VI - Integração Numérica

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1 V - tegração Numérca C. Balsa & A. Satos. trodução São, este mometo, coecdos dos aluos métodos aalítcos para o cálculo do tegral dedo b ( d a sedo ( cotíua e tegrável o tervalo [ ab] ;. Cotudo, algumas prmtvas são de dícl, ou mesmo mpossível cálculo pelos métodos usuas de tegração, vea-se por eemplo e d, e d ou cos d. Outra stuação que, do mesmo modo, causa algumas dculdades, ocorre quado ( é uma ução dscreta, da qual apeas se coecem um dado úmero de valores. Esta stuação é muto usual em uções que traduzem resultados epermetas. Para todas estas stuações as téccas de tegração umérca são por vezes a úca orma de calcular o valore do tegral dedo. Neste capítulo apresetaremos apeas dos métodos de tegração umérca, omeadamete a Regra dos Trapézos e a Regra de Smpso. Veremos também uma orma de acelerar a covergêca destes dos métodos através a camada Apromação Derda de Rcardso.. Regra dos Trapézos Para calcular b a ( d Supomos que o tervalo [ ab ; ] está subdvddo em subtervalos de ampltude ( b a, delmtados pelas segutes abcssas a < < < < < < < b,.e.,,,,. Para smplcar a escrta vamos cosderar (. Em cada -ésmo tervalo a ução é substtuída pelo segmeto de recta que ue os potos (, e (,, calculado-se a área abao deste. Desta orma, a regra dos trapézos cosste em apromar a área abao da ução pela área do trapézo abao do segmeto de recta que ue os valores da ução os etremos do tervalo. Pela ormula da área de um trapézo, esta área é gual a A ( Capítulo 6 tegração Numérca 89

2 C. Balsa & A. Satos Desta orma apromamos o valor do tegral o tervalo por esta área: A (. A área total deda pelo gráco da ução é apromada pela soma das áreas dos trapézos, dedas de moo aálogo à ateror, A A A (. ( ( ( Verca-se assm que a regra dos trapézos os etremos do tervalo [ ab], cotrbuem com peso para o valor de, equato que os potos terores assumem um peso gual a. É possível prever o úmero de tervalos em que é ecessáro subdvdr o tervalo [ ab], para que o erro (de trucatura sea eror a um certo valor ado. Esse erro é dado pela epressão b a a b ( ( ξ, ξ [, ] ε T. Quado são coecdos dos valores apromados de, omeadamete e, em que represeta um valor apromado de calculado para um úmero de tervalos com metade do comprmeto dos utlzados para calcular. Pelo que é de esperar que, logo tervalos estea mas prómo do verdadero valor de do que. A camada Apromação Derda de Rcardso permte acelerar a covergêca para, atrbudo, uma méda pesada de pesos e -, com o peso maor atrbuído ao valor cosderado mas eacto:.. Regra de Smpso Tal como o método ateror, para calcular o valor de, o tegral de o tervalo [ ab] ;, vamos supor que este tervalo está subdvddo em subtervalos de ampltude ( b a, delmtados pelas segutes abcssas a < < < < < < < b,.e.,,,,. A regra de Smpso cosste em substtur a ução, ão por uma recta como é o caso a regra dos trapézos, mas sm por uma parábola (polómo do segudo grau. Como a deção de um polómo do segudo grau ege potos (, e esta regra cosste em decompor a área deda pelo gráco da ução em pares de subtervalos cosecutvos (os tervalos e, para os quas é austado Capítulo 6 tegração Numérca 9

3 C. Balsa & A. Satos um polómo do segudo grau que passa pelos potos (,, (, e (,. Por esta razão o úmero total de subtervalos tem de ser par. Tal como vmos o capítulo ateror, o polómo preteddo de Lagrage: ( p ( ( ( pode ser obtdo através do Método ( ( ( ( p Apromado o valor do tegral da ução ( os subtervalos, pelo tegral do polómo p ( os mesmos tervalos p d ( ( ( ( ( ( ( ( ( d ( ( ( ( ( d Para calcular mas aclmete este tegral, podemos azer, e s. Assm d ds e o tegral ateror é gual a s s s s s s ds ( ( s s ds s s ds s s ds ( Repetdo o processo para todos os pares de subtervalos etre [ ab], e somado-os obtemos a segute apromação para o valor do tegral ( / /. ( ( ( Capítulo 6 tegração Numérca 9

