Professor Mauricio Lutz ESTATÍSTICA BÁSICA

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1 Proessor Maurco Lutz ESTATÍSTICA BÁSICA. Coceto Exstem mutas deções propostas por autores, objetvado estabelecer com clareza o que é estatístca, como por exemplo: Þ A Estatístca é um cojuto de métodos destados à coleta, orgazação, resumo, apresetação e aálse de dados de observação, bem como da tomada de decsões razoáves baseadas em tas aálses. Þ A Estatístca é um cojuto de processos ou téccas empregadas a vestgação e aálse de eômeos coletvos ou de massa. Þ A Estatístca é a matemátca aplcada aos dados de observação.. População (N) Cojuto de todos os elemetos relatvos a um determado eômeo que possuem pelo meos uma característca em comum, a população é o cojuto Uverso, podedo ser ta ou ta. Þ Fta - apreseta um úmero lmtado de observações, que é passível de cotagem. Þ Ita - apreseta um úmero lmtado de observações que é mpossível de cotar e geralmete esta assocada a processos. Exemplo: O govero ecomeda ao sttuto Braslero de Geograa e Estatístca (IBGE) uma pesqusa para cohecer o saláro médo do braslero. O uverso estatístco ou população estatístca é, este caso, o cojuto de todos os assalarados brasleros. 3. Amostra () É um subcojuto da população e deverá ser cosderada ta, a amostra deve ser selecoada segudo certas regras e deve ser represetatva, de modo que ela represete todas as característcas da população como se osse uma otograa desta. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

2 Proessor Maurco Lutz Em termos de crtéros de coleta a amostra pode ser classcada, em termos mas amplos como: Þ Amostra probablístca ou aleatóra: cada elemeto da população tem a mesma probabldade de ser cluído a amostra. Þ Amostra ão-probablístca: cada elemeto da amostra é escolhdo tecoalmete. Exemplo: Um partdo polítco quer cohecer a tedêca dos eletorados quato a preerêca etre dos caddatos a presdêca do Brasl, uma determada cdade. Para sso, ecomeda uma pesqusa a uma empresa especalzada. A população estatístca, esse caso, é o cojuto de todos os eletores brasleros, mas como quero em uma cdade especíca etão temos uma amostra. 4. Ceso É a coleta exaustva de ormações das "N" udades populacoas. 5. Expermeto Cojuto de procedmetos reprodutíves que vsam a obteção de ormação sobre uma dada realdade, que podem ser determístco ou aleatóro. 5. Expermeto determístco mesmo. É aquele que garatdas as mesmas codções cas o resultado será o Exemplos: Observar a temperatura de ebulção da água em codções ormas de temperatura e pressão, ou soltar sempre um objeto de certa altura e calcular a velocdade com que chega ao solo. 5. Expermeto aleatóro Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55) É aquele que mesmo garatdo as codções cas é mpossível prever com certeza o resultado do mesmo.

3 Proessor Maurco Lutz 3 Exemplos: O laçameto de uma moeda ou um dado, ou ada o comportameto de um ídce acero como o Ibovespa (Bolsa de Valores de São Paulo). 6. Varável É aqulo que se deseja observar para se trar algum tpo de coclusão, geralmete as varáves para estudo são selecoadas por processos de amostragem. Os símbolos utlzados para represetar as varáves são as letras maúsculas do alabeto, tas como, Y, Z,... que pode assumr qualquer valor de um cojuto de dados. As varáves podem ser classcadas em qualtatvas (ou atrbutos) e quattatvas. 6. Varável Qualtatva É o tpo de varável que ão pode ser medda umercamete. Podem ser classcadas em: A Þ Ordal ou por Postos: os elemetos têm relação de ordem, de coceto ou de colocação etre eles. Exemplos: De coceto: ótmo, bom, regular De colocação: prmero, segudo, tercero B Þ Nomal: os elemetos são detcados por um ome. Exemplo: Cor dos olhos: castaho, preto, azul e verde 6. Varável Quattatva Pode ser medda umercamete. Classcam-se em: A Þ Dscreta: o valor umérco muda em saltos ou passos, ão admtdo valores termedáros etre eles. Exemplos: Número de carros, úmero de lhos. B Þ Cotíua: admte tos valores etre elas (detro de um tervalo). Exemplo: altura. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

4 Proessor Maurco Lutz 4 Observações: Þ Todas as vaáves assocadas a cotagem são dscretas. ÞTodas as vaáves assocadas à meddas que depedem da precsão de um strumeto são cotíuas. Þ A varável dade, apesar de geralmete ser represetada por valores teros, é uma varável cotíua pos está relacoada com o tempo, que é varável cotíua. Þ Quata em dhero também é cosderada uma varável cotíua. 7 Normas para apresetação tabular de dados Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55) As Normas para apresetação Tabular da Estatístca Braslera é dada pela Resolução º 886, de 6 de outubro de 966, ode será apresetado os potos prcpas. complemetares. Uma tabela estatístca compõe-se de elemetos essecas e elemetos Os elemetos essecas de uma tabela estatístca são: título, corpo, cabeçalho e colua dcadora. Ttulo é a dcação que precede a tabela e que cotém a desgação do ato observado, o local e a época em que o regstrado. Corpo é o cojuto de coluas e lhas que cotém respectvamete, em ordem horzotal e vertcal, as ormações sobre o ato observado. Casa é o cruzameto de uma colua com uma lha. As casas ão deverão car em braco, apresetado covecoal. coluas. sempre um úmero ou um sal Cabeçalho é a parte superor da tabela que especca o coteúdo das Colua dcadora é a parte da tabela que especca o coteúdo das lhas. Uma tabela pode ter mas de uma colua dcadora. Os elemetos complemetares de uma tabela estatístca são: ote, otas e chamadas, e se stuam de preerêca o rodapé da tabela. Fote é a dcação da etdade resposável pelo orecmeto dos dados ou pela sua elaboração.

