Algoritmos de Interseções de Curvas de Bézier com Uma Aplicação à Localização de Raízes de Equações
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- Luísa Canejo Alves
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1 Algortmos de Iterseções de Curvas de Bézer com Uma Aplcação à Localzação de Raízes de Equações Rodrgo L.R. Madurera Programa de Pós-Graduação em Iformátca, PPGI, UFRJ , Cdade Uverstára, Ilha do Fudão, Ro de Jaero, RJ E-mal: Mauro Atoo Rco Lus Measche Schechter Departameto de Cêca da Computação, IM, UFRJ , Cdade Uverstára, Ilha do Fudão, Ro de Jaero, RJ E-mal: Resumo: As curvas de Bézer receberam essa deomação a partr do trabalho do egehero fracês Perre Bézer Etee ( ) com sstemas CADCAM a Reault, o íco dos aos 6. Um pouco ates, Paul De Casteljau, um físco e matemátco da Ctröe, já hava desevolvdo métodos matemátcos equvaletes para essas curvas, muto mportates a área de Computação Gráfca, já que mutos softwares dspoíves o mercado utlzam este coceto [1]. Os prcpas algortmos para localzar terseções etre duas curvas de Bézer ecotrados a lteratura são: Subdvsão Recursva de De Casteljau, Subdvsão Itervalar adotado por Koparkar e Mudur [4] e Bézer Clppg [2]. A proposta deste trabalho trata do estudo e aálse comparatva dos três algortmos para o cálculo de terseções etre duas curvas de Bézer, segudos de um estudo de uma aplcação destes algortmos para o cálculo de raízes reas de fuções (ão ecessaramete polomas). 1. Curvas de Bézer 1.1. Defção Seja 1 um úmero tero. A curva de Bézer de grau, Q (t), defda por + 1 potos de cotrole P, P 1,..., P é uma curva defda parametrcamete dada por: Q (t) = B (t) P, (1) = o domío t 1, t R, ode: B (t) = (1 t) t,, (2) são as fuções-base deomadas Polômos de Berste. A Fgura 1 mostra um exemplo de curva de Bézer de grau Prcpas característcas Algumas característcas mportates das curvas de Bézer são [1]: 1. Para curvas de Bézer de grau 2, o polígoo formado pelos potos de cotrole P, P 1,..., P formará o polígoo de cotrole. A Fgura 1 mostra uma curva cúbca e seu respectvo polígoo de cotrole. 153
2 2. O poto cal P e o poto fal P são deomados potos extremos do polígoo de cotrole, pos se localzam as extremdades dele. Os potos P 1, P 2,..., P 1 são deomados potos termedáros ou terores do polígoo de cotrole. 3. Os potos extremos do polígoo de cotrole também são extremdades da curva. Assm, P = Q () e P = Q (1). 4. Propredade do fecho covexo: a curva sempre estará cotda o fecho covexo do polígoo de cotrole. 5. Propredade de varâca afm: Qualquer trasformação os potos de cotrole mplca em trasformação a curva. A curva é uma aproxmação mas suave do polígoo de cotrole. Assm, a quatdade de vezes que os segmetos do polígoo de cotrole terceptam a curva será o máxmo a quatdade destes segmetos. 6. Dervadas da curva de Bézer de grau os potos extremos: Q () = ( P P ) 1 Q (1) = ( P P ) -1 P1 P2 Q3(t) P P3 Fgura 1: Curva de Bézer de grau Prcpas algortmos de terseções de curvas de Bézer 2.1. Subdvsão recursva de De Casteljau É o processo de dvsão de uma curva de Bézer em duas sub-curvas usado o método de De Casteljau. É muto usado quado se quer aproxmar uma curva de Bézer por segmetos de reta [1]. Quado os segmetos estão bastate subdvddos, eles devem estar sufcetemete próxmos de retas. Assm, ecotrado o poto de terseção etre estas retas, ecotra-se o poto de terseção etre as curvas relacoadas a elas. A Fgura 2 mostra três terações. Fgura 2: Três terações da subdvsão recursva [4]. 154
3 2.2. Subdvsão tervalar de Koparkar e Mudur Trata-se de um algortmo semelhate à Subdvsão recursva de De Casteljau, sedo que este caso, cada curva é pré-processada para determar suas tagetes horzotas e vertcas apeas os potos extremos. Os lmtes destas tagetes defrão o tervalo. A Fgura 3 mostra duas terações do algortmo para uma curva de Bézer cúbca Bézer Clppg Fgura 3: Duas terações da subdvsão tervalar [4] Trata-se de um algortmo proposto em 199 por Tomoyuk Nshta, professor do Departameto de Egehara da Uversdade de Tóquo, e Thomas W. Sederberg, professor do Departameto de Cêca da Computação da Uversdade de Brgham Youg, os Estados Udos, para o problema da terseção de curvas de Bézer [2]. O fucoameto do algortmo acotece da segute forma: sejam duas curvas de Bézer P(t) e Q(u) e uma fat le L, uma regão que represeta a frotera de Q(u). A Fgura 4 mostra um exemplo. Fgura 4: Fat Le para curva de Bézer cúbca Q(u) o processo de Bézer Clppg [2] P(t) é defda pela equação paramétrca P(t) P B (t) = = A fução d(t) é um polômo terpolador das dstâcas d,, dos potos de cotrole da curva P(t) à fat le L e pode ter a segute represetação paramétrca a forma Berste-Bézer: D(t) = (t, d(t)) = D = B (t) Os potos de cotrole D = (t,d ) são gualmete espaçados em t ( t = / ). 155
