CADERNO DE ATIVIDADES

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Mestrado em Eso de Cêcas e Matemátca CADERNO DE ATIVIDADES INTEGRAL DEFINIDA coteúdos de eso e estratégas de apredzagem Thago Lhares Brat Res Oretador: Pro Dr Dmas Felpe de Mrada 05

2 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO O CÁLCULO NA HISTÓRIA 7 INTEGRAL DEFINIDA, CONCEITOS E VISUALIZAÇÕES GEOMÉTRICAS A otação sgma Estmado com somas tas 5 Área 5 Valor Médo Comprmeto do arco de uma curva plaa 5 4 Volume de um sóldo de revolução 0 Lmtes de somas tas 4 4 O Lmte de somas vsto como uma Itegral Deda 40 5 Teorema do Valor Médo 4 6 Teorema Fudametal do Cálculo 45 SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE ATIVIDADES 55 ATIVIDADE : Apromações tas 55 ATIVIDADE : Somatóro 57 ATIVIDADE : Lmte de Somas Ftas 58 ATIVIDADE 4: Teorema Fudametal do Cálculo 59 ATIVIDADE 5: O Lmte de Somas dedo como uma Itegral Deda 6 ATIVIDADE 6: Desevolvedo habldades para o cálculo de área 64 ATIVIDADE 7: O uso do VCN para o cálculo da Itegral Deda 65 ATIVIDADE 8: Epermetado objetos quasquer com láps, borracha, régua, calculadora, GeoGebra e o VCN 66 REFERÊNCIAS 68

3 APRESENTAÇÃO Este produto é o resultado de uma pesqusa realzada o curso de Mestrado em Eso de Cêca e Matemátca da PUC Mas Essas atvdades oram cradas a m de desevolver uma sequêca ddátca para acltar a compreesão o estudo da Itegral Deda aplcada ao cálculo de área, volume e comprmeto de curvas Além dsso, buscamos crar atvdades que permtssem ao aluo, perceber o que está por trás da Itegral Deda Segudo Zabala (998, p 6), a sequêca ddátca devem estr atvdades: a) que os permtam determar os cohecmetos prévos que cada aluo tem em relação aos ovos coteúdos de apredzagem; b) cujos coteúdos são propostos de orma que sejam sgcatvos e ucoas para os aluos; c) que possamos err se são adequadas ao ível de desevolvmeto de cada aluo; d) que represetem um desao alcaçável para o aluo, com a ajuda ecessára, de modo que permtam o desevolvmeto de cada um; e) que provoquem um colto cogtvo e promovam a atvdade metal do aluo; ) que promovam uma attude avorável, ou seja, que sejam motvadoras em relação à apredzagem dos ovos coteúdos; g) que estmulem a autoestma e o autococeto em relação às apredzages que se propõem, ou seja, que o aluo possa setr que em certo grau apredeu, que o esorço valeu a pea; h) que ajudem o aluo a adqurr habldades relacoadas com o apreder a apreder; ) que lhe permta ser cada vez mas autôomo em suas apredzages A pesqusa realzada que embasou a costrução deste Cadero de Atvdades teve como aldade cotrbur para uma apredzagem mas sgcatva da Itegral Deda, por meo de uma Pesqusa-Ação embasada em Foret e Lorezato (006) e Barber (007), submetedo o desevolvmeto de atvdades ddátcas

4 4 plaejadas a um grupo de três aluos volutáros, do segudo período de um curso de egehara de um Cetro Uverstáro em Belo Horzote A partr da temátca em estudo, oram, etão, elaborados três objetvos especícos, que oram alcaçados: Implemetamos um ambete para o estudo de Itegral Deda, com tetos de atvdades ddátcas e acesso a sotwares matemátcos como o GeoGebra e o VCN, que permtssem o acompahameto e a observação da ação de um grupo de aluos de egehara Utlzamos a teora dos coteúdos de apredzagem o desevolvmeto das atvdades, para que os aluos adqurssem autooma, partcpado da costrução do própro cohecmeto Produzmos um produto (Cadero de Atvdades), que buscasse cotrbur para o eso e apredzagem de Itegral Deda, desevolvedo o racocío e o etedmeto do tema Ressalta-se que a orte relação estete etre a artmétca, a álgebra e a geometra, as aplcações geométrcas da Itegral Deda o observada ao logo da pesqusa, o mometo em que esta o relacoada com o Lmte de somas Portato, essa relação deve ser abordada pelo proessor, em beeíco do apredzado do aluo, pos mostra o que está por trás do cálculo da Itegral Deda Na elaboração deste Cadero de Atvdades, os apoamos as teoras de Zabala (998) e Duval (009) elaborado questões que levaram os aluos a observar, questoar e relacoar cocetos, sgcados e procedmetos de cálculo Portato, as atvdades oram orgazadas e apresetadas de acordo com o materal utlzado Tora-se mportate saletar que o cadero apreseta sugestões de atvdades e o proessor poderá, cohecedo a realdades dos seus aluos, realzar as devdas alterações adaptado-as para suas aulas Tratam-se de 8 atvdades a serem trabalhadas, descrtas coorme quadro a segur:

5 5 Quadro Oretações Metodológcas das Atvdades ATIVIDADE DURAÇÃO OBJETIVOS GERAIS METODOLOGIAS Atvdade : Apromações tas ( Questões) h/aula Estmar meddas de áreas, volumes e comprmetos de arcos Utlzar as apromações tas, o sotware GeoGebra e o Atvdade : Somatóro ( Questões) Atvdade : Lmte de somas tas ( Questões) Atvdade 4: Teorema Fudametal do Cálculo ( Questões) Atvdade 5: O Lmte de somas dedo como uma Itegral Deda (5 Questões) Atvdade 6: Desevolvedo habldades para o cálculo de área ( Questão) Atvdade 7: O uso do VCN e do GeoGebra para o cálculo da Itegral Deda ( Questões) Atvdade 8: Epermetado deretes mídas e modelos (6 Questões) h/aula Ldar com o símbolo Somatóro 4 h/aula Avalar Lmtes de somas e aplcar em cálculo de área e volume 4 h/aula Eteder o Teorema Fudametal do Cálculo e aplcá-lo em cálculos de meddas geométrcas 4 h/aula Eplorar a Itegral Deda como Lmte de somas h/aula Eplorar deretes modelos para estmar meddas geométrcas h/aula Desevolver habldades para o cálculo de Itegras Dedas 8 h/aula Represetar matematcamete modelos íscos e avalar suas meddas Fote: Dados da pesqusa cálculo maual Utlzar a deção e as propredades do Somatóro e o cálculo maual Utlzar propredades dos Lmtes, do Somatóro e o cálculo maual Utlzar a otação de Itegral e o cálculo maual Utlzar a relação etre a álgebra e a geometra (equações e grácos) através do cálculo maual Utlzar cocetos para a motagem dos modelos, o cálculo maual, o GeoGebra e o VCN Utlzar cocetos para a motagem dos modelos, o cálculo maual, o GeoGebra e o VCN Utlzar cocetos, órmulas, o cálculo maual, o GeoGebra e o VCN Este cadero de atvdades apreseta a segute orgazação: Na prmera parte, teórca, apresetam-se dos capítulos, sedo um deles cotedo um breve hstórco sobre o tema, e o segudo com eplcações teórcas que servrão como auílo sob a orma de letura etra-aula para os aluos ou, ada, como maera para se troduzr o assuto para os aluos ates da eecução das atvdades

6 6 Na seguda parte o capítulo, com os Roteros de Atvdades propramete dtos Falzado, as reerêcas bblográcas para a costrução deste produto, a m de que possa aular o drecoameto de possíves leturas para o proessor e, porque ão dzer, também para o aluo que demostre teresse pelo assuto Bom trabalho!