4 C. Balsa & A. Satos Verca-se assm que a regra dos trapézos os potos etremos do tervalo [ ab], cotrbuem com peso para o valor de, os potos de ídce mpar tem peso gual a e os potos de ídce par tem peso gual a. É gualmete possível prever o úmero de tervalos em que é ecessáro subdvdr o tervalo [ ab], para que o erro (de trucatura sea eror a um certo valor ado. Usado a regra de Smpso, esse erro é dado pela epressão ( v ε s ( ba ( ξ, ξ [ a, b]. 8 Quado são coecdos dos valores apromados de, omeadamete represeta um valor apromado de calculado para um úmero de tervalos com metade do comprmeto dos utlzados para calcular e, em que, logo tervalos. A Apromação Derda de Rcardso permte acelerar a covergêca para, atrbudo, uma méda pesada de pesos 6 e -, sedo o peso maor atrbuído ao valor cosderado mas eacto ( : Problemas eemplo Pretede-se calcular, correctamete arredodado à sétma decmal, o valor de..5 e d a Pela regra dos trapézos : Estme o meor úmero par de tervalos são ecessáros? Calcule, valor do tegral dado, para tervalos. Calcule, valor do tegral dado, para tervalos. v Calcule uma apromação derda do valor de. Verque que o valor assm obtdo é mas prómo de que qualquer dos aterores. Capítulo 6 tegração Numérca 9

5 C. Balsa & A. Satos b Pela regra de Smpso : Estme o meor úmero par de tervalos são ecessáros? valor de Calcule, valor do tegral dado, para tervalos (tea á em cosderação que, a utlzar a alíea segute, deve ser par.. Calcule, valor do tegral dado, para tervalos. v Calcule uma apromação derda do valor de. Verque que o valor assm obtdo é mas prómo de que qualquer dos aterores. v Verque que a regra de Smpso é muto mas ecete que a regra dos trapézos. Resolução:.5 e d ;. Δ.5 7 ( e a ( ( ( e ; ba ba Δ b a M ( ( M ma ;,,, ( p ( ;,,,5 v 5 5 ( ( p b ( ( ( e ; 5 ( ( M ma Capítulo 6 tegração Numérca 9

6 C. Balsa & A. Satos ba ba 8 Δ b a M ;,,,8,,, ( p ( ; v ( ( p Problemas propostos Determe um valor apromado de ed para tervalos de comprmeto, 5 e,5, pelos métodos: a Regra dos trapézos, b Regra de Smpso, c Apromação derda de Rcardso. Sabe-se que o,768 é o valor eacto de e d a Determe o úmero mímo de subtervalos (e de potos ecessáros para cosegur tal precsão, usado a regra dos Trapézos ou a regra de Smpso. b Calcule o valor apromado de. Capítulo 6 tegração Numérca 9

7 C. Balsa & A. Satos Determe o úmero de subtervalos e respectva ampltude de modo a apromar o valor de e s( d, com erro eror a, usado a. Regra dos trapézos, b. Regra de Smpso. Calcular com erro eror a 7, o valor de,8 5 d., 5 Cosdere a ução ( coecda apeas através dos segutes valores: y,,,,6,8,,, 98,8, 55 a. Aprome esta ução através de um polómo terpolador usado um método da sua escola. b. Aprome os valores de (,5 e (,65, usado o polómo terpolador determado em a. 6. Bblograa c. Calcule um valor apromado de,8 ( d através da regra de Smpso. - Hetor Pa. Método Numércos. McGraw-Hll, Lsboa, Curts F. Gerald, Patrck O. Wealtley. Appled Numercal Aalyss, St Edto. Addso- Westley, Mcael T. Heat. Scetc Computg a troductory Survey. McGraw-Hll, New York,. Capítulo 6 tegração Numérca 95