UERJ CTC IME Departamento de Informática e Ciência da Computação 2 Cálculo Numérico Professora Mariluci Ferreira Portes

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1 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação Udade I - Erros as apromações umércas. I. - Cosderações geras. Há váras stuações em dversos campos da cêca em que operações umércas são utlzadas com valores apromados e coseqüetemete obtemos resultados apromados. II. Os prcpas motvos que cocorrem para a eatdão das operações são: I. Uso de dados proveetes de medções. as medções temos dos tpos de erros: III.. Erros sstemátcos são devdos à alta de pereção a costrução, regulagem, etc., do strumeto de medda utlzado o processo. B. Erro ortutos são devdos às varações acdetas (ao acaso) de temperatura, Uso de dados matemátcos eatos são erros proveetes da própra atureza dos úmeros como, π, e. Uso de dados proveetes de tabelas as tabelas cotém um úmero o de casas decmas. IV. Uso de dados eatos proveetes da supressão de algarsmos : IV. em Eemplo: Seja calcular o valor de K (C. D) E, ode C,4 ; D 8,4 ; E 5,504 ; este caso K 6, Se utlzar-mos para C, ; D 8, ; E 5,5 ; teremos K 6,99. promações devdo à órmulas de resolução apromadas. Seja, por eemplo, calcular 05,. Se desevolver-mos () em Sére de Talor toro de 0 e aplcar para,05, temos: 0,05 0,05 0, , VI. Ordem de cálculo as operações: Eemplo: Calcular o valor de V B C º o modo : V ;, ode, B, C; º º modo: V B C C 0,... 0, ,

2 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação VII. Uso de rotas adequadas de cálculo. Eemplo: Seja calcular o valor médo de p() a 4 b c d e. este caso temos total de 4 adções e 0 multplcações, a saber: a 4 a 4 multplcações b b c c d d multplcações multplcações multplcação Utlzado o dspostvo prátco de Brot-Ru-Hormer: p() {[(ab) c] d} e, temos pos 4 adções e 4 multplcações. Coclusão: o segudo método é mas precso que o prmero. VIII. Egaos: são erros devdo à alta de cudado do calculsta que poderá escrever úmeros e sas trocados devdo à sua habldade e rapdez. I. - úmeros apromados Deção : úmero apromado é a apromação de um valor eato, sedo a dereça etre os dos bem pequea. Cosderamos um valor eato quado ão este apromação ou certeza assocado a ele. I. - lgarsmos sgcatvos de um úmero Deção : Os dígtos,,,, 9 costtuem algarsmos sgcatvos de um úmero. O dígto 0 (zero) também costtu um sgcatvo, eceto as casos em que é usado para ar a posção da parte decmal ou preecher casas decmas de dígtos desprezados ou descohecdos. Eemplo:,4 0,4 0 4 sgcatvos 405 0,405 0 sgcatvos 0,0095 0, sgcatvos 45,00 0, sgcatvos se os zeros estverem preechedo casas decmas vazas I.4 - rredodameto de um úmero 6 sgcatvos se os zeros veram do arredodameto: 45, , 00 Deção : rredodar um úmero é guardar uma certa quatdade de dígtos, cotados a partr da esquerda para a dreta, e gorado coseqüetemete os demas dígtos do úmero. regra: Para que o arredodameto ocasoe o meor erro possível, empregamos a segute

3 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação Se desejarmos um úmero com algarsmos e o últmo algarsmo é X, o algarsmo X deve ser arredodado da segute orma: a) de X a X , adcoa-se udade ao algarsmo X; b) de X a X os algarsmos ecedetes são elmados, e o algarsmo X permaece alterado; c) o caso X , etão: c. - dea-se o al algarsmo X alterado se X or par; c. - acresceta-se udade ao algarsmo X se ele or ímpar: Eemplo:,45879,459,4576,45 4, ,679 4, ,678 4, ,68 4, ,66 I.5 - Tpos de Erro Seja Q o valor eato e Q o valor apromado de um úmero. I.5. - Erro bsoluto Deção :. Demos erro absoluto como sedo a dereça em módulo etre o valor eato e o valor apromado. Deotaremos por. I.5. - Erro Relatvo Q Q - Q Deção : É a razão etre o erro absoluto e o valor eato do úmero. Deotaremos por. Q Q Q - Q / Q Q Q OBS: ote que Q é prómo a se Q or prómo a Q. Precsamete, se Q α ( ) /, etão ( ) / α /( α ). Em geral, quado dspormos do valor verdadero, vamos utlza-lo o calculo do erro relatvo, mas seão podemos utlzar o valor apromado. I.5. - Erro Percetual Relatvo Deção : É o erro relatvo epresso em percetagem. Deotaremos por. Eemplos: ) Q,5408 Q Q % 00 Q Q / Q 00 Q Q,5464