7 7 O CÁLCULO NA HISTÓRIA Segudo Satos Flho (00), as orges do Cálculo remotam à Gréca atga, sedo os seus precursores Eudoo de Cdo (90-8 ac) e Arqumedes de Sracusa (87- ac) Eudoo, dscípulo de Platão (47-48 ac) - udador da Academa em Ateas, a mas mportate da Gréca o cosderado o maor matemátco do seu tempo e desevolveu o Método da Eaustão, uma base para o Cálculo Itegral Arqumedes desevolveu métodos para determar áreas de regões lmtadas por curvas e volumes de regões lmtadas por superíces, utlzado, mutas vezes, o Método da Eaustão Aos problemas de Cálculo de áreas de guras plaas, os matemátcos atgos se reeram como quadratura, sedo amoso o problema da quadratura do círculo, que ada mas é do que a determação de um quadrado com a área equvalete à área de um determado círculo Mutos outros matemátcos trabalharam com o Cálculo, algus tetado provar a sua cosstêca lógca, outros utlzado o seu poder operacoal, sem se preocupar com as questões losócas da sua orgem O racês Perre de Fermat (60-665) abordou a quadratura de hpérboles tas usado um cojuto de retâgulos scrtos cujas áreas relacoavam-se como termos de uma Progressão Geométrca Assm como Fermat, o racês Reé Descartes ( ) também estava teressado a trodução dos métodos algébrcos a geometra, com o objetvo de torar as soluções depedetes das propredades das curvas, possbltado, assm, a geeralzação das soluções Ambos também zeram estudos sobre tagetes, utlzado métodos algébrcos Durate a prmera metade do século XVII, utlzado-se de um método ou outro, os matemátcos já tham solução, tato para determação das tagetes, quato para a quadratura de curvas do tpo y (sedo tero e postvo) O matemátco talao Evagelsta Torrcell ( ) coseguu relacoar tagetes e quadraturas dretamete, através do coceto de movmeto, geeralzado e estededo deas já desevolvdas por Galleu, do qual o aluo, e do talao Boavetura Cavaler ( ), seu amgo e sóco No caso desta curva do movmeto, em partcular, Torrcell compreeda a relação versa etre a tagete e a quadratura, porém, ão publcou seus trabalhos a respeto do assuto,

8 8 equato estava vvo Suas deas oram trasmtdas por termédo do seu dscípulo talao Steao degl Agel (6-697) aos matemátcos gleses Isaac Barrow (60-677) e James Gregory (68-675) Em um trabalho deomado Geometrae pars uversals (A parte uversal da Geometra), de 668, Gregory az uma eposção cotedo operações para determação de arcos, tagetes, áreas e volumes que estaram vculados a um trabalho de Cálculo tesmal Esta obra mostra que ele já tha compreesão da relação versa etre tagete e quadratura, pos em determada proposção ao logo do trabalho, ele passa dretamete da quadratura de uma curva à costrução da tagete Barrow, que o proessor de Newto, o um pouco além, e o seu Lectoes Geometrae, de 670, apreseta o que se cohece como Teorema Fudametal do Cálculo, através da versbldade etre uma quadratura e uma tagete Ada o século XVII, com a dvulgação dos trabalhos do glês Isaac Newto (64-77) e do alemão Gottred Wlhelm Lebz (646-76), ocorreu uma sgcatva mudaça a Cêca Tão sgcatva que, tradcoalmete, a orgem do Cálculo é atrbuída a eles Etretato, etre a Gréca atga e o al do século XVII, muta Matemátca o desevolvda a busca do etedmeto dos problemas das quadraturas e das tagetes, o que possbltou aos dos grades matemátcos realzarem esta veção Assm, date do eposto, pode-se, etão, resumr o ceáro da época em que Newto e Lebz desevolvam os seus métodos para o Cálculo: - o modelo de Arqumedes, embora prestgado, era pouco usado devdo à dculdade de aplcação prátca; - a represetação algébrca coqustava espaço rapdamete; - a otação de Descartes se propagava rapdamete; - a pesqusa de métodos geras com possbldade de aplcação em todas as curvas gahava espaço em relação aos métodos utlzados para curvas especícas; - a quadratura se torou recohecda como modelo geométrco para todos os métodos de tegração (cubatura, retcação de arcos etc); - a relação etre os métodos de costrução das tagetes e a determação dos potos etremos já estava estabelecda; - a relação versa etre tegração (quadratura) e derecação (determação das tagetes) já hava sdo tratada por mutos matemátcos, tas

9 9 como Torrcell, Gregory e Barrow, sedo que Barrow publcou uma demostração do Teorema Fudametal do Cálculo, em 670; - a dea da descrção de curvas por meo da aálse de movmetos hava sdo usada para determar tagetes, quadraturas e para relacoar uma com a outra; tpo: - para a quadratura de curvas algébrcas, já hava uma regra especíca do p p d, ode p é um úmero racoal derete de -; p - teresses crescetes em métodos de tagetes, prcpalmete com Fermat e Descartes, levaram Fras Va Schoote (65-660) a dealzar um algortmo, ou seja, um cojuto de regras para a passagem do problema a orma da equação de uma curva para a solução al, que sera a costrução da tagete; e - hava um grade teresse a possbldade de epasão em séres como meos de tegração, estmulado prcpalmete por Joh Walls (66-70) A partr da aálse do ceáro em que se ecotrava o estudo do Cálculo, por volta de 66, coube a Newto esteder para todas as curvas e ucar os város processos e o Lebz quem os relacoou através de uma otação ecaz e operacoal, ressaltado que ambos o zeram sem que um cohecesse o trabalho do outro, porém, uma grade polêmca se estabeleceu etre ambos para provar de quem sera a prmaza da veção Essa polêmca retardou o desevolvmeto da Matemátca glesa em um século, pos a otação de Lebz que era muto mas leível e, portato, mas útl para o desevolvmeto do Cálculo, o adotada o cotete a começar pelos raceses e rejetada pelos gleses O ato é que Lebz cou seus estudos de Cálculo tesmal em 675 e os publcou o peródco Acta Erudtorum, em 684 (revsta cetíca mesal alemã publcada etre 68 e 78), equato Newto só publcou algo relatvo ao Cálculo três aos mas tarde, o seu Phlosophae aturals prcpa mathematca (Prcípos matemátcos da losoa atural), ode, em algumas passages, o Cálculo era abordado, estado, porém, a orma geométrca Já o tratado Methodus luoum et sererum tarum (O método das luões e séres tas) o a mas etesa eposção do seu Cálculo, sedo escrta em 67, sedo publcado em 76 Hoje parece bastate claro que a descoberta de Newto atecede a de Lebz em cerca