5 Proessor Maurco Lutz 5 Notas são ormações de atureza geral, destadas a cocetuar ou esclarecer o coteúdo das tabelas, ou a dcar a metodologa adotada a elaboração dos dados. Chamadas são ormações de atureza especca sobre determadas partes da tabela, destadas a cocetuar ou esclarecer dados. As chamadas são dcadas o corpo da tabela em algarsmos arábcos, etre parêteses, à esquerda as casas e à dreta a colua dcadora. A umeração das chamadas da tabela será sucessva, de cma para baxo e da esquerda para a dreta. A dstrbução das chamadas o rodapé a tabela obedecerá à ordem de sua sucessão a tabela, separado-se uma das outras por poto (.). As chamadas de uma tabela que ocupe mas de uma pága devem gurar o rodapé da tabela da ultma pága, de acordo com a sucessão da mesma. 7. Sas covecoas (traço), quado o dado or ulo;... (três potos), quado ão se dspuser do dado; (letra x), quado o dado or omtdo a m de evtar a dvdualzação das ormações; 0 (zero), quado o valor é muto pequeo para ser expresso pela udade utlzada;? (poto de terrogação). quado temos dúvda quato à exatdão de determado valor; 7. Apresetação das tabelas As tabelas, excluídos os títulos, serão delmtadas, o alto e em baxo, por traços horzotas grossos, preerecalmete. Recomeda-se ão delmtar as tabelas, à dreta e à esquerda, por trações vertcas. Será acultatvo o emprego de traços vertcas para separar as coluas o corpo da tabela. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

6 Proessor Maurco Lutz 6 Quado uma tabela, por expressa altura, tver de ocupar mas de uma pága, ão será delmtada a parte eror, repetdo-se o cabeçalho a pága segute. Neste caso, deve-se usar, o alto do cabeçalho ou detro da colua dcadora, a desgação cotíua ou coclusão, coorme o caso. Exemplo: Pessoal docete lotado a IFF por categora ucoal e ormação acadêmca 999 Formação Acadêmca Categora Fucoal Substtutos Eetvos Estagáros Bolsstas Total Graduação Especalzação Apereçoameto Mestrado Doutorado () () 50 (3) Total Fote: Pró-Retora de Recursos Humaos () Com e sem curso de mestrado () Protegdo pela Le º (3) Lvres docetes Após a coleta dos dados e sua apuração ecessta-se de métodos de apresetação dos dados. Para tato um dos strumetos é a tabela. A losoa da tabulação obedece ao segute crtéro: Máxmo de esclarecmeto (ormação) um mímo de espaço. Uma tabela pode ser decomposta em três partes: A Þ Título: é uma apresetação do que a tabela está tetado represetar. Deve coter ormações sucetes para respoder às segutes questões: ) O que? (reerete ao ato); ) Ode? (reerete ao lugar); ) Quado? (reerete ao tempo). Exemplos: Acdetes com morte a RS 509 em 004 O que? Acdetes com morte; Ode? RS 509; Quado? 004. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

7 Proessor Maurco Lutz 7 Peso médo dos aluos do Eso Médo do IFF o ao de 008 O que? Peso médo dos aluos do Eso Médo; Ode? IFF; Quado? 008 B Þ Corpo: é composto de um cojuto de coluas e subcoluas ode são postos os dados coletados. Exemplo: Estmatva de crescmeto populacoal para a cdade de Porto Alegre Aos População (em 000 hab.) Fote: Secretara de habtação e trasporte de POA C Þ Rodapé: colocam-se todas as legedas que vsam esclarecer a terpretação da tabela. Geralmete também é o rodapé que se coloca a ote dos dados. Exemplo: Número de aluos da rede públca de Alegrete em 005 Masculo Femo Total Meores de 5 aos Maores de 5 aos Total Fote: Coordeadora Regoal de Eso 8. Dstrbução de reqüêcas É o tpo de sére estatístca a qual permaece costate o ato, o local e a época. Os dados são colocados em classes preestabelecdas, regstrado a reqüêca de ocorrêca. Uma dstrbução de reqüêca pode ser classcada em dscreta e tervalar. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

8 Proessor Maurco Lutz 8 8. Dstrbução de reqüêca dscreta ou potual É uma sére de dados agrupados a qual o úmero de observações está relacoado com um poto real. Notas de Aluos a Dscpla de Matemátca o º semestre de 008 Notas Quatdade Total Fote: Secretara escolar do IFF. 8. Dstrbução de reqüêcas tervalar Na dstrbução de reqüêca, os tervalos parcas deverão ser apresetados de maera a evtar dúvdas quato à classe a que permaece determado elemeto. O tpo de tervalo mas usado é do tpo echado a esquerda e aberto a dreta, represetado pelo símbolo:. Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Geograa da UFSM Altura (cm) Méda Quatdade Total 60 Fote: Curso de Geograa 8.3 Elemetos de uma dstrbução de reqüêcas 8.3. Dados brutos São os valores orgas coorme eles oram coletados, ão estado ada protos para a aálse, pos ão estão umercamete orgazados ou tabelados. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

9 Proessor Maurco Lutz Rol É uma lsta, ode as observações são dspostas em uma determada ordem, seja ele crescete ou decrescete. O objetvo da ordeação é torar possível a vsualzação das varáves ocorrdas, uma vez que os valores extremos são percebdos de medato, e também acltar a costrução da dstrbução de reqüêcas Classe ou classe de reqüêca (k) É cada subtervalo (lha) a qual dvdmos o eômeo. Para determar o úmero de classes a partr dos dados ão tabelados, podemos usar a Fórmula de Sturges, mas deve-se saber que exstem outros métodos de determação do úmero de classes em uma tabela de reqüêca. O que se deseja azer é apeas comprmr um cojuto de dados em uma tabela, para acltar a vsualzação e terpretação dos mesmos. ( k) + 3.3log, ode é o úmero de ormações. Além da Regra de Sturges, exstem outras órmulas empírcas para resolver o problema para determação do úmero de classes [(k)], há quem prera ( Lmte de Classe ( l ou L ) Uma classe é um subcojuto do Rol lmtada erormete por um úmero chamado lmte da classe (represetado por l ) e superormete por um outro úmero chamado lmte superor da classe (represetado por L ) Ampltude total (H) É a dereça etre o lmte superor da últma classe e o lmte eror da prmera classe, ou a dereça etre o últmo e o prmero elemeto de um cojuto de dados postos em ordem crescete. H L - l Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