4 Como D(t) é de fato o parâmetro t. ( / )B (t) = t[(1 t) + t] = t =, a coordeada horzotal de qualquer poto Fgura 5: Curva de Bézer para represetação Berste-Bézer de d(t) [2]. Os valores de t para os quas P(t) se ecotra fora de L correspodem aos valores de t para os quas D(t) se ecotra abaxo de d m ou acma de d max. Na Fgura 5, tem-se que P(t) se ecotra fora de L em t <.25 e t >.75. Dessa forma, chega-se à uma das etapas do algortmo de Bézer Clppg, que é o recorte das partes da curva P(t) que fcarem esses tervalos. Essas partes são elmadas de P(t) [2]. Após o recorte, uma fat le L será aplcada à curva P(t) o tervalo.25 t.75. O próxmo passo é repetr o procedmeto aplcado aterormete para P(t) a curva Q(u), depos P(t) terá um ovo recorte cotra Q(u) e assm alterado a curva de recorte sucessvamete [2]. No caso de múltplas terseções, a solução é dvdr uma das curvas pela metade e computar as terseções de cada metade com a outra curva [2]. 3. Algus resultados obtdos para localzação de raízes de equações Exemplo 1: Resolver a equação algortmo de Bézer Clppg. se(x) = e x, o tervalo [, π / 4], usado o Prmero, vamos aproxmar a fução se(x) por uma curva de Bézer de grau 3 o tervalo dado. Neste caso, os potos de cotrole extremos devem ser: P = (,) e P = ( π / 4,se( π / 4)) (.785,.771). 3 Para calcular os potos terores, devemos aplcar as segutes propredades de dervadas das curvas de Bézer os potos extremos: P '() = 3( P P ) 1 P '(1) = 3( P P ) 3 2 Estes são os valores dos vetores tagetes à curva ormalzados os seus extremos [3]. 156
5 Neste exemplo, temos: P () = (.771,.771) e P (1) = (.816,.577). Substtudo os valores, chegamos a: P = (.2357,.2357); P = (.513,.5151) 1 2 x e Aalogamete, para o caso de, chegamos aos segutes potos de cotrole: Q = (,1); Q = (.236,.764); Q = (.482,.594); Q = (.785,.456) A Fgura 6 mostra os gráfcos obtdos para as curvas. Fgura 6: Aplcação das curvas de Bézer de grau 3 para localzação de raízes de equações. tabela: Os resultados ecotrados para as três prmeras terações se ecotram a segute Iteração t m t max u m u max Tabela 1: Resultados para três terações de Bézer Clppg. Na teração 3, são colhdos os segutes resultados para as curvas: Curva P(t): x P(.752).5824; y P(.752).551; x P(.7654).5933; y P(.7654).5592; Curva Q(u): x Q(.7668).5817; y Q(.7668).5582; x Q(.7838).596; y Q(.7838).553; 157
6 Estes resultados se aproxmam do poto de terseção (.5885,.5551) dado pela solução aalítca com precsão de quatro casas decmas. Exemplo 2: Resolver a equação se(x) = e x, o tervalo [, π / 4], usado o algortmo da Subdvsão Recursva de De Casteljau. Os potos de cotrole são os mesmos vstos o exemplo 1 para as respectvas curvas. Após cco terações, as sub-curvas que se terceptaram foram aproxmadas de retas. Para uma reta, fo obtda a equação.131x y.231 =. Para a outra, fo obtda a equação.182x +.255y.37 =. Portato, deve ser resolvdo o sstema lear:.131 x y.231 =.182 x y.37 = A solução deste sstema com precsão de quatro casas decmas será x.5721, y Ou seja, após cco terações, os valores já estão relatvamete próxmos da solução aalítca x.5885, y Exemplo 3: Resolver a equação se(x) = e x, o tervalo [, π / 4], usado o algortmo da Subdvsão Itervalar de Koparkar e Mudur. A tabela a segur mostra os resultados para cco terações do algortmo. Iteração t = u x P(t) y P(t) x Q(u) y Q(u) Tabela 2: Resultados para cco terações de Subdvsão Itervalar. Referêcas [1] Samuel R. Buss, 3-D Computer Graphcs A Mathematcal Itroducto wth OpeGL, Cambrdge Uversty Press, 23. [2] T. Nshta, T.W. Sederberg, Curve Itersecto Usg Bézer Clppg, pp , Computer-Aded Desg 22(9), 199. [3] Davd Salomo, Curves ad Surfaces for Computer Graphcs, Sprger, 26. [4] T.W. Sederberg, S.R. Parry, Comparso of Three Curves Itersecto Algorthms, pp , Computer-Aded Desg Vol
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