10 0 de 0 aos, e que os trabalhos de Lebz oram etos depedetemete dos trabalhos de Newto, apesar de Lebz ter publcado seus trabalhos prmero Para Newto, as quatdades que cosderava perceptíves, porém dedamete crescetes, são cosderadas luetes e as velocdades com que elas luem são cosderadas luões Já Lebz baseou suas descobertas em algumas deas que se revelaram especalmete mportates, a saber: a busca de um smbolsmo e de uma otação, vculados à sua dea de uma lguagem smbólca geral, uma vez que ele ão estava teressado em resultados especas, mas em métodos tão geras quato possível Recoheceu, também, que a determação das tagetes e o cálculo de áreas são processos versos Um dos cocetos báscos do Cálculo de Lebz é o da Derecal, ode dy é a derecal de uma varável y, ou seja, a dereça tamete pequea etre dos valores cosecutvos de y, e d é a derecal de uma varável, ou seja, a dereça tamete pequea etre dos valores cosecutvos de E o Lebz quem crou o atual símbolo da Itegral, represetado um S, a cal da palavra Suma, que sgca Soma Lebz ão publcou suas descobertas medatamete, apeas ove aos depos, em outubro de 684, o Acta erudtorum Lpsesum (Atas dos erudtos de Lepzg, o prmero peródco cetíco da Alemaha, udado em 68), um artgo ttulado Um ovo método para mámos e mímos assm como para tagetes ão mpeddo por quatdades em racoas em rracoas e um mportate tpo de cálculo para elas Também com Lebz cou estabelecda claramete a dea de que a derecação e a tegração eram operações versas O seu smbolsmo algébrco se mostrou muto mas ecete que o de Newto, sedo até hoje adotado uversalmete De um modo geral, os lvros de Cálculo tratam Newto e Lebz como os vetores do Cálculo, mas etede-se que ao tempo deles já hava mutas cotrbuções ao seu desevolvmeto, etas por grades matemátcos Newto e Lebz, a verdade, ão vetaram o Cálculo, mas zeram algo derete, zeram algo maor que seus atecessores, ou, como Newto mesmo dsse, em 676: Se cosegu eergar mas loge o porque estava apoado sobre os ombros de ggates

11 Porém, mesmo date do que o eposto, etede-se que, o al das cotas, Newto e Lebz receberam o mérto de serem os vetores do Cálculo, pos: - os város métodos tesmas dos seus atecessores eram muto restrtos a determadas curvas; - ambos craram um sstema coerete de métodos a m de resolver problemas sobre todos os tpos de curvas (quadraturas, tagetes etc), depedetes de suas aturezas; - o Teorema Fudametal do Cálculo o recohecdo uversalmete a partr deles, mas Barrow já o hava demostrado Esse é o teorema que trata da relação versa etre a derecação e a tegração Através deste Teorema recoheceu-se o relacoameto recíproco etre os problemas de quadraturas e das tagetes; - ambos craram um sstema de otação e de símbolos pelo qual podam aplcar aaltcamete os seus ovos métodos, a orma de um algortmo claro e smples, dado orgem ao ormuláro do Cálculo Itegral e Derecal; - acrescetaram às somas por apromações tas, oções de lmte, apereçoado a técca, torado-a mas precsa e rápda; - se promovam melhor que seus atecessores Fgura Newto e Lebz e o Lmte de somas Fote: Elaborado pelo autor

12 INTEGRAL DEFINIDA, CONCEITOS E VISUALIZAÇÕES GEOMÉTRICAS Um dos grades avaços da geometra clássca o obter órmulas para determar área de guras plaas como trâgulos e círculos, volume de sóldos de revolução, como cldros, coes e eseras, assm como determar o comprmeto de curvas Neste trabalho serão apresetadas algumas maeras de se calcular área, valor médo, comprmeto de arco e volume, de guras em sempre cohecdas, tedo, como errametas, a otação sgma, a estmação por somas tas, Lmtes de somas tas, Lmte de somas tas vsto como uma Itegral Deda, e, por m, o Teorema Fudametal do Cálculo A otação sgma Segudo Stochero (99), Desde os tempos memoras, quado o homem deparou-se com as prmeras ecessdades de cotar, tem sdo cessate a busca de téccas e processos que lhe avorecessem os cálculos Se os prmeros esaos houve a utlzação dos dedos das mãos ou de pequeos ragmetos de pedra lascada, com o passar dos séculos tas recursos revelaram-se ecazes (STOCHIERO, 99, p9) Posterormete, os egípcos, os bablôos, os gregos e os romaos desevolveram téccas mas aprmoradas de cotagem Porém, somete a partr do século IX, através de Al-Karsm, surgu o sstema de umeração poscoal dotado de apeas dez algarsmos, cotrbudo decsvamete para o avaço da Matemátca os séculos subsequetes (STOCHIERO, 99) Tal qual esse desao hstórco, o estudoso das cêcas matemátcas deve trazer detro de s o cudado de sempre utlzar uma smbologa smples e adequada que represete, de orma sucta e equívoca, as operações que deseja realzar Assm, se quser determar a soma dos 00 prmeros úmeros aturas, , usa-se a otação:

13 Sedo: : letra sgma maúscula, do alabeto grego, correspodete à ossa letra S, de soma Nas operações matemátcas, tal símbolo recebe a deomação especíca de somatóro; : ídce da soma, represetado ode começa e ode terma a soma Assume valores teros; : lmte eror da soma; 00: lmte superor da soma Eemplos: ) ( j j ) ( k k ) ( ) ( () () ) ( Tem-se, como propredades do somatóro, portato, segudo Stochero (99): ) k k, sedo k uma costate dada ) k k ) ( ) g g ) ( ) ( ) ( ) (

14 4 v) [ ( ) ( )] ( ) (0) (STOCHIERO, 99, p4) Além dsso, o Cálculo Somatóro apreseta algumas gualdades otáves de grade utldade, etre as quas podem ser ctadas como mas utlzadas: A soma dos prmeros teros postvos: A hstóra (STOCHIERO, 99) dz que Gauss, oretador de Rema, a descobru por volta dos 8 aos de dade: A soma dos quadrados dos prmeros teros postvos: Eemplo : Calcular o somatóro em cada caso abao: a) 7 7 b) c) Eemplo : Calcular a soma dos 00 prmeros úmeros aturas: Eemplo : Calcular a soma dos quadrados dos 00 prmeros úmeros aturas: p44) (STOCHIERO, 99, 6

15 5 Estmado com somas tas A dea básca da tegração é que mutas quatdades podem ser calculadas quado dvddas em pedaços meores e, etão, soma-se a cotrbução de cada parte Essas somas tas represetam a base da deção da tegração, podedo ser utlzadas em váras aplcações, como áreas, volumes e cumprmetos de curvas Área Segudo Thomas, Wer e Hass (009), embora ão se teha ada uma órmula geométrca smples para calcular a área de ormas com cotoro curvo, como a regão R, é possível apromá-la de um modo smples, utlzado retâgulos para preecher a área Assm, quato maor or a quatdade de retâgulos utlzados para preecher a mesma área, meor será o maor será a precsão da apromação, e, cosequetemete, O cálculo da área, portato, pode ser realzado através da soma das áreas dos retâgulos, pela órmula: c c c S Logo, a medda da área é dada por: S = Ode: c ou S =, [ ] ; é a medda da base do retâgulo ou o comprmeto do tervalo c é um poto arbtráro do tervalo ] ; c é a magem de c [ c, ou melhor, a medda da altura do retâgulo; é o produto que dá a área do retâgulo S é a soma das áreas dos retâgulos Observe que para se calcular a medda da área da gura, serão utlzados algus retâgulos, como será vsto adate