10 Proessor Maurco Lutz Ampltude do tervalo de classe (h) É a dereça etre dos lmtes erores ou superores cosecutvos, caso já exsta a dstrbução de reqüêca. h l - l- ou h L - L- Para a determação da ampltude das classes de uma determada dstrbução de reqüêcas a ser costruída podemos utlzar a segute equação: H h k A ampltude do tervalo de classe deve ser costate em toda a dstrbução de reqüêca tervalar Poto médo de classe ( ) É a méda artmétca smples do lmte eror com o lmte superor de uma mesma classe. l + L Freqüêca absoluta ( ) É a quatdade de valores em cada classe Freqüêca acumulada ou reqüêca absoluta acumulada (F ) É o somatóro da reqüêca absoluta da -ésma classe com a reqüêca absoluta das classes aterores, ou a reqüêca acumulada da classe ateror. F Freqüêca Relatva (r ) É o quocete etre a reqüêca absoluta da -ésma classe com o somatóro das reqüêcas. r Obs.: r A soma da colua de reqüêcas relatvas é sempre gual a, que correspode a 00% e pode ser lda como percetual. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

11 Proessor Maurco Lutz 8.3. Freqüêca Relatva Acumulada (Fr ) É o somatóro da reqüêca relatva da -ésma classe com as reqüêcas relatvas das classes aterores. Fr r Método prátco para costrução de uma dstrbução de reqüêcas com classe: º - Orgaze os dados brutos em um ROL; º - Calcule a ampltude; 3º - Calcule o úmero de classes através da "Regra de Sturges". Observação: Qualquer regra para determação do º de classes da tabela ão os levam a uma decsão al; esta va depeder, a realdade de um julgameto pessoal, que deve estar lgado à atureza dos dados. Exemplo: São observados as dades de 0 dvíduos partcpate de um grupo de estudos de ormátca, obtedo os segutes dados: 45, 4, 4, 4, 4 43, 44, 4,50, 46, 50, 46, 60, 54, 5, 58, 57, 58, 60, 5 Determe a dstrbução de reqüêca. Prmeramete pegamos os dados e colocamos eles em Rol crescete. 4, 4, 4, 4, 4 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 5, 5, 54, 57, 58, 58, 60, 60 Quado o tamaho da amostra é elevado é mas racoal eetuar o agrupameto dos valores em város tervalos de classe, para tato temos que calcular a ampltude, úmero de classes e tervalo da classe. Ampltude total: L - l H Número de classes: ( k) + 3.3log + 3.3log 0 5,3@ 6 H 9 Itervalo de classe: h 4 k 6 Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

12 Proessor Maurco Lutz Idades dos aluos do grupo de estudo de ormátca Classes Freqüêcas ( ) F r (%) Fr (%) ão é ecessáro Total 0 00 Fote: Secretara escolar Observe que quado trabalhado com uma dstrbução de reqüêca com tervalo perdemos um pouco a precsão, pos ão sabemos, por exemplo, quato aluos tem a dade de 45 aos, só sabemos que tem 3 aluos com dades etre 45 e 49 aos. Exercícos )Dados o rol de 50 otas (dadas em crédtos), agrupar os elemetos em classe e elaborar uma tabela de dstrbução de reqüêcas (reqüêca, reqüêca acumulada, reqüêca relatva e reqüêca relatva acumulada) ) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se: a) Costrur a dstrbução de reqüêca; b) Determar as reqüêcas relatvas; c) determar as reqüêcas acumuladas; d) Qual é a ampltude amostral; e) Qual a percetagem de elemetos maores que 5. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

13 Proessor Maurco Lutz 3 3) Cosdere os dados obtdos pelas meddas das alturas de 00 dvíduos (dadas em cm): Pede-se determar: a) A ampltude amostral; b) O úmero de classes; c) A ampltude das classes; d) Os lmtes das classes; e) As reqüêcas absolutas das classes; ) As reqüêcas relatvas; g) Os potos médos das classes; h) A reqüêca acumulada. 4) As otas de 3 estudates de uma classe estão descrtas a segur: Determar: a) O rol; 6,0 0,0,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0,0 5,0 5,5 5,0 7,0,5 5,0 5,0 4,0 4,5 4,0,0 5,5 3,5,5 4,5 b) As dstrbuções de reqüêcas (varável cotíua). c) A maor e a meor otas; d) A ampltude total; e) Qual a porcetagem dos aluos que tveram ota meor do que 4. ) Qual o lmte superor da seguda classe; g) Qual o poto médo da quarta classe; h) Qual o poto médo da tercera classe. 5) Os pesos de 40 aluos estão relacoados a segur: Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

14 Proessor Maurco Lutz Costrur a tabela de dstrbução de reqüêca, dado log40,6. 6) Completar os dados que altam: Valores Freqüêcas ( ) F r (%) 4 0, , , ,4 8 7) Cohecdas as otas de 50 aluos: Obteha a dstrbução de reqüêca, tedo 30 para lmte eror da prmera classe e 0 para tervalo de classe. 8) Os resultados do laçameto de um dado 50 vezes oram os segutes: Forme uma dstrbução de reqüêca sem tervalos de classe Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

15 Proessor Maurco Lutz 5 9) A tabela abaxo apreseta uma dstrbução de reqüêca das áreas de 400 lotes: Áreas (m ) Nº de lotes Com reerêca a essa tabela, determe: a) A ampltude total; b) O lmte superor da quta classe; c) O lmte eror da otava classe; d) O poto médo da sétma classe; e) A ampltude do tervalo da seguda classe; ) A reqüêca da quarta classe; g) A reqüêca relatva da sexta classe; h) A reqüêca acumulada da quta classe; ) O úmero de lotes cuja área ão atge 700m ; j) O úmero de lotes cuja área atge e ultrapassa 800m ; k) A percetagem dos lotes cuja área ão atge 600m ; l) A percetagem dos lotes cuja área seja maor ou gual a 900m ; m) A percetagem dos lotes cuja área é de 500m, o mímo, mas eror a 000m. ) A classe do 7º lote; o) Até que classe estão cluídos 60% dos lotes. 0) A dstrbução abaxo dca o úmero de acdetes ocorrdos com 70 motorstas de uma empresa de ôbus: Nº de acdetes Nº de motorstas Determe: a) O úmero de motorstas que ão soreram ehum acdete; b) O úmero de motorstas que soreram pelo meos 4 acdetes; c) O úmero de motorstas que soreram meos de 3 acdetes; d) O úmero de motorstas que soreram o mímo 3 e o máxmo 5 acdetes; e) A percetagem dos motorstas que soreram o máxmo acdetes. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

