, , , ,45 10 Tabela 7. Resultados obtdos co o exeplo B 5. gap Tepo * * * * Abordage (%) (s) , , Co (42) 0,000 66, Co (50) 0, , Co (42) 0,000 86, Co (50) 0, , Co (42) 0,000 75, Co (50) 0, , , ,00 10 Tabela 8. Resultados obtdos co o exeplo B 10. Abordage gap Tepo * * * * (%) (s) ,000 36, Co (42) 0,000 47, co (50) 0,000 44, co (42) 0,000 46, co (50) 0,000 45, co (42) 0,000 48, co (50) 0,000 45, ,000 43,09 10

22 22 Tabela 9. Resultados obtdos co o exeplo B 20. Abordage gap Tepo * * * * (%) (s) , , co (42) 0, , co (50) 0, , co (42) 0, , co (50) 0, , co (42) 0, , co (50) 0, , , ,59 10 Tabé realzaos testes coputacoas co estes oto exeplos e a forulação orgal (10)-(18) para valores de otaldade para para (co 0, 3 e (co * 0, 3 e. Apeas o exeplo A 10 fo resolvdo a * 10,10 e 12, respectvaete), e apeas o exeplo B ), equato os deas exeplos excedera o lte de tepo de 1 hora, ecotrado soluções teras co gaps uto altos, ou eso e ecotrado soluções teras. Isso deve-se ao fato de as varáves e restrções obtdas co esta forulação sere depedetes etre os destos. Por exeplo, os úeros de varáves e restrções reportados pelo CPEX após o pré-processaeto do odelo (10)-(18) para o exeplo A 10 fora, respectvaete, 2014 e 5263, sto é, valores aores quado coparados co os obtdos co as abordages para este eso exeplo (veja Tabela 1). A título de lustração, as Fguras 8 e 9 apreseta os padrões de epacotaeto para o exeplo A 10 obtdos co a forulação (10)-(18) co 0, 3 e, e co as três abordages apresetadas a seção 4 co 0, 3 (se e co a fução de desepate) e, respectvaete. Note que, ao cotráro das abordages das seções 4.1 e 4.2, a abordage da seção 4.3 co 3 (eso co a fução de desepate) ão coseguu obter a solução óta ecotrada pela forulação (10)-(18) co eso.

23 23 Fgura 8. Forulação (10)-(18) co 0,3 e.

24 24 Fgura 9. Abordages co 0,3 (se e co fução de desepate) e. 6. Coclusões Neste trabalho apresetaos u odelo de prograação lear tera sta 0-1 e abordages baseadas este odelo para tratar probleas de carregaeto de caxas retagulares detro de u cotêer ou cahão, cosderado restrções prátcas de últplos destos da carga, alé da establdade do carregaeto. O odelo e as abordages pode ser faclete esteddos para cosderar outras restrções prátcas, coo eplhaeto e fragldade das caxas e lte de peso do cotêer. Assuos que o rotero que cada cahão deve percorrer já é cohecdo a pror e que a carga de todos os destos cabe detro do cahão. O objetvo, portato, é deterar o elhor padrão de epacotaeto, cosderado a orde e que as caxas são descarregadas (ou carregadas) do cahão, se que para sso seja ecessáro u auseo adcoal a carga. Testes coputacoas co as abordages propostas fora realzados utlzado o aplcatvo GAMS/CPEX e exeplos gerados a partr de dados aleatóros. Os resultados ostrara que o odelo e as abordages são coeretes e represeta adequadaete as stuações tratadas, ebora esteja ltados a resolver otaete apeas probleas de taaho be oderado. Acredtaos que o odelo e as abordages pode ser útes para otvar pesqusas futuras para tratar probleas aores e as realstas a prátca, ass coo para tratar o caso cobado deste problea co o problea de roteaeto e prograação de veículos.

25 25 Agradecetos: Esta pesqusa cotou co apoo da FAPESP (processos 06/ , 07/ e 07/ ) e do CNPq (processo /95-7). Referêcas Bblográfcas Araujo, O.C.B. (2006). Probleas de corte e epacotaeto trdesoal e tegração co roteaeto de veículos p. Tese (Doutorado e Egehara Elétrca) - Faculdade de Egehara Elétrca e de Coputação, Uversdade Estadual de Capas, Capas - SP. Araujo, O.C.B. & Aretao, V.A. (2007). A ult-start rado costructve heurstc for the cotaer loadg proble. Pesqusa Operacoal, 27 (2), Azevedo, B..P., Hoaa, P.H., Myazawa, F.K., Xaver, E.C. (2009). A brach-ad-cut approach for the vehcle routg proble wth two-desoal loadg costrats. I: XI Spóso Braslero de Pesqusa Operacoal. 1-12, Porto Seguro. Bschoff, E.E. & Marrott, M.D. (1990) A coparatve evaluato of heurstcs for cotaer loadg. Europea Joural of Operatoal Research, 44, Bschoff, E.E. & Ratclff, M.S.W. (1995) Issues the developet of approaches to cotaer loadg. Oega, 23 (4), Capos, D.S. (2008) Itegração dos probleas de carregaeto e roteaeto de veículos co jaela de tepo e frota heterogêea p. Tese (Doutorado e Egehara de Produção) - Departaeto de Egehara de Produção, Uversdade de São Paulo, São Paulo - SP. Ceclo, F.O. & Morabto, R. (2004). Refaetos a heurístca de George e Robso para o problea de carregaeto de caxas detro de cotêeres. Trasportes, 11 (2), Chrstese, S.G. & Rousøe, D.M. (2009). Cotaer loadg wth ult-drop costrats. Techcal Report, Techcal Uversty of Dear, Kgs. ygby (a aparecer o Iteratoal Trasactos Operatoal Research). Chrstofdes, N. & Whtloc, C. (1977) A algorth for two-desoal cuttg probles. Operatos Research, 25 (1), Dowslad, W.B. (1991) Three-desoal pacg - soluto approaches ad heurstc developet. Iteratoal Joural of Producto Research, 29 (8), Eley, M. (2002) Solvg cotaer loadg probles by bloc arrageet. Europea Joural of Operatoal Research, 141 (2), Gedreau, M., Ior, M., aporte, G. & Martello, S. (2006) A tabu search algorth for a routg ad cotaer loadg proble. Trasportato Scece, 40 (3), George, J.A. & Robso, D.F. (1980) A heurstc for pacg boxes to a cotaer. Coputers ad Operatos Research, 7, Haessler, R.W. & Talbot, F.B. (1990) oad plag for shpets of low desty products. Europea Joural of Operatoal Research, 44, Ha, C.P., Kott, K. & Egbelu, P.J. (1989) A heurstc approach to the three-desoal cargo-loadg proble. Iteratoal Joural of Producto Research, 27 (5),

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