16 6 Fgura - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [0,] Fote: Thomas, Wer e Hass, 009, p54 Como mostrado a gura, ota-se que em (a), oram utlzados dos retâgulos Somado essas áreas, obtém-se 0,875 ua, uma apromação superor à área da regão R Já em (b), oram utlzados quatro retâgulos Somado essas áreas obtém-se 0,785 ua, uma apromação superor, porém, melhor Fgura - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [0,], calculada por uma apromação superor Fote: Thomas, Wer e Hass, 009, p55 Já a gura 4, em (a), oram usados três retâgulos Somado essas áreas, obtemos 0,55 ua, uma apromação eror à área da regão R Em (b), o utlzado o poto médo de cada base de retâgulo para determar a altura y=() Somado essas áreas, obtém-se 0,67875 ua Essa é a regra do poto médo, que etre as ormas utlzadas, é a que melhor se aproma de R

17 7 Fgura 4 - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [0,], calculada por uma apromação eror e pela regra do poto médo Fote: Thomas, Wer e Hass, 009, p 56 Vale a pea, portato, observar que quato meores orem as meddas das bases desses retâgulos ( ), mas subtervalos serão obtdos e, portato, mas prómos da área real se estará, como dcado a gura 5: Fgura 5 - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [0,], calculada por uma apromação eror e por uma apromação superor, com bases meores Fote: Thomas, Wer e Hass, 009, p 57 Como vsto, em (a), oram utlzados dezesses retâgulos scrtos Somado essas áreas, obtém-se 0, ua, uma apromação eror à área da regão R Já em (b), também oram utlzados dezesses retâgulos crcuscrtos Somado essas áreas, obtém-se 0, ua, uma apromação superor A regra do

18 8 poto médo para esses 6 retâgulos sem-scrtos dá uma apromação da área total o valor de 0, , ou seja, bem próma da área real Es as apromações tas da área de R (TABELA ): Tabela - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [0,], calculada por uma apromação eror, pela regra do poto médo e por uma apromação superor, com úmero de subtervalos dsttos Número de Soma eror Regra do poto Soma superor subtervalos médo,75,6875,875 4,55,67875,785 6, , , ,6566,6667, ,6665,666675, ,666665, , Fote: Thomas, Wer e Hass, 009, p57 Na gura 6, observa-se que os retâgulos apromam a regão que ca etre a curva da ução () e o eo Nesse caso, os subtervalos têm larguras deretes Fgura 6 - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [a,b], calculada por uma soma de áreas de retâgulos com meddas de bases dsttas Fote: Thomas, Wer e Hass, 009, p 7

19 9 Já a gura 7, os subtervalos têm a mesma largura, que pode ser b a calculada por =, ode é a largura dos mesmos Fgura 7 - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [a,b], calculada por uma soma de áreas de retâgulos com meddas de bases guas Fote: Adaptada de Thomas, Wer e Hass, 009, p 70 Eemplo: Através das apromações tas, estmar a área sob a curva da ução ( ), etre e 5 utlzado: Uma soma eror com dos retâgulos de guas larguras Tedo, como base o trabalho com o sotware GeoGebra, tem-se, etão, a gura 8, a segur:

20 0 Fgura 8 - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [,5], calculada por uma soma eror com dos retâgulos de gual largura Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra No trabalho com o sotware GeoGebra, tem-se, etão, como medda da soma das áreas dos retâgulos: 0,67+0,9 =,06 ua Uma soma eror com quatro retâgulos de guas larguras Fgura 9 - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [,5], calculada por uma soma eror com quatro retâgulos de gual largura Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra

21 , ua Como se pode otar, pela gura 9, tem-se, como área = 0,+0,7+0,4+0,5 = Uma soma superor com dos retâgulos de guas larguras Fgura 0 - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [,5], calculada por uma soma superor com dos retâgulos de gual largura Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Como pode ser otado a gura 0, o valor da área lmtada o de + 0,67 =,67 ua

22 Uma soma superor com quatro retâgulos de guas larguras Fgura - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [,5], calculada por uma soma superor com quatro retâgulos de gual largura Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Portato, a área ecotrada o de + 0,5 + 0,4 + 0,6 =, ua Dos retâgulos cujas alturas sejam dadas pela magem da ução o poto médo da base do retâgulo (regra do poto médo) Fgura - Área lmtada pela curva da ução, o tervalo [,5], calculada por dos retâgulos cujas alturas são dadas pela magem da ução o poto médo da base do retâgulo (regra do poto médo) Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra

23 A área calculada pelo sotware dos retâgulos o de + 0,5 =,5 ua Quatro retâgulos cujas alturas sejam dadas pela magem da ução o poto médo da base do retâgulo (regra do poto médo) Fgura - Área lmtada pela ução, o tervalo [,5], calculada por quatro retâgulos cujas alturas são dadas pela magem da ução o poto médo da base do retâgulo (regra do poto médo) Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Dessa orma, a partr do sotware utlzado, pode-se otar que a área = 0,67 + 0,4 + 0,9 + 0, =,57 ua Pode-se err, portato, date dos eercícos eemplcados que quato meor orem as meddas das bases desses retâgulos, mas subtervalos teremos e, portato, mas prómos da área real estaremos Em todos os casos, as apromações chegarão perto da área real, desde que todos os retâgulos sejam sucetemete estretos Dessa orma, quado se tem poucos retâgulos, a regra do poto médo é a que melhor se aproma Valor Médo Geometrcamete, o valor médo de (), sedo () > 0, é a altura méda de um retâgulo, utlzada para calcular a área apromada etre a curva e o eo das abscssas, um determado tervalo (FIGURA 4)

24 4 Fgura 4 - Valor médo Fote: Thomas, Wer e Hass, 009, p 60 Em (a), o utlzada uma gura cuja órmula para o cálculo de área é cohecda: Área do retâgulo = Base Altura A ( b a) c Logo, A c b a O valor médo de () = c o tervalo [a, b] é, portato, a área do retâgulo dvdda por (b a) Em (b), já o utlzada uma gura cuja órmula para o cálculo de área é descohecda Nem por sso o procedmeto será derete, pos a dea cotua sedo a mesma O valor médo de g(), ou seja, a altura méda da área abao da curva, o tervalo [a, b] é, portato, a tal área dvdda por (b a) Portato, para se calcular o valor médo, deve-se, prmero, calcular a medda da área e, etão, dvd-la pelo comprmeto da base O resultado obtdo será o tal valor médo, ou melhor, a altura méda Multplcado o comprmeto da base pelo valor médo, obtém-se a área da gura Caso ão seja possível calcular as meddas eatas, serão obtdas meddas bem prómas Eemplo: Através das apromações tas, estmar a área sob a curva da ução ( ) se, etre 0 e e, logo em seguda, estmar o valor médo da ução, esse tervalo, utlzado dez retâgulos crcuscrtos:

25 5 Resolução com o auílo do sotware GeoGebra: Fgura 5 - Área lmtada pela curva da ução ( ) se, o tervalo [ 0, ] Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Pode-se otar a gura 5, que, após a serção dos dados o sotware, chegou-se às segutes meddas: Área total, u a Comprmeto da base total =,4 uc Logo, o valor médo é gual a,,4 0,7 uc Comprmeto do arco de uma curva plaa Segudo Flemmg e Goçalves (006, p 5), a represetação de uma ução y = () um tervalo [a,b] pode ser um segmeto de reta ou uma curva qualquer A porção da curva do poto A (a, (a)) ao poto B (b, (b)) é chamada arco O objetvo, portato, é estmar o comprmeto desse arco, tutvamete (FIGURA 6)

26 6 Fgura 6 - Comprmeto do arco Observe: Fote: Flemmg e Goçalves, 006, p 5 a) O gráco abao o tervalo [a,b] represeta um segmeto de reta (FIGURA 7) Fgura 7 - Comprmeto do segmeto de reta Fote: Adaptado de Flemmg e Goçalves, 006, p 5 O comprmeto s desse segmeto AB dcado a gura 6 pode ser calculado através do Teorema de Ptágoras Veja: s s b a ( b) ( a) b a ( b) ( a) a) Já o gráco abao, o mesmo tervalo, represeta uma curva qualquer (FIGURA 8)

27 7 Fgura 8 - Comprmeto de uma curva qualquer Fote: Flemmg e Goçalves, 006, p 6 O comprmeto s dessa curva mostrada a gura 8 pode ser calculado através da soma de pequeos segmetos, obtdos também pelo Teorema de Ptágoras Nesse caso, cada segmeto estará represetado a hpoteusa de um trâgulo retâgulo Fgura 9 - Comprmeto de uma curva qualquer, através da soma de pequeos segmetos, represetados pelas hpoteusas dos trâgulos retâgulos Fote: Adaptado de Flemmg e Goçalves, 006, p 6 Assm, S é a soma das meddas das hpoteusas determadas o tervalo dado Observe que quato meor or o estará Portato:, mas prómo do comprmeto real se S ( 0 ) ( ( ) ( 0 )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) Logo,

28 8 S )) ( ) ( ( ) ( Aalsado sob outro aspecto cada trâgulo gerado, tem-se, através do Teorema de Ptágoras (FIGURA 0): Fgura 0 - Trâgulo retâgulo Fote: Elaborada pelo autor Nesse caso, S é a soma das meddas das hpoteusas L y S L S Eemplo: Através das apromações tas, estmar o comprmeto do arco da curva da ução se ) (, etre 0 e, utlzado oto trâgulos retâgulos com mesma medda de base

29 9 Resolução com o auílo do sotware GeoGebra: Fgura - Comprmeto do arco da curva da ução ( ) se, o tervalo [0, ], utlzado oto trâgulos retâgulos com mesma medda de base Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Dessa orma, as meddas dos catetos do trâgulo ADJ são dadas por: AJ : Aplcado o Teorema de Ptágoras, pode-se calcular a medda da hpoteusa Obs: Como o GeoGebra calcula a medda da hpoteusa, ão é ecessáro utlzar o Teorema de Ptágoras Portato, a partr de agora, serão apresetadas as meddas das outras sete hpoteusas já calculadas pelo sotware

30 0 Trâgulo JPK: JK 0,84 Trâgulo KLP: KL 0,84 Trâgulo BEL: BL,06 Trâgulo BHM: BM,06 Trâgulo MNQ: MN 0,84 Trâgulo NOQ: NO 0,84 Trâgulo FIO: OF,06 Agora, basta somar as meddas das oto hpoteusas obtdas, para se estmar o comprmeto da curva, o tervalo dado Como S ) ( ( ) ( )) (, tem-se, etão: S 8 =,06 + 0,84 + 0,84 +,06 +,06 + 0,84 + 0,84 +,06 S 8 = 7,6 uc 4 Volume de um sóldo de revolução Segudo Flemmg e Goçalves (006), azedo uma regão plaa grar em toro de uma reta o plao, obtém-se um sóldo, que é chamado sóldo de revolução A reta ao redor da qual a regão gra é chamada de eo de revolução Observe algus casos: a) Grado a regão lmtada pelas curvas y = 0, y = e = 4 em toro do eo, o sóldo de revolução obtdo é um coe, como dcado a gura

31 Fgura - Vsualzação do sóldo gerado a partr da rotação da reta de equação y =, o tervalo [0, 4], em toro do eo Fote: Flemmg e Goçalves, 006, p 46 b) Grado o retâgulo lmtado pelas retas = 0, =, y = 0 e y = em toro do eo y, obtém-se um cldro (FIGURA ) Fgura - Vsualzação do sóldo gerado a partr da rotação da reta de equação =, o tervalo [0, ], em toro do eo y Fote: Flemmg e Goçalves, 006, p 46 c) Grado uma regão plaa qualquer em toro do eo, obtém-se o sóldo de revolução represetado a gura 4 Fgura 4 - Vsualzação do sóldo gerado a partr da soma dos volumes dos cldros Fote: Flemmg e Goçalves, 006, p 47

32 ( c ) Assm, seja o comprmeto do tervalo [, ] Em cada tervalo [, ], escolhe-se um poto qualquer c Para cada, =,,, costró-se um retâgulo R, de base e altura Fazedo cada retâgulo R grar em toro do eo, o sóldo de revolução obtdo passa a ser um cldro No cldro, c ) passa a ser a medda do rao e passa a ser a medda da altura, cujo volume é dado por: V = Área da base altura Assm, V = r h V = c A soma dos volumes dos cldros, pode ser represetada por V : V c c c V c ou V ( Essa órmula dá uma apromação do volume do sóldo represetado a gura 4 A gura 5 lustra a soma dos volumes dos cldros se apromado do volume real Fgura 5 - Vsualzação do sóldo gerado a partr da soma dos volumes dos cldros, com alturas meores Fote: Flemmg e Goçalves, 006, p 48

33 Eemplo: Através das apromações tas, estmar o volume do sóldo de revolução gerado pela rotação da reta ( ) em toro do eo, o tervalo [0, ], utlzado oto cldros com mesma medda de altura Resolução com o auílo do sotware GeoGebra: Fgura 6 - Volume do sóldo de revolução gerado pela rotação em toro do eo, da área lmtada pela curva de equação ( ), o tervalo [0, ], utlzado oto cldros com mesma medda de altura Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Essa gura 6 apreseta a vsta lateral do sóldo gerado, obtedo-se oto cldros de mesma altura com raos que varam de a 4,5 uc A partr daí, calculase o volume de cada um deles, somado-os a m de calcular o volume apromado, como a segur: Volume : 0,5 0,78 u v Volume :,5 0,5,77 u v Volume : 0,5,4 u v Volume 4:,5 0,5 4,9 u v