16 Proessor Maurco Lutz 6 9 Meddas de posção São as estatístcas que represetam uma sére de dados oretado-os quato à posção da dstrbução em relação ao exo horzotal do gráco da curva de reqüêca. As meddas de posções mas mportates são as meddas de tedêca cetral ou promédas (verca-se uma tedêca dos dados observados a se agruparem em toro dos valores cetras). As meddas de tedêca cetral mas utlzadas são: méda artmétca, moda e medaa. As outras meddas de posção são as separatrzes, que eglobam, a própra medaa, os quarts e os percets. 9. Meda artmétca É a mas utlzada das meddas de tedêca cetral para descrever, resumdamete, um cojuto de dados. 9.. Méda para dados ão agrupados A méda artmétca é deda, para dados ão agrupados, ou seja, que ão vêem orgazados em uma tabela de reqüêca como sedo: ode, é o valor das varas observações e é o úmero de observações. Exemplo: Supoha os segutes dados: 5, 6, 0, 8, 7, A méda para esse exemplo é Méda para dados agrupados Quado desejamos cohecer a méda dos dados ão-agrupados em tabelas de reqüêcas, determamos à méda artmétca smples. Quado temos dados agrupados a méda é calculada como sedo:. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

17 Proessor Maurco Lutz 7 Exemplo: Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Agropecuára do IFF Campus Alegrete Altura (cm) Total Fote: Departameto de regstros acadêmcos (000) , 8 60 Se agora tvermos dados tabelados com valores poderados podemos calcular através de: ode W é o peso. Exemplo:. W, W Nota do Aluo A º semestre de IFF Notas ( ) Pesos(W ).W 7,8 5,6 8,3 3 4,9 9, 8,4 5,8 3 7,4 Total 0 76,3 Fote: Departameto de regstros acadêmcos. W 76,3 0 W 7,63 Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

18 Proessor Maurco Lutz Desvo em relação à méda É a dereça etre cada elemeto de um cojuto de valores e a méda artmétca, ou seja:. d - Exemplo: Supoha os segutes dados: 5, 6, 0, 8, 7, 6, sabemos que a meda é 7. Logo temos 6 desvos em relação a méda que são: d 5-7 ; d 6-7 ; d 0-7 3; d 8-7 ; d 7-7 0; d Propredades da méda artmétca ª propredade: A soma algébrca dos desvos em relação à méda é ula. No exemplo ateror : d + d + d + d + d + d ª propredade: Somado-se (ou subtrado-se) uma costate (c) a todos os valores de uma varável, a méda do cojuto ca aumetada (ou dmuída) dessa costate. Se o cojuto de dado {5, 6, 0, 8, 7, 6} somarmos a costate a cada um dos valores da varável temos: (5+ ) + (6+ ) + (0+ ) + (8+ ) + (7+ ) + (6+ ) y 6 y 9 y ª propredade: Multplcado-se (ou dvddo-se) todos os valores de uma varável por uma costate (c), a méda do cojuto ca multplcada (ou dvdda) por essa costate. Se os dados {5, 6, 0, 8, 7, 6} multplcarmos a costate 3 a cada um dos valores da varável temos: (5x3) + (6x3) + (0 x3) + (8x3) + (7x3) + (6x3) y 6 6 y 6 y x3 7x3 Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

19 Proessor Maurco Lutz 9 4ª propredade: A méda artmétca smples deverá estar etre o meor e o maor valor observado. l L 9. Meda geométrca É a raz -ésma do produto de todos eles,represetado por g, ou seja, é dado pela segute equação: g Õ Exemplo: Calcular a méda geométrca dos dados {, 4, 6, 64}. g 4 4 x4x6 x Se tvermos dados tabelados podemos calcular através de: g... Õ ( ) ( ).( ) ( ) Exemplo: Calcular a méda geométrca dos valores da tabela abaxo: 3 4 g , Total Meda harmôca Chama-se méda harmôca de úmeros x, x, x 3,...x, todos deretes de zero o umero h tal que: h Isto é, h é o verso da méda artmétca dos versos dos úmeros. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

20 Proessor Maurco Lutz 0 Exemplos: Calcule a méda harmôca de {, 4, 3}: h h x x x x x 36, Se tvermos dados tabelados podemos calcular através de: h Exemplo: Calcular a méda harmôca dos valores da tabela abaxo: h Obs.: Classes / 3 / / /6, /80,5 9 0 /00, Total 0 4,03 0 4,03 ÞA méda harmôca ão aceta valores guas a zero como dados de uma sére. 4,96 ÞA gualdade g h só ocorrerá quado todos os valores da sére orem guas. ÞDeve-se observar esta propredade etre as medas ³ g³ h Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

21 Proessor Maurco Lutz 9.4 Medaa A medaa ( Md ) de um cojuto de valores, dspostos segudo uma ordem (crescete ou decrescete), é o valor stuado de tal orma o cojuto que o separa em dos subcojutos de mesmo úmero de elemetos A medaa em dados ão tabelados Dada uma sére de valores, por exemplo: { 5,, 6, 3, 9, 5, 0 } De acordo com a deção de medaa, o prmero passo a ser dado é o da ordeação (crescete ou decrescete) dos valores: {, 5, 6, 9, 0, 3, 5 } O valor que dvde a sére acma em duas partes guas é gual a 9, logo a Md 9. Se a sére dada tver úmero par ou ímpar de termos, o valor medao será o termo de ordem dado pela órmula: P Md + Exemplos: a) Calcule a medaa da sére {, 3, 0, 0,, 4,,, 5 } Prmeramete temos que ordear a sere { 0, 0,,,,, 3, 4, 5 } , logo 5, ou seja, o 5º elemeto da sére ordeada será a medaa. Portato a medaa será o elemeto, sto é, Md.. b) Calcule a medaa da sére {, 3, 0, 0,, 4,, 3, 5, 6 } Prmeramete temos que ordear a sére { 0, 0,,,, 3, 3, 4, 5, 6 } 0+ 0, logo a 5, 5, ou seja, a medaa será a méda artmétca do 5º e 6º + 3 termos da sére, portato, 5. Portato a medaa será,5, sto é, Md, 5..Quado o úmero de elemetos da sére estatístca or ímpar, haverá cocdêca da medaa com um dos elemetos da sére. Quado o úmero de elemetos da sére estatístca or par, uca haverá cocdêca da medaa com um dos elemetos da sére. A medaa será sempre a méda artmétca dos elemetos cetras da sére. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