4 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 4 Q Q Q, Q, Q % 00, , % ) Comprmeto real L 5 Km Comprmeto apromado L 5, Km 5,0 5, L 0,0 relatvo 5,0 L% % percetual relatvo ) Pressão real: 0 Kg/cm Pressão apromada: 0,5 Kg/cm p 0,5 Kg/cm p 0,05 e p % 5 % Observação: ) Os erros relatvo e percetual relatvo são quatdades admesoas, permtdo comparar erros de quatdades homogêeas ou ão-homogêeas. ) Se um úmero é arredodado com t algarsmos sgcatvos, é claro que o erro absoluto cometdo em seu arredodameto é meor ou gual a: e t e Q Q - Q 0,5, ode e é o epoete de Q a orma 0, d d K d 0 e t é o 0 úmero de algarsmos sgcatvos. EX: Q,45789 Q,458 Q, ,458 0,000 0, 0 < 0,5 0 4 t 4, e EX: Q 45,789 Q 45,8 Q 45,789-45,8 0,0 0, 0 < 0,5 0 4

5 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 5 t 4, e EX: Q 0, Q 0,00458 Q 0, , , , 0 6 < 0,5 0 4 t 4, e -. I Cota Superor de Erro bsoluto Deção : Cota superor de erro absoluto é o lmte mámo permtdo para o erro absoluto e deotaremos como α. Q <α I Cota Superor de Erro Relatvo Deção: De modo aálogo demos cota superor de erro relatvo, e deotamos por β. Q< β Observação: ormalmete escolhemos a potêca de 0 mas próma do valor da cota superor de erro sempre por majoração. Com sto estaremos os reerdo ao erro como sedo da ordem de 0, Z. 7 plcação: Cosdere e e e, determe a cota superor de erro 0! 0! e!!... 7! 8! 9!... e!!... 7! absoluto: e e e 8! 9! 0!... 8! 8! 9! 8! 9

6 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 6 < 0! 8! 9 0 8! 9 <! 8! 9 0 8! 9 8 e <...! P.G. lmtada decrescete com q e< 8 e< 0, e< 0, 0! 9 Logo a cota superor de erro absoluto é 0-4. Eemplo: Q 0, Q 0,46 0, e 0, < 0 5, arredodado para 5 algarsmos, temos: Eemplo : Q 0, , arredodado para 5 algarsmos, temos: Q0,4568 0, e 0,0 4 < 0 4 Logo, a cota superor para o erro absoluto é 0-4. I Propagação de Erro em Operações Elemetares qu vamos utlzar a deção de erro relatvo dada pela segute Q Q órmula: Q. Q. dção. - Erro bsoluto: Cosdere e valores eatos, e valores apromados de e respectvamete, e os erros assocados a e respectvamete. ( ) ( ) ( ) ( ). - Erro Relatvo: (observe que aqu é usado o valor apromado o cálculo do erro relatvo)

7 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 7 ) ( Eemplo: X 55, X, Y, Y, X X Y Y 55 ± ±, Casos etremos: 55785, , etão: 78 5 < X Y 78 < 78 5 (pores casos) (X Y) 78, 5, X Y 0, Y X Y X Y X Y Y X Y X Y X X Y X B. Subtração B. - Erro bsoluto: B. - Erro Relatvo: Eemplo: X 55, X, Y, Y, (X X )- (Y Y) (55 ± ) ( ± ), Casos etremos: 55-(-)5, 55--()-5, etão: 5 < X - Y < 5 (pores casos) (X - Y), 5, X Y

8 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 8 X Y X Y X Y X Y 5 0,565 X Y X Y X Y X Y C. ultplcação C. - Erro bsoluto: ( ) ( ) é descartado pos é desprezível comparado aos outros termos. C. - Erro Relatvo: Eemplo: X 55, X, Y, Y, (X X ) (Y Y) (55 ± ) ( ± ), etão (55)() , (55-)(-) , 65 7 < X Y65 < (pores casos) X Y <85, porém usaremos X Y (ecludo 6) (X Y) 65, X Y , X Y X Y X Y X Y X Y , , , , D. Dvsão D. - Erro bsoluto:

9 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 9 Desevolvedo em sére aclaur, temos:... Desprezado as potêcas de ordem gual ou superor a, temos: ( ) Como os erros são dados em valor absoluto, eles são somados (veja também que ao gual que a multplcação o últmo termo é descartado). Eemplo: D. - Erro Relatvo: X 55, X, Y, Y, (X X ) / (Y Y) (55 ± ) / ( ± ), etão os casos etremos são: (55)/(-)58/, , (55-)/()5/5,08,,08 < X / Y,90448 <, (por caso), ,0447 <,90448 <, , (por caso) (X / Y),90448, X /Y 0, , mas podemos tomar: X / Y 0, 8749, que é o resultado sem a 59 6 cotrbução do termo 0, X / Y 0, X / Y 0, valor obtdo utlzado o por caso X / Y,90448 X / Y X Y 0, , , valor apromado. 55 X / Y X Y 0, , , ,

10 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 0 OBS: Vamos utlzar o valor X / Y X Y 0, I.6 - lgarsmos sgcatvos eatos cotdos em um úmero apromado. Deção: Cosderamos que os prmeros algarsmos de um úmero são eatos quado o erro absoluto ão eceder a uma udade a eésma casa, cotado-se da esquerda para a dreta. p,4596 p,46 p 0, < 0,0000 precsão de um resultado é ução do úmero de algarsmos sgcatvos eatos cotdos o úmero. Há uma relação etre o erro relatvo e o úmero de algarsmos sgcatvos eatos. Teorema I : Se o o. algarsmo sgcatvo de um úmero apromado é, cotedo o reerdo úmero algarsmos sgcatvos, etão o erro relatvo assocado à apromação será: 0 Cosdere..., L... ; algarsmos sgcatvos eatos.

11 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação L < < ) ( ) ( 0 0 )] 0 ( [ 0 ) 0 ( Por outro lado : plcação: Seja,45 com 5 algarsmos sgcatvos eatos. Determe uma cota superor de erro relatvo.,45, 5 < β < ,...,... Resposta: cota superor de erro relatvo é 0-4. Teorema II:

12 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação Se o erro relatvo cometdo a apromação de or meor que 0 ( : o. algarsmo sgcatvo de ) etão cotém, algarsmos sgcatvos eatos. plcação: Determe o úmero de algarsmos sgcatvos eatos cotdos em,4 sedo <0,00. Pelo Teorema II temos: < 0 < 0 < 0, () Por deção temos:,40 < <,4 0,00 < < 0,086 0,40 De()e () vem:0,086 0,4± 0,0 (,;,5) ( ) lgarsmossgcatvoseatos: < 0,5 0 I.7 - Propagação de Erros I.7. - Itrodução: lgumas gradezas ão podem ser meddas dretamete. esse caso a medda é eta de modo dreto. Eemplo: medda do volume de um cldro é dado pela relação V πr H. Precsamos saber os erros cometdos as meddas das gradezas rao e altura para saber o erro o cálculo do volume. este estudo deomamos aálse de propagação de erros. I.7. - Fuções de uma varável real: Seja () uma ução cotíua derecável em [a,b]. Sejam X, X [a,b].

13 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação () () () θ P a b - valor real - valor apromado de - erro cometdo em - erro cometdo em () Do trâgulo P Tgθ P P () - () Tgθ Pelo teorema do valor médo: ξ (, ) '( ξ ) ( ) ( ) '( ξ ) Tal que : '( ξ ) ( ) ( ) '( ξ ) ' ma ( ) Como e são prómos, etão ( ) '( ) ' ma Logo: '( )

14 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 4 Eercícos:. Determe o erro absoluto cometdo o cálculo do volume de um cubo de 0,45 metros de aresta, sabedo que o erro cometdo a medda da aresta é eror a 0,005 metros. V ( a) a, V V ( a) a, V ( a) a Como.. a 0,005.. e.. a. 0,45. m V (0,45) 0,005 0,075 0 Resp: O erro cometdo o cálculo do volume é eror a 0, m m Resp: < 0, m. Etre que valores está o valor real do volume do cubo do eercíco? a. Cálculo do volume: V (0,45) 0, m b. Pelo Teorema II temos uma cota: V < 0 V < 0, 0 9 () c. Cálculo do erro relatvo: V 0, 0750 V < V 0, 950 V < 0, 0 () 0, 0 d. Comparado os resultados obtdos em () e (), temos: 0, 0 - < 0, 0-0,0 < 0, algarsmo sgcatvo V 0,09 ± 0,0 Resp: V ( 0,08 ; 0,0 ) Resp: (0,08 ; 0,0)

15 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 5 I.7. - Fuções de varáves reas váras: Seja w (,,..., ) em que as dversas quatdades,,..., estão sujetas a erros,,...,, respectvamete. () (,,..., ) w w Usado a epasão em sére de Talor para uções de varáves reas váras, temos:...! ),...,, ( ),...,, (, j j j Como os erros são bem pequeos, etão:... ),...,, ( ),...,, ( De () vem: w w w... Logo: w... Erro relatvo: w w w w () w w w w O segudo membro de () é a derecal logarítmca de w. Logo: w )],...,, ( [l