34 4 Volume 5: 0,5 7,07u v Volume 6:,5 0,5 9,6 u v Volume 7: 4 0,5,57 u v Volume 8: 4,5 0,5 5,9 u v Tem-se, etão, o volume total apromado: V c V 8 0,78 +,77 +,4 + 4,9 + 7,07 + 9,6 +,57 + 5,9 V 8 55,75 u v Observe que quato meor or a medda do tervalo da altura do cldro, ou seja, a medda de sua soma estará, mas cldros são obtdos e mas prómos do volume real Lmtes de somas tas Como vsto, as apromações de somas tas descrtas aterormete cavam mas precsas coorme o úmero de termos cresca e a medda subtervalos dmuía O eemplo a segur (STOCHIERO, 99, p 50) mostra como calcular um valor lmte quado a base do retâgulo tede a zero e o úmero de retâgulos cresce rumo ao to, ou seja, tede ao to Calcular a área lmtada pela reta ()= e pelo eo, o tervalo [, 5], utlzado o Lmte de somas Isso será eto dvddo o tervalo em subtervalos guas e utlzado retâgulos scrtos Ada segudo Stochero (99), dos [] todo o racocío desevolvdo com a utlzação dos retâgulos scrtos também é váldo para os retâgulos crcuscrtos Ao cosderarmos o úmero de retâgulos crcuscrtos sucetemete grade, os ragmetos de área em ecesso (que etrapolam a regão dada) também serão desprezíves e o resultado ecotrado será o mesmo Aalogamete, a

35 5 utlzação de retâgulos sem -scrtos os coduz ao mesmo resultado (STOCHIERO, 99, p54) O que o dto por Stochero (99) pode ser vsualzado a partr da gura 7: Fgura 7 - Área lmtada pela curva de equação ()= e pelo eo, o tervalo [, 5], utlzado o Lmte de somas retâgulo): Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Assm, como pode ser otado a gura 7, tem-se que: Número de subtervalos (ou úmero de retâgulos): Comprmeto de cada subtervalo 5 4 Altura de cada retâgulo: (ou comprmeto da base de cada Percebe-se, etão, que há, o eemplo acma, uma boa apromação da área desejada, somado as áreas dos retâgulos, ou seja, através do somatóro: A Etede-se, ada, que quato meor or a medda da base do retâgulo, mas retâgulos o mesmo tervalo são obtdos e, portato, mas prómos da área real sua soma estará Por sso, surgu a ecessdade de utlzar o Lmte para aprmorar a ecáca do cálculo, coorme órmula a segur:

36 6 A lm Vale a pea observar que aumetado o úmero dedamete, ou seja, de retâgulos, cosequetemete, o comprmeto de sua base va tededo a zero, ou seja, 0 Por sso, pode-se escrever a órmula da área de outra orma também, quer seja: A lm 0 Assm, voltado aos dados do eercíco, tem-se que é costate e que vara de acordo com o tervalo, sedo ecessáro, etão, determar uma epressão para represetar Aalsado ovamete a gura 7 etede-se que: 4 Logo, 4 = - = 4 = 4 Portato, a área poderá ser calculada pela órmula:

37 7 A lm A 4 4 lm A 6 lm A 6 lm A 6 lm 6 lm A 6 lm A A 8 lm A 8 8 lm 8 0 A 8 a u A Es outro eemplo: Calcular o volume do sóldo de revolução gerado pela rotação em toro do eo, da área lmtada pela curva de equação () =, o tervalo [0, ], utlzado o lmte de somas A resolução com o auílo do GeoGebra é apresetada a gura 8

38 Fgura 8 - Volume do sóldo de revolução gerado pela rotação em toro do eo, da área lmtada pela curva da equação () =, o tervalo [0, ], utlzado o Lmte de somas 8 Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Pode-se vercar, portato, que a gura 8 represeta a vsta lateral dos cldros, com, de altura, com 0, que, jutos, tedem a ormar um coe Já o compreedda, etão, a possbldade de uma boa apromação do volume desejado, somado os volumes dos cldros, ou seja, através do somatóro: V Percebeu-se, ada, que quato meor or a medda da altura de cada cldro, mas cldros o mesmo tervalo serão obtdos e, cosequetemete, mas prómos do volume real sua soma estará, o que permtu a utlzação do Lmte para aprmorar a ecáca do cálculo, sob a órmula: V lm

39 9 Vale a pea observar que, da mesma maera como ocorreu o cálculo de área, aumetado o úmero de cldros rumo ao to, ou seja,, cosequetemete, a medda de sua altura va dmudo rumo a zero, ou seja, 0 Por sso, pode-se escrever a órmula do volume da segute maera: V 0 lm, ode: 0 Assm, ada aalsado a gura 8 tem-se que: Logo, Portato,

40 40 V V V V V V lm lm lm lm lm lm lm lm lm lm lm lm v u V V V V V V V 4 O Lmte de somas vsto como uma Itegral Deda O símbolo o troduzdo por Lebz e é deomado sal de tegração Esse símbolo represeta um S alogado, sso porque a Itegral é um Lmte de Somas tas

41 4 Na otação b a d, é chamado tegrado; a e b são os Lmtes de tegração, ode a é o lmte eror e b o lmte superor; algebrcamete, d dca que a varável da ução tegrado é ; geometrcamete, d dca o quato está varado, o cálculo de uma área, volume, curva etc, podedo represetar comprmeto da base, largura ou altura de uma determada gura A soma S= ( c ) é chamada soma de Rema, em homeagem ao matemátco alemão Berhard Rema (86-866), ode é a largura do tervalo S, etão, represeta a soma das áreas dos retâgulos lmtados etre a curva da ução () e o eo ou g(y) e o eo y Esse é o coceto geométrco da Itegral Deda, que permte, etre outras cosas, o cálculo da área de orma tegral Logo, a Itegral Deda de em [a,b] é o Lmte das somas de Rema, sob a órmula: b a d = lm ( c ) Segudo Stewart (04, p50), o Teorema Fudametal do Cálculo é aproprado, pos estabelece uma coeão etre os dos ramos cetras do Cálculo, o Derecal e o Itegral, cosderados como versos um do outro Isto sgca que se uma ução cotíua é prmeramete tegrada e depos derecada (ou vce-versa), volta-se à ução orgal, como vsto a segur: Itegral deda : Itegral deda : b a d g d gb ga Ode g( ) é a prmtva de c Admte tas soluções Admte uma úca solução, sto é, uma uçãotal queg '( ) ( ) Berhard Rema realzou seu doutorado sob oretação de Gauss, a Uversdade de Gottge, e lá permaeceu para esar Gauss ão tha o hábto de elogar outros matemátcos, mas reeru-se a Rema como uma mete cratva atva, verdaderamete matemátca, e de uma orgaldade glorosamete értl Ielzmete, aleceu aos 9 aos, de tuberculose (STEWART, 04, p50)

42 4 Ada segudo Stewart (04, p60), é ecessára uma dstção cudadosa etre Itegral deda e Itegral Deda, já que, equato a Itegral deda é uma ução ou uma amíla de curvas, a Itegral Deda é um úmero 5 Teorema do Valor Médo é dado por: Seja tegrável em [a,b], etão, o Valor Médo (c) em [a,b], também chamado de Méda Ode: Geometrcamete, sedo () > 0, (b - a) é a base do retâgulo e (c) é a altura méda desse retâgulo Assm, o produto etre a base e a altura gera a área sob a curva (), lmtada pelo eo, o tervalo [a,b] Observe a gura 8 que uma regão é aprovetada e a outra ão, pos uma acaba compesado a outra Com sso, obtém-se uma área muto próma da real, que pode ser calculada tutvamete por b a d O teressate é, calmete, calcular o valor médo (c) e logo em seguda, calcular o valor de c, pos é ele que equlbra essa espéce de balaça M b a ( c) b a d b a c ( ) a b d Fgura 9 - Teorema do valor médo Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra

43 4 De acordo com a gura 9, pode-se vercar que, como (c) represeta a altura méda do retâgulo, é possível, a partr dessa ormação, chegar ao úmero represetado poto c Esse Teorema, portato, mostra que é possível calcular a área sob a curva através do cálculo da área de um retâgulo Eemplo: Determar o valor médo de () = 4 - o tervalo [0, ] e em que valor c do domío dado, realmete assume esse valor: c b a b a d Resolução: Prmeramete, tora-se ecessáro, para resolver essa questão, o deseho do gráco (FIGURA 0): Fgura 0 - Gráco da ução () = 4 - o tervalo [0, ] Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Após o deseho do gráco, é precso lmtar a área de acordo com o tervalo dado, como apotado a gura :

44 44 Fgura - Área lmtada pela reta de equação () = 4 - o tervalo [0, ] Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Utlzado a órmula do valor médo e os dados da gura, pode-se calcular valor de c, como abao: c e o c b d b a a c (4 ) d 0 0 c 4 0 c c 4 0 4,5 c 7,5, c 5 Assm, se () = 4 - e (c) =,5, etão 4 c =,5 Logo, c =,5 Portato, o retâgulo dcado a gura com base o tervalo [0,] e altura,5 tem área gual à área etre o gráco de e o eo, o mesmo tervalo Dessa orma, c =,5 é o valor de que equlbra a balaça, ou seja, que orece a altura desejada eata

45 45 Fgura - Valor médo da ução () = 4 - o tervalo [0, ] Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra O retâgulo, aturalmete, assume uma orma geométrca derete da orgal, porém, com mesma área Observe que a área que sobra o retâgulo equvale à área que alta a gura orgal 6 Teorema Fudametal do Cálculo O Cálculo Derecal surgu de um problema cujo objetvo era obter a equação da reta tagete a uma curva um determado poto, equato o Cálculo Itegral surgu de um problema cujo objetvo era o cálculo da área de uma gura plaa com orma descohecda O glês Isaac Barrow (60-677), metor de Isaac Newto em Cambrdge, Iglaterra, descobru que esses dos problemas estão, a verdade, estretamete relacoados, percebedo dervação e tegração são operações versas O Teorema Fudametal do Cálculo orece a relação versa precsa etre a dervação e a tegração Como já dto aterormete, Lebz e Newto observaram que o Teorema Fudametal do Cálculo os capactou a calcular áreas e Itegras Dedas muto mas aclmete que Barrow, sem que osse ecessáro calculá-las como Lmtes de somas, e sm usado a prmtva da ução evolvda

46 46 Segudo Courat e Robbs (000, p 499), a oção de tegração e de derecação tha sdo razoavelmete bem desevolvda ates do trabalho de Newto e de Lebz Para desecadear a evolução da ova aálse Matemátca, apeas mas uma descoberta era ecessára Os dos processos de Lmte aparetemete ão relacoados, evolvdos a derecação e a tegração de uma ução, estão tmamete relacoados São, de ato, versos um do outro, como as operações adção e subtração, multplcação e dvsão Não este portato, um Cálculo Derecal e outro Cálculo Itegral separados, mas um só Cálculo Ada segudo Courat e Robbs (000): tem-se que: O grade eto de Lebz e Newto o o de terem pela prmera vez detcado e eplorado claramete este Teorema Fudametal do Cálculo Naturalmete, sua descoberta stuava-se o camho correto do desevolvmeto cetíco, sedo peretamete atural que város homes teham chegado a uma compreesão clara da stuação, de modo depedete e quase ao mesmo tempo (COURANT; ROBBINS, 000, p 499) Esse Teorema é dvddo em duas partes Segudo Thomas, Wer e Hass (009, p 89), Parte : Se é cotíua em [a, b], etão, e sua dervada é () Assm: g' d d g ( ) ( t) dt é cotíua em [a, b] e dervável em (a, b) t dt g( ) ( ) a a d d Fgura - Teorema udametal do Cálculo Fote: Adaptado de Flemmg e Goçalves, 006, p 65) Assm, da orma como eplctado, etede-se a possbldade de relacoar as operações de dervação e tegração, coorme o eemplo a segur:

47 47 Eemplo: Calcular d d t 0 cos dt d d set 0 d se se 0 d d se d cos Parte : Na parte do Teorema Fudametal do Cálculo, Thomas, Wer e Hass (009, p 9) arma que, se é cotíua em qualquer poto de [a,b] e se g é uma prmtva de este tervalo, etão: b a b t dt g gb ga a Vale a pea observar o quato ca mas smples, prátca e rápda a resolução de cada eercíco vsto aterormete, agora pela Itegral Deda, utlzado o Teorema Fudametal do Cálculo Embora o Teorema possa ser surpreedete à prmera vsta, ele ca plausível se sua terpretação or realzada em termos íscos Assm, se v(t) é a velocdade de um objeto e s(t) é a sua posção o state de tempo t, etão, v(t)=s (t), de orma que s é uma prmtva de v Cosderado um objeto que se move sempre o setdo postvo e azedo a cojectura de que a área sob a curva da velocdade é gual à dstâca percorrda, tem-se, etão: b a v b t dt s( t) s( b) s( a) a Segudo Stochero (99), algumas propredades do Teorema Fudametal do Cálculo são udametas, tas como:

48 48 Se os Lmtes de tegração são guas, a Itegral é ula: a ( ) d 0 a Se houver a versão da ordem dos Lmtes de tegração, a Itegral troca o sal: b a ( ) d a ( ) d b Sedo a Itegral b k ( ) d, o ator costate k pode ser trasposto para ora do a símbolo da Itegral: b b k ( ) d k a ( ) d a A Itegral de uma soma algébrca de uções é gual à soma algébrca das Itegras das uções parcas: b b b g( ) d a a a ( ) g( ) d ( ) d A Itegral Deda pode ser decomposta a soma algébrca de duas ou mas Itegras parcas: b c b ( ) d a a c ( ) d ( ) d Segudo George Thomas, Wer e Hass (009), a possbldade de ecotrar uções a partr de suas taas de varação é uma das errametas de cálculo mas ecetes Veja algus eemplos de smples aplcação: ) Se uma bola or atrada ao ar com uma velocdade de 0m/s, sua altura (em metros) depos de t segudos é dada por s( t) t 0t 4,9 a) Calcule a velocdade quado t = Sabedo que a dervada da ução posção gera a ução velocdade, basta dervar s(t) para obtermos v(t): Dessa orma:

49 49 s (t) = 0 9,8t v(t) = 0 9,8t (Essa é a ução que rá ormar a velocdade da bola em cada state t) Para t =, tem-se: v() = 0 9,8 v() = - 9,6 m/s Vale ressaltar que o sal egatvo dca que a bola já passou pelo poto crítco (mámo) e, portato, já está voltado (cado/descedo) para o solo b) Com que aceleração a bola atge a superíce? A ução aceleração pode ser obtda dervado a ução velocdade cuja varável é o tempo Acotece que ão se sabe, por equato, quato tempo essa bola leva para voltar ao solo Esse deve ser o prmero cálculo para esse eercíco Assm, sabedo que a posção da bola, ao logo do tempo, é oretada pela ução s( t) 0t 4,9t al, coorme eplctado:, tem-se que obter os valores de t que zeram s, ou seja, tempo cal e tempo 0t 4,9t 0 t(0 4,9t) 0 t 0 s ( cal) ou t 0 4,9 s ( al) Agora que já se sabe o tempo al, ou seja, quato tempo ela demora para retorar ao solo, ca ácl calcular a aceleração da bola quado a mesma atge a superíce: v(t) = 0 9,8t v (t) = -9,8 a(t) = -9,8 m/s Observe que, esse caso, ão o ecessáro utlzar o tempo al c) Sabedo que a aceleração de um corpo em queda lvre a partr do repouso é de 9,8 m/s, determe: - A velocdade do corpo após segudos: v(t) = a ( t) dt v(t) = 9,8dt v(t) = 9,8t c

50 50 Como o corpo ca partdo do repouso, v(0) = 0, logo: 9,80+c = 0 c = 0 Portato, a ução velocdade é v(t) = 9,8t Etão, v() = 9,8 v() = 9,6 m/s - A posção do corpo após segudos: s(t) = v ( t) dt s(t) = 9,8t dt t s(t) = 9,8 +c etão: s(t) = 4,9 t +c Assm, se a altura cal é s(0) = h, postva para bao a partr da posção de repouso, 4,90 + c = h c = h Logo, a ução posção será s(t) = 4,9 t + h Portato, s() = 9,6 + h ) Calcular a área sob a curva da ução Teorema Fudametal do Cálculo: ( ), etre e 5, utlzado o Para resolver essa questão, tora-se ecessáro, calmete, esboçar o gráco, aulado o seu etedmeto (FIGURA 4)

51 5 Fgura 4 - Área sob a curva da ução ( ), etre e 5 Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Após esboçado o gráco, deve-se determar os Lmtes de tegração Como esse caso, os Lmtes de tegração oram dados [, 5], passa-se, etão, para o tercero e últmo passo, que é calcular a área: A lm 0 5 A d 5 A l A l 5 l A,609 u a Esse eercíco já o calculado aterormete pelo método das apromações tas Ressalta-se essa comparação que, equato pelo método das apromações tas obtém-se,57 ua, pelo Teorema Fudametal do Cálculo, obtém-se,609 ua, uma medda próma, porém, mas precsa que a do método ateror

52 5 ) Calcular o volume do sóldo de revolução gerado pela rotação em toro do eo, da área lmtada pela curva da ução ( ) em toro do eo, o tervalo [0, ], utlzado o Teorema Fudametal do Cálculo: Para se resolver a questão proposta, assm como as demas, tora-se ecessáro esboçar o gráco, como mostra a gura 5: Fgura 5 - Vsta lateral do sóldo de revolução gerado pela rotação em toro do eo, da área lmtada pela curva da ução ( ), o tervalo [0, ] Fote: Elaborada pelo autor o GeoGebra Após desehar o gráco, é precso determar os Lmtes de tegração Nesse caso, os Lmtes de tegração oram dados [0, ], permtdo dretamete o cálculo do volume:

53 5 V lm 0 65, u v V V u v V V V V d V d Esse eercíco já o calculado aterormete pelo método das apromações tas Ressalta-se, assm como o eercíco ateror, que pelo método das apromações tas, obtém-se 55,75 uv, equato que pelo Teorema Fudametal do Cálculo, o resultado é de 65,97 uv, uma medda próma, porém, mas precsa que a ateror 4) Calcular o comprmeto do arco da curva da ução se ) (, etre 0 e, utlzado o Teorema Fudametal do Cálculo: d L d d dy L y L b a 0 0 cos lm Essa Itegral ão pode ser aclmete calculada à mão, por sso a ecessdade de uso de um sotware, como o VCN, como mostra a gura 6

54 54 Fgura 6 - Comprmeto da curva calculado pelo VCN Fote: Elaborada pelo autor o VCN Logo, L 7,66 u c Ressalta-se que também esse eercíco já o calculado aterormete pelo método das apromações tas, otado-se que pelo método das apromações tas, obtém-se um comprmeto de 7,6 uc, com oto trâgulos retâgulos, equato que pelo Teorema Fudametal do Cálculo, é ecotrado comprmeto gual a 7,66 uc, que, apesar de ser uma medda próma, é mas precsa

55 55 SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE ATIVIDADES ATIVIDADE : Apromações tas Objetvos: Calcular meddas de áreas a partr das apromações tas, utlzado o sotware GeoGebra; Calcular meddas de volumes a partr das apromações tas, utlzado o sotware GeoGebra; Calcular meddas de comprmetos de arcos a partr das apromações tas, utlzado o sotware GeoGebra; Icetvar o desevolvmeto da autooma o aluo quato ao estudo da Itegral Deda e à utlzação do sotware GeoGebra Questão : Dada a ução ( ) lmtada o tervalo [ 0, ], calcular através das apromações tas, utlzado o GeoGebra: a) A área lmtada etre a ução e o eo, com quatro retâgulos sem-scrtos (regra do poto médo), este tervalo b) A área lmtada etre a ução e o eo, com oto retâgulos sem-scrtos (regra do poto médo), este tervalo c) A área lmtada etre a ução e o eo y, com quatro retâgulos scrtos, este tervalo d) A área lmtada etre a ução e o eo y, com oto retâgulos scrtos, este tervalo e) O volume do sóldo gerado pela rotação da área lmtada pela ução em toro do eo, com quatro cldros scrtos de mesma altura, este tervalo ) O volume do sóldo gerado pela rotação da área lmtada pelo gráco em toro do eo y, com base os cocetos de geometra sólda, este tervalo Observe que, com a rotação, há a ormação de dos sóldos, o de detro e o de ora Nesse caso, queremos o volume do sóldo de ora

56 56 Obs: Não utlzar a Itegral, e sm as órmulas: Volume do cldro: V r h Volume do coe: V r h Questão : Através das apromações tas, estmar o comprmeto do arco da curva da ução ( ) cos, etre 0 e, utlzado o GeoGebra, com: a) Quatro trâgulos retâgulos com mesma medda de base Lea com ateção as struções abao, ates de começar a resolver o eercíco: Abrdo o sotware GeoGebra, percebemos que o eo está, calmete, represetado os úmeros reas Como a ução é trgoométrca, devemos mudar a lguagem o eo, trasormado os úmeros reas em seus correspodetes âgulos, em radaos Para sso, devemos: - poscoar o mouse sobre o eo e clcar com o botão dreto; - clcar sobre jaelas de vsualzação; - clcar sobre eo ; - clcar sobre dstâca e alterar para ; - echar a jaela, voltado para o gráco Obs: - No GeoGebra, =, escreve-se = p; - Para movmetar o poto com mas precsão, pressoamos Sht juto com a seta que guará o poto para a posção adequada; - Utlzaremos as errametas ovo poto e polígoo; - O própro GeoGebra calcula as meddas das hpoteusas ecessáras ao eercíco b) Oto trâgulos retâgulos com mesma medda de base Sga as mesmas struções da letra a