22 Proessor Maurco Lutz mesmo valor. Em uma sére a medaa, a méda e a moda ão têm, ecessaramete, o A medaa depede da posção e ão dos valores dos elemetos a sére ordeada. Essa é uma da dereças marcates etre medaa e méda (que se dexa luecar, e muto, pelos valores extremos). Vejamos: Em { 5, 7, 0, 3, 5 } a 0 e Md 0 ; já em { 5, 7, 0, 3, 65 } a 0 e Md 0, sto é, a méda do segudo cojuto de valores é maor do que a do prmero, por luêca dos valores extremos, ao passo que a medaa permaece a mesma A medaa em dados tabelados Temos que cosderar dos casos os dados tabelados, o prmero sem tervalo de classe e o segudo com tervalo de classe Sem tervalos de classe Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55) Neste caso, é o bastate detcar a reqüêca acumulada medatamete superor à metade da soma das reqüêcas. A medaa será aquele valor da varável que correspode a tal reqüêca acumulada. Quado o somatóro das reqüêcas or par ou ímpar o valor medao será o termo de ordem dado pela órmula: æ ç è Exemplos: a) Dada a tabela abaxo determe a medaa. P Md ö + ø Varável ( ) Freqüêca ( ) F Total 35 Como o somatóro das reqüêcas o 35 a órmula cará:

23 Proessor Maurco Lutz 3 P Md æ ç è ö + ø , ou seja, o 8º termo é a ossa medaa, portato Md 3. b) Calcule a medaa dos dados da tabela abaxo. Varável ( ) Freqüêca ( ) F Total 8 Como o somatóro das reqüêcas o 8 a órmula cará: æ ö ç + è ø 8+ 9 P Md 4,5, ou seja, a medaa se ecotra etre o 4º e o 5º 5+ 6 termo e será a méda artmétca destes termos, portato 5, 5. Portato a medaa é Md 5, Com tervalos de classe Devemos segur os segutes passos: a) Determamos as reqüêcas acumuladas; b) Calculamos ; c) Marcamos a classe correspodete à reqüêca acumulada, pos tal classe será a classe medaa; Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

24 Proessor Maurco Lutz 4 d) Calculamos a medaa pela segute órmula:. Md l + æ ç ç ç ç è - F at. ode l é o lmte eror da classe medaa; med ö h ø, F at é a reqüêca acumulada da classe ateror à classe medaa; h é a ampltude do tervalo da classe medaa e med é a reqüêca absoluta da classe que cotém a medaa. Exemplo: Dada a tabela abaxo determe a medaa. Classes Freqüêca ( ) F Total Calculamos 0, logo a classe medaa será (58 6). Com sso determamos l 58, F 3, e h 4. at Substtudo esses valores a órmula, obtemos: Md l + æ ç ç ç ç è med - F med at 58+ ( 0-3) 7x4 Md ,55 60,55 Esta medaa é estmada, pos ão temos os 40 valores da dstrbução, sto sgca, que tem 0 valores ates e 0 valores depos de 60,55. ö. h ø 4 Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

25 Proessor Maurco Lutz 5 Emprego da Medaa Þ Quado desejamos obter o poto que dvde a dstrbução em duas partes guas. Þ Quado há valores extremos que aetam de maera acetuada a méda artmétca. Þ Quado a varável em estudo é saláro. 9.5 Moda A moda ( Mo ) é, por deção, o valor mas reqüete dos dados. Assm para dados ão agrupados ou para tabelas de reqüêca de dados dscretos basta localzar o valor de maor reqüêca, e este será a moda. Se um cojuto de dados exstr somete um valor que se repta mas, se drá que a moda é umodal, se houver valores que se reptam a mesma quatdade dremos que é bmodal, se houver 3 ou mas valores que se reptam a mesma quatdade dremos que plurmodal ou multmodal. Caso ão haja valores que se reptam dremos que é amodal. Exemplos: a) Cosdere os segutes dados {, 4, 5, 4, 3,, 5, 7,, 5, 5} Prmeramete ordeamos os dados para acltar a ossa vsualzação. {,,, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7} Portato este exemplo a moda é Mo 5. b) Cosdere a segute tabela de reqüêcas para dados dscretos. Ocorrêcas Neste caso basta observarmos qual a maor reqüêca e a moda será o valor que tem esta reqüêca. No osso exemplo, a maor reqüêca é 5 e o valor assocado a ela é 3 logo ossa moda é Mo 3. Caso tehamos dados cotíuos o cálculo da moda é um pouco mas complcado. Procedemos da segute orma: a) Demos qual a classe que tem maor reqüêca. Esta classe é chamada classe modal; Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

26 Proessor Maurco Lutz 6 b) Calculamos a moda com a órmula (moda de Czuber) æ D ö Mo lmo + ç. h Þ èd+d ø ode l Mo é o lmte eror da classe modal; Mo é a reqüêca absoluta da classe modal; at é a reqüêca absoluta da classe ateror a classe modal; pos é a reqüêca absoluta da classe posteror a classe modal e h é a ampltude do tervalo de classe. ìd í îd Mo Mo - - at pos, Exemplo: Supoha a segute tabela de reqüêcas Classes Prmeramete localzamos a classe de maor reqüêca. A classe é 4 6. A ampltude de classe é, logo calculamos a moda através da equação: 9.6 Separatrzes æ D ö æ Mo lmo + ç. h 4+ ç èd+d ø è æ ö Mo 4+ ç. 4+ 4,67 è+ ø ( 4-3) + ( 4- ) Como vmos à medaa caracterza uma sére de valores devdo à sua posção cetral. No etato, ela apreseta uma outra característca, tão mportate quato a prmera: ela separa a sére em dos grupos que apresetam o mesmo úmero de valores. Assm, além das meddas de posção que estudamos, há outras que, cosderadas dvdualmete, ão são meddas de tedêca cetral, mas estão lgadas à medaa relatvamete à sua seguda característca, já que se baseam em sua posção a sére. Essas meddas os quarts e os percets são jutamete com a medaa, cohecdas pelo ome geérco de separatrzes. ö. ø Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