16 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 6 Eercícos:. Etre que valores está o valor real de z (,) 0, para,4 e,7; com e erores a 0,0. a. Cálculo de z: z (,4),7,7 0,,495 b. Cálculo do erro relatvo (pela deção): z< z z z < ( ) z < 4,, 7 0, 0 [( 4, ) ] 0, 0 z < 0, 5487 z 0, 5487 z < 0, z, 495 c. Pelo Teorema II temos: z< z < 05, 0 () - () d. Comparado os resultados em () e (), temos: 0, < 0, algarsmos sgcatvos eatos z ± Resposta: z (;) Resp: (, ). Sabedo-se que o volume de uma esera é dado pela epressão V /6 πd, determe etre que valores está o valor real de V, cosderado π,4 ( com π<0,00 ) e d,7 cm (com d < 0,005 cm ). V πd 6 0, 666 < 0, V π d a. Cálculo de V: V 0,666,4 (,7) 6,77 cm

17 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 7 b. Cálculo do erro relatvo: c. Pelo Teorema II, temos: l V l l π l d V π d V π d 0, 000 0, 00, V < , 666 4, 7, V < 0, () V < 0 V < 0,... 0 () d. Comparado os resultados obtdos em () e (), temos: 0, < 0, algarsmos sgcatvos eatos. Resp: 6 ± cm V (5 cm ; 7 cm ) Resp: V 6 ± cm ( 5cm, 7cm ) I Problema Iverso: Este tpo de problema é matematcamete determado, uma vez que o erro relatvo pode ser determado medate combações deretes dos erros relatvos das dversas varáves. solução mas smples é baseada a hpótese da gualdade de eetos. De acordo com esta hpótese tem-se :... ; e a solução procurada é dada por : w Eercíco: Qual deve ser a precsão da medda do rao R 0,5 cm de um círculo e quatas decmas devem ser cosderadas em π para que o erro cometdo o cálculo da área ão ultrapasse a 0,%.

18 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 8 Solução: S πr π R S < 0, 00 π R Pelo prcípo da gualdade de eetos : π π < 0, 0005 R < 0, 0005 R Fazedo π,4, temos: π < 0, , π < 0, 57 0 ( 0, 00 0, 0005) 0, 5 R < R < 0, 7650

19 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 9 Lsta de eercícos sobre a Udade I ) rredode cada úmero abao para, 4, 5, 6, 7, algarsmos sgcatvos, respectvamete: a) 85,44 b) 0, c) 998,07544 e),805 d) 45,080 ) Com os úmeros arredodados para 4 algarsmos sgcatvos e para 7 algarsmos sgcatvos, do eercíco, determe o erro absoluto, o erro relatvo e o erro percetual relatvo para cada tem. ) Calcule a área de um círculo de rao 00 m, utlzado os segutes valores apromados para π : a),4 b),46 c),459 d),4596 4) Calcule o erro absoluto etre os resultados obtdos em a, b, c com o resultado obtdo em d) do eercíco ateror. Compare e aca sua coclusão. 5) Determe o úmero de algarsmos sgcatvos eatos cotdos a apromação dos úmeros abao, sedo dados os respectvos erros: a) Z,495 Z < 0,669 b) I 0, I < 0,858 c) 45,84 < 0,000 d) X 8,5794 X < 0,00 Utlzar a deção de erro relatvo ER (valor eato valor apro.)/valor apro. Respostas: a) b) 0 c) 5 d) 6) Determe o erro relatvo cometdo o cálculo do valor umérco de () 5, sedo,6 e o erro absoluto cometdo essa medda eror a 0,00. Resposta: 6,940-7) Determe o úmero de algarsmos sgcatvos eatos cotdos o cálculo de () do eercíco 6. Resposta:

20 UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação 0 4π a bc 8) epressão V os dá o volume de um elpsóde de eos prcpas a, b, c. Sabedo-se que a 5 cm, b 00 mm, c 0,5 dm, e que o strumeto de medção apreseta um erro eror a 0,05 mm, pede-se: a) o volume; R: 4,59654cm b) o erro relatvo; R: 4,80 - c) o erro absoluto; R:, cm d) etre que valores esta o valor de V. R: algarsmos eatos, V (,5 ), 0 se 9) Dada a epressão 8, e π O, determe etre que valores esta o valor real de, sabedo que o strumeto de cálculo utlzado só regstra algarsmos sgcatvos eatos. R: (0,, 0,5 )

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