27 Proessor Maurco Lutz Quarts partes guas. Deomamos quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro Há, portato, três quarts: O prmero quartl ( Q ) é o valor stuado de tal modo a sére que separa os prmeros 5% dos 75% restates. O segudo quartl ( Q ) é o valor stuado de tal modo a sére que separa em duas partes guas, sto é, temos etão a medaa. O tercero quartl ( Q 3 ) é o valor stuado de tal modo a sére que separa os prmeros 75% dos 5% restates Quarts sem tervalo de classes Procedmeto o caso de dados brutos: a) Colocam-se os dados em ordem (rol); b) Calcula-se a posção do quartl através da ormula: P. Q, 4 ode é o úmero do quartl e é o úmero de observações; c) O quartl será o valor que ocupa, o rol, a posção calculada aterormete Quarts com tervalo de classes Devemos segur os segutes passos: a) Calcula-se a posção do quartl a través de P.. ; 4 4 Q b) O quartl estará localzado a classe ode, pela prmera vez, F ³ PQ, ode F é a reqüêca absoluta acumulada; c) Para ecotrar o valor do quartl aplca-se a segute órmula: ( P - F ). Q at h Q l +, ode l é o lmte eror da classe que cotém o respectvo quartl; Q F at é a reqüêca acumulada da classe ateror à classe que cotém o quartl; h é a ampltude do tervalo da classe que cotém o quartl e Q é a reqüêca absoluta da classe que cotém o quartl. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

28 Proessor Maurco Lutz 8 Exemplo: Estaturas (cm) F Ü Q Ü Q Total 40 Prmero quartl Temos: Q. P 0 ( PQ - Fat). h ( 0-4) 4 4 Q l ,66 56, Q 56,66 cm Q Tercero quartl Temos: Q3. P 30 ( PQ - Fat). h ( 30-4) 4 4 Q 3 l Q 3 65cm Q 9.6. Percets Deomamos percets os oveta e ove valores que separam uma sére em 00 partes guas. Idcamos por P, P,..., P3, P99. É evdete que P Md 50, 5 Q P e P 75 Q3. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

29 Proessor Maurco Lutz 9 Para ecotrar o valor do percetl desejado, procede-se como o caso dos quarts, sedo que para o cálculo da posção do percetl, a órmula será: P P, ode é o úmero do percetl e é o úmero de observações. Para ecotrar o valor de percetl quado os dados estão agrupados em classe, a órmula será: P ( P - F ). h P at l +, P ode l é o lmte eror da classe que cotém o respectvo percetl; F at é a reqüêca acumulada da classe ateror à classe que cotém o percetl; h é a ampltude do tervalo da classe que cotém o percetl e absoluta da classe que cotém o percetl. Exemplo: Estaturas (cm) F P é a reqüêca Ü P Total 40 Otavo percetl Temos: P P` 8. 3, ( P - F ). h ( 3,- 0) P at 4,8 P 8 l , 53, 4 4 P 8 53, cm P Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

30 Proessor Maurco Lutz 30 Exercícos ) A méda míma para aprovação em determada dscpla é 5,0. Se um estudate obtém as otas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0;,5;,0; 5,5; 4,0 os trabalhos mesas da dscpla em questão, perguta-se se ele o ou ão aprovado. ) Calcule para cada uma das dstrbuções abaxo sua respectva méda. a) b) c) x F x 3 7 / / / / / r x 3) Das estaturas de 40 aluos, coseguu-se a dstrbução abaxo. Calcular a méda. Estaturas (cm) N o de aluos ) Dada a dstrbução abaxo determe a méda Classes F ) turmas que possuem determada dscpla em comum apresetam, essa dscpla: Turma A (40 aluos) méda 6,5 Turma B (35 aluos) méda 6,0 Turma C (35 aluos) méda 4,0 Turma D (0 aluos) méda 7,5 Determe a méda geral. 6) Para cada tem abaxo, determe a medaa. a), 3, 3, 4, 5, 6, 6 b), 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9 c), 7, 0, 8, 8 d) 8, 86, 88, 84, 9, 93 Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

31 Proessor Maurco Lutz 3 7) Para cada dstrbução determe a medaa: a) x b) x F ) Para cada dstrbução, determe a medaa: a) Classes b) Classes ) Para cada sére, determe a moda: a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 0 b) 43, 40, 4, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48 0) Para cada dstrbução, determe a moda: a) x b) x,5 3,5 4,5 6, Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

32 Proessor Maurco Lutz 3 ) Para cada dstrbução, determe a moda: a) Classes b) Classes F ) Para as dstrbuções: a) Classes Calcule P 65 e Q. b) Classes F Calcule P 43 e Q 3. 3) Abaxo temos a dstrbução do úmero de acdetes por da, durate 53 das, em certa rodova: Pede-se: N de acdetes N de das a) Determar a méda. b) Determar a medaa. c) Determar a moda. d) Qual a porcetagem de das em que tvemos dos ou mas acdetes por da? 4) Sedo: Idade (aos) N de pessoas a)determe a méda. b) Calcular a medda que dexa 50% dos elemetos. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

33 Proessor Maurco Lutz 33 c) Determe a moda. d) Calcular o trgésmo percetl. e) determar a medda que dexa ¼ dos elemetos. ) Calcular o percetl 80. g) Qual a porcetagem das pessoas maores de dade? 5) Cosdere o segute cojuto de meddas:, 8, 6, 37, 3, 43, 4, 47, 8, 4. Etão, a medaa e a méda são respectvamete: a) 33 e 30 b) 4 e 8, c) 3 e 30,3 d) 4 e 8,5 e) 33 e 8,9 6) Cosdere o segute cojuto de dados: {3, 5,, 6, 5, 9, 5,, 8, 6}. A méda, medaa e moda são respectvamete: a) 4,5; 3,6; 6. b) 5,0; 5,5; 5. c) 5,0; 5,5; 6. d) 5,; 5; 5. e) 5,; 5,5; 5. 7) Em uma classe de 50 aluos, as otas obtdas ormaram a segute dstrbução: Notas Nº de aluos Calculado a ota medaa e modal obtemos respectvamete: a) 5,5; 5. b) 5; 3 c) 0; 5 d) 6; 6 e) 5; 6. 0 Meddas de dspersão Supoha que estvéssemos observado dos grupos de aluos e aotado os resultados dos mesmos em uma dada prova. Supoha ada que os resultados ossem: Grupo {5, 5, 5, 5, 5} Grupo {4, 5, 8, 7, } Se calcularmos a méda dos dos grupos vemos que ambos apresetam a mesma méda artmétca, 5, mas também vemos claramete que o cojuto de dados provêm de grupos cujos resultados são bem deretes. A dereça etre um grupo e outro se ecotra um ato que a méda, assm como qualquer outra medda de posção ão pode perceber: a varabldade dos dados. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

34 Proessor Maurco Lutz 34 Para caracterzar essas dereças os estatístcos craram as meddas de dspersão, como a ampltude total (ou desvo extremo), desvo médo, varâca (ou desvo quadrátco), desvo padrão e coecete de varação. 0. Ampltude total ou ampltude de varação ou desvo extremo (H) É a dereça etre o lmte superor da últma classe e o lmte eror da prmera classe, ou a dereça etre o últmo e o prmero elemeto de um cojuto de dados postos em ordem crescete. H L - Exemplo: Supoha que temos o segute cojuto de dados {; ; 5; 3; ; 7; ; 5}. Para esse caso a ampltude total é dada por H l L - l 7-6 Essa medda tem aplcações muto lmtadas, pos só capta o que acotece com os valores extremos, sedo completamete sesível aos valores termedáros. 0. Desvo Médo Uma maera muto teressate de perceber como os dados estão dspersos é perceber como estão varado em toro da méda. Uma orma de azer sso é com o desvo médo ( d ). O desvo médo é dedo como a méda dos valores absolutos dos desvos em relação à méda artmétca, ou seja: Dados ão tabelados Dados tabelados - ( - ) d d ode é a -ésma ocorrêca possível (caso dscreto) ou o poto médo do -ésmo tervalo (caso cotíuo); é a reqüêca absoluta da -ésma ocorrêca possível (caso dscreto) ou da -ésma classe (caso cotíuo); é a méda artmétca das observações e é o úmero de observações. Exemplo: Supoha que temos a segute tabela de reqüêcas. Classes Freqüêca ( ) Para acltar a aplcação da expressão 0 do desvo médo, vamos crar algumas coluas 4 3 auxlares a ossa tabela de reqüêcas, de 4 6 modo que ossa ova tabela é dada por: 6 8 Total 7 Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

35 Proessor Maurco Lutz 35 Classes ,86, ,86, ,4, ,4 3,4 Total 7 7 0,86 As coluas auxlares são, a verdade, orgazação do processo artmétco de cálculo da medda. Observe que para motar a 5ª colua precsamos saber quato vale a méda artmétca. Para tato podemos usar as coluas 4 e para calcular. Nesse caso temos: ( - ), assm 7 3, Varâca ou desvo quadrátco 0,86 d,55. 7 Outra medda de dspersão em toro da méda é a varâca ( S ) que é deda como: Dados ão tabelados Dados tabelados ode S ( - ) ( - ) - S é a -ésma ocorrêca possível (caso dscreto) ou o poto médo do -ésmo tervalo (caso cotíuo); é a reqüêca absoluta da -ésma ocorrêca possível (caso dscreto) ou da -ésma classe (caso cotíuo); é a méda artmétca das observações e é o úmero de observações. O ato de dvdrmos por - está relacoado ao ato de ser uma amostra, caso osse uma varâca populacoal sera somete. Exemplo: Retoremos ao exemplo ateror crado algumas coluas auxlares a ossa tabela de reqüêcas. Classes. ( ) - ( ) - - ( ) - 0,86 8,8 8, ,86 0,74, ,4,30, ,4 9,86 9,86 Total 7 7 0,08,86 Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

36 Proessor Maurco Lutz 36 S ( - ) Algumas propredades da varâca a) Varâca de dados costates é zero;,86 3,8 7- b) Somado-se ou subtrado-se uma costate k a cada valor observado a varâca ão será alterada, sto é, S ( k± ) S ( ) ; c) Multplcado-se ou dvddo-se por uma costate k cada valor observado a varâca cará multplcada ou dvdda pelo quadrado dessa costate, sto é, ( k. ) k. S ( ) S. 0.4 Desvo padrão Pelo ato de a varâca ser uma medda que utlza o quadrado dos desvos em relação à méda, setu-se a ecessdade de uma medda que utlzasse a mesma udade dos dados. Esta medda é chamada desvo padrão (S). varâca. O desvo padrão é dedo tão somete como a raz quadrada postva da S S 0.5 Coecete de Varação (CV) Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55) É uma medda relatva de dspersão. Utlzada para azer comparação da dspersão de duas séres dsttas em toro de suas respectvas médas. Dee-se como: CV Exemplo: Cosdere que tehamos duas séres. A prmera com méda 4 e desvo padrão,5 e outra com méda 3 segutes coecetes de varação: S e desvo padrão,3. Neste caso temos os S,5,3 CV 0,375 e CV 0, Logo se coclu que a prmera sére tem uma dspersão relatva em toro da méda meor que a seguda.

37 Proessor Maurco Lutz 37 Em geral CV maor ou gual a 50% é cosderado alto, sedo a méda pouco represetatva. Valores meores que 50% mplcam CV baxo e a méda é tão mas represetatva quato meor or o valor do CV. Meddas de assmetra e curtose Uma questão mportate quato à descrção dos dados é saber ode está a maor cocetração de valores (por exemplo se a maor cocetração se dá ates ou depos da méda). Esta questão é respodda pelas meddas de assmetra. Uma outra questão que podemos respoder é: como se dá a cocetração? Muto acetuada ou ão? Para essa perguta utlzam-se os coecetes de Curtose.. Assmetra Assmetra é o grau de desvo ou aastameto que a curva de reqüêca apreseta em relação a uma curva smétrca. Gracamete: Dz-se que uma dstrbução é smétrca se obedece à segute codção Md Mo Md Mo Quado uma dstrbução ão é smétrca dz-se que é assmétrca. Neste caso temos duas possbldades: Assmetra à dreta ou postva - Isso ocorre quado a maor cocetração dos dados está localzada abaxo da méda, ou seja, > Md> Mo Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

38 Proessor Maurco Lutz 38 Gracamete: Mo Md Assmetra à esquerda ou egatva - sso ocorre quado temos uma cocetração dos dados acma da méda, ou seja, Gracamete: < Md< Mo Md Mo Uma medda estatístca que caracterza a assmetra é o coecete de Pearso que é dedo como - Mo As, ode S é a méda artmétca; Mo é a moda e S é o desvo padrão. Para essa medda temos o segute comportameto: Se As 0 Þ smétrca; Se As < 0 Þ assmétrca à esquerda ou egatva; Se As > 0 Þ assmétrca à dreta ou postva; Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

39 Proessor Maurco Lutz 39. Curtose A curtose é uma medda de "achatameto" da dstrbução. Se uma dstrbução é pouco achatada dzemos que é leptocúrtca. Quado a dstrbução tem um certo grau de achatameto dzemos que é mesocúrtca. Quado é muto achatada dz-se que é platcúrtca.. Gracamete podemos represetar como: A medda estatístca que caracterza a Curtose é Q3- Q K, ode ( P - P ) 90 0 Q 3 é o tercero quartl ; Q é o prmero quartl; Os quarts dvdem um cojuto de dados em quatro partes guas. P 90 é o percetl 90; P 0 é o percetl 0; Percetl são valores que dvdem o cojuto das observações em 00 partes guas. Se K 0,63 Þ Mesocúrtca; K > 0,63 Þ Platcúrtca; K < 0,63 Þ Leptocúrtca. Exercícos ) Dada a amostra:, 3, 4, 5, 7, 0, a) Qual a ampltude total? b) Determe o desvo médo? c) Calcule a varâca? Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

40 Proessor Maurco Lutz 40 ) Para a sere 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. a) Costrur a dstrbução de reqüêca. b) Calcular a ampltude. c) Determar o desvo médo. d) Calcular a varâca populacoal. e) Determar o desvo-padrão populacoal. ) Calcular o coecete de varação. 3) Calcular a varâca amostral: Classes ) Num teste aplcado a 0 aluos, obteve-se a segute dstrbução de potos: Potos N o de aluos a) Calcular o desvo médo. b) Determar a varâca populacoal. c) Determar o desvo padrão. d) Calcular o coecete de varação. e) Determar o coecete de assmetra ( o coecete de Pearso). ) Calcular o coecete de curtose. 5) Abaxo temos a dstrbução da reqüêca dos pesos de uma amostra de 45 aluos: Peso em Kg N o de aluos a) Determar a méda. b) Determar a varâca. c) Qual é o valor do coecete de varação? d) A dstrbução é smetra? e) A dstrbução é mesocúrtca? Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

41 Proessor Maurco Lutz 4 6) Sedo: Classes Calcular a méda, varâca, desvo padrão, coecete de varação, coecete de assmetra e coecete de curtose. 7) Um Grupo A de 85 moças tem estatura méda de 60,6cm, com um desvo padrão gual a 5,97cm. Outro Grupo B de 5 moças tem uma estatura méda de 6,9cm, sedo o desvo padrão gual a 6,0cm. Qual é o Grupo mas homogêeo e o coecete de varação respectvamete: a) Grupo A e 3,77. b) Grupo B e 3,7 c) Grupo A e 3,75. d) Grupo A e 3,700. e) Grupo B e 3,77. 8) Um grupo de cem estudates tem uma estatura méda de 63,8cm, com um coecete de varação de 3,3%, portato o desvo padrão desse grupo vale a) 3,935 b) 4,54 c) 4,3045 d) 5,03 e) 5,4054 9) Uma dstrbução apreseta as segutes estatístcas: desvo padrão de,5 e coecete de varação de,9%, logo o valor da méda desta dstrbução é a) 48,5. b) 49,8. c) 50,9. d) 5,7. e) 5,3. 0) Uma dstrbução de reqüêca apreseta as segutes meddas: 48,, Mo 47,5 e S,, logo o valor do coecete de assmetra é a) 0,83 b) 0,385 c) 0,435 d) 0,543 e) 0,678 ) Cosdere as segutes meddas, relatvas a uma dstrbução de reqüêca: Dstrbução Q Q 3 P 0 P 90 A Portato o valor do grau de curtose e o tpo de curva são respectvamete: a) 0,5 e platcúrtca. b) 0,5 e leptocúrtca. c) 0,55 e leptocúrtca. d) 0,355 e mesocúrtca. e) 0,358 e platcúrtca. Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)

42 Proessor Maurco Lutz 4 Represetação gráca de uma dstrbução A estatístca gráca cosste a utlzação de estruturas geométrcas, cores, oções de proporção etc., para expor a ormação cotdas os dados. A losoa é a mesma das tabelas: o máxmo de ormação o mímo de espaço. Tem com característcas o uso de escalas, sstema de coordeadas, smplcdade, clareza e veracdade. Podem ser de dos tpos: A Þ Grácos de ormação: São grácos destados prcpalmete ao públco em geral, objetvado proporcoar uma vsualzação rápda e clara. São grácos tpcamete expostvos, dspesado cometáros explcatvos adcoas. As legedas podem ser omtdas, desde que as ormações desejadas estejam presetes. B Þ Grácos de aálse: São grácos que prestam-se melhor ao trabalho estatístco, orecedo elemetos útes à ase de aálse dos dados, sem dexar de ser também ormatvos. Os grácos de aálse reqüetemete vêm acompahados de uma tabela estatístca. Iclu-se, mutas vezes um texto explcatvo, chamado a ateção do letor para os potos prcpas revelados pelo gráco. Temos que ter cudado para evtar o uso devdo de grácos, que podem trazer uma déa alsa dos dados que estão sedo aalsados, chegado mesmo a coudr o letor. Trata-se, a realdade, de um problema de costrução de escalas. Os grácos podem ser classcados em grácos de barras, coluas, hstogramas e polígoos de reqüêcas etre outros. 0. Gráco em coluas ou em barras Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55) É a represetação de uma sére por meos de retâgulos, dspostos vertcalmete (em coluas) ou horzotalmete (em barras). Quado em coluas, os retâgulos têm a mesma base e as alturas são proporcoas aos respectvos dados. Quado em barras, os retâgulos têm a mesma altura e os comprmetos são proporcoas aos respectvos dados.

43 Proessor Maurco Lutz 43 Assm estamos assegurado a proporcoaldade etre as áreas dos retâgulos e os dados estatístcos. Exemplo: Costrução de Aeroaves Brasl Aos Udades Fote: EMBRAER a) Gráco em coluas b) Gráco em barras Costrução de Aeroaves Brasl Costrução de Aeroaves Brasl Udades Aos Fote: EMBRAER Aos Udades Fote: EMBRAER 0. Gráco em coluas ou em barras múltplas Este tpo de gráco é geralmete empregado quado queremos represetar, smultaeamete, dos ou mas eômeos estudados com o propósto de comparação. Exemplo: Balaça comercal Brasl Especcação Valor (US$ ) Exportação (FOB) Importação Fote: Mstéro da Ecooma Isttuto Federal arrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Foe/Fax: (55)